試卷解析：廣東省實(shí)X中學(xué)X圳學(xué)校、深圳外X語學(xué)校X華高中部2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期省實(shí)深圳、深外龍華高二期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：省實(shí)深圳命題人：XX審定人：XXX2024.1本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學(xué)號(hào)填寫在答題卡密封線內(nèi)相應(yīng)的位置上，用2B鉛筆將自己的學(xué)號(hào)填涂在答題卡上.2、選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上.3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，超出指定區(qū)域的答案無效；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4、考生必須保持答題卡的整潔和平整.第一部分選擇題（共60分）一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知拋物線的方程為則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的拋物線方程，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即得.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)在軸上，其坐標(biāo)為.故選：C2.已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出斜率即可得傾斜角.【詳解】直線的方程為，即，方程斜率為，所以傾斜角為.故選：D.3.等比數(shù)列中，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列的公比，進(jìn)而求出首項(xiàng)即可得解.【詳解】依題意，等比數(shù)列的公比，則，解得，因此，所以.故選：B4.已知方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)方程表示圓的條件可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)圓，所以，即，所以或，故選：C.5.已知數(shù)列通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則取最小值時(shí)的值為（）A.1012B.1013C.1014D.1015【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定數(shù)列的單調(diào)性，再求出的的最大值即得.【詳解】數(shù)列的通項(xiàng)公式，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，由，得，而，因此數(shù)列的前1012項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，從第起為正，所以取最小值時(shí)的值為1012.故選：A6.已知?jiǎng)訄A與圓及圓都外切，那么動(dòng)圓圓心軌跡方程是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，半徑為，根據(jù)給定條件可得，從而得到的軌跡為以為焦點(diǎn)，的雙曲線左支，再求軌跡方程即可.詳解】圓：，圓心，半徑，圓：，圓心，半徑，設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為，由動(dòng)圓與圓，都外切，得，則，因此圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長的雙曲線左支，即，半焦距，虛半軸長，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程是.故選：B7.已知是四面體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且，以為基底，則可以表示為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求得正確答案.【詳解】依題意，.故選：D8.在數(shù)列中，，記，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由遞推關(guān)系可得，求得，不等式恒成立等價(jià)于恒成立，討論的奇偶即可求出.【詳解】由，得，即，而，則，即，，由數(shù)列為遞增數(shù)列，得任意的恒成立，則，即恒成立，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，數(shù)列單調(diào)遞增，的最小值為1，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，數(shù)列單調(diào)遞減，的最大值為，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及數(shù)列不等式恒成立問題，可以變形不等式，分離參數(shù)，借助函數(shù)思想求解即可.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分．9.已知數(shù)列的前項(xiàng)依次為，則下列可以作為數(shù)列通項(xiàng)公式的有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】分析】根據(jù)通項(xiàng)公式逐一判斷即可.【詳解】對于A：，符合；對于B：，不符合；對于C：，符合；對于D：，不符合；故選：AC.10.當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，關(guān)于的方程可以表示的曲線類型有（）A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線【答案】ACD【解析】【分析】利用曲線方程的特征逐一判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，即，此時(shí)方程表示直線；當(dāng)時(shí)，方程為若，則方程表示雙曲線；若，此時(shí)無解；當(dāng)，方程表示橢圓.方程可以表示的曲線類型有直線，雙曲線，橢圓.故選：ACD.11.如圖，在直棱柱中，分別是的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.B.C.直線與平面的夾角正切值為D.【答案】BC【解析】【分析】對于A：直接求解判斷；對于B：通過證明面來判斷；對于C：為直線與平面的夾角，計(jì)算其正切值即可；對于D：分別求出，，然后利用公式計(jì)算即可.【詳解】對于A：因?yàn)?，所以，則，A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)?，為線段中點(diǎn)，所以，又面面，面面，面，所以面，又面，所以，B正確；對于C：因?yàn)槊?，所以面，所以為直線與平面的夾角，又，C正確；對于D：，又，所以，D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知圓過點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，以為直徑作圓，則下列說法正確的是（）A.圓的方程為B.面積的最小值為2C.圓的面積的最小值為D.切點(diǎn)的連線過定點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓方程，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及圓與圓的位置關(guān)系，對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，圓的圓心在直線上，設(shè)，則，解得，圓，其圓心，半徑，A正確；設(shè)，顯然四點(diǎn)共圓，該圓的直徑是線段，方程為，整理得，由消去二次項(xiàng)得直線的方程：，直線：，由得，即直線過定點(diǎn)，D正確；顯然，當(dāng)時(shí)，弦長最短，此時(shí)，因此以為直徑的圓的面積最小值為，C錯(cuò)誤；直線的斜率，當(dāng)時(shí)，直線：與線段平行，因此點(diǎn)到直線的距離最小值為兩條平行直線與間距離，而此時(shí)弦長最短，從而的面積的最小值為，B正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓的弦長的常用求法：①幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則；②代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：.第二部分非選擇題（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.雙曲線的離心率為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程直接求出離心率即可.【詳解】雙曲線實(shí)半軸長，虛半軸長，半焦距，所以雙曲線的離心率.故答案為：14.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.【詳解】等差數(shù)列中，，又，則，因此等差數(shù)列的公差，則，，于是，數(shù)列的前項(xiàng)和，所以數(shù)列的前2024項(xiàng)和為.故答案為：15.已知兩條平行線與之間的距離為1，則實(shí)數(shù)的值為________.【答案】或2【解析】【分析】根據(jù)平行線間距離公式即可求解.【詳解】直線，，所以兩平行線間的距離為，解得或，故答案為：2或16.如圖，在棱長為6的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，過三點(diǎn)的平面與正方體各個(gè)面所得交線圍成的平面圖形的周長為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平面的基本事實(shí)作出截面，再求出截面多邊形周長.【詳解】直線與直線分別交于點(diǎn)，連接分別交于是，連接，則五邊形是過三點(diǎn)的平面截正方體所得截面，如圖，顯然，，則，，，而，所以五邊形的周長為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)作曲線的切線，求切線的方程.【答案】17.18.或【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題中幾何關(guān)系得，再利用兩點(diǎn)間距離公式從而可求解.（2）由（1）求出圓心，半徑，設(shè)出直線方程，再結(jié)合直線與圓相切從而可求解.【小問1詳解】設(shè)，由題意得，即，化簡得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.【小問2詳解】由（1）知化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，設(shè)直線的斜率為，即直線方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得或，所以直線的方程為或.18.如圖，正方形的邊長為，取正方形各邊的中點(diǎn)，作第2個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)，作第3個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去;在這個(gè)過程中，記正方形邊長為，正方形，第個(gè)正方形邊長為，構(gòu)成數(shù)列.（1）寫出；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖形特征，利用勾股定理求出；（2）分析得到，從而得到為等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；（3）由題意，，進(jìn)而求數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以；因?yàn)椋?，所?【小問2詳解】第個(gè)正方形邊長為，則那么第個(gè)正方形邊長為，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.【小問3詳解】因?yàn)椋?，所?19.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作傾斜角的直線，直線交橢圓于點(diǎn)，求面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出方程組并求解即得.（2）求出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求出縱坐標(biāo)差的絕對值即可計(jì)算面積.【小問1詳解】依題意，且，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由直線過點(diǎn)且傾斜角為，得直線的方程為，由消去并整理得，易知，設(shè)，則，于是，所以面積為..20.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，（1）求證：平面；（2）若與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面與平面的法向量，用向量法求平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅问橇庑危瑒t為的中點(diǎn)，且所以，又，且平面，所以平面.【小問2詳解】設(shè)菱形的邊長為，，，由（1）知平面，∴與平面所成的角為，得到，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，所以，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，所以，所以因?yàn)槎娼菫殁g二面角，則平面與平面夾角的余弦值為.21.已知平面直角坐標(biāo)系下，拋物線的準(zhǔn)線方程：（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若拋物線上兩點(diǎn)滿足，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過準(zhǔn)線求出即可；（2）設(shè)，，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算，求出即可.【小問1詳解】由準(zhǔn)線方程：可得，即，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】是拋物線上兩點(diǎn)，明顯直線的斜率不為零，設(shè)，，聯(lián)立，消去得，則，所以，解得，此時(shí)所以，其過定點(diǎn).22.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，若將數(shù)列中的所有項(xiàng)按原順序依次插入數(shù)列中，組成一個(gè)新數(shù)列:與之間插入項(xiàng)中的項(xiàng)，該新數(shù)列記作數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.【答案】