數(shù)學(xué)-知識導(dǎo)航合情推理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.1合情推理與演繹推理2.1。1合情推理知識梳理1.從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為_____________.任何推理都包含_____________和_____________兩部分,____________是推理所依據(jù)的命題，它告訴我們已知的知識是什么；___________是根據(jù)___________推得的命題，它告訴我們推出的知識是什么。2.從個別事實中推演出一般的結(jié)論,像這樣的推理通常稱為_____________,簡稱為_____________,其思維過程大致為_____________、_____________、_____________.3。根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為_____________，簡稱為_____________，其思維過程大致為_____________、_____________、_____________.4。根據(jù)已有的事實、正確的結(jié)論、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等，推測某些結(jié)果的推理過程為_____________，_____________、_____________是_____________常用的思維方法。知識導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時,要注意多觀察、多總結(jié)、多回顧、多比較，盡量尋找一些規(guī)律，找出共性，產(chǎn)生聯(lián)想，歸納出有關(guān)的結(jié)論.或類比原來研究過的內(nèi)容來研究與之相似的,更深更廣一些的內(nèi)容,可從類似的方法、類似的結(jié)論、類似的研究手段，并用發(fā)展的觀點來研究問題，如研究立體幾何問題，可類比平面幾何問題來研究,仔細體會歸納法和類比法在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的重要性.學(xué)習(xí)本節(jié)，不但是學(xué)習(xí)課本上的知識，更重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的這種學(xué)習(xí)和研究方法，來研究課本以外的知識，學(xué)會探索，勇于探索,注意知識的前后、縱橫聯(lián)系.疑難突破1。歸納推理剖析：歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理,歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象,歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍。歸納推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實、獲得新結(jié)論，是作出科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段，所得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì),結(jié)論是否真實,還需要經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗?？蓮恼磧蓚€方面舉例理解.2。類比推理剖析：類比推理在日常生活中常用，可以由一種事物的特征、啟發(fā)得到尚未熟悉或尚未被發(fā)現(xiàn)的事物的研究，是從特殊到特殊的推理.類比推理的結(jié)果具有猜測性,不一定可靠，類比推理以舊的知識作基礎(chǔ),推測新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)新問題、探索新知識的功能。如研究球時常與圓類比;研究立體方面的問題常與平面問題類比；研究雙曲線、拋物線常與橢圓相類比，這種思維方式，可以使舊知識得到發(fā)展，將新舊知識聯(lián)系起來,使科學(xué)不斷發(fā)展。典題精講【例1】設(shè)f（n)=n2+n+41,n∈N＊,計算f（1),f（2），f（3),f(4)，…,f(10）的值。同時作出歸納推理，并用n=40驗證猜想的結(jié)論是否正確.思路分析：首先分析題目的條件，并對n=1，2,3，…,10的結(jié)果進行歸維推測，發(fā)現(xiàn)它們之間的共同性質(zhì)，猜想出一個明確的一般性命題.解:f(1)=12+1+41=43，f（2）=22+2+41=47，f（3）=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61，f（5）=52+5+41=71，f（6）=62+6+41=83，f(7）=72+7+41=97,f(8）=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10）=102+10+41=151.由此猜想,n為任何正整數(shù)時f（n）=n2+n+41都是質(zhì)數(shù).當(dāng)n=40時，f(40)=402+40+41=41×41,∴f(40）為合數(shù),∴猜想的結(jié)論不正確。綠色通道:歸納推理是從個別到一般，從實驗事實到理論的一種尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的手段，通過歸納得到猜想結(jié)論。一般來說，歸納推理發(fā)現(xiàn)真理的過程為：從具體問題→實驗觀察→經(jīng)驗歸納（歸納推理)→形成一般命題→結(jié)論的猜想→證明.變式訓(xùn)練：,寫出1、2、3、4的值,歸納并猜想出結(jié)果.解：取n=1，2，3，4分別得，觀察4個結(jié)果都是分?jǐn)?shù),且分子恰好等于和式的項數(shù),分母都比分子大1，猜想：原式=。推算：由，∴原式=.【例2】兩個同心圓中，任作大圓的弦XY交小圓于P、Q，大圓半徑為R，小圓半徑為r,求證:PX×PY為定值。思路分析:本題PX×PY為定值,定值是多少？我們可先由特殊到一般，我們可先取特殊位置，如XY為大圓的直徑等.解：當(dāng)XY為大圓的直徑時，PX×PY=(R+r）·(R=r)=R2—r2.當(dāng)XY為小圓的切線時，P、Q重合，PX×PY=OX2-OP2=R2-r2。猜想：過點P作一直徑MN，由相交弦定理，得PX·PY=PM·PN=（R+r）（R—r)=R2-r2(為定值).綠色通道:類比是對知識進行理線串連的好方法,在平時學(xué)習(xí)中，常以一兩個對象為中心,把與它有類比關(guān)系的對象歸納整理成一張圖表，便于記憶和運用,思維過程一般為:從具體問題→類比推理→聯(lián)想→形成一般命題→結(jié)論的猜想→證明預(yù)見.變式訓(xùn)練:類比實數(shù)的加法和向量的加法，列出它們相似的運算性質(zhì).解：(1)兩實數(shù)相加后,結(jié)果是一個實數(shù);兩向量相加后，結(jié)果仍是一個向量。(2）從運算律的角度考慮，它們都滿足交換律和結(jié)合律,即a+b=b+a,（a+b）+c=a+(b+c）.(3)從逆運算的角度考慮，二者都有逆運算，即a+x=b，則x=b—a.（4）在實數(shù)加法中,任意實數(shù)與0相加不改變大小，在向量加法中任意向量a+0=a.【例3】從大、小正方形的數(shù)量關(guān)系上,觀察圖2—1—1所示的幾何圖形,試歸納得出的結(jié)論。圖2-1-1思路分析:從個別事例歸納總結(jié)，得到一般性的結(jié)論。解：從大、小正方形的數(shù)量關(guān)系上容易發(fā)現(xiàn)：1=12，1+3=2×2=22，1+3+5=3×3=32,1+3+5+7=4×4=42，1+3+5+7+9=5×5=52,1+3+5+7+9+11=6×6=62，猜想：1+3+5+7+…+（2n-1）=n2.綠色通道：本題為圖形語言，要善于觀察圖形的前后聯(lián)系和變化，找出規(guī)律。變式訓(xùn)練：把1，3，6，10，15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因為這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形，如圖2—1—2所示.則第七個三角形點數(shù)是（)A。27B.28C.29圖2—1—2答案:B問題探究問題1:意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（L.Fibonacci）在他的1228年出版的《算經(jīng)》一書中，記述了有趣的兔子問題,假定每對大兔子每月能生一對小兔子，而每對小兔子過了一個月就可以長成大兔子,如果不發(fā)生死亡，那么由一對大兔子開始，一年后能有多少對大兔子呢？若一直推算下去，可得到一個數(shù)列｛an}.若a1=a2=1,你能歸納出當(dāng)n≥3時an的遞推關(guān)系嗎?導(dǎo)思：從具體問題出發(fā)，經(jīng)過觀察、分析再進行歸納，歸納離不開觀察、分析,我們應(yīng)從數(shù)值特征、從式子結(jié)構(gòu)、從已知與未知的必然聯(lián)系等方面觀察、分析、探究。應(yīng)注意所探究的事物或現(xiàn)象的本質(zhì)屬性和因果關(guān)系，才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律.探究：我們將各個月的大兔子對數(shù)依次排列為：1，1，2，3，5，8,13，21，34，55，89，144,233，……通過觀察我們會發(fā)現(xiàn)每個數(shù)為前兩個數(shù)之和?！郺n=an—1+an—2（n≥3，n∈N＊)。問題2：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.導(dǎo)思:類比推理，就是根據(jù)兩個不同的對象的某些方面相同或相似推測他們在其他方面也可能相同或相似的思維方式。它是思維過程由特殊到特殊的推理.利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，通過觀察四面體的結(jié)構(gòu)分析面的關(guān)系，比較二者的內(nèi)在聯(lián)系，從中類比出四面體的相似命題，提出猜想，結(jié)論中S2=S12+S22+S32為真命題。探究:類比時應(yīng)先找共性,抓特點,前提類比、結(jié)論類比?？紤]到直角三角形的兩條邊互相垂直，我們可類比選取有3個面兩兩垂直的四面體，作為直