試卷解析：廣東省華南X范大學附X中學2023-2024學年高一上學期期末數(shù)學試題（解析版）

2023-2024學年度第一學期高一年級期末檢測數(shù)學本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分100分，時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的班別、姓名、考號填寫在答題卡指定位置，并用鉛筆準確填涂考號.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，答題卡由監(jiān)考老師收回.第I卷選擇題（36分）一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，利用交集定于求出.【詳解】集合，，則.故選：C2.（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式，化簡得到，即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的誘導公式，可得.故選：D3.已知：，下列式子正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】運用作差法比較各項即可.【詳解】對于A項，因為，又，，所以，，所以，所以，故A項錯誤；D項正確；對于B項，，又，，所以，所以，所以，故B項錯誤；對于C項，，又，，所以，所以，所以，故C項錯誤.故選：D.4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，即，解得或，又由函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因為在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合復合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.5.已知函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則的解析式為（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象，得到，進而可求出，再根據(jù)圖象，當時，函數(shù)取到最大值，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】由圖易知，，，得到，又，，所以，又由圖知，，得到，又，令，得到，所以，故選：B.6.若奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，用代替，得到，聯(lián)立方程組，求得的解析式，進而求得的值.【詳解】由，用代替，可得，因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，聯(lián)立，解得，，所以，，則．故選：D．7.已知則a，b，c的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與正弦函數(shù)的性質(zhì)，分別求得的范圍，即可求解.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，即，所以，又由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得，又因為，所以.故選：D.8.已知，為銳角，，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知結(jié)合誘導公式及兩角和的正切公式，先進行化簡，然后代入到所求式子后，結(jié)合基本不等式即可求出最值，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，，當且僅當即時取等號，所以的最小值為.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換以及基本不等式的運用，涉及誘導公式、兩角和的正切公式，考查化簡計算能力.二、選擇題：本題共4小題，每小題3分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得3分，部分選對的得1分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.函數(shù)與的圖象關(guān)于原點對稱B.函數(shù)，且恒過定點C.已知命題，則的否定為：D.是的充分不必要條件【答案】AC【解析】【分析】A：根據(jù)圖象上任意一點的對稱點所滿足的關(guān)系式判斷；B：令，由此確定出所過定點坐標；C：通過修改量詞否定結(jié)論可得結(jié)果；D：根據(jù)與的互相推出情況進行判斷.【詳解】對于A：設上任意一點，其關(guān)于原點的對稱點為，所以，所以，所以，即為圖象上任意一點，故A正確；對于B：令，所以，此時，所以過定點，故B錯誤；對于C：修改量詞否定結(jié)論可得，故C正確；對于D：不能推出，但一定能推出，所以是的必要不充分條件，故D錯誤；故選：AC.10.若函數(shù)同時滿足：（1）對于定義域內(nèi)的任意x，有；（2）對于定義域內(nèi)的任意，，當時，有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”，給出下列四個函數(shù)是“理想函數(shù)”的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】由已知得“理想函數(shù)”既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，由此判斷所給四個函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，能求出結(jié)果．【詳解】函數(shù)同時滿足（1）對于定義域上的任意，恒有；（2）對于定義域上任意，，當時，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”，“理想函數(shù)”既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)，對A：是偶函數(shù)，且不是單調(diào)函數(shù)，故A不是“理想函數(shù)”；對B：是奇函數(shù)，且是減函數(shù)，故B是“理想函數(shù)”；對C：是奇函數(shù)，但在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，故C不是“理想函數(shù)”;對D：，定義域為，，所以，所以是奇函數(shù)，且是上減函數(shù)，故D是“理想函數(shù)”．故選：BD11.由知實數(shù)a，b滿足，則（）A.ab的最大值為B.的最大值為CD.當時，的最大值為【答案】AC【解析】【分析】由不等式，可判定A正確；設，聯(lián)立方程組，結(jié)合，可判定B不正確；設，聯(lián)立方程組，可判定C正確；，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判定D不正確.【詳解】對于A中，由不等式，可得，解得，當且僅當時，等號成立，所以A正確；對于B中，設，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，可得，所以的最大值為，所以B不正確；對于C中，設，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，可得，所以的最大值為，所以C正確；對于D中，由，即，設，則，設，可得，可得，因為，可得，即，不妨設，可得則，所以又因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以無最大值，所以D不正確.故選：AC.12.已知函數(shù)在上恰有兩個零點，且在上單調(diào)遞減，則（）A.若，則的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象B.C.在上有且僅有兩條對稱軸D.不存在，使得在上單調(diào)遞減【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析可得正確結(jié)果.【詳解】在上恰有兩個零點，而：.所以:.求函數(shù)的遞減區(qū)間，得：，因為函數(shù)在上遞減，所以：，又，，所以，.綜上：.故B正確；對A：當時，向右平移個單位，得，故A錯；對C：當時，，由，.當時，；當時，，所以函數(shù)在上只有1條對稱軸.故C錯；對D：若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則：且，所以：，結(jié)合可得：滿足條件的不存在.故D正確.故選：BD第II卷非選擇題（64分）三、填空題：本大題共4小題，每小題3分，滿分12分.13.函數(shù)的值域是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域為，由于函數(shù)和函數(shù)均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，故值域為，故答案為：14.已知圓心角為2的扇形，其弧長為5，則扇形的面積為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合扇形的弧長和面積公式，準確運算，即可求解.【詳解】設扇形所在圓的半徑為，因為扇形的圓心角為且弧長為，可得，解得，所以扇形的面積為.故答案為：.15.設，，用表示，中較小者，記為，則______；若方程恰有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)c的取值范圍為______.【答案】①.2②.【解析】【分析】計算與，比較大小可得；結(jié)合解不等式，得出的解析式，作出圖象，將方程恰有三個不同的實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有三個交點，數(shù)形結(jié)合可得答案.【詳解】，，則；由，解得，由，解得或，則，作出圖象，如圖，由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，此時方程恰有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)c的取值范圍為.故答案為：2；.16.在中，，且，則___________．【答案】【解析】【分析】將設為，然后把角都用表示，展開求解.【詳解】設，則，因為，所以.由已知可得所以所以，解得或（舍）故答案為：四、解答題：本大題共6小題，滿分52分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算過程.17.計算（1）已知.求的值.（2）已知，且，，求角的值；【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）利用誘導公式和齊次式化簡，化為關(guān)于的式子，代入求值即可；（2）利用同角三角函數(shù)關(guān)系及角的范圍得到和，從而利用余弦差角公式求出，從而求出角的值.【小問1詳解】因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，因為，所以，因為，所以，故，因為，所以18.已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值是12.（1）求的解析式；（2）求使方程的根都在區(qū)間內(nèi)的實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可設，且，由在區(qū)間上的最大值是12，可得，求出的值，從而可求出的解析式，（2）轉(zhuǎn)化為方程的根都在區(qū)間內(nèi)，令，則可得從而可求出實數(shù)的取值范圍【小問1詳解】因為是二次函數(shù)，且的解集是，所以可設，且易知，所以在區(qū)間上的最大值是，由已知得，所以，所以.【小問2詳解】方程等價于.設，依題意有解得，所以實數(shù)的取值范圍.19.設命題p：函數(shù)定義域為；命題，使得不等式成立．（1）如果p是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）如果p，q中只有一個真命題，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，得到在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解；（2）由（1）知，再由命題真命題，得到，根據(jù)中只有一個真命題，分類討論，即可求解.【小問1詳解】解：由命題函數(shù)定義域為，設，則在上恒成立，當時，，不能恒成立，不符合題意（舍去）；當時，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】解：由（1）知，命題為真命題，則，又由命題，使得不等式成立，當時，可得，當且僅當時，即時，等號成立，所以，因為中只有一個真命題，當為真命題，為假命題時，可得，解得；當為假命題，為真命題時，可得，此時無解，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.20.如圖，有一塊半徑為R的扇形草地OMN，，現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場地ABCD作為兒童樂園使用，其中點A，B在弧MN上，且線段AB平行于線段MN．（1）設，用分別表示AB和AD；（2）當為何值時，矩形場地ABCD的面積S最大？最大值為多少？【答案】20.，.21.當時，最大，為【解析】【分析】借助三角函數(shù)表示和，進一步表示矩形的面積，可求矩形面積的最大值.【小問1詳解】如圖：過做于.則，所以，.【小問2詳解】，當且僅當即時取“”.故當時矩形場地的面積最大且最大為.21.對于函數(shù)及實數(shù)m，若存在，使得，則稱函數(shù)與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)．（1）若與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)，求m的取值范圍；（2）己知，為定義在上的奇函數(shù)，且滿足；①在上，當且僅當時，取得最大值1；②對任意，有．求證：與不具有“4關(guān)聯(lián)”性．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)的定義，結(jié)合正余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.（2）根據(jù)滿足的性質(zhì)，推出其對稱性以及周期，可得，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)推出，即說明不存在，使得，即可得結(jié)論.【小問1詳解】由題意可知，故，則m的取值范圍為；【小問2詳解】證明：因為在上，當且僅當時，取得最大值1，且為定義在上的奇函數(shù)，故在上當且僅當時，取得最小值-1，由對任意，有，可知圖象關(guān)于點對稱，又，即，故2a為函數(shù)的周期，故，，當時，，時，，若，，，此時有為最大值；當時，，時，，若，，此時有為最大值，由于，故，即不存在，使得，所以與不具有“4關(guān)聯(lián)”性．【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于要理解函數(shù)與具有“m關(guān)聯(lián)”性質(zhì)的定義，明確其含義，繼而結(jié)合定義去解決問題，特別是第2問的證明，要結(jié)合定義說明不存在，使得成立.22.己知函數(shù)．（1）判斷的奇偶性；（2）己知，都有，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）偶函數(shù)（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷，即可得答案；（2）化簡，