專題03線段的雙中點(diǎn)模型(原卷版+解析)

專題03線段的雙中點(diǎn)模型對(duì)于剛接觸幾何的七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，關(guān)于線段的計(jì)算是有很大難度的，這就要求學(xué)生面對(duì)這類題時(shí)具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般來(lái)講，這類題通常由問(wèn)題出發(fā)，先由線段和差確定解題方向，然后輔以線段中點(diǎn)來(lái)解決。但是，對(duì)于有公共部分的線段雙中點(diǎn)模型，可以寫(xiě)出的線段和差種類較多，這就增加了思考的難度。如果掌握了這個(gè)模型的結(jié)論，那就可以快速選取正確的線段和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案?？傊?，基本模型的掌握既可以快速得出小題的答案，又可以為大題的解決確立方向。模型1.

線段的雙中點(diǎn)模型圖1圖21）雙中點(diǎn)模型（兩線段無(wú)公共部分）條件：如圖1，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.2）雙中點(diǎn)模型（兩線段有公共部分）條件：如圖2，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.例1．（2023·廣東七年級(jí)期中）如圖，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．例2．（2023春·上海長(zhǎng)寧·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則．

例3．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級(jí)校考期末）如圖，點(diǎn)、是線段上兩點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則線段．例4．（2022秋·浙江湖州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知線段，延長(zhǎng)線段至點(diǎn)，使得．點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．(1)若，求線段的長(zhǎng)；(2)若，求的值．例5．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)、、在同一直線上，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法：，其中正確的是（）A． B． C． D．例6．（2022秋·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，依此類推……，線段的長(zhǎng)為．例7．（2022秋·山東青島·七年級(jí)?？计谀┲本€l上有三點(diǎn)A、B、C，其中，，M、N分別是、的中點(diǎn)則的長(zhǎng)是．例8．（2023·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的長(zhǎng)；(3)若，求的長(zhǎng)．例9．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)若，，求的長(zhǎng)度；(2)若，，則的長(zhǎng)度為_(kāi)________．例10．（2022春·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，我們稱為點(diǎn)在線段上的點(diǎn)值，記作．如點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，則，記作；反過(guò)來(lái)，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，若，則________；若，則_________；(2)如圖2，已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，運(yùn)動(dòng)速度均為，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，請(qǐng)用含有的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運(yùn)用：(3)已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度分別為和，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即以原速返回，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．則當(dāng)為何值時(shí)，等式成立．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·廣東廣州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知線段，C為線段上一點(diǎn)，且，M，N分別是，的中點(diǎn)，則等于（

）．A． B． C． D．2．（2023秋·重慶銅梁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B在線段上，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)度是（

）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm3．（2023春·山東德州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是直線上的順次四點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)等于（

）．

A． B． C． D．4．（2023春·甘肅武威·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段，點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，，若M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度是（

）A．7cm B．3cm C．7cm或5cm D．5cm5．（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)?？计谀c(diǎn)是線段上的三等分點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．6．（2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)期末）已知線段，點(diǎn)D是線段所在直線上一點(diǎn)，且線段，點(diǎn)M和N分別是線段和中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為．7．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．（用含的式子表示）

8．（2022秋·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段，C是線段上一點(diǎn)，，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，則線段cm．

9．（2023春·上海寶山·六年級(jí)統(tǒng)考期末）延長(zhǎng)線段到，如果的長(zhǎng)度為10厘米，的長(zhǎng)度為2厘米，點(diǎn)和點(diǎn)分別是線段和線段的中點(diǎn)，那么線段的長(zhǎng)度為厘米．10．（2023秋·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)在直線上，，，、分別是、中點(diǎn)，則線段長(zhǎng)為．11．（2023秋·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，是線段上的兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）若，，則；（2）若，，則．12．（2023秋·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條直線上，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，則的值是．13．（2022秋·福建泉州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，C，D是線段AB上兩點(diǎn)，M，N分別是線段，的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③；④．其中正確的結(jié)論是（填序號(hào)）．14．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)沈陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）如圖，線段，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)…以此類推，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．(1)線段的長(zhǎng)為；(2)線段的長(zhǎng)為；(3)求的值．15．（2023秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，其中，是線段的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)．(1)若為線段的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度；(2)若為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．16．（2022·遼寧丹東·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道問(wèn)題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB＝12，AC＝8，求MN的長(zhǎng)．(1)根據(jù)題意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)MN的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開(kāi)始深入探究．設(shè)AB＝a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），小明提出了如下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN＝______________；②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即，，求MN的長(zhǎng)；③若M，N分別是AC，BC的n等分點(diǎn)，即，，則MN＝___________；17．（2023秋·山東棗莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)C在線段上，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且．(1)若，求線段的長(zhǎng)；(2)若，則___（直接寫(xiě)出結(jié)果）；(3)若已點(diǎn)知C在線段的延長(zhǎng)線上，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，，求的長(zhǎng)．18．（2023春·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，延長(zhǎng)線段到C，使，D是線段的中點(diǎn)，如果．(1)求的長(zhǎng)度；(2)若E是線段的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．

19．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且．

(1)如圖1，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)嗎？并說(shuō)明理由；(2)如圖2，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)．20．（2022秋·廣東梅州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知線段為常數(shù)，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)不與、重合，點(diǎn)、分別在線段、上，且滿足，．

(1)如圖當(dāng)點(diǎn)恰好為線段中點(diǎn)時(shí)，__________用含的代數(shù)式表示．(2)若點(diǎn)為直線上任一點(diǎn)，則長(zhǎng)度是不是常數(shù)，若是，請(qǐng)求出這個(gè)常數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，同時(shí)點(diǎn)在線段上不與端點(diǎn)重合，請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．21．（2023秋·福建泉州·七年級(jí)校考期末）【概念與發(fā)現(xiàn)】當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的“點(diǎn)值”，記作．例如，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，即，則；反之，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：“”與“”具有相同的含義．(1)【理解與應(yīng)用】如圖，點(diǎn)C在線段AB上．若，，則________；若，則________．(2)【拓展與延伸】已知線段，點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，先向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立即按原速向點(diǎn)B方向返回．當(dāng)P，Q其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）．①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是個(gè)定值，求m的值；②t為何值時(shí)，．

專題03線段的雙中點(diǎn)模型對(duì)于剛接觸幾何的七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，關(guān)于線段的計(jì)算是有很大難度的，這就要求學(xué)生面對(duì)這類題時(shí)具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般來(lái)講，這類題通常由問(wèn)題出發(fā)，先由線段和差確定解題方向，然后輔以線段中點(diǎn)來(lái)解決。但是，對(duì)于有公共部分的線段雙中點(diǎn)模型，可以寫(xiě)出的線段和差種類較多，這就增加了思考的難度。如果掌握了這個(gè)模型的結(jié)論，那就可以快速選取正確的線段和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案?？傊?，基本模型的掌握既可以快速得出小題的答案，又可以為大題的解決確立方向。模型1.

線段的雙中點(diǎn)模型圖1圖21）雙中點(diǎn)模型（兩線段無(wú)公共部分）條件：如圖1，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.2）雙中點(diǎn)模型（兩線段有公共部分）條件：如圖2，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.例1．（2023·廣東七年級(jí)期中）如圖，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，分別求得，，，再根據(jù)線段的和與差，計(jì)算即可判斷．【詳解】解：∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且，，∴，，，∴，故選項(xiàng)A不符合題意；，故選項(xiàng)B符合題意；，故選項(xiàng)C不符合題意；，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離以及中點(diǎn)的定義，利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系，在不同情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解決問(wèn)題．例2．（2023春·上海長(zhǎng)寧·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則．

【答案】2【分析】據(jù)點(diǎn)分別是的中點(diǎn)可得，從而得到，即可得到答案．【詳解】解：點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，，，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的中點(diǎn)，線段間的數(shù)量關(guān)系，掌握線段的和差運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．例3．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)、是線段上兩點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則線段．【答案】20【分析】根據(jù)線段的中點(diǎn)的定義和線段的和差即可得到結(jié)論；【詳解】解：∵，∴設(shè)，∴，∵D是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，解得，∴，【點(diǎn)睛】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離，解答此題時(shí)利用中點(diǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例4．（2022秋·浙江湖州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知線段，延長(zhǎng)線段至點(diǎn)，使得．點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．(1)若，求線段的長(zhǎng)；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)，求出，得出，根據(jù)中點(diǎn)定義求出，即可得出答案即可；（2）先用a表示出，得出，根據(jù)中點(diǎn)定義即可得出，得出，即可得出，求出a的值即可．【詳解】（1）解：，，，為的中點(diǎn)，，．（2）解：，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)的計(jì)算，解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系．例5．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)、、在同一直線上，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法：，其中正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義和線段的和差分別計(jì)算即可.【詳解】①∵H是的中點(diǎn)，∵分別是的中點(diǎn)，.

∴①正確.②由①知∴②錯(cuò)誤.③∴③正確.④

∴④正確.綜上，①③④正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的和差.根據(jù)線段的和差進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.例6．（2022秋·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，依此類推……，線段的長(zhǎng)為．【答案】【分析】先分別求出、、的值，根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：因?yàn)榫€段，是的中點(diǎn)，所以；因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以；因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以；，所以，所以，答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、求兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)字類規(guī)律探究，能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．例7．（2022秋·山東青島·七年級(jí)?？计谀┲本€l上有三點(diǎn)A、B、C，其中，，M、N分別是、的中點(diǎn)則的長(zhǎng)是．【答案】或【分析】本題沒(méi)有給出圖形，在畫(huà)圖時(shí)，應(yīng)考慮到A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系的多種可能，再根據(jù)正確畫(huà)出的圖形解題．【詳解】解：第一種情況：B在線段上，如圖，則；第二種情況：B在身線上，在線段外，如圖，則．答：線段MN的長(zhǎng)是或．故答案為：1或7【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差，由于B的位置有兩種情況，所以本題的值就有兩種情況，做這類題時(shí)學(xué)生一定要思維細(xì)密．例8．（2023·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的長(zhǎng)；(3)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，，，，，又，，．（2）解：∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，，，，，，，．（3）解：∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，，，，，又，，．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的定義和求兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法是解題的關(guān)鍵．例9．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)校考期末）如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)若，，求的長(zhǎng)度；(2)若，，則的長(zhǎng)度為_(kāi)________．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用線段中點(diǎn)的含義先求解，，再利用線段中點(diǎn)的含義可得答案；（2）利用線段中點(diǎn)的含義先求解，，再用線段中點(diǎn)的含義可得答案．【詳解】（1）解：∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，∴，，∴．（2）∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的和差，線段的中點(diǎn)的含義，理解線段的和差關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．例10．（2022春·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，我們稱為點(diǎn)在線段上的點(diǎn)值，記作．如點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，則，記作；反過(guò)來(lái)，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，若，則________；若，則_________；(2)如圖2，已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，運(yùn)動(dòng)速度均為，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，請(qǐng)用含有的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運(yùn)用：(3)已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度分別為和，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即以原速返回，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．則當(dāng)為何值時(shí)，等式成立．【答案】(1)，(2)，，(3)存在和使等式成立【分析】（1）根據(jù)定義直接得出結(jié)果即可求解；（2）根據(jù)題意，得出，，相加即可求解；（3）分在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)之前，在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)返回之后，兩種情況分類討論即可求解．【詳解】（1）根據(jù)定義可得：∵，則；∵，∴,則；故答案為：．，；（2）∵∴∵∴∴∴（3）①在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)之前∵∴∵∴∴∵∴∴②在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)返回之后∵∴∵∴∴∵∴∴∴存在和使等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，線段的和差，理解新定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·廣東廣州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知線段，C為線段上一點(diǎn)，且，M，N分別是，的中點(diǎn)，則等于（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由圖形可知，，即可求得【詳解】∵，M是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵N是的中點(diǎn)，∴，∴，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，熟練掌握線段的中點(diǎn)平分線段是解決問(wèn)題的關(guān)鍵2．（2023秋·重慶銅梁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B在線段上，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)度是（

）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵，點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差計(jì)算．熟練掌握線段的中點(diǎn)平分線段，是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東德州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是直線上的順次四點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)等于（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，求出，中點(diǎn)定義，推出，再利用，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵分別是的中點(diǎn)，∴，∴，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)線段之間的和差，倍數(shù)關(guān)系．4．（2023春·甘肅武威·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段，點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，，若M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度是（

）A．7cm B．3cm C．7cm或5cm D．5cm【答案】C【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再利用線段的中點(diǎn)定義求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫(huà)圖如下：

，，若M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，．

，，若M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，根據(jù)題意畫(huà)出正確的圖形是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)?？计谀c(diǎn)是線段上的三等分點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．【答案】或/或【分析】根據(jù)點(diǎn)是線段上的三等分點(diǎn)，分兩種情況畫(huà)圖進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，是線段的中點(diǎn)，，，點(diǎn)是線段上的三等分點(diǎn)，，，如圖，點(diǎn)是線段上的三等分點(diǎn)，，是線段的中點(diǎn)，，，；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，以及三等分點(diǎn)、中點(diǎn)的定義，解決本題的關(guān)鍵是分兩種情況畫(huà)圖計(jì)算．6．（2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)期末）已知線段，點(diǎn)D是線段所在直線上一點(diǎn)，且線段，點(diǎn)M和N分別是線段和中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為．【答案】6【分析】分類討論：點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，根據(jù)線段的中點(diǎn)的性質(zhì)，可得、的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差，可得答案．【詳解】解：當(dāng)D在線段上時(shí)，

∵，，，∴，∵點(diǎn)M和N分別是線段和中點(diǎn)，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵，，，∴，∵點(diǎn)M和N分別是線段和中點(diǎn)，∴，∴；綜上：線段的長(zhǎng)度為6．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，分類討論是解題關(guān)鍵，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差，可得出答案．7．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．（用含的式子表示）

【答案】【分析】借助，即可求解．【詳解】解：由題意得：，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差倍分．找到線段之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．8．（2022秋·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段，C是線段上一點(diǎn)，，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，則線段cm．

【答案】【分析】先求解，根據(jù)線段中點(diǎn)的意義求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵，，∴，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，，∴，∴．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查線段中點(diǎn)的運(yùn)用，線段的和差的應(yīng)用，熟練的利用線段的和差進(jìn)行計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．9．（2023春·上海寶山·六年級(jí)統(tǒng)考期末）延長(zhǎng)線段到，如果的長(zhǎng)度為10厘米，的長(zhǎng)度為2厘米，點(diǎn)和點(diǎn)分別是線段和線段的中點(diǎn)，那么線段的長(zhǎng)度為厘米．【答案】【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的概念及線段的和差關(guān)系，分析線段間的數(shù)量關(guān)系，從而計(jì)算求解．【詳解】解：如圖，

∵點(diǎn)和點(diǎn)分別是線段和線段的中點(diǎn)，∴，，∴，∵的長(zhǎng)度為10厘米，∴（厘米），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，理解線段中點(diǎn)的定義，準(zhǔn)確作圖是解題關(guān)鍵．10．（2023秋·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)在直線上，，，、分別是、中點(diǎn)，則線段長(zhǎng)為．【答案】2或6/6或2【分析】分點(diǎn)在中間和點(diǎn)在點(diǎn)和點(diǎn)同側(cè)兩種情況，分別求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)和點(diǎn)同側(cè)時(shí)，如圖：

此時(shí)．當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)和點(diǎn)之間時(shí)，如圖：

此時(shí)．線段的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是分兩種情況進(jìn)行討論分別求解．11．（2023秋·河北唐山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，是線段上的兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）若，，則；（2）若，，則．【答案】9【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)定義和已知求得，進(jìn)而可求解；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)定義和已知求得．【詳解】解：（1）∵，，∴，∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴；（2）∵，，∴，∵是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴，，∴．故答案為：（1）9；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，能從圖形中找到線段間的數(shù)量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．12．（2023秋·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條直線上，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，則的值是．【答案】【分析】設(shè)，，，分兩種情況，當(dāng)和時(shí)，分別求解即可．【詳解】解：設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，如下圖：則，，，，，則當(dāng)時(shí)，如下圖：則，，，，，則故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確畫(huà)出圖形，利用分類討論的思想求解問(wèn)題．13．（2022秋·福建泉州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，C，D是線段AB上兩點(diǎn)，M，N分別是線段，的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③；④．其中正確的結(jié)論是（填序號(hào)）．【答案】①②③【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義與線段之間的和差關(guān)系進(jìn)行分析，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：①∵M(jìn)，N分別是線段，的中點(diǎn)，∴，∵，∴，即，∴，∴，故①正確，符合題意；②∵，∴，∵M(jìn)是線段的中點(diǎn)，∴，∵，∴，故②正確，符合題意；③∵M(jìn)，N分別是線段，的中點(diǎn)，∴，∴，整理得：，即，故③正確，符合題意；④∵，∴，∴，∴，故④不正確，不符合題意；故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握中點(diǎn)的定義，根據(jù)圖形，分析線段之間的和差關(guān)系．14．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)沈陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┤鐖D，線段，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)…以此類推，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．(1)線段的長(zhǎng)為；(2)線段的長(zhǎng)為；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義和題意得到，的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得的長(zhǎng)；（2）根據(jù)、、的長(zhǎng)，得到線段長(zhǎng)度的變化規(guī)律，進(jìn)而可求解；（3）根據(jù)前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求解即可．【詳解】（1）解：由題意，，，則，故答案為：；（2）解：由，，，…，以次類推，則，故答案為：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查圖形類和數(shù)字類規(guī)律探究、兩點(diǎn)間的距離、線段中點(diǎn)，理解題意，發(fā)現(xiàn)線段長(zhǎng)度的變化規(guī)律并靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．15．（2023秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，其中，是線段的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)．(1)若為線段的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度；(2)若為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出，結(jié)合圖形，即可求解；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)以及三等分點(diǎn)的性質(zhì)，分類討論，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：∵是線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，∴，∵，∴；（2）∵，∴，，∵是線段的中點(diǎn)，∴，∵為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴或，∴或；∴的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差計(jì)算，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．16．（2022·遼寧丹東·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道問(wèn)題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．若AB＝12，AC＝8，求MN的長(zhǎng)．(1)根據(jù)題意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)MN的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開(kāi)始深入探究．設(shè)AB＝a，C是線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），小明提出了如下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助小明解答．①如圖1，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則MN＝______________；②如圖2，M，N分別是AC，BC的三等分點(diǎn)，即，，求MN的長(zhǎng)；③若M，N分別是AC，BC的n等分點(diǎn)，即，，則MN＝___________；【答案】(1)6(2)①；②；③【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根據(jù)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6；（2）①由M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a；②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a；③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a．【詳解】（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4，∵M(jìn)，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴CM=AC=4，CN=BC=2，∴MN=CM+CN=6；故答案為：6；（2）解：①∵M(jìn)，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a；故答案為：a；②∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a；③∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a，故答案為：a．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義及線段和差運(yùn)算．17．（2023秋·山東棗莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)C在線段上，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且．(1)若，求線段的長(zhǎng)；(2)若，則___（直接寫(xiě)出結(jié)果）；(3)若已點(diǎn)知C在線段的延長(zhǎng)線上，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)11(2)(3)【分析】（1）根據(jù)M是的中點(diǎn)，可知根據(jù)，可知，根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法求解即可；（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)即可求解【詳解】（1）解：M是的中點(diǎn)，，，，；（2）解：M是的中點(diǎn)，，，，；（3）如圖，M是的中點(diǎn)，，，，.【點(diǎn)睛】本題考查了線段和差的計(jì)算，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，等分點(diǎn)的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，延長(zhǎng)線段到C，使，D是線段的中點(diǎn)，如果．

(1)求的長(zhǎng)度；(2)若E是線段的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)的長(zhǎng)度為；(2)的長(zhǎng)度是．【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，如果，求出的長(zhǎng)，再根據(jù)求出的長(zhǎng)，由即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)線段的中點(diǎn)可得的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的差可得結(jié)論．【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，，所以，因?yàn)?，所以，所以，即的長(zhǎng)度為；（2）解：因?yàn)镋是中點(diǎn)，所以，所以，即的長(zhǎng)度是．【點(diǎn)睛】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離，以及線段的中點(diǎn)，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．19．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且．

(1)如圖1，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)嗎？并說(shuō)明理由；(2)如圖2，點(diǎn)是