2024年高考數(shù)學最后沖刺訓練《新高考新題型一》含答案解析

2024年高考考前逆襲卷（新高考新題型）01

數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

全國新高考卷的題型會有所調(diào)整，考試題型為8（單選題）+3（多選題）+3（填

空題）+5（解答題），其中最后一道試題是新高考地區(qū)新增加的題型，主要涉及集合、

數(shù)列，導數(shù)等模塊，以解答題的方式進行考查。

預測2024年新高考地區(qū)數(shù)列極有可能出現(xiàn)在概率與統(tǒng)計大題中，而結(jié)構(gòu)不良型題

型可能為集合或?qū)?shù)模塊中的一個，出現(xiàn)在19題的可能性較大，難度中等偏上，例如

本卷第19題。

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合要求的。

I.已知樣本數(shù)據(jù)再,X2,…,再00的平均數(shù)和標準差均為4,則數(shù)據(jù)FT-無2T，…,FooT

的平均數(shù)與方差分別為（）

A.-5,4B.-5,16C.4,16D.4,4

2.已知向量@=（1,2）,村=3,卜-2閘=&7,則向量汗在向量B上的投影向量的模長

為（）

A.6B.3C.2D.—

5

3.已知在等比數(shù)列｛%｝中，2a2+%=15,出生%=729,貝！|5“一?！?（）

A.2X3"T-2B.C.2x3"-wD.5x3"-3

4.已知三棱錐/-BCD中，AB=6,AC=3,BC=3也,三棱錐/-BCD的體積為

辿,其外接球的體積為空兀，則線段CD長度的最大值為（）

23

A.7B.8C.772D.10

5.一個信息設(shè)備裝有一排六只發(fā)光電子元件，每個電子元件被點亮時可發(fā)出紅色光、藍

色光、綠色光中的一種光.若每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不能

同時被點亮，根據(jù)這三個被點亮的電子元件的不同位置以及發(fā)出的不同顏色的光來表示

不同的信息，則這排電子元件能表示的信息種數(shù)共有（）

A.60種B.68種C.82種D.108種

6.己知°=25，^=logjpc=log23,則（）

43

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

7.純電動汽車是以車載電源為動力，用電機驅(qū)動車輪行駛，符合道路交通、安全法規(guī)

各項要求的車輛，它使用存儲在電池中的電來發(fā)動.因其對環(huán)境影響較小，逐漸成為當

今世界的乘用車的發(fā)展方向.研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年

Peukert提出鉛酸電池的容量C、放電時間f和放電電流/之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：

C3,其中幾為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)），在電池容量不變的

條件下，當放電電流為7.5A時，放電時間為60h；當放電電流為25A時，放電時間為15h,

則該蓄電池的Peukert常數(shù)4約為（參考數(shù)據(jù)：值2。0.301,修3處0.477）（）

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

8.己知雙曲線G：=-4=lm>0,6>0）與拋物線C2：y2=2px5>0）,拋物線C2的準

ab

線過雙曲線q的焦點尸，過點尸作雙曲線。的一條漸近線的垂線，垂足為點加，延長

尸〃■與拋物線相交于點N,若涼+3歷;=4而，則雙曲線G的離心率等于（）

A.V3+1B.^±1C.V2D.V2+1

2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在復平面內(nèi)，下列說法正確的是（）

1-i

A.若復數(shù)Z=丁一（i為虛數(shù)單位），則z74=-1

B,若復數(shù)z滿足z=』，貝UzeR

C.右Z]Z2=0,貝Uzi=0或Z2=0

D.若復數(shù)z滿足匕-1|+匕+1|=2,則復數(shù)z對應點的集合是以坐標原點。為中心，

焦點在x軸上的橢圓

10.設(shè)直線系A(chǔ)f:xcos”e+ysin*=l（其中0,m,"均為參數(shù)，

機,"€{1,2}）,則下列命題中是真命題的是（）

A.當他=1,〃=1時，存在一個圓與直線系M中所有直線都相切

B.存在a,n,使直線系M中所有直線恒過定點，且不過第三象限

C.當〃?="時，坐標原點到直線系M中所有直線的距離最大值為1,最小值為正

2

D.當機=2,〃=1時，若存在一點/（a,0）,使其到直線系M中所有直線的距離不

小于1,貝!JaWO

11.如圖所示，一個圓錐S。的底面是一個半徑為3的圓，/C為直徑，且

N/SC=120。，點3為圓。上一動點（異于A,C兩點），則下列結(jié)論正確的是（）

71兀

A.ZSAB的取值范圍是

o2_

B.二面角S-8C-/的平面角的取值范圍是修鼻

C.點A到平面SBC的距離最大值為3

D.點M為線段S3上的一動點，當時，AM+MC>6

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)集合N={X|X2-X-6<。},B={x\-a<x<a],若A=B,則實數(shù)。的取值范圍

.

13.己知三棱柱NBC-4耳G中，“BC是邊長為2的等邊三角形，四邊形工844為菱

形，/4/3=60。，平面N244,平面NBC,M為N8的中點，N為2片的中點，則三

棱錐Q-A.MN的外接球的表面積為.

/、a（\wc.-lux.）1

14.已知對任意網(wǎng)62e（0,+oo）,且當王<羽時，都有：——=---<1+----,貝！的

x2-項XxX2

取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）在A48c中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別a,b,c,其中

a=b+2,c=41b,且sin/=^2sinC-

⑴求c的值；

⑵求tan/的值；

⑶求COS0/+?）的值.

16.(15分)如圖，在三棱錐尸-N8C中，M為/C邊上的一點,

⑴證明：/CJ■平面P2A/；

(2)設(shè)點。為邊PB的中點，試判斷三棱錐尸-NC。的體積是否有最大值？如果有，請求

出最大值；如果沒有，請說明理由.

17.(15分)近年來，某大學為響應國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學生開

放了48兩個健身中心，要求全校學生每周都必須利用課外時間去健身中心進行適當?shù)?/p>

體育鍛煉.

(1)該校學生甲、乙、丙三人某周均從48兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若甲、

112

乙、丙該周選擇A健身中心健身的概率分別為于§,§,求這三人中這一周恰好有一人選

擇A健身中心健身的概率；

(2)該校學生丁每周六、日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身

中心的其中一個，其中周六選擇A健身中心的概率為，若丁周六選擇A健身中心，則

周日仍選擇A健身中心的概率為[；若周六選擇B健身中心，則周日選擇A健身中心的

4

概率為|.求丁周日選擇3健身中心健身的概率；

(3)現(xiàn)用健身指數(shù)上(左?0,10])來衡量各學生在一個月的健身運動后的健身效果，并規(guī)定

上值低于1分的學生為健身效果不佳的學生，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)從全校學生中隨機抽取一人,

其左值低于1分的概率為0.12.現(xiàn)從全校學生中隨機抽取一人，如果抽取到的學生不是健

身效果不佳的學生，則繼續(xù)抽取下一個，直至抽取到一位健身效果不佳的學生為止，但

抽取的總次數(shù)不超過〃.若抽取次數(shù)的期望值不超過23,求〃的最大值.

參考數(shù)據(jù)：0.9829x0.557,0.9830?0.545,0.9831?0.535.

22

18.（17分）已知橢圓。：3+4=1（。>6>0）的上下頂點分別為片,鳥，左右頂點分別

ab

為4,4,四邊形&8/2鳥的面積為6不，若橢圓c上的點到右焦點距離的最大值和最

小值之和為6.

（1）求橢圓C的方程；

⑵過點（-1,0）且斜率不為o的直線/與c交于p,。（異于4,4）兩點，設(shè)直線4尸與

直線4。交于點”，證明：點M在定直線上.

19.（17分）給定整數(shù)〃23,由"元實數(shù)集合戶定義其隨影數(shù)集

。={,-川尸,X3>}.若min（Q）=l,則稱集合尸為一個〃元理想數(shù)集，并定義戶的

理數(shù)f為其中所有元素的絕對值之和.

⑴分別判斷集合$={-2,-1,2,3）,7={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想數(shù)集；（結(jié)論不要求

說明理由）

（2）任取一個5元理想數(shù)集P,求證：|min（尸）|+|max（尸）上4；

⑶當尸={再/2,…應叱}取遍所有2024元理想數(shù)集時，求理數(shù)1的最小值.

注：由〃個實數(shù)組成的集合叫做〃元實數(shù)集合，11^?（尸）,111畝（尸）分別表示數(shù)集尸中的最

大數(shù)與最小數(shù).

2024年高考考前逆襲卷（新高考新題型）01

數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

全國新高考卷的題型會有所調(diào)整，考試題型為8（單選題）+3（多選題）+3（填

空題）+5（解答題），其中最后一道試題是新高考地區(qū)新增加的題型，主要涉及集合、

數(shù)列，導數(shù)等模塊，以解答題的方式進行考查。

預測2024年新高考地區(qū)數(shù)列極有可能出現(xiàn)在概率與統(tǒng)計大題中，而結(jié)構(gòu)不良型題

型可能為集合或?qū)?shù)模塊中的一個，出現(xiàn)在19題的可能性較大，難度中等偏上，例如

本卷第19題。

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合要求的。

I.已知樣本數(shù)據(jù)再,X2,…,再00的平均數(shù)和標準差均為4,則數(shù)據(jù)FT-無2T，…,FooT

的平均數(shù)與方差分別為（）

A.-5,4B.-5,16C.4,16D.4,4

【答案】B

【詳解】由題意知樣本數(shù)據(jù)再,馬，…，毛（）0的平均數(shù)和標準差均為4,貝!!西,馬,…，西。。的方

差為16,

貝卜士,-尤2,…,-占00的平均數(shù)為-4,方差為（-1）2xl6=16,

?-1,~x2-1,???,-x100-1的平均數(shù)為-4-1=-5,方差16,

故選：B

2.已知向量1=（1,2）,忖=3,歸-24=如，則向量3在向量加上的投影向量的模長

為（）

A.6B.3C.2D.—

5

【答案】C

【詳解】因為之=（1,2）,所以同=逐，

因為5-2可=如，所以卜-2可=17,

所以Q?Q-4Q.B+4B.B=17，又忸卜3,

a-b6

所以a%=6,所以向量1在向量B上的投影向量的模的值為2

w3

故選：c.

3.己知在等比數(shù)列｛%｝中，2a2+(z3=15,a2a3a4=729,則()

A.2X3"T-2B.g(3"T-1)C.2x3"-?D.5x3"-3

【答案】B

【詳解】因為在等比數(shù)列｛4｝中，出%%=729,所以城=729,解得%=9,

又2%+%=”，解得。2=3,

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為9,則4=：="|=3，

所以q=1,所以S“-"=g-3"T=；（3"T一1）.

故選：B.

4.已知三棱錐/-BCD中，AB=6,AC=3,BC=36三棱錐4-8。的體積為

處8,其外接球的體積為空兀，則線段C。長度的最大值為（）

23

A.7B.8C.75/2D.10

【答案】C

【詳解】因為球的體積為言兀，所以球的半徑五滿足一兀=g兀叱，可得火=5；

又/5=6,/C=3,BC=3VL因此/"=/。2+3（72,即乙。8=90°,此時

S"c=；X3X36=￥^;

設(shè)點。到平面/BC的距離為3貝己力x%8=2,可得〃=7,

322

因為。在球的截面圓上，設(shè)截面圓所在的平面為當々與平面/8C平行時，DC有

最大值；

設(shè)球心到平面/8C的距離為d,而08C的外心即為的中點，外接圓的半徑為

-AB=3,

2

則d=A/52-32=4，故球心到平面a的距離為7-4=3,

可知截面圓半徑為152-32=4；

設(shè)C在平面a上的射影為E,則E的軌跡為圓，如下圖所示:

設(shè)該圓圓心為O,則當。,O,E三點共線時且點。在中間時，OE最長，

此時?！?3+4=7,故線段CD長度的最大值為7VL

故選：C

5.一個信息設(shè)備裝有一排六只發(fā)光電子元件，每個電子元件被點亮時可發(fā)出紅色光、藍

色光、綠色光中的一種光.若每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不能

同時被點亮，根據(jù)這三個被點亮的電子元件的不同位置以及發(fā)出的不同顏色的光來表示

不同的信息，則這排電子元件能表示的信息種數(shù)共有（）

A.60種B.68種C.82種D.108種

【答案】D

【詳解】每次恰有三個電子元件被點亮，但相鄰的兩個電子元件不能同時被點亮，

所以需把3個亮的發(fā)光原件插入未點亮的元件中，有C；=4種方法，

且不同顏色數(shù)有3x3x3=27種，

所以這排電子元件能表示的信息種數(shù)共有4x27=108種.

故選：D

6.己知.=2一"，6=logi]c=log23,則（）

43

A.a<b<cB.c〈b<aC.b〈a〈cD.

【答案】A

【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，a=2-L1<2-1=p

1.17?1t11

-=!ogi-<^=log1-<log,-=1,c=log23>log,2=1,

2a24W4

所以a<b<c,

故選：A.

7.純電動汽車是以車載電源為動力，用電機驅(qū)動車輪行駛，符合道路交通、安全法規(guī)

各項要求的車輛，它使用存儲在電池中的電來發(fā)動.因其對環(huán)境影響較小，逐漸成為當

今世界的乘用車的發(fā)展方向.研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年

Peukert提出鉛酸電池的容量C、放電時間f和放電電流/之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：

C=IAt,其中2為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)(稱為Peukert常數(shù))，在電池容量不變的

條件下，當放電電流為7.5A時，放電時間為60h；當放電電流為25A時，放電時間為15h,

則該蓄電池的Peukert常數(shù)2約為(參考數(shù)據(jù)：愴2Q0.301,lg3^0.477)()

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

【答案】D

【詳解】由題意知C=7.5'x60=25'xl5,

所以=F￡|=^=4,兩邊取以10為底的對數(shù)，得21gm=21g2,

21g22x0.301

所以文=-1.15,

l-lg31-0.477

故選：D.

22

8.已知雙曲線G：\-4=l(a>0/>0)與拋物線C2：/=2px(P>0),拋物線C?的準

ab

線過雙曲線G的焦點/，過點歹作雙曲線G的一條漸近線的垂線，垂足為點“，延長

尸〃?與拋物線C?相交于點N,若而+3赤=4兩，則雙曲線G的離心率等于()

A.V3+1B.*上C.V2D.V2+1

2

【答案】C

【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為2c,

???拋物線Q的準線過雙曲線G的焦點產(chǎn)，

：——=c,

22

hbe

又；萬(-C,0)到y(tǒng)=：無的距離d7=+夕=b,即|MF1=6,

?-?ON+3OF=4dM^>ON-OM=3dM-3OF,MN=3FM,

:.\NM\=3b,貝[]|FV]=4b,

■-\OF\=c,得|OA/|=y/FO2-FM2=a,

過N作NP_Lx軸，則AFOM*NP,

故相=■=耨=京=而=3=加刊=等'產(chǎn)尸上.

4.6、

由于尸c,---在--拋物線C2：/=2px(p>0)上,所以即

,cc)

4a2b2=(4/-c2)c2=>c4=4b2(c2-a2)=4Z>4=>c2=2b2,故c?=2/，

故6=也.故選：C.

二'選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.在復平面內(nèi)，下列說法正確的是()

1-i

A.若復數(shù)2=7—(i為虛數(shù)單位)，則z74=-l

1+1

B.若復數(shù)z滿足z=[,則zeR

C.右Z[Z2=0，則zi=0或Z2=0

D.若復數(shù)z滿足|z-l|+|z+l|=2,則復數(shù)z對應點的集合是以坐標原點。為中心，

焦點在x軸上的橢圓

【答案】ABC

1-i(1-i)22i

【詳解】解：復數(shù)z=^~~7=71―可―^=-T=-i,

因為r=1，所以274=,r1=_1,故選項A正確;

設(shè)2=a+bi(a,b￡R),若復數(shù)z滿足z=』

貝！Ja+bi=a—6i,即6=0,所以2ER,故選項B正確;

設(shè)Z]=機+疝(機,〃￡R),?2=c+"i(c，d仁R)，

貝U2任2=(加+疝)(c+di)=mc-nd+(md+i.

因為2/2=me-nd—(md+幾c)i,且21Z2=me—nd-(md+i,

所以2必2=Z1Z2.

若2必2=0,則Z1Z2=O，所以Z1=O或Z2=0，故選項C正確；

由復數(shù)z滿足|z-l|+|z+l|=2,則復數(shù)z對應點的集合是一條線段，故選項D錯誤.

故選：ABC

10.設(shè)直線系":xcos”e+ysin"P=l（其中0,加，〃均為參數(shù)，0V0W2兀，

加,{1,2}）,則下列命題中是真命題的是（）

A.當加=1,”=1時，存在一個圓與直線系〃中所有直線都相切

B.存在加，"，使直線系M中所有直線恒過定點，且不過第三象限

C.當機=”時，坐標原點到直線系M中所有直線的距離最大值為1,最小值為正

2

D.當加=2,〃=1時，若存在一點工（。，0）,使其到直線系〃?中所有直線的距離不

小于1,則aMO

【答案】ABD

【詳解】A選項，當加=1,〃=1時，/：xcos9+ysin<9=l,

設(shè)圓為尤2+/=1,則圓心（o,0）到直線,：XCOS。+ysin夕=1的距離d=",=1,

Vcos<9+sin6

故”:xcose+〉sin8=l與—=1總相切，A正確；

B選項，當加=〃=2時，M:xcos20+j^sin23=\,

由于cos2e+sin2e=l,故直線Af:xcos2e+ysin2e=l恒過（1,1）,

若sin9=0時，直線為=

若sinS/O時，直線/:》煙2。+可112=1的斜率為-^^m0,

故直線M:xcos20+ysit?0=1不過第三象限，

所以存在加，n,使直線系"中所有直線恒過定點，且不過第三象限，B正確；

C選項，當加=〃二1時，M:xcos3+ysin0=1,

111

坐標原點到直線系M的距離為4=/J,=1,

Vcos26>+sin26>

當當加=〃=2時，Af:xcos2^+^sin2^=1,

111

坐標原點到直線系M的距離為d2=-/J4

Vcos8+sin0

其中cos40+sin40=cos20cos26,+sin2^sin20<cos26+sin26=1,

|1|

故出=>1,C錯誤.

Vcos40+sin40

D選項，當機=2,〃=1時，M:xcos2e+ysin8=1,

acos261-l

點/（a,0）到直線系M中所有直線的距離4=/J=>1,

Vcos4^H-sin20

化簡得（〃—1）cos2。22a—1恒成立,

由于cos29￡[0,l],

若/_1=0,解得a=±l,

當a=l時，0>1,不合要求，舍去，

當。=-1時，02-1,滿足要求，

若即。>1或。<一1,此時一Dcos?6的最小值為0,

則022a-l,解得故此時

若即一此時（"-Deos?。的最小值為。2一1,

貝!JQ2一122。一1,解得或aVO,故此時一

綜上，a<0,D正確.

故選：ABD

11.如圖所示，一個圓錐SO的底面是一個半徑為3的圓，4c為直徑，且

乙4SC=120。，點5為圓。上一動點（異于A,。兩點），則下列結(jié)論正確的是（）

S

B

71兀

A.的取值范圍是

02_

B.二面角S-8C-/的平面角的取值范圍是

C.點A到平面SBC的距離最大值為3

D.點M為線段S3上的一動點，當時，AM+MC>6

【答案】BD

【詳解】由已知/c=6,ZASC=U0°,且山=SC=S8,

在A/SC中，由余弦定理可知，cosN/SC=S"+SC_/C,

2SA-SC

即」=胃/’解得小SC3=2G則SO3

A選項：點3為圓。上一動點（異于A,。兩點）,

則45￡（0,6）,

…，…工產(chǎn)AB2AB

4gB-473'

所以cos/SAB’21

所以/"BE，A選項錯誤;

S

C

BD

B選項：取3。中點。，連接SZ）,0D,則SDL2C,0D1BC,且ODUAB,

OD=^ABG（0,3）,

則二面角S-8C-/的平面角為/S。。,

所以tan/SDO=*布」也

—，+°°>

37

7171

所以NSAOe，B選項正確;

6'2

C選項：由已知邑SBC=；8C-S。，

又S,=-ABBC=ODBC,

/、AABLr2

1同

則三棱錐S-ABC的體積VS_ABC=-S^ABCSO=^ODBC,

設(shè)點點A到平面SBC的距離為d,

則%=-S^-d=-BC-SD-d=-OD-BC,

SBC3ASBC63

貝I]d=型=2gcosZSDOe（0,3）,C選項錯誤;

SD

D選項：當&4_LS8時，AB=42SA=246,BC=2拒,

則為等腰直角三角形，△SBC為等邊三角形,

將平面SBC繞SB至SBC,使C'與SAB共面，

如圖所示，

貝！JAM+MC=AM+MC>AC,

5兀

在4c中，Z-ASC=—,

6

由余弦定理可知AC'2=SA2+SC'2-2SA-SC'-cos-SC'=12+12+126=24+12百>36,

所以+D選項正確；

故選：BD.

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)集合/={x，-x-6<0},B={x\-a<x<a］,若NgB,則實數(shù)。的取值范圍

.

【答案】［3,+⑹

［詳解］集合/=|x2-x-6<o}=|x|(x-3)(x+2)<01={%|-2<x<3},

yiB={x\-a<x<a},且4=5,

f—aK-21a22「、

故可得，即、,，解得ae3,+m.

［a>3［a23

故答案為：［3,+s).

13.已知三棱柱NBC-44G中，是邊長為2的等邊三角形，四邊形耳4為菱

形，乙4/8=60。，平面平面/3C,M為的中點，N為的中點，則三

棱錐G-4〃N的外接球的表面積為.

【答案】7兀

【詳解】解法一連接雞,AtB,記AABX=&,則0,4=1.

連接Oi〃，OXN,則qM=QN=；43=l,故Q為△4九W外接圓的圓心.

取4巴的中點。，連接。。，則。=所以點。在A4W的外接圓上.

連接CQ,因為△44G為等邊三角形，所以C\D=e.

由平面ABBiAi±平面ABC,知平面ABB1AX±平面44cl,

又平面ABB{A}n平面44G=44，CQu平面44G,所以G。，平面ABBA

//—\2

設(shè)三棱錐G-4跖v的外接球半徑為&,貝UA2=F+Y3=1,

I\274

故三棱錐G-A.MN的外接球的表面積為4成2=7兀.

解法二連接45,CM,則△4/8為正三角形，CM1AB,故

因為平面4BB/11平面ABC,平面ABBXAXA平面ABC=AB,AXMu平面ABBXAX,

所以AXM1平面ABC,

以狼為x軸，為歹軸，朋4為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

得M（0,0,0）,5（1,0,0）,4（0,0,百）,N,C（0,百,0）,G（1,73,73）,

<1

由為等邊三角形，則九w的外接圓圓心為P|

設(shè)三棱錐C「4〃N的外接球的球心為。，連接O尸，OM,OQ,

則。尸，平面4ACV,又CM,平面4ACV,所以。尸〃CM.

<1

設(shè),由。G=OM,可得

&T+（*&『+],一行]=[1）+/+，

解得〃7=巫，因此球心故外接球半徑R=OM=YZ,

9\2227?4

（行丫

故三棱錐G-4九W的外接球的表面積S=4TTXU=7兀.

I2>

故答案為：7K

/、a（lnx-lux.）1

14.已知對任意網(wǎng)62e（0,+oo）,且當王<馬時，都有：-9-----<1+----，貝!]。的

x2-芯XxX2

取值范圍是.

【答案】（-叫2]

,一/、a（h\x,-lux,）1

【詳解】因為對任忌西,％2￡（0,+8）,且當王<%2時-----------<I-1-----怛成立，

x2-再x1x2

,,與一跖，一、

所以QIILT?_QlnX]<x2-x1+----^恒成立，

x{x2一

I111一

所以a\wc2—alnX]<x2-xi-\-------ti.成立，

項x2

I11一^

所以a\wc2-x2+--<alnXy-xx+—恒成立①,

令/（x）-ci\wc-x+—,xG（0,+a）,

由①式可得"馬）</（再），所以〃x）在（0,+8）上單調(diào)遞減，

所以《（X）=-+1W0在（o,+8）上恒成立,

所以/-ax+lNO在（0,+功上恒成立，

所以aVx+工在（0,+/）上恒成立，Xx+1>2Ax--=2,當且僅當工=工，即x=l時取

XX\XX

等號，

.,.aV2.故答案為：（-叫2]

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）在AA8C中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別a,b,c,其中

a=b+2,c=y/ib，且sin/=&sinC.

⑴求c的值；

⑵求tan/的值；

（3）求cos[2/+7〕的值.

【答案】(1)2夜⑵-不⑶加一3二

8

【詳解】(1)sinA=V2sinC,

/.a=V2c，

a=b+2fa=4

.,-<c=5b,解得b=2,

a=V2cc=2\/2

c=2>/2.

(2)由余弦定理可得cos4=一+一-'二—變,又0</〈兀，

2bc4

/.sinA=Vl-cos2A=，tan力=‘融/=-V7.

4cosA

(3)因為cos2A=2cos2A-l=——,sin2^4=2sinAcosA=------，

44

IJT\TTTTV14-3V2

所以cos2A+—=cos2^4cos----sin2Asin—=

I4J448

16.(15分)如圖，在三棱錐尸-/3。中，”為/C邊上的一點，

回

ZAPC=ZPMA=90°,cosZCAB=—,AB=2PC=76,PA=6

3

(1)證明：/C_L平面P2M；

(2)設(shè)點。為邊依的中點，試判斷三棱錐尸-NC0的體積是否有最大值？如果有，請求

出最大值；如果沒有，請說明理由.

【答案】(1)詳見解析⑵YZ

4

【詳解】(1)解：因為乙4尸。=/尸取4=90。，AB=2PC=RPA=5

所以=,4尸2+/。2=迪,由射影定理得/產(chǎn)=41f.

2

AC1—

所以=由余弦定理得瓦I/?=/〃2+452-2/〃./8<05/。12=4,

^\^BM2+AM2=AB2,則4Affi=90°,即

又因為/C_LPM,BMcPM=M,

所以/C_L平面尸MS:

(2)因為點。為邊尸"的中點,

所以%-PAC=J/—PAC，又%—PAC=%—ACQ，%—PAC=%—ABC，

所以修一力怎=；/一ABC,

因為/Cu平面48C,所以平面48C/平面尸,

所以點尸到平面/3C的距離，即為點尸到8河的距離，設(shè)為人

因為S=_1/8/(7與11/。8=工n?拽?逅=迪為定值，

"c22232

當〃最大時，所以三棱錐尸-/C。的體積最大，

PA

而尸加■=—：—=1,貝

AC

當〃=1時，(VPACO)=-(VPABC)=-xlx^lxl=^l.

VP-AC^/max2\P~ABC7max2324

17.(15分)近年來，某大學為響應國家號召，大力推行全民健身運動，向全校學生開

放了48兩個健身中心，要求全校學生每周都必須利用課外時間去健身中心進行適當?shù)?/p>

體育鍛煉.

(1)該校學生甲、乙、丙三人某周均從48兩個健身中心中選擇其中一個進行健身，若甲、

112

乙、丙該周選擇A健身中心健身的概率分別為于§,§,求這三人中這一周恰好有一人選

擇A健身中心健身的概率；

(2)該校學生丁每周六、日均去健身中心進行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個健身

中心的其中一個，其中周六選擇A健身中心的概率為，若丁周六選擇A健身中心，則

周日仍選擇A健身中心的概率為[；若周六選擇B健身中心，則周日選擇A健身中心的

4

概率為|.求丁周日選擇3健身中心健身的概率；

(3)現(xiàn)用健身指數(shù)上(左?0,10])來衡量各學生在一個月的健身運動后的健身效果，并規(guī)定

上值低于1分的學生為健身效果不佳的學生，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)從全校學生中隨機抽取一人,

其左值低于1分的概率為0.12.現(xiàn)從全校學生中隨機抽取一人，如果抽取到的學生不是健

身效果不佳的學生，則繼續(xù)抽取下一個，直至抽取到一位健身效果不佳的學生為止，但

抽取的總次數(shù)不超過〃.若抽取次數(shù)的期望值不超過23,求〃的最大值.

參考數(shù)據(jù)：0.9829?0.557,0.9830?0.545,0.9831。0.535.

713

【答案】(1)而；(2)—；(3)30.

【詳解】(1)由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇A健身中心健身的概率

127

p=1xi-|+■*+xi-1

r3ri18

(2)記事件C：丁周六選擇A健身中心，事件。：丁周日選擇B健身中心,

則尸（C）=P?=；,尸（回。）=1一；］,尸（0。）=1彳=；,

由全概率公式得尸⑷=P（C）P（0c）+P?P（Z>|c）=|x|+|x|=l|

13

故丁周日選擇8健身中心健身的概率為—.

24

（3）設(shè)從全校學生中隨機抽取1人，抽取到的學生是健身效果不佳的學生的概率為人

則0=0.12,

設(shè)抽取次數(shù)為X,則X的分布列為

X123Ln-1n

PP(1-0。(y-p?pL(1-4>(i-^r

故E(X)=p+(l_p)px2+(l_p)2px3-\---1-(1-p)n~22x(〃一l)+(l—p)"Txn,

又

(1一))E(X)=(1—2))+(1—p)2px2+(l—7)3/?x3+???+(1—夕)〃T夕x(〃一1)+(1—7)"xn,

兩式相減得pE(X)=2+(1—夕)夕+(1—夕丫夕+...+(1—2)〃一22+(]一夕)〃-1p,

所以E(X)=]+(1_夕)+0_2)2+...+(]_2)〃-2+(]_2)〃T

_1一(1一2)"_1一(1一+_l-0.98n

pp0.02

1—0.98"

而￡（X）二在〃eN*時單調(diào)遞增,

0.02

可知當T9時，、⑻二二浮胃”5；

1—0.98〃1-0.545…u

當〃=30時，E（X）=-------X--------=22.75；

0.020.02

1—0.98〃1-0.535.…

當〃=31時，E（X）=-------x--------=23.25.

0.020.12

若抽取次數(shù)的期望值不超過23,貝!J〃的最大值為30.

22

18.（17分）已知橢圓C:二+5=1（。>6>0）的上下頂點分別為4,鳥，左右頂點分別

ab

為4,4,四邊形444與的面積為6不，若橢圓c上的點到右焦點距離的最大值和最

小值之和為6.

⑴求橢圓C的方程；

⑵過點（T,o）且斜率不為o的直線/與c交于P,。（異于4,4）兩點，設(shè)直線4尸與

直線4。交于點可，證明：點M在定直線上.

22

【答案】(1)/+[=1(2)證明見解析

【詳解】⑴設(shè)右焦點坐標為右(c,0),橢圓C上的一點？(“〃),則-a<m<a,

22l

mn172b2m

故=+-7=1，^Hnn2=b2——

a2b2a2

則T(m,zz)到右焦點的距離d=yl(m-c)2+n2=Jm2-2cm+c2+b2-b2m2

cm

-Icm+a1----a，

a

crn

因為加Wc,所以一——<C-c-a<--a<c-a,

aa

,.cm

a—cG----QWa+c,

a

即橢圓C上的點到右焦點距離的最大值為a+c,最小值為a-c,

故a+c+Q-c=2a=6,解得a=3,

又四邊形444與的面積為:|441?忸肉=；x2a?2b=2a6=6囪,

故ab=3舊,所以6=后,

22

橢圓方程為土+二=1;

95

(2)當過點(-1,0)且斜率不存在時，直線/方程為x+l=O,

：口中,令Z得，…噌'

不妨設(shè)尸-1,

2回

(x-3)'即4「了=一乎(x-3),

直線4p丁

A)P:y=---

v/-1-3

同理可得4Q:y=-

聯(lián)立4尸,4。得，%=-9,故點M在直線x=-9上,

當過點(T,0)的直線斜率存在且不為0時，設(shè)直線I方程設(shè)為x=-l+my,

22

聯(lián)立/+勺=1得(5〃/+9)/-10叼-40=0,

設(shè)尸(國,必),。仁/2)，則%+%=<1?”：，/力=<一?0°，

5m+95m+9

兩式相除得畋以=-4%-4%,

直線4