第十七章一元二次方程(5大知識(shí)歸納+10類(lèi)題型突破)(原卷版+解析)

第十七章一元二次方程（5大知識(shí)歸納+10類(lèi)題型突破）1.掌握一元二次方程的概念、一般形式；2.掌握一元二次方程的解；3、掌握一元二次方程的四大解法；4、掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；5、理解一元二次方程的應(yīng)用問(wèn)題；知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個(gè)數(shù)為1，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，整式方程，可化為一般形式；2．正確識(shí)別一元二次方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù)（1）明確只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，整式方程才是一元二次方程。（2）各項(xiàng)的確定(包括各項(xiàng)的系數(shù)及各項(xiàng)的未知數(shù)).（3）熟練整理方程的過(guò)程一元二次方程的解的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解列出實(shí)際問(wèn)題的一元二次方程知識(shí)點(diǎn)二：一元二次方程的解法1．明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．體會(huì)不同解法的相互的聯(lián)系；4．值得注意的幾個(gè)問(wèn)題：(1)開(kāi)平方法：對(duì)于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開(kāi)平方法求解.形如的方程的解法：當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。（2）配方法：通過(guò)配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的方程，再運(yùn)用開(kāi)平方法求解。配方法的一般步驟：①移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；②“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；③配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；④求解：若時(shí)，方程的解為，若時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解。（3）公式法：一元二次方程的根當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫(xiě)為；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.公式法的一般步驟：①把一元二次方程化為一般式；②確定的值；③代入中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；④若代入求根公式求值，否則，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。（因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4）因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0，即：若，則；②因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。（5）選用適當(dāng)方法解一元二次方程①對(duì)于無(wú)理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡(jiǎn)便的多，只不過(guò)應(yīng)注意二次根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。②方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡(jiǎn)便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)，以確定方程的類(lèi)型；（2）對(duì)于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時(shí)一定不要忘記對(duì)字母的取值進(jìn)行討論。知識(shí)點(diǎn)三：根的判別式的應(yīng)用了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對(duì)于一元二次方程（）①當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根；（當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；）②當(dāng)方程無(wú)實(shí)數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2．常見(jiàn)的問(wèn)題類(lèi)型（1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況①先計(jì)算出判別式（關(guān)鍵步驟）；②用配方法將判別式恒等變形；③判斷判別式的符號(hào)；④總結(jié)出結(jié)論.（4）分類(lèi)討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時(shí)未指明是二次方程，后面也未指明兩個(gè)根，那一定要對(duì)方程進(jìn)行分類(lèi)討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0，一元二次方程可能會(huì)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根或無(wú)實(shí)數(shù)根。（5）一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識(shí)綜合命題，解答時(shí)要在全面分析的前提下，注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧（6）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)四：根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程（）的兩根為那么，就有比較等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得①式與②式也可以運(yùn)用求根公式得到．人們把公式①與②稱(chēng)之為韋達(dá)定理，即根與系數(shù)的關(guān)系．因此，給定一元二次方程就一定有①與②式成立．反過(guò)來(lái)，如果有兩數(shù)滿(mǎn)足①與②，那么這兩數(shù)必是一個(gè)一元二次方程的根．利用這一基本知識(shí)?？梢院?jiǎn)捷地處理問(wèn)題．利用根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以不求方程的根，而知其根的正、負(fù)性．在的條件下，我們有如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，方程的兩根必一正一負(fù)．若，則此方程的正根不小于負(fù)根的絕對(duì)值；若，則此方程的正根小于負(fù)根的絕對(duì)值．當(dāng)時(shí)，方程的兩根同正或同負(fù)．若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負(fù)根．⑴韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）：如果的兩根是，，則，．(隱含的條件：)⑵若，是的兩根(其中)，且為實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，一般地：①，②且，③且，特殊地：當(dāng)時(shí)，上述就轉(zhuǎn)化為有兩異根、兩正根、兩負(fù)根的條件．⑶以?xún)蓚€(gè)數(shù)為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是：．⑷其他：若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根(，為有理數(shù))．若，則方程必有實(shí)數(shù)根．若，方程不一定有實(shí)數(shù)根．若，則必有一根．若，則必有一根．⑸韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）主要應(yīng)用于以下幾個(gè)方面：已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根以及確定方程參數(shù)的值；已知方程，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；已知方程的兩根，求作方程；結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征；逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時(shí)，就可以把某兩個(gè)變?cè)醋髂硞€(gè)一元二次方程的兩根，以便利用韋達(dá)定理；⑤利用韋達(dá)定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的．一些考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱．知識(shí)點(diǎn)五：一元二次方程的應(yīng)用列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢、答。具體可分為：①審題，找等量關(guān)系，這是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵；②設(shè)未知數(shù)，注意單位;③根據(jù)題意找等量關(guān)系列出方程；④解方程；⑤檢驗(yàn)解是否合理；⑥寫(xiě)出答案作答考點(diǎn)1數(shù)字問(wèn)題數(shù)字問(wèn)題有以下幾種常見(jiàn)類(lèi)型:(1)連續(xù)整數(shù).若三個(gè)連續(xù)整數(shù)最中間的整數(shù)是，則最小的整數(shù)是，最大的整數(shù)是.(2)連續(xù)偶數(shù).若三個(gè)連續(xù)偶數(shù)最中間的偶數(shù)是，則最小的偶數(shù)是，最大的偶數(shù)是.(3)連續(xù)奇數(shù).若三個(gè)連續(xù)奇數(shù)最中間的奇數(shù)是，則最小的奇數(shù)是，最大的奇數(shù)是.(4)兩位數(shù).若一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，則這個(gè)兩位數(shù)是.(5)三位數(shù).若一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字是，十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，則這個(gè)三位數(shù)是.考點(diǎn)2多邊形對(duì)角線(xiàn)問(wèn)題利用一元二次方程解多邊形對(duì)角線(xiàn)問(wèn)題時(shí)需要用到公式，其中是多邊形的邊數(shù)，是多邊形對(duì)角線(xiàn)的總條數(shù).考點(diǎn)3循環(huán)問(wèn)題雙方參與問(wèn)題有以下幾種常見(jiàn)類(lèi)型:(1)握手（單循環(huán)）.若兩個(gè)人握1次手，則個(gè)人握次手.(2)互送賀卡（雙循環(huán)）.若兩個(gè)人互送1張賀卡，則個(gè)人互送張賀卡.(3)球賽.①若兩個(gè)隊(duì)只比賽1場(chǎng)(單循環(huán))，則個(gè)隊(duì)比賽場(chǎng);②若兩個(gè)隊(duì)相互比賽1場(chǎng)(雙循環(huán))，則個(gè)隊(duì)比賽場(chǎng).考點(diǎn)4傳播問(wèn)題1、病毒傳染問(wèn)題：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人.開(kāi)始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個(gè)人，他傳染了個(gè)人，用代數(shù)式表示第一輪后共有人患了流感.第二輪傳染中，人中的每個(gè)人又傳染了個(gè)人，用代數(shù)式表示第二輪后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）2人患了流感.樹(shù)枝問(wèn)題：設(shè)一個(gè)主干長(zhǎng)x個(gè)枝干，每個(gè)枝干長(zhǎng)x個(gè)小分支，則一共有1+x+x2個(gè)枝?？键c(diǎn)5增減率問(wèn)題增減率問(wèn)題涉及的公式有:(1)(2)若設(shè)原來(lái)量是，平均增長(zhǎng)率是，增長(zhǎng)次數(shù)是，增長(zhǎng)后的量是，則;若設(shè)原來(lái)量是，平均降低率是，降低次數(shù)是，降低后的量是，則.考點(diǎn)6面積問(wèn)題利用一元二次方程解面積問(wèn)題時(shí)，有時(shí)需要把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形考點(diǎn)7利潤(rùn)問(wèn)題利潤(rùn)問(wèn)題常用公式如下:(1)利潤(rùn)=售價(jià)–成本價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣–成本價(jià).(2)利潤(rùn)率=(3)銷(xiāo)售額=銷(xiāo)售價(jià)×銷(xiāo)售量.(4)銷(xiāo)售利潤(rùn)=(銷(xiāo)售價(jià)–成本價(jià))×銷(xiāo)售量題型一一元二次方程的定義、一般形式1．（2023秋·湖北孝感·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）把一元二次方程化成一般形式，正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·安徽六安·九年級(jí)校考階段練習(xí)）將方程化為一般形式后為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)宜興市樹(shù)人中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于的方程是一元二次方程，則．3．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知關(guān)于y的一元二次方程，求出它各項(xiàng)的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍．題型二一元二次方程的解1．（2023秋·廣東深圳·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知m是方程的一個(gè)根，則的值為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20232．（2023秋·福建福州·九年級(jí)福州華倫中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若是方程的一個(gè)解，則的值是（

）A．1 B．0 C．0或1 D．0或3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如果a是一元二次方程的根，則代數(shù)式的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024鞏固訓(xùn)練1．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的兩個(gè)一元二次方程和，其中a，b，c是常數(shù)，且，如果是方程的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A． B．或2023 C． D．或2．（2023秋·廣東汕頭·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若是方程的解，則代數(shù)式的值為．3．（2023秋·江西宜春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中m是方程的根．題型三一元二次方程的四大解法1．（2023秋·河南信陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)；(3)；(4)．2．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．3．（2023秋·河南信陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(2)(3)(4)鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)無(wú)錫市東林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解下列方程：(1)(2)(3)(4)2．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)(2)(3)(4)．3．（2023秋·四川宜賓·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解方程(1)(2)(3)（用配方法）(4)題型四換元法解一元二次方程1．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一元二次方程的兩根分別為，則方程的兩根分別為（）A． B．C． D．2．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則的值為（

）A．2或 B．或6 C．6 D．23．（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程的兩個(gè)根分別為，，則方程的兩個(gè)根分別為（

）A．， B．，C．， D．，,鞏固訓(xùn)練1．（2023春·安徽宣城·八年級(jí)校考期中）已知a、b為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，則代數(shù)式的值為（

）A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．52．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如果關(guān)于的方程的解是，，那么關(guān)于的方程的解是．3．（2023秋·四川內(nèi)江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解法一：解方程得：，．∵所求方程的根分別是已知方程根的2倍，∴所求方程的兩根為：，，∴所求方程為：．故所求方程為：．解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．把代入已知方程得：化簡(jiǎn)，得，故所求方程為：．請(qǐng)你從閱讀材料中選擇一種方法解決下列問(wèn)題：(1)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：；(2)已知關(guān)于的一元二次方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；(3)已知關(guān)于的一元二次方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．題型五配方法的應(yīng)用1．（2023秋·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，多項(xiàng)式的值是一個(gè)（

）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非負(fù)數(shù) D．不能確定正負(fù)的數(shù)2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于多項(xiàng)式，由于，所以有最小值3．已知關(guān)于x的多項(xiàng)式的最大值為10，則m的值為（）A．1 B． C． D．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）新定義：關(guān)于的一元二次方程與稱(chēng)為“同族二次方程”．如與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程與是“同族二次方程”，那么代數(shù)式能取的最小值是（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·浙江嘉興·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）代數(shù)式的可能取值為（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且這兩根之差的絕對(duì)值為6，那么的值為．3．（2023秋·山西忻州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).如果關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是1，那么我們稱(chēng)這個(gè)方程為“方正方程”.(1)判斷一元二次方程是否為“方正方程”，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)已知關(guān)于的一元二次方程是“方正方程”，求的最小值.題型六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1．（2023秋·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知一元二次方程的兩根為，，則（）A． B． C．7 D．252．（2023秋·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，滿(mǎn)足則（）A．和2 B．2 C． D．1和23．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)惠州一中?？茧A段練習(xí)）若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知、是方程的兩個(gè)根，則（）A． B． C． D．2．（2023秋·湖南常德·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知方程的兩個(gè)根為和，則=．3．（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：材料1：若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根為，；則，；材料2：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，求的值．解：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，；，；則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個(gè)根為，，則______，______；(2)類(lèi)比應(yīng)用：已知一元二次方程的兩根分別為、，求的值．題型七根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況1．（2023秋·湖北恩施·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)于的一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是(

)A． B．C． D．2．（2023秋·四川宜賓·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，現(xiàn)給出三個(gè)結(jié)論：①；

②；

③．則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．無(wú)法確定3．（2023秋·福建三明·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于一元二次方程，有下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有實(shí)根；B．若，則方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)根互為相反數(shù)；C．若，則方程一定有實(shí)數(shù)根；D．若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知一元二次方程中，下列說(shuō)法：①若，則；②若方程兩根為和2，則；③若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；④若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023秋·山東棗莊·九年級(jí)滕州育才中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于一元二次方程，有下列說(shuō)法：①若則；②若方程兩根為1和2，則；③若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有實(shí)根；④若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的是．（填寫(xiě)序號(hào)）3．（2023秋·福建廈門(mén)·九年級(jí)廈門(mén)市蓮花中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論a為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根分別為和，且滿(mǎn)足，求a的值．題型八根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)1．（2023秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么k的最小整數(shù)值是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023秋·貴州畢節(jié)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式組有且只有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)的和為（

）A．3 B．5 C．9 D．103．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·福建泉州·八年級(jí)?？计谀┤絷P(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．2．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為．3．（2023秋·湖北孝感·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根，滿(mǎn)足，求k的值．題型九一元二次方程的應(yīng)用11．（2023秋·遼寧本溪·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，某建筑工程隊(duì)在工地一邊靠墻處，用81米長(zhǎng)的鐵柵欄圍成三個(gè)相連的長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)，倉(cāng)庫(kù)總面積為440平方米.為了方便取物，在各個(gè)倉(cāng)庫(kù)之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個(gè)1米寬的缺口作小門(mén).若設(shè)米，則可列方程（

）

A． B． C． D．2．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出的一個(gè)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步．問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步．”意思是：長(zhǎng)方形的面積是864平方步，寬比長(zhǎng)少12步，問(wèn)寬和長(zhǎng)各是幾步．設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)武漢一初慧泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）李師傅去年開(kāi)了一家商店，今年1月份開(kāi)始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利達(dá)到2880元，且從2月到4月，若每月盈利的平均增長(zhǎng)率都相同．那么按照這個(gè)平均增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)五月份這家商店的盈利將達(dá)到（

）元．A．3320 B．3440 C．3450 D．3456鞏固訓(xùn)練1．（2022秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）春節(jié)快到了，為增進(jìn)友誼，老師要求班上每一名同學(xué)要給同組的其他同學(xué)寫(xiě)一份新春的祝福，小靜同學(xué)所在的小組共寫(xiě)了42份祝福，該小組共有（）A．4人 B．5人 C．6人 D．7人2．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）受新冠肺炎疫情影響，某企業(yè)生產(chǎn)總值從元月的720萬(wàn)元，連接兩個(gè)月降至500萬(wàn)元，設(shè)平均每月降低率為x，則可列方程．3．（2022秋·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┠持穆糜纬鞘?016年“十一”黃金周期間，接待游客近1000萬(wàn)人次，2018年“十一”黃金周期間，接待游客已達(dá)1690萬(wàn)人次．(1)求出2016年至2018年十一長(zhǎng)假期間游客人次的年平均增長(zhǎng)率；(2)該市一家特色小面店希望在長(zhǎng)假期間獲得較好的收益，經(jīng)測(cè)算知，該小面的成本價(jià)為每碗6元，借鑒以往經(jīng)驗(yàn)：若每碗賣(mài)25元，平均每天將銷(xiāo)售300碗，若價(jià)格每降低1元，則平均每天多銷(xiāo)售30碗．若規(guī)定每碗售價(jià)不得超過(guò)20元，則當(dāng)每碗售價(jià)定為多少元時(shí)，店家能實(shí)現(xiàn)每天盈利6300元？題型十一元二次方程的應(yīng)用21．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q均停止運(yùn)動(dòng)，若的面積等于，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒2．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．當(dāng)一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，點(diǎn)M，N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為()A． B． C． D．3．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在等腰中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿向點(diǎn)B移動(dòng)，作，，當(dāng)?shù)拿娣e為面積的一半時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的路程為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋·山東德州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，cm，cm．現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，沿線(xiàn)段向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)的速度是2cm/s，點(diǎn)的速度是1cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線(xiàn)段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，的面積等于5cm2．A．1 B．3 C．3或5 D．1或52（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速移動(dòng)，速度為，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速移動(dòng)，速度為．動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從，兩點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，動(dòng)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．3．（2023秋·江西宜春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果，兩點(diǎn)分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)用含的式子表示：，，；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間；(3)四邊形的面積能否等于？若能，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不能，說(shuō)明理由．

第十七章一元二次方程（5大知識(shí)歸納+10類(lèi)題型突破）1.掌握一元二次方程的概念、一般形式；2.掌握一元二次方程的解；3、掌握一元二次方程的四大解法；4、掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；5、理解一元二次方程的應(yīng)用問(wèn)題；知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個(gè)數(shù)為1，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，整式方程，可化為一般形式；2．正確識(shí)別一元二次方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù)（1）明確只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，整式方程才是一元二次方程。（2）各項(xiàng)的確定(包括各項(xiàng)的系數(shù)及各項(xiàng)的未知數(shù)).（3）熟練整理方程的過(guò)程一元二次方程的解的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解列出實(shí)際問(wèn)題的一元二次方程知識(shí)點(diǎn)二：一元二次方程的解法1．明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．體會(huì)不同解法的相互的聯(lián)系；4．值得注意的幾個(gè)問(wèn)題：(1)開(kāi)平方法：對(duì)于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開(kāi)平方法求解.形如的方程的解法：當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。（2）配方法：通過(guò)配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的方程，再運(yùn)用開(kāi)平方法求解。配方法的一般步驟：①移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；②“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；③配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；④求解：若時(shí)，方程的解為，若時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解。（3）公式法：一元二次方程的根當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫(xiě)為；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.公式法的一般步驟：①把一元二次方程化為一般式；②確定的值；③代入中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；④若代入求根公式求值，否則，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。（因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4）因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0，即：若，則；②因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。（5）選用適當(dāng)方法解一元二次方程①對(duì)于無(wú)理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡(jiǎn)便的多，只不過(guò)應(yīng)注意二次根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。②方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡(jiǎn)便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)，以確定方程的類(lèi)型；（2）對(duì)于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時(shí)一定不要忘記對(duì)字母的取值進(jìn)行討論。知識(shí)點(diǎn)三：根的判別式的應(yīng)用了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對(duì)于一元二次方程（）①當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根；（當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；）②當(dāng)方程無(wú)實(shí)數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2．常見(jiàn)的問(wèn)題類(lèi)型（1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況①先計(jì)算出判別式（關(guān)鍵步驟）；②用配方法將判別式恒等變形；③判斷判別式的符號(hào)；④總結(jié)出結(jié)論.（4）分類(lèi)討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時(shí)未指明是二次方程，后面也未指明兩個(gè)根，那一定要對(duì)方程進(jìn)行分類(lèi)討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0，一元二次方程可能會(huì)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根或無(wú)實(shí)數(shù)根。（5）一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識(shí)綜合命題，解答時(shí)要在全面分析的前提下，注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧（6）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)四：根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程（）的兩根為那么，就有比較等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得①式與②式也可以運(yùn)用求根公式得到．人們把公式①與②稱(chēng)之為韋達(dá)定理，即根與系數(shù)的關(guān)系．因此，給定一元二次方程就一定有①與②式成立．反過(guò)來(lái)，如果有兩數(shù)滿(mǎn)足①與②，那么這兩數(shù)必是一個(gè)一元二次方程的根．利用這一基本知識(shí)?？梢院?jiǎn)捷地處理問(wèn)題．利用根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以不求方程的根，而知其根的正、負(fù)性．在的條件下，我們有如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，方程的兩根必一正一負(fù)．若，則此方程的正根不小于負(fù)根的絕對(duì)值；若，則此方程的正根小于負(fù)根的絕對(duì)值．當(dāng)時(shí)，方程的兩根同正或同負(fù)．若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負(fù)根．⑴韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）：如果的兩根是，，則，．(隱含的條件：)⑵若，是的兩根(其中)，且為實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，一般地：①，②且，③且，特殊地：當(dāng)時(shí)，上述就轉(zhuǎn)化為有兩異根、兩正根、兩負(fù)根的條件．⑶以?xún)蓚€(gè)數(shù)為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是：．⑷其他：若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根(，為有理數(shù))．若，則方程必有實(shí)數(shù)根．若，方程不一定有實(shí)數(shù)根．若，則必有一根．若，則必有一根．⑸韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）主要應(yīng)用于以下幾個(gè)方面：已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根以及確定方程參數(shù)的值；已知方程，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；已知方程的兩根，求作方程；結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征；逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時(shí)，就可以把某兩個(gè)變?cè)醋髂硞€(gè)一元二次方程的兩根，以便利用韋達(dá)定理；⑤利用韋達(dá)定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的．一些考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱．知識(shí)點(diǎn)五：一元二次方程的應(yīng)用列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢、答。具體可分為：①審題，找等量關(guān)系，這是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵；②設(shè)未知數(shù)，注意單位;③根據(jù)題意找等量關(guān)系列出方程；④解方程；⑤檢驗(yàn)解是否合理；⑥寫(xiě)出答案作答考點(diǎn)1數(shù)字問(wèn)題數(shù)字問(wèn)題有以下幾種常見(jiàn)類(lèi)型:(1)連續(xù)整數(shù).若三個(gè)連續(xù)整數(shù)最中間的整數(shù)是，則最小的整數(shù)是，最大的整數(shù)是.(2)連續(xù)偶數(shù).若三個(gè)連續(xù)偶數(shù)最中間的偶數(shù)是，則最小的偶數(shù)是，最大的偶數(shù)是.(3)連續(xù)奇數(shù).若三個(gè)連續(xù)奇數(shù)最中間的奇數(shù)是，則最小的奇數(shù)是，最大的奇數(shù)是.(4)兩位數(shù).若一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，則這個(gè)兩位數(shù)是.(5)三位數(shù).若一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字是，十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，則這個(gè)三位數(shù)是.考點(diǎn)2多邊形對(duì)角線(xiàn)問(wèn)題利用一元二次方程解多邊形對(duì)角線(xiàn)問(wèn)題時(shí)需要用到公式，其中是多邊形的邊數(shù)，是多邊形對(duì)角線(xiàn)的總條數(shù).考點(diǎn)3循環(huán)問(wèn)題雙方參與問(wèn)題有以下幾種常見(jiàn)類(lèi)型:(1)握手（單循環(huán)）.若兩個(gè)人握1次手，則個(gè)人握次手.(2)互送賀卡（雙循環(huán)）.若兩個(gè)人互送1張賀卡，則個(gè)人互送張賀卡.(3)球賽.①若兩個(gè)隊(duì)只比賽1場(chǎng)(單循環(huán))，則個(gè)隊(duì)比賽場(chǎng);②若兩個(gè)隊(duì)相互比賽1場(chǎng)(雙循環(huán))，則個(gè)隊(duì)比賽場(chǎng).考點(diǎn)4傳播問(wèn)題1、病毒傳染問(wèn)題：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人.開(kāi)始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個(gè)人，他傳染了個(gè)人，用代數(shù)式表示第一輪后共有人患了流感.第二輪傳染中，人中的每個(gè)人又傳染了個(gè)人，用代數(shù)式表示第二輪后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）2人患了流感.樹(shù)枝問(wèn)題：設(shè)一個(gè)主干長(zhǎng)x個(gè)枝干，每個(gè)枝干長(zhǎng)x個(gè)小分支，則一共有1+x+x2個(gè)枝?？键c(diǎn)5增減率問(wèn)題增減率問(wèn)題涉及的公式有:(1)(2)若設(shè)原來(lái)量是，平均增長(zhǎng)率是，增長(zhǎng)次數(shù)是，增長(zhǎng)后的量是，則;若設(shè)原來(lái)量是，平均降低率是，降低次數(shù)是，降低后的量是，則.考點(diǎn)6面積問(wèn)題利用一元二次方程解面積問(wèn)題時(shí)，有時(shí)需要把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形考點(diǎn)7利潤(rùn)問(wèn)題利潤(rùn)問(wèn)題常用公式如下:(1)利潤(rùn)=售價(jià)–成本價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣–成本價(jià).(2)利潤(rùn)率=(3)銷(xiāo)售額=銷(xiāo)售價(jià)×銷(xiāo)售量.(4)銷(xiāo)售利潤(rùn)=(銷(xiāo)售價(jià)–成本價(jià))×銷(xiāo)售量題型一一元二次方程的定義、一般形式1．（2023秋·湖北孝感·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，即可求解．一元二次方程定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．【詳解】解：A、，化簡(jiǎn)得，不含二次項(xiàng)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B、，是一元二次方程，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

C、，含有2個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D、，不是整式方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）把一元二次方程化成一般形式，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用整式乘法展開(kāi)，化成的形式．【詳解】，，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的變形，掌握整式運(yùn)算及等式性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將方程化為一般形式后為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先去括號(hào)，再移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，把方程互為一般形式即可．【詳解】解：，∴，∴，故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的一般形式，掌握方程是一元二次方程的一般形式是解本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)宜興市樹(shù)人中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】含有個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化為（）的整式方程是一元二次程；據(jù)此進(jìn)行逐一判斷，即可求解．【詳解】解：A.含有兩個(gè)未知數(shù)、，不是一元二次方程，故不符合題意；B.是分式方程，不是一元二次方程，故不符合題意；C.符合一元二次方程的定義，故符合題意；D.時(shí)，不是一元二次方程，故不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于的方程是一元二次方程，則．【答案】-1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出k?1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，∴k?1≠0且|k|＋1＝2，解得：k＝?1，故答案為：?1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元一次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．3．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知關(guān)于y的一元二次方程，求出它各項(xiàng)的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍．【答案】二次項(xiàng)系數(shù)是：，一次項(xiàng)系數(shù)是：，常數(shù)項(xiàng)是：；參數(shù)m的取值范圍是【分析】先將原方程化為一般式，再回答各項(xiàng)系數(shù)，根據(jù)“二次項(xiàng)系數(shù)不為零”可以求m的取值范圍．【詳解】解：將原方程整理為一般形式，得：，由于已知條件已指出它是一個(gè)一元二次方程，所以存在一個(gè)隱含條件，即．可知它的各項(xiàng)系數(shù)分別是二次項(xiàng)系數(shù)是：，一次項(xiàng)系數(shù)是：，常數(shù)項(xiàng)是：．參數(shù)m的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般式和系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)不為零，掌握化一般式的方法是解題的關(guān)鍵．注意：在含參數(shù)的方程中，要認(rèn)定哪個(gè)字母表示未知數(shù)，哪個(gè)字母是參數(shù)，才能正確處理有關(guān)的問(wèn)題．題型二一元二次方程的解1．（2023秋·廣東深圳·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知m是方程的一個(gè)根，則的值為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】把m代入方程整理得，再把所求整式變形后整體代入求值即可．【詳解】解：∵m是方程的一個(gè)根，∴，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根，整體代入求值，把根代入方程進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·福建福州·九年級(jí)福州華倫中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若是方程的一個(gè)解，則的值是（

）A．1 B．0 C．0或1 D．0或【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將代入已知方程，即可求得的值．【詳解】解：是方程的一個(gè)解，滿(mǎn)足方程，，即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如果a是一元二次方程的根，則代數(shù)式的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【分析】根據(jù)方程根的定義得到，則，整體代入代數(shù)式即可得到答案．【詳解】解：∵a是一元二次方程的根，∴，∴∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的定義、代數(shù)式的求值等知識(shí)，根據(jù)一元二次方程根的定義得到是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的兩個(gè)一元二次方程和，其中a，b，c是常數(shù)，且，如果是方程的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A． B．或2023 C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義以及一元二次方程的解法即可求出答案．【詳解】解：，，，，，，，，是方程的一個(gè)根，是方程的一個(gè)根，，，是方程的一個(gè)根，當(dāng)時(shí)方程，即是方程的一個(gè)根，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的定義以及方程的解的概念，本題屬于中等題型．2．（2023秋·廣東汕頭·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若是方程的解，則代數(shù)式的值為．【答案】2025【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，再把表示為，然后整體代入計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：是方程的解，，，，故答案為：2025．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解與代數(shù)式求值，根據(jù)一元二次方程的解的定義得到是解此題的關(guān)鍵，注意采用整體代入的思想進(jìn)行計(jì)算．3．（2023秋·江西宜春·九年級(jí)校考階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中m是方程的根．【答案】；【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，再根據(jù)一元二次方程解的定義，得出，再整體代入計(jì)算，即可得解．【詳解】解：，∵m是方程的根，∴，即；【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值、一元二次方程的解，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．注意整體代入思想的運(yùn)用．題型三一元二次方程的四大解法1．（2023秋·河南信陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)；(3)(4)【分析】（1）直接開(kāi)方法解方程；（2）因式分解法解方程；（3）配方法解方程；（4）因式分解法解方程．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∴，∴，∴或，∴；（3）解：∴，∴，∴，∴，∴；（4），∴，∴，∴，∴或，∴．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是選擇合適的方法解一元二次方程．2．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)方程無(wú)實(shí)數(shù)根(4)，【分析】（1）先移項(xiàng)，再用直接開(kāi)平方法求解即可；（2）先移項(xiàng)，再兩邊同時(shí)加上4，用配方法求解即可；（3）用公式法求解即可；（4）將右邊進(jìn)行因式分解，再用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，；（2）解：，，，，，；（3）解：，，，∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；（4）解：，，，，，，；【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次的方法和步驟．3．（2023秋·河南信陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(2)(3)(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）利用配方法解方程即可；（4）利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：，移項(xiàng)得，，配方得，，開(kāi)平方得，，∴，；（2）解：移項(xiàng)得，，分解因式得，，∴或，∴，；（3）解：整理得，，配方得，，開(kāi)平方得，，∴，；（4）解：分解因式得，，即，∴或，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)無(wú)錫市東林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解下列方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）用直接開(kāi)平方法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可；（3）用因式分解法解方程即可；（4）用公式法解方程即可．【詳解】（1）由得則或解得，（2）由得得，（3）由得解得，（4），【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）先整理，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：，；（2）解：解得：，；（3）解：即解得：，；（4）解：解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法，根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙忸}的關(guān)鍵．3．（2023秋·四川宜賓·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解方程(1)(2)(3)（用配方法）(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)【分析】（1）運(yùn)用因式分解法解一元二次方程即可；（2）根據(jù)配方法解一元二次方程即可；（3）根據(jù)配方法解一元二次方程即可；（4）運(yùn)用因式分解法解一元二次方程即可【詳解】（1）或解得，（2）或解得，（3）或解得，（4）【點(diǎn)睛】本題主要考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程的知識(shí)，掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．題型四換元法解一元二次方程1．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一元二次方程的兩根分別為，則方程的兩根分別為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用換元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程的兩根．【詳解】解：記，則即，∵方程的兩根分別為，∴或，故，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查換元法和解一元二次方程．能根據(jù)已知方程的解得出或是解此題的關(guān)鍵．2．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則的值為（

）A．2或 B．或6 C．6 D．2【答案】D【分析】設(shè)，則有，再用因式分解法求解得，，再根據(jù)，即可求解．【詳解】解：設(shè)，則有，∴，，或，∴，，∵，∴，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查用因式分解法解一元二次方程，熟練掌握用用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵，注意整體思想的運(yùn)用．3．（2023春·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程的兩個(gè)根分別為，，則方程的兩個(gè)根分別為（

）A．， B．，C．， D．，,【答案】C【分析】設(shè)，則方程變?yōu)?，根?jù)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，，得或，即可求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．【詳解】解：設(shè)，則方程變?yōu)?，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，，∴方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，，∴或，或，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解的定義是關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·安徽宣城·八年級(jí)?？计谥校┮阎猘、b為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，則代數(shù)式的值為（

）A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5【答案】B【分析】設(shè)，則原方程換元為，可得，，即可求解．【詳解】解：設(shè)，則原方程換元為，，解得，（不合題意，舍去），的值為3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如果關(guān)于的方程的解是，，那么關(guān)于的方程的解是．【答案】，，【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程的解是，，令關(guān)于y的方程中，即可得到，解這個(gè)方程組即可得到答案．【詳解】解：∵,∴,關(guān)于的方程的解是，，令，∴，∴或，解得，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查換元法及一元二次方程解的定義，令關(guān)于y的方程中是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2023秋·四川內(nèi)江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解法一：解方程得：，．∵所求方程的根分別是已知方程根的2倍，∴所求方程的兩根為：，，∴所求方程為：．故所求方程為：．解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．把代入已知方程得：化簡(jiǎn)，得，故所求方程為：．請(qǐng)你從閱讀材料中選擇一種方法解決下列問(wèn)題：(1)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：；(2)已知關(guān)于的一元二次方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；(3)已知關(guān)于的一元二次方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）解法一：求出已知方程的解為，從而可得所求方程的兩根為，由此即可得；解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．再將其代入已知方程即可得；（2）解法一：求出已知方程的解為，從而可得所求方程的兩根為，，由此即可得；解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．再將其代入已知方程即可得；（3）解法一：求出已知方程的解為，從而可得所求方程的兩根為，由此即可得；解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．再將其代入已知方程即可得．【詳解】（1）解法一：解方程得：，∵所求方程的根分別為已知方程根的相反數(shù)，∴所求方程的兩根為：，∴所求方程為：，故所求方程為：．解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．把代入已知方程得：化簡(jiǎn)，得，故所求方程為：．故答案為：．（2）解法一：解方程得：，∵所求方程的根分別為已知方程根的倒數(shù)，∴所求方程的兩根為：，，∴所求方程為：，故所求方程為：．解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．把代入已知方程得：化簡(jiǎn)，得，故所求方程為：．（3）解法一：解方程得：，∵所求方程的根分別為已知方程根的倒數(shù)，∴所求方程的兩根為：，∴所求方程為：，故所求方程為：．解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．把代入已知方程得：化簡(jiǎn)，得，故所求方程為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握“換根法”．題型五配方法的應(yīng)用1．（2023秋·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，多項(xiàng)式的值是一個(gè)（

）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非負(fù)數(shù) D．不能確定正負(fù)的數(shù)【答案】B【分析】原式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：任意實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，其最小值是0，∴的最大值是，故多項(xiàng)式的值是一個(gè)負(fù)數(shù)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．任意實(shí)數(shù)的平方和絕對(duì)值都具有非負(fù)性，靈活運(yùn)用這一性質(zhì)是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)于多項(xiàng)式，由于，所以有最小值3．已知關(guān)于x的多項(xiàng)式的最大值為10，則m的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】原式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出m的值即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴的最大值為，∴，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，正確將原式配方是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）新定義：關(guān)于的一元二次方程與稱(chēng)為“同族二次方程”．如與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程與是“同族二次方程”，那么代數(shù)式能取的最小值是（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016【答案】D【分析】根據(jù)同族二次方程的定義，可得出a和b的值，從而解得代數(shù)式的最小值．【詳解】解：與為同族二次方程．，，∴，解得：．∴當(dāng)時(shí)，取最小值為2016．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，解二元一次方程組的方法，理解同族二次方程的定義是解答本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·浙江嘉興·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）代數(shù)式的可能取值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】先將原式變形為，再分解因式，然后根據(jù)配方法得到，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：原式，當(dāng)，時(shí)，原式有最小值，此時(shí)最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且這兩根之差的絕對(duì)值為6，那么的值為．【答案】3【分析】設(shè)兩根分別為和，則的最大值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為(x1-x2)2的最大值問(wèn)題，展開(kāi)并利用根與系數(shù)的關(guān)系將兩根全部替換成a即可．【詳解】解：設(shè)方程兩根分別為和，則：，，，，，，∴，當(dāng)時(shí)，可取最小值，∵6，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握配方法以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解答此類(lèi)題的關(guān)鍵．3．（2023秋·山西忻州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).如果關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根是1，那么我們稱(chēng)這個(gè)方程為“方正方程”.(1)判斷一元二次方程是否為“方正方程”，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)已知關(guān)于的一元二次方程是“方正方程”，求的最小值.【答案】(1)該方程是方正方程，見(jiàn)解析(2)最小值為9【分析】（1）將1代入方程看左右兩邊是否相等即可得到答案；（2）將1代入得到字母關(guān)系，結(jié)合完全平方的非負(fù)性直接求解即可得到答案；【詳解】（1）解：該方程是方正方程，理由如下，∵當(dāng)時(shí)，方程左邊，右邊，∴左邊=右邊，∴是該方程的解，∴該方程是方正方程；（2）解：由題意得：，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為9；【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，配方法解一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意中的新定義．題型六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1．（2023秋·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知一元二次方程的兩根為，，則（）A． B． C．7 D．25【答案】D【分析】先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，，然后把原式變形為，再整體代入求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根為，，∴，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，屬于?？碱}型，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、靈活應(yīng)用整體的數(shù)學(xué)思想是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，滿(mǎn)足則（）A．和2 B．2 C． D．1和2【答案】B【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，解出的值，再根據(jù)判別式，可得m的值．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得或，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，注意判別式這個(gè)隱含的條件．3．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)惠州一中?？茧A段練習(xí)）若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得，，將所求式子變形后整體代入即可．【詳解】解：，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程根的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知、是方程的兩個(gè)根，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得，，，，則，，將其代入得，再將，代入即可得．【詳解】解：∵、是方程的兩個(gè)根，∴，，，，∴，===∵，，∴原式=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的根，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．2．（2023秋·湖南常德·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知方程的兩個(gè)根為和，則=．【答案】1【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到、的值，然后整體代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，，∴．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于方程，有、是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：材料1：若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根為，；則，；材料2：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，求的值．解：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，；，；則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個(gè)根為，，則______，______；(2)類(lèi)比應(yīng)用：已知一元二次方程的兩根分別為、，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出及的值；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出，，將其代入中，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：一元二次方程的兩個(gè)根為，，，，故答案為：，；（2）解：一元二次方程的兩根分別為，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，和系數(shù)，，，有如下關(guān)系：，．題型七根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況1．（2023秋·湖北恩施·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)于的一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，分別計(jì)算△的值，根據(jù)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；B、，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；C、，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；D、△，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了用一元二次方程的根的判別式判定方程的根的情況的方法．2．（2023秋·四川宜賓·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，現(xiàn)給出三個(gè)結(jié)論：①；

②；

③．則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】根據(jù)根的判別式即可判斷①；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，即可判斷②；根據(jù)完全平方公式的變形得到即可判斷③．【詳解】解：由題意得：，∵，∴，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，故①正確；由根與系數(shù)的關(guān)系可得，∴，故②正確；∵，∴，故③錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，若是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．3．（2023秋·福建三明·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于一元二次方程，有下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有實(shí)根；B．若，則方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)根互為相反數(shù)；C．若，則方程一定有實(shí)數(shù)根；D．若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【答案】B【分析】由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根得，從得出方程的，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，可判定A；根據(jù)當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，判定方程的根，即可判定B；由，得出方程必有一根為，可判定C；由，得，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，可判定D．【詳解】解：A、方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，方程的，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故此選項(xiàng)不符合題意；B、若，則，當(dāng)，時(shí)，方程有兩相等實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)根互為相反數(shù)；當(dāng)，時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)，時(shí)，x為一切實(shí)數(shù)，方程有無(wú)數(shù)根；當(dāng)，時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；故此選項(xiàng)符合題意；C、若，則方程必有一根為，故此選項(xiàng)不符合題意；D、若，則，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知一元二次方程中，下列說(shuō)法：①若，則；②若方程兩根為和2，則；③若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；④若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①若，則1為方程的一個(gè)根，∴，故①正確；②若方程兩根為和2，則：，∴，②正確；③若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則：，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意，但此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故③錯(cuò)誤；④若，則，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，④正確；正確的為：①②④，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程解的定義，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山東棗莊·九年級(jí)滕州育才中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于一元二次方程，有下列說(shuō)法：①若則；②若方程兩根為1和2，則；③若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有實(shí)根；④若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的是．（填寫(xiě)序號(hào)）【答案】①②③④【分析】根據(jù)根與判別式的關(guān)系，判斷①③④；根與系數(shù)的關(guān)系判斷②．【詳解】解：①若，則一元二次方程有一個(gè)根為，∴；故①正確；②若方程兩根為1和2，則：，即：，∴；故②正確；③若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則：，∴，∴方程必有實(shí)根；故③正確；④，則：，∵，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故④正確；故答案為：①②③④【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·福建廈門(mén)·九年級(jí)廈門(mén)市蓮花中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論a為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根分別為和，且滿(mǎn)足，求a的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)不存在這樣的的值使．【分析】（1）計(jì)算一元二次方程根的判別式，得出，即可得證；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，根據(jù)題意可得，進(jìn)而解方程，即可求解．【詳解】（1）證明：∵；∴，∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）∵，∴，即，∵，，∴，即，∴不存在這樣的的值使．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程根的判別式的意義是解題的關(guān)鍵．題型八根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)1．（2023秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么k的最小整數(shù)值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的根與判別式的關(guān)系可得，，從而求得k的取值范圍，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴，解得，∴k的最小整數(shù)值是3，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與判別式的關(guān)系、解一元一次不等式，熟練掌握一元二次方程的根與判別式的關(guān)系：時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·貴州畢節(jié)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式組有且只有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)的和為（

）A．3 B．5 C．9 D．10【答案】A【分析】解不等式組得出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組整數(shù)解的個(gè)數(shù)得出關(guān)于的范圍，由方程有實(shí)數(shù)根知且，解得且，繼而可得符合條件的整數(shù)和．【詳解】解：解不等式得：，∵不等式組有且只有4個(gè)整數(shù)解，∴整數(shù)解為，，，0，∴，解得：，關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，且，解得且，在且中，符合條件的整數(shù)和為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組和一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．【答案】A【分析】根據(jù)關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，分一元一次方程和一元二次方程兩種情況討論，當(dāng)方程是一元一次方程時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根；當(dāng)方程是一元二次方程時(shí)，得到，求解，綜合兩種情況k的取值范圍，即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)方程是一元一次方程時(shí)，,則，方程有實(shí)數(shù)根；當(dāng)方程是一元二次方程時(shí)，可得：，解得：，綜上所述，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了方程有實(shí)數(shù)根的條件，分類(lèi)討論、掌握一元二次方程的定義以及有實(shí)數(shù)根的條件“”，是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·福建泉州·八年級(jí)?？计谀┤絷P(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【答案】A【分析】由方程有實(shí)數(shù)根，得到判別式，即可求解．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，方程為，是一元一次方程，解得，符合題意；②當(dāng)時(shí)，方程是一元二次方程，∵于x的方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴，即，∴，∴方程為一元二次方程時(shí)，m的取值范圍是且，綜上所述：m的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式及一元二次方程的定義，根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)沈陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為．【答案】【分析】根據(jù)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；據(jù)此對(duì)方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得，，，，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，，解得：，，，；故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握判別式與根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·湖北孝感·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根，滿(mǎn)足，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式得到，即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）由根與系數(shù)關(guān)系得，利用得到，即可得到k的值．【詳解】（1）解：∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得；（2）由題意得，，∴，∵，∴，解得【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的判別式和根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的判別式和根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型九一元二次方程的應(yīng)用11．（2023秋·遼寧本溪·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，某建筑工程隊(duì)在工地一邊靠墻處，用81米長(zhǎng)的鐵柵欄圍成三個(gè)相連的長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)，倉(cāng)庫(kù)總面積為440平方米.為了方便取物，在各個(gè)倉(cāng)庫(kù)之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個(gè)1米寬的缺口作小門(mén).若設(shè)米，則可列方程（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】可求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為（米），由長(zhǎng)方形的面積即可求解．【詳解】解：由題意得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為：（米），則可列方程為：；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出的一個(gè)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步．問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步．”意思是：長(zhǎng)方形的面積是864平方步，寬比長(zhǎng)少12步，問(wèn)寬和長(zhǎng)各是幾步．設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)寬為x步，則長(zhǎng)為步，根據(jù)題意列方程即可．【詳解】解：設(shè)寬為x步，則長(zhǎng)為步，由題意得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是關(guān)鍵．3．（2023秋·湖北武漢·九年級(jí)武漢一初慧泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）李師傅去年開(kāi)了一家商店，今年1月份開(kāi)始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利達(dá)到2880元，且從2月到4月，若每月盈利的平均增長(zhǎng)率都相同．那么按照這個(gè)平均增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)五月份這家商店的盈利將達(dá)到（

）元．A．3320 B．3440 C．3450 D．3456【答案】D【分析】設(shè)每月盈利的平均增長(zhǎng)率為x，列方程解方程進(jìn)而即可求解；【詳解】解：設(shè)每月盈利的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，，解得：（舍去），五月份這家商店的盈利為（元）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）春節(jié)快到了，為增進(jìn)友誼，老師要求班上每一名同學(xué)要給同組的其他同學(xué)寫(xiě)一份新春的祝福，小靜同學(xué)所在的小組共寫(xiě)了42份祝福，該小組共有（）A．4人 B．5人 C．6