2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第九章第四節(jié)　事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式

第四節(jié)事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式1.結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義；結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率、了解條件概率，能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的條件概率.2.結(jié)合古典概型，了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系，會(huì)用乘法公式計(jì)算概率.3.結(jié)合古典概型，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.1.相互獨(dú)立事件（1）概念：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P（AB）＝成立，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)為獨(dú)立；（2）相互獨(dú)立事件的概率公式的推廣：若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則P（A1A2…An）＝P（A1）P（A2）…P（An）.2.條件概率（1）概念：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P（A）＞0，我們稱(chēng)P（B｜A）＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)條件概率；（2）兩個(gè)公式①利用古典概型：P（B｜A）＝；②概率的乘法公式：P（AB）＝.提醒P（AB）＝P（A）P（B）只有在事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立，此時(shí)P（B）＝P（B｜A）.（3）性質(zhì)①P（Ω｜A）＝1；②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）；③設(shè)B和B互為對(duì)立事件，則P（B｜A）＝1－P（B｜A）.3.全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P（B）＝，我們稱(chēng)上面的公式為全概率公式.1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）（1）對(duì)于任意兩個(gè)事件，公式P（AB）＝P（A）·P（B）都成立.（）（2）拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”為事件A，“第2枚為正面”為事件B，則A，B相互獨(dú)立.（）（3）若事件A1與A2是對(duì)立事件，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）.（）2.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為0.8，乙中靶的概率為0.9，則兩人都中靶的概率為（）A.0.26 B.0.98C.0.72 D.0.93.夏季里，某天甲、乙兩地下雨的概率分別為13和14，且兩地同時(shí)下雨的概率為16，則夏季的這一天里，在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為A.112 B.1C.23 D.4.已知P（A）＝58，P（B｜A）＝35，P（B｜A）＝13，則P（B）5.已知m是一個(gè)三位正整數(shù)，若m的十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字，百位數(shù)字大于十位數(shù)字，則稱(chēng)m為遞增數(shù).已知a，b，c∈{0，1，2，3，4}，設(shè)事件A＝“由a，b，c組成三位正整數(shù)”，事件B＝“由a，b，c組成的三位正整數(shù)為遞增數(shù)”，則P（B｜A）＝.1.若事件A和B是相互獨(dú)立事件，則A和B、A和B、A和B也是相互獨(dú)立事件.2.事件A與事件B是互斥事件，則A與B不相互獨(dú)立.3.已知P（A）＞0，P（B）＞0，P（B｜A）＝P（B），則P（A｜B）＝P（A）.1.一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體，六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，拋擲這個(gè)正方體一次，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字得到樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，設(shè)事件E＝{1，2}，事件F＝{1，3}，事件G＝{2，4}，則（）A.E與F不是互斥事件 B.F與G是對(duì)立事件C.E與F是相互獨(dú)立事件 D.F與G是相互獨(dú)立事件2.（2024·煙臺(tái)一模）已知P（B｜A）＝P（B）且P（A）＝23，則P（A｜B）＝相互獨(dú)立事件考向1相互獨(dú)立事件的判斷【例1】（2021·新高考Ⅰ卷8題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立聽(tīng)課記錄解題技法判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的方法（1）定量法：利用P（AB）＝P（A）P（B）是否成立可以準(zhǔn)確地判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立；（2）定性法：直觀地判斷一個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生是否有影響，若沒(méi)有影響就是相互獨(dú)立事件.考向2相互獨(dú)立事件的概率【例2】在奧運(yùn)知識(shí)有獎(jiǎng)問(wèn)答競(jìng)賽中，甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道題，已知甲答對(duì)這道題的概率是34，甲、乙兩人都回答錯(cuò)誤的概率是112，乙、丙兩人都回答正確的概率是14（1）求乙答對(duì)這道題的概率；（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答對(duì)這道題的概率.解題技法1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟（1）確定各事件是相互獨(dú)立的；（2）確定各事件會(huì)同時(shí)發(fā)生；（3）求每個(gè)事件發(fā)生的概率，再用公式求解.2.與相互獨(dú)立事件A，B有關(guān)的概率的計(jì)算公式事件A，B相互獨(dú)立概率計(jì)算公式A，B同時(shí)發(fā)生P（AB）＝P（A）P（B）A，B同時(shí)不發(fā)生P（AB）＝P（A）P（B）＝[1－P（A）][1－P（BA，B至少有一個(gè)不發(fā)生P＝1－P（AB）＝1－P（A）·P（B）A，B至少有一個(gè)發(fā)生P＝1－P（AB）＝1－P（A）·P（BA，B恰有一個(gè)發(fā)生P＝P（AB＋AB）＝P（A）·P（B）＋P（A）P（B）1.設(shè)M，N為兩個(gè)隨機(jī)事件，則以下命題是真命題的為（）A.若M，N為互斥事件，且P（M）＝15，P（N）＝14，則P（M∪N）B.若P（M）＝12，P（N）＝13，P（MN）＝16，則事件MC.若P（M）＝12，P（N）＝13，P（MN）＝16，則事件MD.若P（M）＝12，P（N）＝13，P（MN）＝23，則事件2.設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立，則同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率為（）A.0.11 B.0.21C.0.31 D.0.41條件概率【例3】（1）（2023·全國(guó)甲卷6題）某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛(ài)好滑冰，50%的同學(xué)愛(ài)好滑雪，70%的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛(ài)好滑雪，則該同學(xué)也愛(ài)好滑冰的概率為（）A.0.8 B.0.6C.0.5 D.0.4（2）在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品，現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率為.聽(tīng)課記錄解題技法求條件概率的常用方法（1）利用定義，分別求P（A）和P（AB），得P（B｜A）＝P（（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，即n（AB），得P（B｜A）＝n（1.某射擊選手射擊一次擊中10環(huán)的概率是45，連續(xù)兩次均擊中10環(huán)的概率是12，已知該選手某次擊中10環(huán)，則隨后一次擊中10環(huán)的概率是（A.25 B.C.12 D.2.有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長(zhǎng)為幼苗的概率為.全概率公式【例4】（1）（2024·威海質(zhì)檢）某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時(shí)，答對(duì)的概率為100%，而不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率為0.25，那么他答對(duì)題目的概率為；（2）（選擇性必修第三冊(cè)第50頁(yè)例4改編）某學(xué)校有A，B兩家餐廳，甲同學(xué)第一天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.6；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8.則甲同學(xué)第二天去A餐廳用餐的概率為.聽(tīng)課記錄解題技法應(yīng)用全概率公式求概率的思路（1）按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai（i＝1，2，…，n）；（2）求P（Ai）和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P（Ai）P（B｜Ai）；（3）代入全概率公式計(jì)算.1.（2024·六盤(pán)水第一次?？迹┎シN用的一批一等葫蘆種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子，1%的四等種子，一、二、三、四等種子長(zhǎng)出的葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實(shí)的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，則這批種子所生長(zhǎng)出的葫蘆秧