2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系應(yīng)用-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題同角三角函數(shù)的基本關(guān)系應(yīng)用教科書(shū)教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.進(jìn)一步理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，會(huì)運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決求值、證明問(wèn)題．2.在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的運(yùn)用過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)方程思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，體會(huì)知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系．3.通過(guò)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的素養(yǎng)．教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決求值、證明問(wèn)題．教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)公式變形的認(rèn)識(shí)與使用．教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)4分鐘（一）回顧舊知問(wèn)題：在高中階段，前面我們依次學(xué)習(xí)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，本章學(xué)習(xí)的三角函數(shù)有：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，這三個(gè)函數(shù)之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，它們之間具體關(guān)系是什么？上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們回憶：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的內(nèi)容是什么？；當(dāng)時(shí)，．追問(wèn)：“同角”如何理解？“同角”有兩層含義：一是角相同，二是對(duì)任意一個(gè)角（在使得函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系式都成立．而角的形式可以任意，如：；．師生活動(dòng)：回顧舊知，為本節(jié)課做準(zhǔn)備．師：探究出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系后，我們利用它解決了一些基本的求值問(wèn)題，下面通過(guò)一道課前練習(xí)回顧一下主要的解題步驟以及涉及到的思想方法．練習(xí)：已知，求，的值．生：獨(dú)立完成，回顧方法，體會(huì)方程思想．師：PPT展示解題過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題步驟，關(guān)注解題過(guò)程中的易錯(cuò)點(diǎn)．師生總結(jié)：注意：（1）解決這類求值題目應(yīng)先根據(jù)條件判斷角的終邊所在的象限，確定各三角函數(shù)值的符號(hào)，再利用基本關(guān)系求解．（2）書(shū)寫(xiě)時(shí)，以此題為例，，的結(jié)果都要用分情況敘述的形式表達(dá)出來(lái)，不能寫(xiě)成：只能寫(xiě)成：或用前面的書(shū)寫(xiě)方式會(huì)有四種搭配情況，事實(shí)上只有兩種情況．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的內(nèi)容，加深對(duì)“同角”的理解，通過(guò)練習(xí)幫助學(xué)生理清解題思路和步驟，體會(huì)方程思想，關(guān)注解題中的易錯(cuò)點(diǎn)．16分鐘（二）學(xué)以致用引導(dǎo)語(yǔ)：這節(jié)課我們進(jìn)一步應(yīng)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系解決一些問(wèn)題．例1：已知，求的值．師：此題同樣可以通過(guò)，求出的值代入原式解決問(wèn)題．在求的值的過(guò)程中，涉及到對(duì)角所在象限的討論，那么有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的方法？生：可以利用平方關(guān)系的等價(jià)變形：，將所求向已知條件轉(zhuǎn)化．解：，因?yàn)椋栽剑偨Y(jié)：在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用中，要熟練掌握公式及公式變形，根據(jù)題意，靈活運(yùn)用．設(shè)計(jì)意圖：在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用過(guò)程中，體會(huì)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．例2：已知，求的值．生：審題、思考、求解、交流．師：給出解法1的思路：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，建立方程，從而解決問(wèn)題．到分類討論時(shí)，提示學(xué)生針對(duì)分類討論，能否通過(guò)其他方法解決？進(jìn)而引發(fā)學(xué)生思考，用不同方法解決問(wèn)題．解法1：因?yàn)?，所以是第一或第三象限角．由得，．分類討論．師：解?的方法簡(jiǎn)單，但計(jì)算量較大，在求解過(guò)程中還需分類討論．思考：能否通過(guò)其他方法解決呢？生：再次審題，思考其他解決方案．師：引導(dǎo)學(xué)生再次審題，分析題目特點(diǎn)：已知角的正切值，求有關(guān)角的正弦與余弦值的運(yùn)算．并提出問(wèn)題：以往的解題經(jīng)驗(yàn)，我們通常把條件向結(jié)論靠攏，同學(xué)們思考一下，該如何做呢？分析：已知角的正切值，就是已知角的正弦值與余弦值的關(guān)系，用這個(gè)思路來(lái)解決這道題目就迎刃而解了．解法2：由，得，代入原式，得．思考：解法2的思路是把條件向結(jié)論轉(zhuǎn)化，還有其他解決方法嗎？生：思考、交流．師：可以從所求結(jié)論向已知條件不斷變形、簡(jiǎn)化，尋找與已知條件的聯(lián)系，這是分析法的思路．所求的分式分子是角的正弦與余弦值的和，分母是它們的差，如何將所求轉(zhuǎn)化為角正切值的運(yùn)算？分析：可以利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及分式的運(yùn)算性質(zhì)，分式的分子、分母同時(shí)除以．解法3：，因?yàn)?，所以原式．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)解決求值問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)方程思想；通過(guò)綜合法、分析法的思路分析，進(jìn)一步理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，體會(huì)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．我們將所求問(wèn)題變一變，又該如何解決呢？變式訓(xùn)練1：已知，求的值．思考：能不能像上題中分子、分母同時(shí)除以？為什么？生：嘗試、思考，發(fā)現(xiàn)同除后，沒(méi)有完全轉(zhuǎn)化到已知條件．分析：所求式子的分子、分母同時(shí)除以，不能把所求式完全轉(zhuǎn)化為只含有角的正切的表達(dá)式，顯然不能達(dá)到目的．再觀察所求式子的結(jié)構(gòu)，分子、分母都是二次式，所以考慮分子、分母同時(shí)除以．解：，因?yàn)?，所以原式．總結(jié)：要注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用公式進(jìn)行變形．變式訓(xùn)練2：已知，求的值．分析：這道題目也可以用，得到角的正弦與余弦的關(guān)系，從而將所求轉(zhuǎn)化成只含有角的正弦或余弦的表達(dá)式，再利用平方關(guān)系將或求解出來(lái)．思考：有沒(méi)有不借助角的正弦值或余弦值的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？分析：所求分式中，分母是二次式，而分子是“1”，為了將所求向已知條件轉(zhuǎn)化，這時(shí)可以考慮用平方關(guān)系替代“1”，我們一起看一下．解：，因?yàn)?，所以原式．總結(jié)：當(dāng)式子中出現(xiàn)“1”或者其它常數(shù)時(shí)，根據(jù)需要，可以考慮用平方關(guān)系：替代，從而解決問(wèn)題．設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化分子、分母同時(shí)除以的可行性，加強(qiáng)對(duì)公式變形的認(rèn)識(shí)與使用，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)式子中的“1”作適當(dāng)?shù)淖冃?，靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．例3：求證：．師：先向?qū)W生說(shuō)明：除特殊注明外，我們假定三角恒等式是在使兩邊都有意義的情況下的恒等式（以此題為例，引導(dǎo)學(xué)生理解“都有意義”的含義）．再引導(dǎo)學(xué)生思考如何證明，在學(xué)生困難之處給予點(diǎn)撥．生：觀察、思考、交流．師：明確方法：證明恒等式可以從一邊開(kāi)始（一般從式子結(jié)構(gòu)復(fù)雜的一邊開(kāi)始），證明它等于另一邊．思考：請(qǐng)同學(xué)們觀察式子結(jié)構(gòu)，若從左邊式子開(kāi)始，如何向右邊式子轉(zhuǎn)化？需要做怎樣的運(yùn)算？生：觀察思考，發(fā)現(xiàn)可以利用分式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決問(wèn)題．分析：右邊式子中的分子含有，可以利用分式的運(yùn)算性質(zhì)：左邊式子的分子、分母分別乘以嘗試證明（也可以選擇其他的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化）．規(guī)范展示：證法1：由得，所以，左邊右邊．所以，原式成立．師：完成證法1后，提出思考：還有其他證法嗎？課上不展示，鼓勵(lì)學(xué)生課下用多種方法嘗試證明．生：思考，討論交流．分析：也可以從右邊式子開(kāi)始，證明它等于左邊式子．我們觀察到左邊式子的分子中有，所以可以將右邊式子的分子、分母同時(shí)乘以，向左邊式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化．證法2（課上不展示）：右邊左邊．師：在給出證法3之前，明確證法：證明恒等式，還可以選取與原式等價(jià)的式子，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化推出原式成立.提出思考：與原式等價(jià)的式子有哪些？生：總結(jié)與原式等價(jià)的式子有：、等，體會(huì)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在證明中的運(yùn)用．規(guī)范展示：證法3：因?yàn)?，且，，所以．師生總結(jié)：1．證明恒等式的方法有：（1）從恒等式的一邊開(kāi)始，證明它等于另一邊．一般由繁到簡(jiǎn)，通過(guò)恒等變形得到另一個(gè)式子，從而推出原式成立．（2）證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子．（后面遇到時(shí)再具體分析）（3）選取與原式等價(jià)的式子，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化推出原式成立．2．公式，的應(yīng)用極為重要且廣泛，熟練掌握公式及公式的等價(jià)形式對(duì)今后的學(xué)習(xí)是非常重要的．拓廣探索：（教材習(xí)題5.2第17題）從例3可以看出，就是的一個(gè)變形．你能利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系推導(dǎo)出更多的關(guān)系式嗎？請(qǐng)同學(xué)們課后探索嘗試．練習(xí)：習(xí)題5.2第14（1）題．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)證明三角恒等式讓學(xué)生進(jìn)一步理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，提升對(duì)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng)．2分鐘（三）歸納總結(jié)布置作業(yè)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)知識(shí)，并回答以下問(wèn)題：這節(jié)課我們應(yīng)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決了一些問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，有哪些值得總結(jié)的思想方法或經(jīng)驗(yàn)？師生活動(dòng)：提出問(wèn)題后，先讓學(xué)生思考并作適