2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】函數(shù)的應(yīng)用-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題函數(shù)的應(yīng)用教科書(shū)教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.初步體會(huì)應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程和方法；2.在實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)；3.在建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)。教學(xué)重點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題中的量抽象成數(shù)學(xué)中的變量，并找到變量之間的關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)：利用給定的函數(shù)模型，寫(xiě)出具體的函數(shù)解析式并解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)1分鐘引言我們學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)等，這些函數(shù)都與現(xiàn)實(shí)世界緊密聯(lián)系。下面通過(guò)一些實(shí)例感受它們的廣泛應(yīng)用，體會(huì)利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程與方法。16分鐘例題解析本節(jié)的例1是在教科書(shū)3.1.2函數(shù)的表示法例8的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究個(gè)稅繳納問(wèn)題，我們來(lái)看題目信息：例1：2019年1月1日起，公民依法繳納的個(gè)稅稅額根據(jù)應(yīng)納稅所得額、稅率和速算扣除數(shù)確定，計(jì)算公式為：個(gè)稅稅額=應(yīng)納稅所得額×稅率-速算扣除數(shù)①應(yīng)納稅所得額的計(jì)算公式為：應(yīng)納稅所得額=綜合所得收入額-基本減除費(fèi)用-專(zhuān)項(xiàng)扣除-專(zhuān)項(xiàng)附加扣除-依法確定的其他扣除②其中，“基本減除費(fèi)用”（免征額）為每年60000元。稅率與速算扣除數(shù)見(jiàn)表格。設(shè)小王繳納的基本養(yǎng)老保險(xiǎn)、基本醫(yī)療保險(xiǎn)、失業(yè)保險(xiǎn)等社會(huì)保險(xiǎn)費(fèi)和住房公積金占綜合所得收入額的比例分別是8%，2%，1%，9%，專(zhuān)項(xiàng)附加扣除是52800元，依法確定其他扣除是4560元。全年綜合所得收入額為x（單位：元），應(yīng)繳納綜合所得個(gè)稅稅額為y（單位：元）。（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）如果小王全年的綜合所得由189600元增加到249600元，那么他全年應(yīng)繳納多少綜合所得個(gè)稅？追問(wèn)1：這一問(wèn)題中存在哪些變量？它們的關(guān)系是什么？追問(wèn)2：如何通過(guò)這些關(guān)系確定應(yīng)繳納個(gè)稅與綜合所得的關(guān)系？師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生獨(dú)立思考、討論回答，教師給與補(bǔ)充完善。設(shè)計(jì)意圖：1.通過(guò)學(xué)生的分析，理清這個(gè)問(wèn)題中的變量之間的關(guān)系；2.引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出這些變量之間的函數(shù)關(guān)系.這里，一定要讓學(xué)生先回顧例題8的求解過(guò)程和結(jié)果，在例題8的基礎(chǔ)上處理本題，讓學(xué)生體會(huì)應(yīng)繳納個(gè)稅與應(yīng)納稅所得額之間的關(guān)系，以及應(yīng)納稅所得額和綜合所得的關(guān)系。分析：實(shí)際上，在充分明確題目條件后，注意到本題的主干信息由表格和兩個(gè)重要公式表達(dá)出來(lái)：公式=1\*GB3①：個(gè)稅稅額=應(yīng)納稅所得額×稅率-速算扣除數(shù)由表格信息可知，每個(gè)確定的應(yīng)納稅所得額都有唯一的稅率和速算扣除數(shù)與之相對(duì)應(yīng)，因此，這一公式中的變量個(gè)稅稅額y可以表示成變量應(yīng)納稅所得額t的分段函數(shù)。我們?cè)?.1.2例8中已經(jīng)得到了這兩個(gè)變量的函數(shù)解析式。公式=2\*GB3②：應(yīng)納稅所得額=綜合所得收入額-基本減除費(fèi)用-專(zhuān)項(xiàng)扣除-專(zhuān)項(xiàng)附加扣除-依法確定的其他扣除可以看出，基本減除費(fèi)用、專(zhuān)項(xiàng)扣除、專(zhuān)項(xiàng)附加扣除和依法確定的其他扣除為定值或由綜合所得收入額確定，因此，這一公式中的變量應(yīng)納稅所得額t也是變量綜合所得收入額x的函數(shù)。因此，對(duì)于任一個(gè)綜合所得收入額都有唯一確定的應(yīng)納稅所得額與之相對(duì)應(yīng)，而任一個(gè)應(yīng)納稅所得額也與唯一確定的個(gè)稅稅額相對(duì)應(yīng)。這樣，對(duì)于任一個(gè)綜合收入所得額都有唯一確定的個(gè)稅稅額與之相對(duì)應(yīng)，由函數(shù)的定義，個(gè)稅稅額y是綜合收入所得額x的函數(shù)。通過(guò)“應(yīng)納稅所得額”這個(gè)橋梁，我們就可以建立起個(gè)稅稅額y與綜合收入所得額x的函數(shù)解析式。師生活動(dòng)：1.教師提示學(xué)生在例題8的基礎(chǔ)上研究這個(gè)問(wèn)題.通過(guò)“應(yīng)納稅所得額”這個(gè)中間變量t找到x和y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。2.由于t的取值的范圍不同，使得對(duì)應(yīng)的稅率和速算扣除數(shù)也不同，那么該如何處理這樣的情況呢？3.寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并解決題目中的問(wèn)題。設(shè)計(jì)意圖：1.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)例題8來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題；2.引導(dǎo)學(xué)生采用分類(lèi)討論的方式來(lái)處理，用分段函數(shù)的形式來(lái)表達(dá)；3.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生完成例題。我們可以通過(guò)以下步驟解決本例的兩個(gè)問(wèn)題：第一步，根據(jù)例8中公式②，得出應(yīng)納稅所得額t關(guān)于綜合所得收入額x的解析式t=g(x)；第二步，結(jié)合例8中已經(jīng)得到的y=f(t)的解析式③，得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；第三步，根據(jù)所得解析式求出應(yīng)繳納個(gè)稅稅額。解：（1）根據(jù)應(yīng)納稅所得額計(jì)算公式得t=x-60000-x(8%+2%+1%+9%)-52800-4560=0.8x-117360令t=0，得x=146700，所以根據(jù)應(yīng)納稅所得額的規(guī)定可知，個(gè)人應(yīng)納稅所得額t關(guān)于綜合所得收入額x的函數(shù)解析式為：追問(wèn)3：當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)可以使t落到相應(yīng)的區(qū)間，從而確定稅率和速算扣除數(shù)？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)解相應(yīng)的不等式求得工資x的不同范圍，從而得到個(gè)稅稅額關(guān)于綜合收入所得額的分段函數(shù)。在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生體驗(yàn)上述數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程。結(jié)合3.1.2例8的解析式③，可得：當(dāng)0≤x≤146700時(shí)，t=0，所以y=0；令0<0.8x-117360≤36000，得146700<x≤191700此時(shí)y=t×3%=（0.8x-117360）×3%=0.024x-3520.8；令36000<0.8x-117360≤144000，得191700<x≤326700此時(shí)y=t×10%-2520=（0.8x-117360）×10%-2520=0.08x-14256；以此類(lèi)推，通過(guò)解相應(yīng)的不等式，我們就可以通過(guò)解析式③中t的范圍求出x的范圍。當(dāng)191700<x≤326700時(shí)，36000<t≤144000，所以y=t×10%-2520=0.08x-14256；當(dāng)326700<x≤521700時(shí)，144000<t≤300000，所以y=t×20%-16920=0.16x-40392；當(dāng)521700<x≤671700時(shí)，300000<t≤420000，所以y=t×25%-31920=0.2x-61260；當(dāng)671700<x≤971700時(shí)，420000<t≤660000，所以y=t×30%-52920=0.24x-88128；當(dāng)971700<x≤1346700時(shí)，660000<t≤960000，所以y=t×35%-85920=0.28x-126996；當(dāng)x>1346700時(shí)，t>960000，所以y=t×45%-181920=0.36x-234732；所以，函數(shù)解析式為當(dāng)x=249600時(shí)，y=0.08×249600-14256=5712所以，小王全年需要繳納的綜合所得個(gè)稅稅額為5712元。本題小結(jié)：在例8中，給出小王的綜合所得收入額為189600元，我們需要先利用公式②求出應(yīng)納稅所得額，再利用我們建立的個(gè)稅稅額y關(guān)于應(yīng)納稅所得額t的函數(shù)解析式，求出他應(yīng)繳納個(gè)稅稅額為1029.6元。而在本例中，我們將個(gè)稅稅額表示成了綜合收入所得額的函數(shù)，就可以直接由綜合收入所得額求出需要繳納的個(gè)稅稅額。由此可見(jiàn)，有了函數(shù)模型，就可以通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)而獲得實(shí)際問(wèn)題中的變化規(guī)律，通過(guò)函數(shù)圖象也可以更直觀地看到這種整體的變化規(guī)律。同時(shí)注意到，當(dāng)綜合所得收入額增加到249600元時(shí)，個(gè)稅稅額也相應(yīng)增加到了5712元，這體現(xiàn)了依法納稅是每個(gè)公民的責(zé)任與義務(wù)！有興趣的同學(xué)可以在課下畫(huà)出函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象，直觀地觀察個(gè)稅稅額隨綜合所得收入額的變化情況。例題2：一輛汽車(chē)在某段路程中行駛的平均速率v（單位：km/h）與時(shí)間t（單位：h）的關(guān)系如圖所示。(1)求圖中陰影部分的面積，并說(shuō)明所求面積的實(shí)際含義；(2)假設(shè)這輛汽車(chē)的里程表在汽車(chē)行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車(chē)行駛這段路程時(shí)汽車(chē)?yán)锍瘫碜x數(shù)s（單位：km）與時(shí)間t的函數(shù)解析式，并畫(huà)出相應(yīng)的圖象。追問(wèn)1：此題是研究汽車(chē)行駛路程的相關(guān)問(wèn)題，與例1通過(guò)文字、表格呈現(xiàn)信息不同，此題通過(guò)圖象體現(xiàn)了變量間的關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們找到題目中涉及的變量，并分析說(shuō)明圖中的信息。師生活動(dòng)：教師提出第一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生思考、討論，并回答問(wèn)題。設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)例題需要利用圖形中的信息及問(wèn)題中的數(shù)據(jù)建立分段函數(shù)的數(shù)學(xué)模型.教學(xué)中仍然要讓學(xué)生從分析題意入手，分析清楚問(wèn)題中涉及的變量，它們之間是什么關(guān)系，通過(guò)這些關(guān)系是如何確定里程表讀數(shù)與時(shí)間之間的關(guān)系的等。分析：本題涉及時(shí)間t、平均速率v、行駛路程S、里程表讀數(shù)s等變量；時(shí)間t和平均速率v的關(guān)系由圖給出，圖形中拋開(kāi)陰影不看，是一些平行于x軸的小線段，而這些小線段實(shí)際上就是平均速率關(guān)于時(shí)間變化的函數(shù)圖象，是一個(gè)分段函數(shù)。讀圖時(shí)，請(qǐng)注意邊界點(diǎn)的開(kāi)閉情況，當(dāng)t在[0,1)內(nèi)時(shí)，對(duì)應(yīng)的平均速率為50km/h；當(dāng)t在[1,2)內(nèi)時(shí)，對(duì)應(yīng)的平均速率為80km/h等。每一個(gè)陰影矩形的面積應(yīng)由長(zhǎng)乘以寬得到，即時(shí)間與對(duì)應(yīng)的平均速率的乘積，因此每一個(gè)陰影矩形的面積表示每個(gè)時(shí)間段內(nèi)行駛的路程，進(jìn)而整個(gè)陰影面積的意義就是汽車(chē)5小時(shí)內(nèi)行駛的總路程。解:（1）陰影部分的面積為所以陰影部分的面積表示汽車(chē)在這5小時(shí)內(nèi)行駛的路程為360km。分析：由圖可知，當(dāng)時(shí)間t在[0,5]內(nèi)變化時(shí)，對(duì)于任意的時(shí)刻t都有唯一確定的行駛路程與之相對(duì)應(yīng).x=t這條直線左邊的陰影面積就是經(jīng)過(guò)t時(shí)間的路程。每個(gè)時(shí)間段內(nèi)對(duì)應(yīng)的平均速率不同，因此在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)，行駛路程與時(shí)間的關(guān)系也不一樣，需要分段表述。由S=vt，s=2004+S等關(guān)系，通過(guò)逐步抽象，我們就不難得到里程表讀數(shù)s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。當(dāng)時(shí)，里程表讀數(shù)s應(yīng)在2004的基礎(chǔ)上加上經(jīng)過(guò)t時(shí)間行駛的路程50t；當(dāng)時(shí)，里程表讀數(shù)s應(yīng)在2004的基礎(chǔ)上加上第一小時(shí)內(nèi)行駛的路程50，再加上1到t時(shí)間行駛的路程80（t-1），以此類(lèi)推。（2）根據(jù)圖1,有分段表示時(shí)，注意t取值區(qū)間的開(kāi)閉情況與圖象對(duì)應(yīng)。注意到各段均為一次函數(shù)，易得函數(shù)圖象如圖，本題小結(jié)：本題的解答過(guò)程表明，函數(shù)圖象對(duì)分析和理解題意很有幫助。因此，我們要注意提高讀圖能力。另外，本題用到了分段函數(shù)，解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常會(huì)用到此類(lèi)函數(shù)。3分鐘練習(xí)鞏固若用模型y=ax2描述汽車(chē)緊急剎車(chē)后滑行的距離y（單位：m）與剎車(chē)時(shí)的速率x（單位：km/h）的關(guān)系，而某種型號(hào)的汽車(chē)在速率為60km/h時(shí)，緊急剎車(chē)后滑行的距離為20m.在限速為100km/h的高速公路上，一輛這種型號(hào)的車(chē)緊急剎車(chē)后滑行的距離為50m，那么這輛車(chē)是否超速行駛？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生鞏固在已知函數(shù)模型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)和思想解決實(shí)際的能力。解：3分鐘總結(jié)回顧師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勀銓?duì)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的感受。生：思考、作答設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生初步體會(huì)用函數(shù)的方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。分析：在研究這兩個(gè)例題的過(guò)程中，我們經(jīng)歷了以下步