《數(shù)字信號處理》課件第6章

第6章有限長單位脈沖響應(yīng)6.1線性相位FIR濾波器的特點6.2用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器6.3用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器6.4等波紋線性相位濾波器

6.5FIR濾波器和IIR濾波器的比較6.6數(shù)字濾波器的應(yīng)用6.1線性相位FIR濾波器的特點

如果FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)是實數(shù)序列，而且滿足偶對稱或奇對稱的條件，即h(n)=h(N-1-n)

或h(n)=-h(N-1-n)

則濾波器就具有嚴(yán)格的線性相位特點。6.1.1線性相位特性先看h(n)偶對稱的情況:h(n)=h(N-1-n) 0≤n≤N-1（6-1）其系統(tǒng)函數(shù)為將m=N-1-n代入即上式改寫成（6-2）（6-3）濾波器的頻率響應(yīng)為（6-4）我們可以看到，上式的Σ以內(nèi)全部是標(biāo)量，如果我們將頻率響應(yīng)用相位函數(shù)θ(ω)及幅度函數(shù)H(ω)表示（6-5）那么有：（6-6）（6-7）式(6-6)的幅度函數(shù)H(ω)是標(biāo)量函數(shù)，可以包括正值、負(fù)值和零，而且是ω的偶對稱函數(shù)和周期函數(shù);而|H(ejω)|取值大于等于零,兩者在某些ω值上相位相差π。式(6-7)的相位函數(shù)θ(ω)具有嚴(yán)格的線性相位，如圖6-1所示。圖6-1h(n)偶對稱時線性相位特性數(shù)字濾波器的群延遲τ(ω)定義為（6-8）式中，grd(group

delay)為群延遲函數(shù)。由式（6-8）可知，當(dāng)h(n)滿足偶對稱時，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器具有(N-1)/2個采樣的延時，它等于單位脈沖響應(yīng)h(n)長度的一半。也就是說，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的輸出響應(yīng)整體相對于輸入延時了(N-1)/2個采樣周期。再看h(n)奇對稱的情況:h(n)=-h(N-1-n)0≤n≤N-1（6-9）其系統(tǒng)函數(shù)為因此H(z)=-z-(N-1)H(z-1)（6-10）同樣可以改寫成（6-11）其頻率響應(yīng)為（6-12）所以有:（6-13）（6-14）

幅度函數(shù)H(ω)可以包括正值、負(fù)值和零，而且是ω的奇對稱函數(shù)和周期函數(shù)。相位函數(shù)既是線性相位，又包括π/2的相移，如圖6-2所示。可以看出，當(dāng)h(n)為奇對稱時，F(xiàn)IR濾波器不僅有(N-1)/2個采樣的延時，還產(chǎn)生一個90°的相移。這種使所有頻率的相移皆為90°的網(wǎng)絡(luò)，稱為９０°移相器，或稱正交變換網(wǎng)絡(luò)。它和理想低通濾波器、理想微分器一樣，有著極重要的理論和實際意義。當(dāng)h(n)為奇對稱時，F(xiàn)IR濾波器將是一個具有準(zhǔn)確的線性相位的正交變換網(wǎng)絡(luò)。圖6-2h(n)奇對稱時線性相位特性6.1.2幅度響應(yīng)特性1.第一種類型：

h(n)為偶對稱，N為奇數(shù)從h(n)偶對稱的幅度函數(shù)式（6-6）可以看出，不但h(n)對于(N-1)/2呈偶對稱，而且 也對(N-1)/2呈偶對稱，即:因此，可以將Σ內(nèi)兩兩相等的項合并，例如n=0項與n=N-1項合并，n=1項與n=N-2項合并，等等。但是，由于N是奇數(shù)，兩兩合并的結(jié)果必然還剩下一項，即n=(N-1)/2項是單項，無法和其他項合并，這樣，幅度函數(shù)就可以表示為再進(jìn)行一次換元，即令 ，則上式可改寫為可表示為（6-15）式中:（6-16a）n=1,2,3,…,(N-1)/2（6-16b）

按照式（6-15），由于式中cos(ωn)項對ω=0,π,2π皆為偶對稱，因此幅度函數(shù)H(ω)對于ω=0,π，2π也呈偶對稱。

2.第二種類型：h(n)為偶對稱，N為偶數(shù)推導(dǎo)過程和前面N為奇數(shù)相似，不同點是由于N為偶數(shù)，因此式（6-6）中無單獨項，全部可以兩兩合并得令 ，代入上式可得因此（6-17）式中:n=1,2,3,…,N/2（6-18）按照式（6-17），當(dāng)ω=π時， ，余弦項對ω=π呈奇對稱，因此H(π)=0，即H(z)在z=ejπ=-1處必然有一個零點，而且H(ω)對ω=π呈奇對稱。當(dāng)ω=0或2π時， 或-1，余弦項對ω=0,2π為偶對稱，幅度函數(shù)H(ω)對于ω=0,2π也呈偶對稱。如果數(shù)字濾波器在ω=π處不為零，例如高通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計。3.第三種類型：h(n)為奇對稱，N為奇數(shù)將h(n)奇對稱的幅度函數(shù)式（6-13）重寫如下：

由于h(n)對于(N-1)/2呈奇對稱，即h(n)=-h(N-1-n)，當(dāng)n=(N-1)/2時，因此， ,即h(n)奇對稱時，中間項一定為零。此外，在幅度函數(shù)式（6-13）中， 也對(N-1)/2呈奇對稱。因此，在Σ中第n項和第(N-1-n)項是相等的，將這兩兩相等的項合并，共合并為(N-1)/2，即令 ，則上式可改寫為即式中:n=1,2,3,…,(N-1)/2（6-20）（6-19）由于sin(ωn)在ω=0,π,2π處都為零，并對這些點呈奇對稱，因此幅度函數(shù)H(ω)在ω=0,π,2π處為零，即H(z)在z=±1上都有零點，且H(ω)對于ω=0,π,2π也呈奇對稱。如果數(shù)字濾波器在ω=0,π,2π處不為零，例如低通濾波器、高通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計，除非不考慮這些頻率點上的值。

4.第四種類型：h(n)為奇對稱，N為偶數(shù)和前面情況3推導(dǎo)類似，不同點是由于N為偶數(shù)，因此式（6-13）中無單獨項，全部可以兩兩合并得令 ，則有因此式中:（6-22）（6-21）由式（6-21），當(dāng)ω=0,2π時， ，且對ω=0,2π呈奇對稱，因此H(ω)在ω=0,2π處為零，即H(z)在z=1處有一個零點，且H(ω)對ω=0,2π也呈奇對稱。

當(dāng)ω=π時， 或1，則 對ω=π呈偶對稱，幅度函數(shù)H(ω)對于ω=π也呈偶對稱。如果數(shù)字濾波器在ω=0,2π處不為零，例如低通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數(shù)字濾波器來設(shè)計。最后,將這四種線性相位FIR濾波器的特性示于表6-1中。表6-1四種線性相位濾波器表6-1四種線性相位濾波器6.1.3線性相位FIR濾波器的零點位置由式（6-2）與式（6-10）可以看到，線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)有以下特點：H(z)=±z-(N-1)H(z-1)（6-23）因此，若z=zi是H(z)的零點，即H(zi)=0，則它的倒數(shù)z=1/zi=zi-1也一定是H(z)的零點，因為H(zi-1)=±zi

(N-1)

H(zi)=0;而且當(dāng)h(n)是實數(shù)時，H(z)的零點必成共軛對出現(xiàn)，所以z=zi*及z=(z*i)-1也一定是H(z)的零點，因而線性相位FIR濾波器的零點必是互為倒數(shù)的共軛對。這種互為倒數(shù)的共軛對有四種可能性：(1)zi既不在實軸上，也不在單位圓上，則零點是互為倒數(shù)的兩組共軛對，如圖6-3(a)所示。

(2)zi不在實軸上，但是在單位圓上，則共軛對的倒數(shù)是它們本身，故此時零點是一組共軛對，如圖6-3(b)所示。

(3)zi在實軸上但不在單位圓上，只有倒數(shù)部分，無復(fù)共軛部分。故零點對如圖6-3(c)所示。

(4)zi既在實軸上又在單位圓上，此時只有一個零點，有兩種可能，或位于z=1，或位于z=-1，如圖6-3(d)、(e)所示。圖6-3線性相位FIR濾波器的零點位置圖

由幅度響應(yīng)的討論可知，第二種類型的線性相位濾波器由于H(π)=0，因此必然有單根z=-1。第四種類型的線性相位濾波器由于H(0)=0,因此必然有單根z=1。而第三種類型的線性相位濾波器由于H(0)=H(π）=0，因此這兩種單根z=±1都必須有。了解了線性相位FIR濾波器的特點，便可根據(jù)實際需要選擇合適類型的FIR濾波器，同時設(shè)計時需遵循有關(guān)的約束條件。下面討論線性相位FIR濾波器的設(shè)計方法時，都要用到這些特點。6.1.4舉例

例6-1

如果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為0≤n≤4其他n顯然，這是第一種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為該系統(tǒng)的振幅、相位和群延遲示于圖6-4中。因為h(n)的長度N=5，群延遲也是整數(shù)，τ(ω)=(N-1)/2=2。圖6-4例6-1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（a）振幅特性;(b)相位;(c)群延遲圖6-5例6-2系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(a）振幅特性;(b)相位;(c)群延遲例6-2

系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為0≤n≤5其他n

h(n)為偶對稱且長度N=6，因此，這是第二種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為該系統(tǒng)的振幅、相位和群延遲示于圖6-5中。

例6-3

系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)=δ(n)-δ(n-2)

h(n)為奇對稱且長度N=3，因此，這是第三種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為該系統(tǒng)的振幅、相位和群延遲示于圖6-6中。圖6-6例6-3系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（a）振幅特性;(b)相位;(c)群延遲圖6-7例6-4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（a）振幅特性;(b)相位;(c)群延遲

例6-4

系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

h(n)=δ(n)-δ(n-1)

h(n)為奇對稱且長度N=2，這是第四種類型的線性相位FIR數(shù)字濾波器。該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為該系統(tǒng)的振幅、相位和群延遲示于圖6-7中。[例6-5]

一個FIR線性相位濾波器的單位脈沖響應(yīng)是實數(shù)的，且n<0和n>6時h(n)=0。如果h(0)=1且系統(tǒng)函數(shù)在z=0.5ejπ/3和z=3各有一個零點，H(z)的表達(dá)式是什么？

解因為n<0和n>6時h(n)=0，且h(n)是實值，所以當(dāng)H(z)在z=0.5ejπ/3

有一個復(fù)零點時，則在它的共軛位置z=0.5e-jπ/3

處一定有另一個零點。這個零點共軛對產(chǎn)生如下的二階因子：H1(z)=(1-0.5ejπ/3

z-1)(1-0.5e-jπ/3z-1)=1-0.5z-1+0.25z-2

線性相位的約束條件需要在這兩個零點的倒數(shù)位置上有零點，所以H(z)同樣必須包括如下的有關(guān)因子：

系統(tǒng)函數(shù)還包含一個z=3的零點，同樣線性相位的約束條件需要在z=1/3也有一個零點。于是，H(z)還具有如下因子：由此，我們有最后，多項式中零階項的系數(shù)為A，為使h(0)=1，必定有：A=1。6.2用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器6.2.1設(shè)計方法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器最簡單的方法是窗函數(shù)法。這種方法一般是先給定所要求的理想濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejω)，要求設(shè)計一個FIR濾波器頻率響應(yīng) ,去逼近理想的頻率響應(yīng)Hd(ejω)。然而，窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器是在時域進(jìn)行的，因此，必須首先由理想頻率響應(yīng)Hd(ejω)的傅里葉反變換推導(dǎo)出對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)hd(n)（6-24）

由于許多理想化的系統(tǒng)均用分段恒定的或分段函數(shù)表示的頻率響應(yīng)來定義，因此這種系統(tǒng)具有非因果的和無限長的脈沖響應(yīng)，即hd(n)一定是無限長的序列，且是非因果的。而我們要設(shè)計的是FIR濾波器，其h(n)必定是有限長的，所以要用有限長的h(n)來逼近無限長的hd(n)，最簡單且最有效的方法是截斷hd(n)0≤n≤N-1其他通常，我們可以把h(n)表示為所需單位脈沖響應(yīng)與一個有限長的窗口函數(shù)序列w(n)的乘積，即h(n)=hd(n)w(n)（6-26）（6-25）式中，如果采用如式（6-25）的簡單截取，則窗函數(shù)為矩形窗。0≤n≤N-1其他（6-27）矩形窗的波形如圖6-8（b）所示。例如，要求設(shè)計一個FIR低通數(shù)字濾波器，假設(shè)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為|ω|≤ωc

ωc<|ω|≤π（6-28）相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)hd(n)為（6-29）

這是一個中心點在a的偶對稱、無限長、非因果序列，hd(n)的波形如圖6-8（a）所示。為了構(gòu)造一個長度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對(N-1)/2對稱，故中心點a必須取a=(N-1)/2。設(shè)截取的一段用h(n)表示，如式（6-26）所示，h(n)的波形如圖6-8（c）所示。圖6-8理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗

由復(fù)卷積定理可知，時域相乘，頻域是周期卷積，故h(n)的頻率特性為（6-30）

H(ejω)能否逼近Hd(ejω)取決于窗函數(shù)的頻譜特性W(ejω)這里選用矩形窗RN(n)，其頻譜特性為（6-31）幅頻特性和相頻特性為（6-32）式中：其中，WR(ω)是周期函數(shù)，如圖6-9（b）所示。主瓣寬度為4π/N，兩側(cè)有許多衰減振蕩的旁瓣。通常主瓣定義為原點兩邊第一個過零點之間的區(qū)域。（6-33）圖6-9矩形窗對理想低通幅頻特性的影響若將理想濾波器的頻率響應(yīng)也寫成（6-34）則其幅頻特性（6-35）

將式（6-32）和式（6-34）代入式（6-30），就可以得到實際設(shè)計的FIR濾波器頻率響應(yīng)H(ejω)（6-36）設(shè)（6-37）則實際設(shè)計的FIR濾波器的幅頻特性為（6-38）

顯然，對實際FIR濾波器的幅頻特性H(ω)有影響的只是窗函數(shù)的幅頻特性WR(ω)。實際FIR濾波器的幅頻特性是理想低通濾波器的幅頻特性與窗函數(shù)的幅頻特性的復(fù)卷積。

復(fù)卷積過程可用圖6-9說明。為了觀察到復(fù)卷積給H(ω)帶來的過沖和波動，只看幾個特殊的頻率點。（1）ω=0時的響應(yīng)H(0)，根據(jù)式（6-38），響應(yīng)應(yīng)該是圖6-9中（a）和(b)兩個函數(shù)乘積的積分，即H(0)等于WR(θ)在θ=-ωc到θ=+ωc一段的積分面積。通常ωc>>2π/N，H(0)實際上近似等于WR(θ)的全部積分（θ=-π到θ=+π）面積。（2）ω=ωc時的響應(yīng)H(ωc)，Hd(θ)剛好與WR(ω-θ)的一半重疊，如圖6-9（c）。因此卷積值剛好是H(0)的一半，即H(ωc)/H(0)=1/2，如圖6-9（f）。

（3）ω=ωc-2π/N時的響應(yīng)H(ωc-2π/N)，WR(ω-θ)的全部主瓣都在Hd(θ)的通帶（|ω|≤ωc）之內(nèi)，如圖6-9（d）。因此卷積結(jié)果有最大值，即H(ωc-2π/N)為最大值，頻響出現(xiàn)正肩峰。（4）ω=ωc+2π／Ｎ時的響應(yīng)H(ωc+2π/N)，WR(ω-θ)的全部主瓣都在Hd(θ)的通帶（|ω|≤ωc）之外，如圖6-9（e）。而通帶內(nèi)的旁瓣負(fù)的面積大于正的面積，因而卷積結(jié)果達(dá)到最負(fù)值，頻響出現(xiàn)負(fù)肩峰。

（5）當(dāng)ω>ωc+2π/N

當(dāng)時，隨著ω的繼續(xù)增大，卷積值將隨著WR(ω-θ)的旁瓣在Hd(θ)的通帶內(nèi)面積的變化而變化，H(ω)將圍繞著零值波動。當(dāng)ω由ωc-2π/N向通帶內(nèi)減小時，WR(ω-θ)的右旁瓣進(jìn)入Hd(θ)的通帶，使得H(ω)值圍繞H(0)值而波動。H(ω)值如圖6-9（f）所示。

綜上所述，加窗函數(shù)處理后，對理想頻率響應(yīng)產(chǎn)生以下幾點影響：（1）H(ω)將Hd(ω)在截止頻率處的間斷點變成了連續(xù)曲線，使理想頻率特性不連續(xù)點處邊沿加寬，形成一個過渡帶，過渡帶的寬度等于窗的頻率響應(yīng)WR(ω)的主瓣寬度Δω=4π/N，即正肩峰與負(fù)肩峰的間隔為4π/N。窗函數(shù)的主瓣越寬，過渡帶也越寬。（2）在截止頻率ωc的兩邊即ω=ωc±(2π/N)的地方，H(ω)出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少，則取決于旁瓣的多少。

（3）改變N，只能改變窗譜函數(shù)的主瓣寬度，改變ω的坐標(biāo)比例以及改變WR(ω)的絕對值大小。例如，在矩形窗情況下，式中，x=ωN/2。

當(dāng)截取長度N增加時，只會減小過渡帶寬度（4π/N），但不能改變主瓣與旁瓣幅值的相對比例;同樣，也不會改變肩峰的相對值。這個相對比例是由窗函數(shù)形狀決定的，與N無關(guān)。換句話說，增加截取窗函數(shù)的長度N只能相應(yīng)的減少過渡帶，而不能改變肩峰值。

由于肩峰值的大小直接影響通帶特性和阻帶衰減，所以對濾波器的性能影響較大。例如,在矩形窗情況下，最大相對肩峰值為8.95%，N增加時，2π/N減小，起伏振蕩變密，最大相對肩峰值則總是8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng)。6.2.2各種窗函數(shù)

矩形窗截斷造成的肩峰值為8.95%，則阻帶最小衰減為20lg(8.95%)=-21dB,這個衰減量在工程上常常是不夠大的。為了加大阻帶衰減，只能改變窗函數(shù)的形狀。只有當(dāng)窗譜逼近沖激函數(shù)時，也就是絕大部分能量集中于頻譜中點時，H(ω)才會逼近Hd(ω)。這相當(dāng)于窗的寬度為無限長，等于不加窗口截斷，這沒有實際意義。從以上討論中看出，窗函數(shù)序列的形狀及長度的選擇很關(guān)鍵，一般希望窗函數(shù)滿足兩項要求：

（1）窗譜主瓣盡可能地窄，以獲取較陡的過渡帶。（2）盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度。也就是能量盡量集中于主瓣，這樣使肩峰和波紋減小，就可增大阻帶的衰減。但是這兩項要求是不能同時都滿足的。當(dāng)選用主瓣寬度較窄時，雖然得到較陡的過渡帶，但通帶和阻帶的波動明顯增加；當(dāng)選用最小的旁瓣幅度時，雖能得到平坦的幅度響應(yīng)和較小的阻帶波紋，但過渡帶加寬，也即主瓣會加寬。因此,實際所選用的窗函數(shù)往往是它們的折衷。在保證主瓣寬度達(dá)到一定要求的前提下，適當(dāng)犧牲主瓣寬度以換取相對旁瓣的抑制。以上是從幅頻特性的改善對窗函數(shù)提出的要求。實際上設(shè)計的FIR濾波器往往要求具有線性相位，h(n)=hd(n)w(n)

因此，除了要求hd(n)滿足線性相位條件外，對w(n)也要求長度N有限，且以(N-1)/2為其對稱中心，即w(n)=w(N-1-n)6-39）綜上所述，窗函數(shù)不僅起截斷作用，還能起平滑作用，在很多領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。因此,設(shè)計一個特性良好的窗函數(shù)有著重要的實際意義。設(shè)計FIR濾波器常用的窗函數(shù)有：1.矩形窗0≤n≤N-1其他2.三角形（Bartlett）窗w(n)的傅里葉變換為（6-40）(6-41)

近似結(jié)果在N>>1時成立。此時，主瓣寬度為8π/N,比矩形窗主瓣寬度增加一倍，但旁瓣卻小很多。3.漢寧（Hanning）窗

漢寧窗又稱升余弦窗。(6-42)利用傅里葉變換特性，可得(6-43)當(dāng)N>>1時，N-1≈N,所以窗函數(shù)的幅頻函數(shù)為（6-44）

這三部分之和，使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣，它的最大旁瓣值比主瓣值約低31dB。但是代價是主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍，即為8π/N。4.海明（Hamming）窗海明窗又稱改進(jìn)的升余弦窗。把升余弦窗加以改進(jìn)，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式為(6-45)w(n)的頻率響應(yīng)的幅度特性為(6-46)

與漢寧窗相比，主瓣寬度相同，為8π/N，但旁瓣又被進(jìn)一步壓低，結(jié)果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，它的最大旁瓣值比主瓣值約低41dB。

5.布拉克曼（Blackman）窗布拉克曼窗又稱二階升余弦窗。為了進(jìn)一步抑制旁瓣，對升余弦窗函數(shù)再加上一個二次諧波的余弦分量，變成布拉克曼窗，故又稱二階升余弦窗。(6-47)w(n)的頻率響應(yīng)的幅度特性為(6-48)圖6-10五種常用的窗函數(shù)圖6-11圖6-10的各種窗函數(shù)的傅里葉變換（N=51），A=20lg|W(ω)/W(θ)|(a)矩形窗;(b)巴特利特窗（三角形窗）;(c)漢寧窗;(d)海明窗;(e)布拉克曼窗圖6-12理想低通濾波器加窗后的幅度響應(yīng)（N=51）,A=20lg|H(ω)/H(0)|(a)矩形窗;(b)巴特利特窗（三角形窗）;(c)漢寧窗;(d)海明窗;(e)布拉克曼窗6.凱塞（Kaiser）窗這是一種適應(yīng)性較強(qiáng)的窗，其窗函數(shù)的表示式為0≤n≤N-1（6-49）式中，I0(x)是第一類變形零階貝塞爾函數(shù)，β是一個可自由選擇的參數(shù)。

零階貝塞爾函數(shù)的曲線如圖6-13所示。圖6-13零階貝塞爾函數(shù)圖6-14凱塞窗函數(shù)表6-2凱塞窗的性能

雖然凱塞窗看上去沒有初等函數(shù)的解析表達(dá)式。但是，在設(shè)計凱塞窗時，對零階變形貝塞爾函數(shù)可采用無窮級數(shù)來表達(dá)（6-50）這個無窮級數(shù)，可用有限項級數(shù)去近似，項數(shù)多少由要求的精度來確定。因而采用計算機(jī)是很容易求解的。表6-3六種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較下面將窗函數(shù)法的設(shè)計步驟歸納如下：（1）給定希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)。（2）根據(jù)式（6-24）求單位脈沖響應(yīng)hd(n)。

如果Hd(ejω)很復(fù)雜或不能直接計算積分，則必須用求和代替積分，以便在計算機(jī)上計算，也就是要計算離散傅里葉反變換，一般都采用FFT來計算。將積分限分成M段，也就是令采樣頻率為ωk=2πk/M，k=0,1,2,…,M-1，則有（6-51）頻域的采樣，造成時域序列的周期延拓，延拓周期是M，即（6-52）

由于hd(n)有可能是無限長的序列，因此嚴(yán)格說，必須當(dāng)M→∞時，hＭ(n)才能等于hd(n)而不產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，即 。實際上，由于hd(n)隨n的增加衰減很快，一般只要M足夠大，即M>>N，近似就足夠了。

（3）由過渡帶寬及阻帶最小衰減的要求，可選定窗形狀，并估計窗口長度N。設(shè)待求濾波器的過渡帶用Δω表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。因過渡帶Δω近似與窗口長度成反比，N≈A/Δω，A決定于窗口形式。例如，矩形窗A=4π，海明窗A=8π等，A參數(shù)選擇參考表6-3。按照過渡帶及阻帶衰減情況，選擇窗函數(shù)形式。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù)。（4）最后，計算所設(shè)計的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)。h(n)=hd(n)w(n)0≤n≤N-1（5）由h(n)求FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)

通常整個設(shè)計過程可利用計算機(jī)編程來實現(xiàn)，可多選擇幾種窗函數(shù)來試探，從而設(shè)計出性能良好的FIR濾波器。例6-6

用矩形窗設(shè)計一個線性相位帶通濾波器-ωc≤ω-ω0≤ωc

０≤ω<ω0-ωc,ω0+ωc<ω≤π（1）設(shè)計N為奇數(shù)時的h(n)。（2）設(shè)計N為偶數(shù)時的h(n)。（3）若改用海明窗設(shè)計，求以上兩種形式的h(n)表達(dá)式。解根據(jù)該線性相位帶通濾波器的相位可知該濾波器只能是h(n)=h(N-1-n)即h(n)偶對稱的情況，h(n)偶對稱時，可為第一類和第二類濾波器，其頻響

（1）當(dāng)N為奇數(shù)時，h(n)=h(N-1-n)，可知H(ejω)為第一類線性相位濾波器，H(ω)關(guān)于ω=0,π,2π有偶對稱結(jié)構(gòu)。題目中僅給出了Hd(ejω)在0～π上的取值，但用傅里葉反變換求hd(n)時，需要Hd(ejω)在一個周期［-π,π］或［0,2π］上的值，因此,Hd(ejω)需根據(jù)第一類線性相位濾波器的要求進(jìn)行擴(kuò)展，擴(kuò)展結(jié)果為ω0-ωc≤ω≤ω0+ωc,-ω0-ωc≤ω≤-ω0+ωc

-ω0+ωc<ω<ω0-ωc,-π≤ω<-ω0-ωc,ω0+ωc<ω≤π則

h(n)=hd(n)RＮ(n)(2)N

為偶數(shù)時，H(ejω)為第二類線性相位濾波器，H(ω)關(guān)于ω=0呈偶對稱。所以,Hd(ejω)在［-π,π］之間的擴(kuò)展同上，則hd(n)也同上，即:(3)若改用海明窗則N為奇數(shù)時N為偶數(shù)時

上面兩個表達(dá)式形式雖然完全一樣，但由于N為奇數(shù)時，對稱中心點α=(N-1)/2為整數(shù)，N為偶數(shù)時，α為非整數(shù)，因此N在奇數(shù)和偶數(shù)情況下，濾波器的單位脈沖響應(yīng)的對稱中心不同，在0≤n≤N-1上的取值也完全不同。

例6-7

根據(jù)下列技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計一個FIR低通濾波器。通帶截止頻率ωp=0.2π，通帶允許波動Ap=0.25dB；阻帶截止頻率ωs=0.3π，阻帶衰減As=50dB。

解查表6-3可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于50dB的衰減。但海明窗具有較小的過渡帶從而具有較小的長度N。根據(jù)題意，所要設(shè)計的濾波器的過渡帶為

由表6-3可知，利用海明窗設(shè)計的濾波器的過渡帶寬Δω=8π/N，所以低通濾波器單位脈沖響應(yīng)的長度為3dB通帶截止頻率為

由式（6-29）可知，理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)為海明窗為則所設(shè)計的濾波器的單位脈沖響應(yīng)為N=80所設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)為

利用計算機(jī)編程實現(xiàn)，結(jié)果如圖6-15所示。圖6-15（a）是理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n);圖6-15(b)是海明窗函數(shù);圖6-15(c)是實際低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n);圖6-15(d)是實際低通濾波器的幅頻特性|H(ejω)|，以dB為單位。濾波器長N=80，實際阻帶衰減為As=53dB，通帶波動為Ap=0.0316dB，均滿足設(shè)計要求。圖6-15例6-7中低通濾波器設(shè)計結(jié)果

窗口法設(shè)計的主要優(yōu)點是簡單，使用方便。窗口函數(shù)大多有封閉的公式可循，性能、參數(shù)都已有表格、資料可供參考，計算程序簡便，所以很實用。缺點是通帶和阻帶的截止頻率不易控制。6.3用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器

頻率采樣法是從頻域出發(fā)，把給定的理想頻率響應(yīng)Hd(ejω)以等間隔采樣（6-53）以此Hd(k)作為實際FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)的采樣值H(k)，即令

H(k)=Hd(k)=Hd(ejω)|ω=2πk/N

k=0,1,2,…,N-1（6-54）知道H(k)后,由IDFT定義,可以用這N個采樣值H(k)來惟一確定有限長序列h(n)，即n=0,1,2,…,N-1(6-55）式中，h(n)為待設(shè)計的濾波器的單位脈沖響應(yīng)。其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為(6-56）

以上就是頻率采樣法設(shè)計濾波器的基本原理。此外，由頻域內(nèi)插公式知道，利用這N個頻域采樣值H(k)同樣可求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)(6-57）6.3.1線性相位的約束如果我們設(shè)計的是線性相位的FIR濾波器，則其采樣值H(k)的幅度和相位一定要滿足前面所討論的四類線性相位濾波器的約束條件。（1）對于第一類線性相位濾波器，即h(n)偶對稱，長度N為奇數(shù)時，

H(ejω)=H(ω)ejθ(ω)

（6-58）式中：（6-59）

第一類線性相位濾波器幅度函數(shù)H(ω)關(guān)于ω=0,π,2π為偶對稱，即（6-60）如果采樣值H(k)=H(ej2πk/N)也用幅值Hk（純標(biāo)量）與相角θk表示，即（6-61）并在ω=0～2π之間等間隔采樣N點k=0,1,2,…,N-1將ω=ωk代入式（6-59）與式（6-60)中，并寫成k的函數(shù),有：（6-62）（6-63）由式（6-63）可知，Hk滿足偶對稱要求。

（2）對于第二類線性相位FIR濾波器，即h(n)偶對稱，N為偶數(shù)，則其H(ejω)的表達(dá)式仍為但是，其幅度函數(shù)H(ω)關(guān)于ω=π是奇對稱的，關(guān)于ω=0,2π為偶對稱，H(ω)=-H(2π-ω)（6-64）所以，這時的Hk也應(yīng)滿足奇對稱要求Hk=-HN-k

（6-65）

（3）對于第三類線性相位FIR濾波器，即h(n)奇對稱，N為奇數(shù)，時，

H(ejω)=H(ω)ejθ(ω)

式中：

第三類線性相位濾波器幅度函數(shù)H(ω)關(guān)于ω=0,π,2π為奇對稱，即（6-66）（6-67）將ω=ωk=2πk/N代入式（6-66）與式（6-67）中，并寫成k的函數(shù)，得:（6-68）（6-69）即Hk滿足奇對稱要求。

（4）對于第四類線性相位FIR濾波器，即h(n)奇對稱，N為偶數(shù)，則其H(ejω)的表達(dá)式仍為但是，其幅度函數(shù)H(ω)關(guān)于ω=π是偶對稱的，關(guān)于ω=0,2π為奇對稱，即（6-70）所以，這時的Hk也應(yīng)滿足偶對稱要求而θk則與前面公式式（6-68）相同。（6-71）6.3.2逼近誤差及其改進(jìn)措施頻率采樣法是比較簡單的，但是我們還應(yīng)該進(jìn)一步考察，用這種頻率采樣所得到的系統(tǒng)函數(shù)究竟逼近效果如何？如此設(shè)計所得到的頻響H(ejω)與要求的理想頻響Hd(ejω)會有怎樣的差別？在第2章中，我們已經(jīng)知道，利用N個頻域采樣值H(k)可求得FIR濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)，即（6-72）式中,Φ(ω)是內(nèi)插函數(shù)（6-73）

上式表明,在各頻率采樣點ω=2πk/N，k=0,1,2,…,N-1上,Φ(ω-2πk/N)=1，因此，采樣點上濾波器的實際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格地和理想頻率響應(yīng)數(shù)值相等的。但是在采樣點之間的頻響則是由各采樣點的加權(quán)內(nèi)插函數(shù)的延伸疊加而成的,因而有一定的逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率響應(yīng)曲線形狀。理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想值，逼近誤差越小。例如,圖6-16(b)中的理想特性是一梯形響應(yīng)，變化很緩和，因而采樣后逼近效果就較好。反之，如果采樣點之間的理想頻率特性變化越陡，則內(nèi)插值與理想值的誤差就越大，因而在理想頻率特性的不連續(xù)點附近，就會產(chǎn)生肩峰和起伏。例如,圖6-16(a)中是一個矩形的理想特性，它在頻率采樣后出現(xiàn)的肩峰和起伏就比梯形特性大得多。圖6-16頻率采樣的響應(yīng)圖6-17加過渡帶（a）一點過渡帶;(b)二點過渡帶;(c)三點過渡帶

如圖6-17所示，在頻率響應(yīng)的過渡帶內(nèi)插入一個（Hc1）或兩個（Hc1，Hc2）或三個（Hc1，Hc2，Hc3）采樣點，這些點上采樣最佳值由計算機(jī)算出。這樣就增加了過渡帶，減小了頻帶邊緣的突變，減小了通帶和阻帶的波動，因而增大了阻帶最小衰減。這些采樣點上的取值不同，效果也就不同，從式（6-72）可看出，每一個頻率采樣值都要產(chǎn)生一個與內(nèi)插函數(shù)sin(Nω/2)/sin(ω/2)成正比并且在頻率上位移2πk/N的頻率響應(yīng)，而FIR濾波器的頻率響應(yīng)就是H(k)與內(nèi)插函數(shù)的線性組合。如果精心設(shè)計過渡帶的采樣值，就有可能使它的相鄰頻帶波動得以減小從而設(shè)計出較好的濾波器。一般過渡帶取一，二，三點采樣值即可得到滿意結(jié)果，在低通設(shè)計中，不加過渡采樣點時，阻帶最小衰減為-20dB，一點過渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計阻帶最小衰減可提高到-44dB到-54dB左右，二點過渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計可達(dá)-65dB到-75dB左右，而加三點過渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計則可達(dá)-85dB到-95dB左右。

例6-8

用頻率采樣法設(shè)計一線性相位濾波器，N=15，幅度采樣值為試設(shè)計采樣值的相位θk，并求h(n)及H(ejω)的表達(dá)式。

解因本題所給N=15，且Ｈk=HN-k滿足偶對稱條件，H0=1，由表6-1可知，這是第一類線性相位濾波器。相位 ，因此有：0≤k≤140≤n≤14

例6-9

利用頻率采樣法，設(shè)計一個線性相位低通FIR數(shù)字濾波器，其理想頻率特性是矩形的0≤ω≤ωc

其他已知ωc=0.5π，采樣點數(shù)為奇數(shù)N=33。試求各采樣點的幅值Hk及相位θk，也即求采樣值H(k)。

解

N=33,且低通濾波器幅度特性H(0)=1。由表6-1可知，這屬于第一類線性相位濾波器。第一類線性相位濾波器的幅度特性H(ω)關(guān)于ω=π為偶對稱，即

且有：則Hk滿足偶對稱特性，因而有：0≤k≤32又故0≤k≤8,25≤k≤329≤k≤240≤k≤32例6-9也可用MATLAB編程來實現(xiàn)。程序如下：clearall;N=33;wc=0.5*pi;k=0:N-1;phase=-pi*k*(N-1)/N;M=floor(wc/(2*pi/N));HK=[ones(1,M+1),zeros(1,N-2*M-1),ones(1,M)];%HK1=HK.*exp(j*phase);hn=ifft(HK1,N);freqz(hn,1,512);圖6-18FIR低通濾波器的幅頻和相頻特性圖此時是不設(shè)過渡點的情況，如果要加一個過渡點H=0.5，那么程序只需改動一個地方：把

HK=[ones(1,M+1),zeros(1,N-2*M-1),ones(1,M)];改為

HK=[ones(1,M+1),0.5,zeros(1,N-2*M-3),0.5,ones(1,M)];即可。

頻率采樣法的優(yōu)點是可以在頻域直接設(shè)計，并且適合最優(yōu)化設(shè)計;缺點是采樣頻率只能等于2π/N的整數(shù)倍，因而不能確保截止頻率ωc的自由取值，要想實現(xiàn)自由地選擇截止頻率，必須增加采樣點數(shù)N，但這又使計算量加大。6.4等波紋線性相位濾波器

采用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器方法簡單，通常會得到一個性能相對很好的濾波器。但是在以下兩個方面的問題，這些濾波器的設(shè)計還不是最優(yōu)的：（1）通帶和阻帶的波動基本上相等，雖然一般需要δ2小于δ1，但是在窗函數(shù)法中不能分別控制這些參數(shù)。所以，窗函數(shù)法需要在通帶內(nèi)對濾波器“過設(shè)計”（即通帶內(nèi)的技術(shù)指標(biāo)超過所要求的技術(shù)指標(biāo)），這樣才能滿足阻帶的嚴(yán)格要求。

（2）對于大部分窗函數(shù)來說，通帶內(nèi)或阻帶內(nèi)的波動不是均勻的，通常離開過渡帶時會減小。若允許波動在整個通帶內(nèi)均勻分布，那么就會產(chǎn)生較小的峰值波動。另一方面，對于一個給定的濾波器階數(shù)M（M=N-1），在所有頻帶內(nèi)波動的幅度最小。在這個意義上說，等波紋線性相位濾波器是最優(yōu)的。所以，等波紋線性相位濾波器設(shè)計法又稱為等波紋最佳一致逼近設(shè)計法。一個FIR線性相位濾波器的頻率響應(yīng)可以寫成（6-74）式中，幅度H(ω)是ω的實值函數(shù)。對于第一類線性相位濾波器h(n)=h(N-1-n)式中，N是奇數(shù)。利用h(n)的對稱性可以將頻率相應(yīng)表示為（6-75）式中，L=(N-1)/2，且有：Hd(ω)是期望的幅度;W(ω)是一個正的誤差加權(quán)函數(shù)，它是為在通帶或阻帶要求不同的逼近精度而設(shè)計的。一般地，在要求逼近精度高的頻帶，W(ω)取值大;要求逼近精度低的頻帶,W(ω)的取值小。設(shè)計過程中W(ω)為已知函數(shù)。設(shè)E(ω)=W(ω)［Hd(ω)-H(ω)］是一個加權(quán)逼近誤差。等波紋濾波器設(shè)計問題就是求系數(shù)a(k)，要求在一組頻率F上使E(ω)的最大絕對值最小，

例如，為了設(shè)計一個低通濾波器，頻率組F可以是通帶［0,ωp］和阻帶［ωs,π］內(nèi)的頻率，如圖6-18所示。過渡帶［ωp,ωs］是不關(guān)心的區(qū)域，求加權(quán)誤差最小時不作考慮，此時可以采用交錯定理求這個最優(yōu)化問題。圖6-19等波紋濾波器設(shè)計中的頻率組，包括通帶［0,ωp］和阻帶［ωs,π］過渡帶［ωp,ωs］是不關(guān)心的區(qū)域

交錯定理：設(shè)F是［0,π］區(qū)間內(nèi)封閉子集的并集，對于一個正的加權(quán)函數(shù)W(ω)，在F上，H(ω)能成為惟一使加權(quán)誤差|E(ω)|最大值最小的函數(shù)。其充要條件是：在F上E(ω)至少有L+2個交錯值。也就是說，在F上必須至少有L+2個極值頻率，ω0<ω1<…<ωL+1

這樣E(ωk)=-E(ωk+1)k=0,1,…,L

且k=0,1,…,L+1

交錯定理說明最優(yōu)濾波器是等波紋的。雖然交錯定理確定了最優(yōu)濾波器必須有的極值頻率（或波動）最少數(shù)目，但是可以有更多的數(shù)目。例如，一個低通濾波器可以有L+2個或L+3個極值頻率，有L+3個極值頻率的低通濾波器稱作超波紋濾波器。由交錯定理可以得到：W(ωk)［Hd(ωk)-H(ωk)］=(-1)kε

k=0,1,…,L+1式中，是最大的加權(quán)誤差絕對值，這些關(guān)于未知數(shù)a(0),…,a(L)以及ε的方程可以寫成下面矩陣的形式：

給定了極值頻率，就可以解關(guān)于a(0),…,a(L)以及ε的方程。為了求極值頻率，可以采用一種高效的迭代過程，稱作帕克斯-麥克萊倫（ParksMcClellan）算法。（更詳細(xì)的內(nèi)容，可參考文獻(xiàn)［1］。）具體步驟如下：①估計一組初始極值頻率（可任選）。②解方程（6-76）求ε，可以證明ε的值為式中：③利用拉格朗日插值公式在極值頻率之間插值，計算F上的加權(quán)誤差函數(shù)。④先選擇使插值函數(shù)最大的L+2個頻率，然后再選擇一組新的極值頻率。⑤如果極值頻率改變了，從步驟②開始重復(fù)迭代過程。

一個設(shè)計公式可以用來計算一個低通濾波器的等波紋濾波器階數(shù)，過渡帶寬度為Δf，通帶波動為δ1，阻帶波動為δ2，該公式為(6-77)[例6-10]

設(shè)計一個等波紋低通濾波器，通帶截止頻率ωp=0.3π，阻帶截止頻率ωs=0.3π，通帶波動δ1=0.01，阻帶波動δ2=0.001。

解利用式（6-77）計算濾波器階數(shù)，求

由于我們希望阻帶內(nèi)的波動比通帶內(nèi)的波動小10倍，所以必須采用加權(quán)函數(shù)對誤差加權(quán)：0≤|ω|≤0.3π0.35π≤|ω|≤π圖6-20

實際中，一般調(diào)用MATLAB信號處理工具箱函數(shù)remezord來計算等波紋濾波器階數(shù)N和加權(quán)函數(shù)W(ω)，調(diào)用函數(shù)remezord直接求濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)。6.5FIR濾波器和IIR濾波器的比較

首先，從性能上說，IIR濾波器可以用較少的階數(shù)獲得很高的選擇特性，這樣一來，所用存儲單元少，運算次數(shù)少，較為經(jīng)濟(jì)而且效率高。但是這個高效率的代價是以相位的非線性得來的。選擇性越好，非線性越嚴(yán)重。相反，F(xiàn)IR濾波器可以得到嚴(yán)格的線性相位。但是，如果需要獲得一定的選擇性，則要用較多的存儲器和較多的運算，成本比較高，信號延時也較大。然而，