試卷解析：廣東省實X中學X圳學校、深圳外X語學校X華高中部2023-2024學年高二上學期期末聯考數學試卷（解析版）

2023-2024學年第一學期省實深圳、深外龍華高二期末聯考數學試卷命題學校：省實深圳命題人：XX審定人：XXX2024.1本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1、答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學號填寫在答題卡密封線內相應的位置上，用2B鉛筆將自己的學號填涂在答題卡上.2、選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上.3、非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內的相應位置上，超出指定區(qū)域的答案無效；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4、考生必須保持答題卡的整潔和平整.第一部分選擇題（共60分）一、單項選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知拋物線的方程為則拋物線的焦點坐標為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據給定的拋物線方程，求出拋物線的焦點坐標即得.【詳解】拋物線：的焦點在軸上，其坐標為.故選：C2.已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出斜率即可得傾斜角.【詳解】直線的方程為，即，方程斜率為，所以傾斜角為.故選：D.3.等比數列中，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，求出等比數列的公比，進而求出首項即可得解.【詳解】依題意，等比數列的公比，則，解得，因此，所以.故選：B4.已知方程表示一個圓，則實數取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據方程表示圓的條件可得結果.【詳解】因為方程表示一個圓，所以，即，所以或，故選：C.5.已知數列通項公式，其前項和為，則取最小值時的值為（）A.1012B.1013C.1014D.1015【答案】A【解析】【分析】根據給定條件，確定數列的單調性，再求出的的最大值即得.【詳解】數列的通項公式，顯然數列是遞增數列，由，得，而，因此數列的前1012項均為負數，從第起為正，所以取最小值時的值為1012.故選：A6.已知動圓與圓及圓都外切，那么動圓圓心軌跡方程是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設，半徑為，根據給定條件可得，從而得到的軌跡為以為焦點，的雙曲線左支，再求軌跡方程即可.詳解】圓：，圓心，半徑，圓：，圓心，半徑，設動圓圓心，半徑為，由動圓與圓，都外切，得，則，因此圓心的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線左支，即，半焦距，虛半軸長，所以動圓圓心的軌跡方程是.故選：B7.已知是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，以為基底，則可以表示為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據空間向量的線性運算求得正確答案.【詳解】依題意，.故選：D8.在數列中，，記，若數列為遞增數列，則實數的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由遞推關系可得，求得，不等式恒成立等價于恒成立，討論的奇偶即可求出.【詳解】由，得，即，而，則，即，，由數列為遞增數列，得任意的恒成立，則，即恒成立，當為奇數時，恒成立，數列單調遞增，的最小值為1，則，當為偶數時，恒成立，數列單調遞減，的最大值為，則，所以實數的取值范圍為.故選：A【點睛】思路點睛：涉及數列不等式恒成立問題，可以變形不等式，分離參數，借助函數思想求解即可.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.已知數列的前項依次為，則下列可以作為數列通項公式的有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】分析】根據通項公式逐一判斷即可.【詳解】對于A：，符合；對于B：，不符合；對于C：，符合；對于D：，不符合；故選：AC.10.當實數變化時，關于的方程可以表示的曲線類型有（）A.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線【答案】ACD【解析】【分析】利用曲線方程的特征逐一判斷即可.【詳解】當時，方程為，即，此時方程表示直線；當時，方程為若，則方程表示雙曲線；若，此時無解；當，方程表示橢圓.方程可以表示的曲線類型有直線，雙曲線，橢圓.故選：ACD.11.如圖，在直棱柱中，分別是的中點，則下列說法正確的有（）A.B.C.直線與平面的夾角正切值為D.【答案】BC【解析】【分析】對于A：直接求解判斷；對于B：通過證明面來判斷；對于C：為直線與平面的夾角，計算其正切值即可；對于D：分別求出，，然后利用公式計算即可.【詳解】對于A：因為，所以，則，A錯誤；對于B：因為，為線段中點，所以，又面面，面面，面，所以面，又面，所以，B正確；對于C：因為面，所以面，所以為直線與平面的夾角，又，C正確；對于D：，又，所以，D錯誤.故選：BC.12.已知圓過點，點在線段上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，以為直徑作圓，則下列說法正確的是（）A.圓的方程為B.面積的最小值為2C.圓的面積的最小值為D.切點的連線過定點【答案】ABD【解析】【分析】根據給定條件，求出圓方程，結合圓的切線性質及圓與圓的位置關系，對選項逐一判斷，即可得到結果.【詳解】依題意，圓的圓心在直線上，設，則，解得，圓，其圓心，半徑，A正確；設，顯然四點共圓，該圓的直徑是線段，方程為，整理得，由消去二次項得直線的方程：，直線：，由得，即直線過定點，D正確；顯然，當時，弦長最短，此時，因此以為直徑的圓的面積最小值為，C錯誤；直線的斜率，當時，直線：與線段平行，因此點到直線的距離最小值為兩條平行直線與間距離，而此時弦長最短，從而的面積的最小值為，B正確.故選：ABD【點睛】方法點睛：圓的弦長的常用求法：①幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則；②代數方法：運用根與系數的關系及弦長公式：.第二部分非選擇題（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.雙曲線的離心率為_______.【答案】【解析】【分析】根據雙曲線方程直接求出離心率即可.【詳解】雙曲線實半軸長，虛半軸長，半焦距，所以雙曲線的離心率.故答案為：14.已知是等差數列的前項和，若，則數列的前2024項和為________.【答案】##【解析】【分析】根據給定條件，求出等差數列的通項及前項和，再利用裂項相消法求和即得.【詳解】等差數列中，，又，則，因此等差數列的公差，則，，于是，數列的前項和，所以數列的前2024項和為.故答案為：15.已知兩條平行線與之間的距離為1，則實數的值為________.【答案】或2【解析】【分析】根據平行線間距離公式即可求解.【詳解】直線，，所以兩平行線間的距離為，解得或，故答案為：2或16.如圖，在棱長為6的正方體中，分別是棱的中點，過三點的平面與正方體各個面所得交線圍成的平面圖形的周長為________.【答案】【解析】【分析】根據給定條件，利用平面的基本事實作出截面，再求出截面多邊形周長.【詳解】直線與直線分別交于點，連接分別交于是，連接，則五邊形是過三點的平面截正方體所得截面，如圖，顯然，，則，，，而，所以五邊形的周長為.故答案為：【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知動點到兩個定點，的距離的比（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點作曲線的切線，求切線的方程.【答案】17.18.或【解析】【分析】（1）設，根據題中幾何關系得，再利用兩點間距離公式從而可求解.（2）由（1）求出圓心，半徑，設出直線方程，再結合直線與圓相切從而可求解.【小問1詳解】設，由題意得，即，化簡得，所以動點的軌跡的方程為.【小問2詳解】由（1）知化簡為標準方程為，圓心為，半徑，設直線的斜率為，即直線方程為，因為直線與圓相切，所以，解得或，所以直線的方程為或.18.如圖，正方形的邊長為，取正方形各邊的中點，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點，作第3個正方形，依此方法一直繼續(xù)下去;在這個過程中，記正方形邊長為，正方形，第個正方形邊長為，構成數列.（1）寫出；（2）求數列的通項公式；（3）記數列滿足，求數列的前項和.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據圖形特征，利用勾股定理求出；（2）分析得到，從而得到為等比數列，進而求出通項公式；（3）由題意，，進而求數列的前項和.【小問1詳解】因為，所以，所以；因為，所以，所以.【小問2詳解】第個正方形邊長為，則那么第個正方形邊長為，所以，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以.【小問3詳解】因為，所以，所以.19.已知橢圓經過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作傾斜角的直線，直線交橢圓于點，求面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據給定條件，列出方程組并求解即得.（2）求出直線的方程，與橢圓的方程聯立，求出縱坐標差的絕對值即可計算面積.【小問1詳解】依題意，且，解得，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】由直線過點且傾斜角為，得直線的方程為，由消去并整理得，易知，設，則，于是，所以面積為..20.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，（1）求證：平面；（2）若與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析.（2）【解析】【分析】（1）根據線面垂直的判定定理可證；（2）建立空間直角坐標系，分別計算平面與平面的法向量，用向量法求平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】因為四邊形是菱形，則為的中點，且所以，又，且平面，所以平面.【小問2詳解】設菱形的邊長為，，，由（1）知平面，∴與平面所成的角為，得到，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量，則，即，令，則，所以，設平面的法向量，則，即，令，則，所以，所以因為二面角為鈍二面角，則平面與平面夾角的余弦值為.21.已知平面直角坐標系下，拋物線的準線方程：（1）求拋物線的標準方程；（2）若拋物線上兩點滿足，求證：直線過定點，并求出定點坐標.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過準線求出即可；（2）設，，與拋物線聯立，利用韋達定理計算，求出即可.【小問1詳解】由準線方程：可得，即，所以拋物線的標準方程為；【小問2詳解】是拋物線上兩點，明顯直線的斜率不為零，設，，聯立，消去得，則，所以，解得，此時所以，其過定點.22.已知數列的前項和，且（1）求數列的通項公式；（2）設數列的通項公式，若將數列中的所有項按原順序依次插入數列中，組成一個新數列:與之間插入項中的項，該新數列記作數列，求數列的前100項的和.【答案】