專題13等腰三角形中的分類討論模型(原卷版+解析)

專題13等腰三角形中的分類討論模型模型1、等腰三角形中的分類討論模型【知識儲備】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可。1）無圖需分類討論①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；②已知角度數(shù)無法確定是頂角還是底角時要分類討論；③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論。2）“兩定一動”等腰三角形存在性問題：即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當(dāng)時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）②當(dāng)時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）③當(dāng)時，作的中垂線，點在該中垂線上（除外）例1．（2023春·山東棗莊·八年級校考期中）已知x，y滿足，則以，的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對例2．（2023·四川達(dá)州·八年級?？计谀┑妊切蔚闹荛L為，其中一邊長為，則其腰長為（

）A． B．或 C． D．以上都不對例3．（2023春·四川達(dá)州·八年級?？茧A段練習(xí)）等腰三角形的一個角是，則它頂角的度數(shù)是（）A． B．或 C．或 D．例4．（2023·四川廣元·八年級校聯(lián)考期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個等腰三角形的頂角等于（）A． B．或 C．或 D．例5．（2023春·安徽宿州·八年級?？计谥校┤鐖D，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，點A，B均在格點上．要在格點上確定一點C，連接和，使是以為頂角的等腰三角形，則網(wǎng)格中滿足條件的點C的個數(shù)是（

）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個例6．（2023·北京·八年級期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為____．例7．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級?？计谥校囊粋€等腰三角形的頂角引出的一條射線把這個等腰三角形分成兩個等腰三角形，則這個等腰三角形的頂角為．例8．（2023·甘肅蘭州·八年級?？计谥校┤鐖D，建立平面直角坐標(biāo)系，點坐標(biāo)為，若是以為腰的等腰三角形，且點在軸上，則滿足條件的的坐標(biāo)是．例9．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點從點出發(fā)，沿射線以每秒4個單位長度的速度運動．設(shè)點的運動時間為秒．

(1)的長為__________；（用含的代數(shù)式表示）(2)若點在的角平分線上，求的值；(3)在整個運動中，求出是等腰三角形時的值．例10．（2023春·四川成都·八年級校考期中）如圖1，直線：與直線交于軸上一點，點在軸正半軸上，．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與射線交于點，若面積是，求點的坐標(biāo)；(3)點是直線上的一個動點，在坐標(biāo)軸上找一點，連接，，，當(dāng)是以為底邊的等腰直角三角形時，直接寫出點的坐標(biāo)．課后專項訓(xùn)練1．（2023秋·湖南長沙·八年級?？奸_學(xué)考試）等腰三角形的一邊為4，一邊為3，則此三角形的周長是（）A．10 B．11 C．6或8 D．10或112．（2023春·陜西西安·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在4×4方格中，以AB為一邊，第三個頂點也在格點上的等腰三角形可以作出()

A．7個 B．6個 C．4個 D．3個3．（2022·北京九年級階段練習(xí)）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線BC上取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點P有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點A（2，﹣2），在y軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2022秋·福建福州·八年級校考期中）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是，則底角度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或6．（2023秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）等腰三角形中一個角為，則它的底角為（

）A．或 B．或 C．或 D．7．（2023春·山西太原·八年級?？计谀┤鐖D，在折線段中，可繞點旋轉(zhuǎn)，，，線段上有一動點，將線段分成兩部分，旋轉(zhuǎn)，，當(dāng)三條線段，，首尾順次相連構(gòu)成等腰三角形時，的長為（

）

A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或48．（2022秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個外角是140°，則它的頂角的度數(shù)為．9．（2023春·四川達(dá)州·八年級?？茧A段練習(xí)）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰所在直線的夾角是，則底角的度數(shù)是．19．（2023·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）平面直角坐標(biāo)系中有點A（2，0），B（0，4），以A，B為頂點在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，則點C的坐標(biāo)為．11．（2022·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，在直線或直線上取點，使得為等腰三角形，符合條件的點有_______個．12.（2022·湖南·長沙八年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，在坐標(biāo)軸上取點，使得為等腰三角形，符合條件的點有__________個.13．（2022·河南·鄭州八年級階段練習(xí)）如圖，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一個動點，將△ABE沿著AE折疊到△ADE處，再將邊AC折疊到與AD重合，折痕為AF，當(dāng)△DEF是等腰三角形時，BE的長是___________．14．（2023春·上海嘉定·八年級?？奸_學(xué)考試）在中，，垂直平分分別交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是．15．（2023秋·河南鄭州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示的三角形紙片中，，，，將沿某一條直線剪開（該直線需經(jīng)過點A），使其變成兩個三角形，且要求其中的一個三角形是等腰三角形，則剪出的等腰三角形的面積是．16．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，中，，，，動點從點出發(fā)沿射線以的速度運動，設(shè)運動時間為，當(dāng)為等腰三角形時，的值為．17．（2023春·安徽亳州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，分別是和的高．若，

（1）的長為()；（2）在的腰上取一點M，當(dāng)是等腰三角形時，長為()18．（2022秋·上海靜安·八年級上海市市北初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知在中，．過三角形頂點的一條直線將分割為兩個等腰三角形．求的度數(shù)．

19．（2022春·陜西銅川·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點為上任意一點，若是以為腰的等腰三角形，求的度數(shù)．

20．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，中，，垂足為，，，．(1)求證：；(2)點為上一點，連接，若為等腰三角形，求的長．21．（2023秋·河南商丘·八年級?？计谥校┤鐖D，中，cm，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為，點N的速度為．當(dāng)點N第一次到達(dá)B點時，M、N同時停止運動．

(1)點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？(2)點M、N運動幾秒后，可得到等邊三角形？(3)當(dāng)點M、N在邊上運動時，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時M、N運動的時間．(4)點M、N運動______________________后，可得到直角三角形．

專題13等腰三角形中的分類討論模型模型1、等腰三角形中的分類討論模型【知識儲備】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長、面積等問題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可。1）無圖需分類討論①已知邊長度無法確定是底邊還是腰時要分類討論；②已知角度數(shù)無法確定是頂角還是底角時要分類討論；③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長分成兩部分需分類討論。2）“兩定一動”等腰三角形存在性問題：即：如圖：已知，兩點是定點，找一點構(gòu)成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當(dāng)時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）②當(dāng)時，以點為圓心，長為半徑作⊙，點在⊙上（，除外）③當(dāng)時，作的中垂線，點在該中垂線上（除外）例1．（2023春·山東棗莊·八年級?？计谥校┮阎獂，y滿足，則以，的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不對【答案】B【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出，的值，利用分類討論的思想思考問題即可．【詳解】解：，又，，，，當(dāng)?shù)妊切蔚倪呴L為4，4，8時，不符合三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?，8，4時，周長為20，故選：B．【點睛】本題考查等腰三角形的概念、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．例2．（2023·四川達(dá)州·八年級?？计谀┑妊切蔚闹荛L為，其中一邊長為，則其腰長為（

）A． B．或 C． D．以上都不對【答案】C【分析】分為腰和底兩種情況求解,注意三角形的存在性：通過兩個短邊和大于最長邊可判斷三角形存在，反之則無法構(gòu)成三角形．【詳解】解：因為等腰三角形的周長為，其中一邊長為，當(dāng)為腰長時，其余兩邊的長分別為，,三角形不存在；當(dāng)為底邊長時，其余兩邊的長都為，三角形存在；故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·四川達(dá)州·八年級?？茧A段練習(xí)）等腰三角形的一個角是，則它頂角的度數(shù)是（）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，進(jìn)行分類討論即可【詳解】解：①當(dāng)?shù)捉菫闀r，頂角，②當(dāng)頂角為時，頂角度數(shù)，綜上：頂角度數(shù)為或；故選：B．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和為，等腰三角形兩底角相等，解題的關(guān)鍵是書熟練掌握相關(guān)內(nèi)容．例4．（2023·四川廣元·八年級校聯(lián)考期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個等腰三角形的頂角等于（）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】分三角形是銳角三角形時，利用直角三角形兩銳角互余求解；三角形是鈍角三角形時，利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解．【詳解】如圖1，三角形是銳角三角時，，頂角；如圖，三角形是鈍角時，，頂角，綜上所述，頂角等于或．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角互余，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．例5．（2023春·安徽宿州·八年級?？计谥校┤鐖D，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，點A，B均在格點上．要在格點上確定一點C，連接和，使是以為頂角的等腰三角形，則網(wǎng)格中滿足條件的點C的個數(shù)是（

）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【分析】利用格點分別作出等腰三角形，即可得到答案.【詳解】如圖所示．網(wǎng)格中滿足條件的點C有，共4個,故選B．【點睛】此題考查的是等腰三角形的判定，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.例6．（2023·北京·八年級期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為____．【答案】或或．【分析】根據(jù)題意分類討論，①，②，③，分別作出圖形，再結(jié)合已知條件勾股定理求解即可．【詳解】解：①如圖，當(dāng)時，是等腰直角三角形，,，；②如圖，當(dāng)時，過點作，交的延長線于點，，，是等腰直角三角形，，，又，是等腰直角三角形，，在中，，，在中，，在中，；③如圖，當(dāng)時，，是等腰直角三角形，，在中，，在中，．綜上所述，的長為：或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．例7．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級?？计谥校囊粋€等腰三角形的頂角引出的一條射線把這個等腰三角形分成兩個等腰三角形，則這個等腰三角形的頂角為．【答案】或【分析】畫出圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理求解即可.【詳解】解：分兩種情況討論：①如圖，，

∴，∴；②如圖，，∴，∵，，∴，∴；綜述：等腰三角形的頂角的度數(shù)為或.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，恰當(dāng)分類并畫出圖形是解題的關(guān)鍵.例8．（2023·甘肅蘭州·八年級?？计谥校┤鐖D，建立平面直角坐標(biāo)系，點坐標(biāo)為，若是以為腰的等腰三角形，且點在軸上，則滿足條件的的坐標(biāo)是．【答案】或或【分析】分，，，三種情況，利用等腰三角形的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴，如圖，當(dāng)時，的坐標(biāo)為；當(dāng)時，的坐標(biāo)為；當(dāng)時，過點A作軸，垂足為C，∴，∴的坐標(biāo)為；綜上：點B的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，難度適中，關(guān)鍵是注意分情況討論．例9．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點從點出發(fā)，沿射線以每秒4個單位長度的速度運動．設(shè)點的運動時間為秒．

(1)的長為__________；（用含的代數(shù)式表示）(2)若點在的角平分線上，求的值；(3)在整個運動中，求出是等腰三角形時的值．【答案】(1)(2)t的值為(3)t的值為或或4【分析】（1）根據(jù)題意列代數(shù)式可求得答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可；（3）分作為底和腰兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵已知點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度運動，∴點P運動的長度為：；故答案為：；（2）解：過點P作于點M，如圖所示：

在中，，，，由勾股定理得：，點P在的角平分線上，，，，又，，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，，即若點P在的角平分線上，則t的值為；（3）解：當(dāng)作為底邊時，如圖所示：

則，設(shè)，則，在中，，，解得：此時；當(dāng)作為腰時，如圖所示：，此時；時，，，此時，綜上分析可知，t的值為或或4．【點睛】本題主要考查了勾股定理在動點問題中的應(yīng)用，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合、分類討論并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．例10．（2023春·四川成都·八年級校考期中）如圖1，直線：與直線交于軸上一點，點在軸正半軸上，．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與射線交于點，若面積是，求點的坐標(biāo)；(3)點是直線上的一個動點，在坐標(biāo)軸上找一點，連接，，，當(dāng)是以為底邊的等腰直角三角形時，直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)直線的函數(shù)表達(dá)式為(2)(3)點的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）由待定系數(shù)法可求出答案；（2）據(jù)三角形的面積可求出點的縱坐標(biāo)，代入直線的解析式可得出答案；（3）分四種情況畫出圖形，由等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)可求出答案．【詳解】（1）解：直線：分別與軸，軸交于兩點，在中，當(dāng)時，，點坐標(biāo)為，點在軸正半軸上，，，設(shè)直線的解析式為，，，直線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：直線：分別與軸，軸交于兩點，在中，當(dāng)時，，解得，，，，，，，由題意知，點在軸下方，，，，把代入，，解得，；（3）解：若點在軸的正半軸，如圖，

，

，是以為底邊的等腰直角三角形，，，直線的解析式為，時，，，，，；若點在軸的負(fù)半軸，如圖，同理可得，，；若點在軸的負(fù)半軸，如圖，，

，過點作軸于點，是等腰直角三角形，，，，，，，，設(shè)，則，，解得，，，；若點在軸的正半軸，如圖，過點作軸于點，同理可得，，，，，，綜上所述，點的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，面積的計算等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)．課后專項訓(xùn)練1．（2023秋·湖南長沙·八年級校考開學(xué)考試）等腰三角形的一邊為4，一邊為3，則此三角形的周長是（）A．10 B．11 C．6或8 D．10或11【答案】D【分析】分邊4是底邊和腰長兩種情況討論，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷是否能組成三角形，然后求解即可．【詳解】解：若4是底邊，則三角形的三邊分別為4、3、3，能組成三角形，周長，若4是腰，則三角形的三邊分別為4、4、3，能組成三角形，周長，綜上所述，此三角形的周長是10或11．故選：D．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，難點在于分情況討論并判斷是否能組成三角形．2．（2023春·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在4×4方格中，以AB為一邊，第三個頂點也在格點上的等腰三角形可以作出()

A．7個 B．6個 C．4個 D．3個【答案】A【分析】分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，圓弧經(jīng)過的格點即為第三個頂點的位置，作AB的垂直平分線，如果經(jīng)過格點，則這樣的點也滿足條件，由上述作法即可求得答案.【詳解】如圖所示，分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即為第三個頂點的位置；作線段AB的垂直平分線，垂直平分線未經(jīng)過格點，故以AB為一邊，第三個頂點也在格點上的等腰三角形可以作出7個，故選A．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出符合條件的等腰三角形．3．（2022·北京九年級階段練習(xí)）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直線BC上取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點P有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理，結(jié)合圖形即可得到結(jié)論．【詳解】解：以點A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，交直線BC于兩個點，然后作AB的垂直平分線交直線BC于點，如圖所示：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴，∵，∴是等邊三角形，∴點重合，∴符合條件的點P有2個；故選B．【點睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點A（2，﹣2），在y軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】如果OA為等腰三角形的腰，有兩種可能，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個交點，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個交點；如果OA為等腰三角形的底，只有一種可能，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個交點；符合條件的點一共4個．【詳解】解：分二種情況進(jìn)行討論：當(dāng)OA為等腰三角形的腰時，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個交點，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個交點；當(dāng)OA為等腰三角形的底時，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個交點．∴符合條件的點一共4個．故選D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；針對線段OA在等腰三角形中的地位，分類討論用畫圓弧的方式，找與y軸的交點，比較形象易懂．5．（2022秋·福建福州·八年級?？计谥校┑妊切我谎系母吲c另一腰的夾角是，則底角度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由于此高不能確定是在三角形的內(nèi)部，還是在三角形的外部，所以要分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況求解．【詳解】解：分兩種情況：①高在三角形的內(nèi)部時，如圖：

，，，∴，∴；②高在三角形的外部時，如圖：

，，，∴，∴．故底角度數(shù)為或，故選D．【點睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．（2023秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）等腰三角形中一個角為，則它的底角為（

）A．或 B．或 C．或 D．【答案】C【分析】據(jù)題意，分已知角是底角與不是底角兩種情況討論，結(jié)合三角形內(nèi)角和等于，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，一個等腰三角形的一個角等于，①當(dāng)這個角是底角時，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是，②當(dāng)這個角是頂角時，設(shè)該等腰三角形的底角是，則，解可得，，即該等腰三角形的底角的度數(shù)是；故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和定理；通過三角形內(nèi)角和，列出方程求解是正確解答本題的關(guān)鍵；注意分類討論思想的應(yīng)用．7．（2023春·山西太原·八年級?？计谀┤鐖D，在折線段中，可繞點旋轉(zhuǎn)，，，線段上有一動點，將線段分成兩部分，旋轉(zhuǎn)，，當(dāng)三條線段，，首尾順次相連構(gòu)成等腰三角形時，的長為（

）

A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4【答案】A【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系可求解．【詳解】解：當(dāng)時，，，當(dāng)時，則，，三條線段，，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)時，則，，三條線段，，不能構(gòu)成三角形，故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）等腰三角形的一個外角是140°，則它的頂角的度數(shù)為．【答案】40°或100°【分析】由該等腰三角形的外角是140°，可求出相鄰的內(nèi)角為40°．分情況討論，①當(dāng)40°角為頂角時，40°即為所求；②當(dāng)40°角為底角時，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出頂角大?。驹斀狻拷猓焊鶕?jù)題意可知該等腰三角形的一個內(nèi)角為：，①當(dāng)40°角為頂角時，即該等腰三角形頂角度數(shù)為40°；②當(dāng)40°角為底角時，該等腰三角形頂角度數(shù)。故答案為：40°或100°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理．注意分類討論是解答本題的關(guān)鍵．9．（2023春·四川達(dá)州·八年級校考階段練習(xí)）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰所在直線的夾角是，則底角的度數(shù)是．【答案】或【分析】根據(jù)題意分等腰三角形的頂角是鈍角或銳角兩種情況，分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：①當(dāng)為銳角三角形時，如圖1，∵，，∴，∴∴三角形的底角為；②當(dāng)為鈍角三角形時，如圖2，∵，，∴，∵，∴∴∴三角形的頂角為，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時，考慮問題要全面，必要的時候可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中．19．（2023·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）平面直角坐標(biāo)系中有點A（2，0），B（0，4），以A，B為頂點在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，則點C的坐標(biāo)為．【答案】(4，6)、(6，2)或(3，3)【分析】根據(jù)等腰直角三角形中直角頂點的不同情況進(jìn)行分類討論，并結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：①如圖所示，點C在第一象限，AB⊥BC，AB=BC時，作CP⊥y軸于P點，則∠CPB=∠BOA=90°，∵∠ABC=90°，∴∠PBC+∠OBA=90°，∵∠PBC+∠PCB=90°，∴∠OBA=∠PCB，在△OBA和△PCB中，∴OB=PC，OA=PB，由題意，OB=4，OA=2，∴PC=4，PB=2，∴OP=2+4=6，∴此時，C點坐標(biāo)為(4，6)；②如圖所示，點C在第一象限，AB⊥AC，AB=AC時，作CQ⊥x軸于Q點，則∠AQC=∠BOA=90°，同①理，可證得△BOA≌△AQC，∴OB=AQ=4，CQ=OA=2，∴OQ=2+4=6，∴此時，C點坐標(biāo)為(6，2)；③如圖所示，點C在第一象限，BC⊥AC，BC=AC時，作BM⊥CN，交CN延長線于M點，則∠BMC=∠CNA=90°，同①理，可證得△BMC≌△CNA，∴AN=MC，CN=BM，則，即：，解得：，∴ON=2+1=3，∴此時，C點坐標(biāo)為(3，3)；綜上，點C的坐標(biāo)為(4，6)、(6，2)或(3，3)；故答案為：(4，6)、(6，2)或(3，3)．【點睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中等腰直角三角形的確定，掌握等腰直角三角形的基本性質(zhì)，熟練運用全等三角形的判定與性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．11．（2022·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，在直線或直線上取點，使得為等腰三角形，符合條件的點有_______個．【答案】8【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡稱：在同一三角形中，等邊對等角）”分三種情況解答即可．【詳解】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線AC有二點M1，M2，交BC有一點M3，（此時AB=AM）；②以B為圓心，BA為半徑畫圓，交直線BC有二點M5，M4，交AC有一點M6（此時BM=BA）．③AB的垂直平分線交AC一點M7（MA=MB），交直線BC于點M8；∴符合條件的點有8個．故答案為：8．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；構(gòu)造等腰三角形時本著截取相同的線段就能作出等腰三角形來，思考要全面，做到不重不漏．12.（2022·湖南·長沙八年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，在坐標(biāo)軸上取點，使得為等腰三角形，符合條件的點有__________個.【答案】6【分析】分類討論：AB=AM時，AB=BM時，AM=BM時，根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰三角形，可得到符合題意的點的個數(shù).【詳解】①當(dāng)AB=AM時，在y軸上有2個滿足條件的點M,在x軸上有1個滿足條件的點M;②當(dāng)AB=BM時，在y軸上有1個滿足條件的點M,在x軸上有2個滿足條件的點M,有1點與AB=AM時的x軸負(fù)半軸上的點M重合；③當(dāng)AM=BM時，在x軸、y軸上各有1個滿足條件的點M，有一點與AB=AM時的x軸負(fù)半軸上的點M重合．綜上所述，符合條件的點M共有6個．故答案為:6.【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，注意有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故存在重合的情況，此為解題的關(guān)鍵.13．（2022·河南·鄭州八年級階段練習(xí)）如圖，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一個動點，將△ABE沿著AE折疊到△ADE處，再將邊AC折疊到與AD重合，折痕為AF，當(dāng)△DEF是等腰三角形時，BE的長是___________．【答案】或或．【分析】分三種情況討論：DE=DF，DE=EF，EF=DF．利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形解題．【詳解】解：由折疊可知，BE=DE，DF=CF，AD=AB=AC=5，當(dāng)DE=DF時，如圖1，此時DE=DF=BE=CF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∴AD垂直平分EF，∴EH=FH，，∴，∴，設(shè)，則，則在直角△DHE中，，解得，當(dāng)DE=EF時，如圖2，作AH⊥BC于H，連接BD，延長AE交BD于N，可知BE=DE=EF，∵AH⊥BC，AB=AC，BC=8∴BH=CH=4，∴，設(shè)，則，∴，即∵AB=AD，∠BAN=∠DAN，∴AN⊥BD，BN=DN，∴，∴在△AHE和△BNE中，∴△AHE≌△BNE，∴AE=BE，設(shè)，則，在直角△AEH中，，解得，當(dāng)DF=EF時，如圖3，過A作AH⊥BC于H，延長AF交DC于M，同理∴故答案為：或或．【點睛】本題考查折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，注意分類討論是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·上海嘉定·八年級校考開學(xué)考試）在中，，垂直平分分別交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是．【答案】或【分析】首先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，即可得到.然后對中的邊進(jìn)行討論，然后在中，利用三角形內(nèi)角和定理即可求得的度數(shù).【詳解】∵是的中垂線,∴，∴，∵,∴，設(shè),則，

①當(dāng)時,則在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得：,解得:,則；②當(dāng)時,,而,故此時不成立；③當(dāng)時,在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到：，解得:，即的度數(shù)為或，故答案為或．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正確對的邊進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵.15．（2023秋·河南鄭州·八年級校考階段練習(xí)）如圖所示的三角形紙片中，，，，將沿某一條直線剪開（該直線需經(jīng)過點A），使其變成兩個三角形，且要求其中的一個三角形是等腰三角形，則剪出的等腰三角形的面積是．【答案】8或【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時，是等腰直角三角形，根據(jù)三角形面積公式可求得剪出的等腰三角形的面積；②當(dāng)時，是等腰三角形，根據(jù)勾股定理可求得的長，再根據(jù)可求得剪出的等腰三角形的面積．【詳解】解：①如圖1：當(dāng)時，是等腰直角三角形，則；②如圖2：當(dāng)時，是等腰三角形，在中，，，，，在中，由勾股定理得：，即，解得，則，綜上所述，剪出的等腰三角形的面積是8或，故答案為：8或．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及等腰三角形的定義，關(guān)鍵是采用分類討論的思想進(jìn)行計算．16．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，中，，，，動點從點出發(fā)沿射線以的速度運動，設(shè)運動時間為，當(dāng)為等腰三角形時，的值為．【答案】13或24或【分析】當(dāng)為等腰三角形時，分三種情況：①當(dāng)時；②當(dāng)時；③當(dāng)時，分別求出的長度，繼而可求得的值．【詳解】解：，，，．①當(dāng)時，；②當(dāng)時，，；③當(dāng)時，，，，在中，，即，解得．綜上，當(dāng)為等腰三角形時，或24或．故答案為：13或24或．【點睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．17．（2023春·安徽亳州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，分別是和的高．若，

（1）的長為()（2）在的腰上取一點M，當(dāng)是等腰三角形時，長為()【答案】6或【分析】（1）由分別是和的高得到，由得到，，，則，則，即可得到答案；（2）分點在邊上和點在邊上兩種情況分別畫圖進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）∵分別是和的高．∴，∵，∴，，，∴，∴，∴，故答案為：6（2）當(dāng)點在邊上時，如圖，

∵，∴是等腰三角形，∴，，∴，當(dāng)點在邊上時，①若，如圖，

∵在中，，分別是的高．平分，∵于點，∴，即時，為等腰三角形；②如圖3，當(dāng)時，為等腰三角形；

，∴，過點E作，與的延長線相交于點F，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，③如圖4，當(dāng)時，為等腰三角形；過點M作于點Q，與交于點O，

∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，過點M作于點P，∴，，∴，∵，∴，解得，∴，綜上可知，長為，故答案為：或．【點睛】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，分類討論是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋·上海靜安·八年級上海市市北初級中學(xué)校考期中）如圖，已知在中，．過三角形頂點的一條直線將分割為兩個等腰三角形．求的度數(shù)．

【答案】【分析】分三種情況：當(dāng)時，當(dāng)，時，當(dāng)，時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，設(shè)，則，∵，即：，可得：，如圖，當(dāng)時，

此時，，∵，即：，解得：，即：；如圖，當(dāng)，時，此時，，∵，即：，解得：，即：（不符合題意，舍去）；

如圖，當(dāng)，時，

此時，，∵，即：，解得：，即：（不符合題意，舍去）；綜上所述：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．19．（2022春·陜西銅川·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點為上任意一點，若是以為腰的等腰三角形，求的度數(shù)．