2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】簡(jiǎn)單的三角變換(1)-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題簡(jiǎn)單的三角變換（1）教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.進(jìn)一步熟悉各組公式的內(nèi)在聯(lián)系，了解各組公式的功能及變形；2.能利用公式完成簡(jiǎn)單的三角變換，為函數(shù)研究提供依據(jù)，提升數(shù)學(xué)推理的素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：整合各組公式的內(nèi)在聯(lián)系，把握公式的重要變形.教學(xué)難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)三角恒等變換的特點(diǎn).教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)3分鐘7分鐘7分鐘3分鐘1分鐘復(fù)習(xí)公式，引出課題分析例1，總結(jié)特點(diǎn)分析例2，感受化歸思想分析練習(xí)1，鞏固新知小結(jié)知識(shí)布置作業(yè)學(xué)生活動(dòng)我們先來(lái)復(fù)習(xí)一下在三角恒等變換這一節(jié)中我們學(xué)習(xí)的公式：我們先利用單位圓和兩點(diǎn)間距離公式推出了，然后將代換為得到，然后又結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)一步推出了，，然后又將兩式相除得到，，最后將式子中的得到了二倍角公式，，；學(xué)習(xí)了和（差）角公式、二倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行三角恒等變換的新工具，從而使三角恒等變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富.有了和（差）角公式和二倍角公式，進(jìn)而可以解決三個(gè)角的和與差的問(wèn)題，多個(gè)角的和差問(wèn)題，多倍角的問(wèn)題等，既然倍角解決了，那么你能嘗試半角嗎？教師活動(dòng)例1試以表示.問(wèn)題1：本題要求用角的余弦值表示角的三角函數(shù)值，那么角與角有什么關(guān)系呢？學(xué)生活動(dòng)分析：根據(jù)角是角的二倍角，因此可以將二倍角公式中的替換為，替換為，就能解決這個(gè)問(wèn)題.解：是的二倍角，在倍角公式中，以代替，以代替，得，所以.在倍角公式中，以代替，以代替，得，所以.將上述兩式左右兩邊分別相除，得.教師活動(dòng)例1我們得到了一組公式，我們來(lái)總結(jié)一下它們的特征：從結(jié)構(gòu)上看，等式左邊都是三角函數(shù)的二次形式，而右邊都是一次形式，因此此組公式有升降次的作用；從角的特征來(lái)看，等式左邊都是，而右邊是，因此此組公式有升降角的作用.問(wèn)題2：是的二倍角，也就是說(shuō)是的半角，你能依此得到半角公式嗎？例1的結(jié)論還可以表示為：我們稱之為半角公式.公式中的號(hào)體現(xiàn)了三角函數(shù)的取值有正負(fù)，與同角函數(shù)關(guān)系式類似，具體取值與角所在的象限有關(guān).因?yàn)椴煌娜呛瘮?shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會(huì)存在所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，所以進(jìn)行三角恒等變換時(shí)，常常要先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)選擇適當(dāng)?shù)墓?這是三角恒等變換的一個(gè)重要特點(diǎn).教師活動(dòng)例2求證：（1），（2）.問(wèn)題3：（1）式子中所包含的各個(gè)角有怎樣的關(guān)系？你能得到什么樣的啟示？根據(jù)（1）式子中存在兩角及它們的和與差（反之也是），式子結(jié)構(gòu)從積到和差（反之也是），式子結(jié)構(gòu)從二次到一次（反之也是），要消除這種差異，你可以從哪個(gè)角度入手呢？學(xué)生活動(dòng)選擇和（差）角公式可以解決（1）題.證明：（1）根據(jù)公式，，兩式相加，得，所以.問(wèn)題4：（2）中式子兩邊在結(jié)構(gòu)形式上與（1）有什么不同？根據(jù)兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，（1）是將正余弦之積化為兩正弦之和，（2）是將兩正弦之和化為正余弦之積，而且對(duì)比角的關(guān)系，且，因此考慮到它們之間的聯(lián)系，采取換元法進(jìn)行證明.（2）令+=，=φ，則，代入（1）得：∴.教師活動(dòng)本題（1）的證明把看作x,將看作y,把等式看作x,y的方程，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程組求x.（2）的證明用到了換元法，將+看作，將看作φ，從而把包含，的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為，φ的三角函數(shù)式.它們都體現(xiàn)了化歸思想.練習(xí)1：求證：.學(xué)生活動(dòng)證明：根據(jù)是的二倍角，因此本題可從二倍角公式入手，所以，，得證.小結(jié)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你是否理解了三角恒等