2024屆高考數(shù)學(xué)易錯題《平面向量》含答案解析

高中

專題07平面向量

G易錯點：注意零向量書寫及三角形

題型一：平面向量線性運算

\與平行四邊形適用前提

題型二：平面向量的基本定理

“易錯點：忽略基底選取原則

及坐標(biāo)表示

jg：平面向量的i握械,又易錯點：忽懈量積不滿足結(jié)合律

易錯點一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平

面向量線性運算）

i.向量的有關(guān)概念

（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）.

（2）向量的模：向量在的大小，也就是向量方的長度，記作|萬

（3）特殊向量：

①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.

②單位向量：長度等于1個單位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定：6與任一向

量平行.

④相等向量：長度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量.

2.向量的線性運算和向量共線定理

（1）向量的線性運算

運算定義法則（或幾何意義）運算律

.

uA...①交換律

求兩個向量b

加法?

-.Ad+b=b+a

和的運算a

②結(jié)合律

三角形法則平行四邊形法則

高中1

高中

(a+b)+c=a+(b+c)

求值與B的

b/Y*

相反向量工的

減法a-b=a+(-b)

和的運算叫做色.

與B的差三角形法則

(1)

求實數(shù)力與2(/z5)=(2//)5

(2)當(dāng)4>0時，質(zhì)與行的方向相同；

數(shù)乘向量。的積的運(Z+=Aa+向

當(dāng)2<0時，4G與G的方向相同；

算2(5+b)=Aa+Ab

當(dāng)；1=0時，2a=0

共線向量定理

向量1伍R0)與3共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個實數(shù)力,使得一限

共線向量定理的主要應(yīng)用：

⑴證明向量共線：對于非零向量2,b，若存在實數(shù)力,使。=焉，則方與彼共線.

(2)證明三點共線：若存在實數(shù)九使善=2次,則4B,C三點共線.

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

平面向量線性運算問題的求解策略：

(1)進行向量運算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等

向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向

量表示出來.

(2)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類

項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用.

(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：

①觀察各向量的位置；

②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；

③運用法則找關(guān)系；

④化簡結(jié)果.

高中2

高中

解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注以下七點：

(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵.

(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(3)共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān).

(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向

量未必是相等向量.

(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象

移動混為一談.

aa

(6)非零向量之與h的關(guān)系：H是2方向上的單位向量.

(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數(shù)，故可

以比較大小

易錯提醒：(1)向量表達式中的零向量寫成6,而不能寫成o.

(2)兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所

在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.

(3)要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向

量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運用三

角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件.

(4)向量加法和減法幾何運算應(yīng)該更廣泛、靈活如：CM-OB=BA，AM-AN=NM，

OA=OB+CA^OA-OB=CA^BA-CA=BA+AC=BC.

■

下列計算正確的是()

A.AB+AD^ACB.AB+CD+DO=OA

LILUUUU1ULIULUUUI

c.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA^O

高中3

高中

變式1:給出下列命題，其中正確的命題為（）

A.若而=而，則必有/與C重合，2與。重合，48與CD為同一線段

__?1__.2-、

B.AD=-AC+-AB,貝I]可知前=331）

utrar1uuriuuriuuir

C.若0為AABC的重心，則P0=]P/+,P8+§PC

D.非零向量Z,b,1滿足Z與3,3與0"與Z都是共面向量，則Z,b,1必共面

__,21

變式2：如圖所示，在平行四邊形48CD中，AB=a,AD=b,BM=-BC,AN=-AB.

（1）試用向量Z卷來表示麗，萬7;

（2）/M交DV于。點，求的值.

變式3：如圖所示，在矩形/BCD中，|就卜46，|萬卜8,設(shè)就多，AB=a,BD=c，求

\a-b

uuur/rrx

1.已知￡、B為不共線的向量，AB=a+5bBC=-2a+8b>CD=3\^a-bj,則（）

A.A,B,C三點共線B.A,C,。三點共線

C.A,B,。三點共線D.B,C,。三點共線

2.如圖，在平行四邊形中，E是3c的中點，下是線段/￡上靠近點/的三等分點,

則市等于（）

高中4

高中

B.-A8--2D

33

1一3一

cD.-AB--AD

-?34

3.在四邊形NBCD中，若元=刀+15，貝！I（）

A.四邊形48CD是平行四邊形B.四邊形/BCD是矩形

C.四邊形/BCD是菱形D.四邊形4BCD是正方形

4.已知/。，族分別為“3C的邊8C,/C上的中線，設(shè)亞=￡,而=丸則前=（）

r2-,4-

B.~a+~b

。J

2-4-2一?4一

C.D.--a~\~~b

5.如果,尾是平面。內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（）

①〃=雞+”2（九〃￡R）可以表示平面a內(nèi)的所有向量；

②對于平面。內(nèi)任一向量Z，使〃=雞+侔2（九〃￡R）的實數(shù)對（4〃）有無窮多個；

③若向量4,+4。2與4,+以2。2共線，則?二叢

A2〃2

④若實數(shù)入〃使得雞+“=0,則;1=洶=0.

A.①②B.②③C.③④D.②

6.給出下列各式：@AB+CA+BC>@AB-CD+Bl5-AC>@AD-Oi5+OA>④

NQ-MP+QP+MN,對這些式子進行化簡，則其化簡結(jié)果為。的式子的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.I

7.已知平面向量"，b，5，下列結(jié)論中正確的是（）

高中5

高中

A.若〃〃石，則4=38.若日|=回，則4=3

C.若￡〃九b//c＞貝尤〃"D.若|￡+目=向+同，貝期〃加

8.設(shè)［與1是兩個不共線的向量，AB=3ex+2^,CB=ket+e1,CD=3e^-2ke2,若/,B,

￡）三點共線，則左的值為（）

49c38

A.——B.——C.——D.——

9483

9.在AO/5中，已知網(wǎng)=2,網(wǎng)=4,P是的垂直平分線/上的任一點，則亦荏=（）

A.6B.-6C.12D.-12

10.已知拋物線C：/=4x的焦點為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,點線段交拋物線C于點3,

過點8作/的垂線，垂足為“，若拓=3麗，貝！I（）

A.|而河B.網(wǎng)=4

C.西=3|西D.網(wǎng)=4甌

11.下列各式中結(jié)果為零向量的為（

A.AB+MB+BO+OMB.AB+BC+CA

C.AB-AC+RD-CDD.OA+OC+lO+CO

易錯點二:忽略基底選取原則（平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示）

1.平面向量基本定理和性質(zhì)

（1）共線向量基本定理

如果。=必（力€尺），貝！U//B;反之，如果3/區(qū)且3x0，則一定存在唯一的實數(shù)人

使）=25.（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）.

（2）平面向量基本定理

如果I和易是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量2,都

存在唯一的一對實數(shù)4,使得可，我們把不共線向量I叫做表示這一平

面內(nèi)所有向量的一組基底，記為忖2｝,41+4易叫做向量己關(guān)于基底｛?，晟｝的分解式.

高中6

高中

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量?與最不共線，平面內(nèi)的任一向量不都可

以分解成形如2=4,+%2?2的形式，并且這樣的分解是唯一的.4,+%2?2叫做9，色的一

個線性組合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，

也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).

推論1：若■=4,+4?=4,+44，則4=4，1=4?

推論2：若2=4,+%2,2=G，則4=%2=0.

（3）線段定比分點的向量表達式

如圖所示，在△45C中，若點。是邊上的點，且麗=丸皮（八-1）,則向量

+

AD=ABAAC.在向量線性表示（運算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能

1+A

有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握.

B

（4）三點共線定理

平面內(nèi)三點B,C央線的充要條件是：存在實數(shù)4,，使雙=2刀+〃礪，其中

4+〃=1,。為平面內(nèi)一點.此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

A.B、。三點共線

o存在唯一的實數(shù)2,AC=A.AB;

o存在唯一的實數(shù)4,]^OC=OA+AAB;

o存在唯一的實數(shù)2,使得云=（1-㈤刀+2礪；

=存在2+〃=1,WOC=WA+juOB.

（5）中線向量定理

-.1—?_.一

如圖所示，在△48C中，若點。走邊8C的中點，則中線向量/。=5（48+NC）,反

之亦正確.

高中7

高中

2.平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運算

(1)平面向量的坐標(biāo)表示.

在平面直角坐標(biāo)中，分別取與天軸，/軸正半軸方向相同的兩個單位向量]作為基底,

那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量有且只有一對實數(shù)x，>使

a=xi+yi,我們把有序?qū)崝?shù)對(x,?)叫做向量。的坐標(biāo)，記作，=(x,y).

(2)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點為起點的向量是一一對應(yīng)的，即有

向量(x,y)「=二嬰=、向量次、「士、點A(x,y).

(3)設(shè)Nb=(x2,y2),貝!Ja+B=(X]+%)，a-b=(xx-x2,yt-y2),

即兩個向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.

若N=(x,y),%為實數(shù)，則=即實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實數(shù)乘

原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).

(4)設(shè)N(XQI),3(%,%),則在=礪-厲=(%-%,M-%),即一個向量的坐標(biāo)等

于該向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點坐標(biāo).

3.平面向量的直角坐標(biāo)運算

=22

①已知點/(X]，乂),B(X],y2),貝[]AB=(x2—xx,力—必)，I|1(x?—xj+(%—yj

②已知為=(再,必),b=(x2,y2),則@士B=(再±%,必土％),25=(Ax1,Aj1),

a-b=x[x2+y1y2,\a|=J尤;.

0

a//bX]%-%%=°，aVb<=>\x2+必%=

向量共線(平行)的坐標(biāo)表示

1.利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個已知向量3共線的向量時,

可設(shè)所求向量為2d(AeR),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于力的方程，求出力的值后代入2m

即可得到所求的向量.

2.利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若

高中8

高中

，=(匹,%)，b=(x2,y2),則的充要條件是X1%=超必”解題比較方便.

3.三點共線問題.A,B,C三點共線等價于刀與式共線.

4.利用向量共線的坐標(biāo)運算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為三角方程,

再利用三角恒等變換求解.

用平面向量基本定理解決問題的一般思路

(1)先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性

組合，再進行向量的運算.

(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運

用線段中點的向量表達式.

向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系.

兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

易錯提醒：(1)平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量.

(2)選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這

一組基底表示出來.

(3)強調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，

如平行、相似等。

三9

例.已知向量2=(2,1),6-(-3,1),則()

A.若工=［恪,-當(dāng)，則B.向量Z在向量■上的投影向量為

C.￡與15的夾角余弦值為與D.^+b)Ha

變式1.下列說法中錯誤的為()

A.已知:=(1,2),2=(1,1)且°與2+4的夾角為銳角，則實數(shù)％的取值范圍是

B.向量1=(2,-3),E='，-；!不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

C.非零向量b，滿足忖＜W且々與3同向，貝工

高中9

高中

D.非零向量Z和.，滿足同=W=-q,貝匕與Z+g的夾角為30°

變式2.（多選）下列說法中正確的是（）

A.若4=（再,凹）,]=（%2，%），且[與力共線，則，=g"

B.若Q=（%],必）,6=（々,歹2），且七外工工2%,則Q與，不共線

C.若4,B,。三點共線.則向量/，旋，&都是共線向量

D.若向量a=（1,2）,/?=（-2,〃）,且，//],則〃=—4

變式3.已知晟晟是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（）

A.若實數(shù)冽，n{Jmex+ne2=6,貝?。菁?及=0

B.平面內(nèi)任意一個向量2都可以表示成萬=冽,十加6，其中冽，〃為實數(shù)

C.對于加，〃ER,加,不一定在該平面內(nèi)

D.對平面內(nèi)的某一個向量2,存在兩對以上實數(shù)加，n,使1=加,+〃。2

1.在梯形中，AB//CD,AB=2CD,E,尸分別是的中點，AC與BD交

于“，設(shè)酢=1,AD=bf則下列結(jié)論正確的是（）

—?1—1

A.AC=—a+bB.BC=——G+b

22

—?1_2-一?1一-

C.BM=——a+—bD.EF=——a+h

334

2.己知點4（1,2）,8（3,x）,向量a=（2-％，-1）,AB//a,則（）

A.1=2+夜時商與萬方向相同

B.x=2-行時，刀與￡方向相同

C.%=2-時方與方方向相反

D.x=2+后時，萬與￡方向相反

3.已知點4（1,2）,5（3,%）,向量行=（2-兀一1）,下〃原則（）

A.x=3時方與々方向相同

B.x=2-6■，時方與￡方向相同

高中10

高中

C.X=3時萬與￡方向相反

D.》=2+后,時刀與￡方向相反

4.如果弓,當(dāng)是平面。內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中正確的是()

A.弱+(2,〃eR)可以表示平面a內(nèi)的所有向量

B.對于平面a內(nèi)任一向量入使彳=力耳+4目的實數(shù)對(4〃)有無窮個

C.若向量4耳+〃同與&4+4&共線，則有且只有一個實數(shù)彳，使得

=2(4.+)

D.若存在實數(shù)九M使得府1+4當(dāng)=。，則％=〃=0

5.已知平面內(nèi)平行四邊形的三個頂點-2,1),5(-1,3),C(3,4),則第四個頂點。的坐標(biāo)為

()

A.(-2,2)B.(4,6)

C.(-6,0)D.(2,-2)

6.已知橢圓￡：三+/=1的左、右焦點分別為片，B，過下頂點/和右焦點心的直線與￡

交于另一點5,8耳與y軸交于點尸，則()

A.AFtlAF2B.\BF2\=^

C.Zk/B片的內(nèi)切圓半徑為孝D.4F\P-3PB=0

7.設(shè)0<6<兀，非零向量a=(sin2acosP),b=(cos0,1),貝！1().

A.若tang=；,貝!B-若W彳'則a=

C.存在0,使2a=bD.若Q〃B,貝!Jtan8=5

8.已知向量Z=(2,-1)2二仇2),則下列結(jié)論正確的是()

A.若〃〃石，則加=一4B.若之工石，則加=1

C.^\2a-b\=\a+b\,則加=1D.若|"+可=即則加=-4

9.如圖，在“3C中，3。=12,￡>,￡是8。的三等分點，貝I]()

高中11

高中

33

.2—?

B.若布.刀=0，則存在羽上的投影向量為§4?

C.若萬?就=9，貝!I75?荏=40

.------------2----2

D.右AD-AE=4,AB+AC=88

10.已知F=（l,2）范=（4/）,則下列敘述正確的是（）

A.若5〃3,則/=8B.若萬］B，則,=2

C.歸-4的最小值為5D.若向量3與向量3的夾角為鈍角，貝卜＜-2

11.已知空間向量Z=（b-1,2）,則下列說法正確的是（）

A.卜卜卡

B.向量［與向量3=（2,2,-4）共線

C.向量［關(guān)于x軸對稱的向量為（1,1,-2）

D.向量Z關(guān)于天。平面對稱的向量為（一1,1,-2）

易錯點三：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律（平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)

用）

1.平面向量的數(shù)量積。

（I）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量與b,我們把數(shù)量IaII"cos。叫做“與6的數(shù)量積（或內(nèi)積），

記作。即。.b=|"|出|cos。，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：MIcosO叫做向量。在6方向上的投影數(shù)量，當(dāng)。為銳角時，它是正數(shù);

當(dāng)。為鈍角時，它是負數(shù)；當(dāng)。為直角時，它是0.

高中12

高中

②。?〃的幾何意義：數(shù)量積4?A等于〃的長度M與〃在〃方向上射影I"cose的乘積.

2.數(shù)量積的運算律

已知向量。、b、C和實數(shù)4,貝Ij：

①ab=ba；

②(Z?)-b=Z(a?b)=a,(Ab)；

@(a+b)c=ac+bc.

3.數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)。、〃都是非零向量，《是與〃方向相同的單位向量，。是"與《的夾角，貝I

①es=a?=|a|cose.②熱_L〃=a〃=0.

③當(dāng)。與力同向時，a-b=\a\\b\；當(dāng)〃與〃反向時，ab=-\a||/>|.

特別地，〃?〃二|級『或|a|=Ja?a.

a.b

@cos6，=-777(l?ll*>0).⑤.

4.數(shù)量積的坐標(biāo)運算

已知非零向量。=(%，乂)，b=(x2,y2),0為向量4、b的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模a|=y/aa\a\=yjx2+y2

數(shù)量積ab=\a||A|cosab=xlx2+yty2

cos-1二+產(chǎn)

夾角

Jx；+＞；-7X2+￡

的充要

ab=0再超+必％=0

條件

a//b的充要

a=ZAC〃w0)網(wǎng)超+必%=0

條件

|Q?一與

\a-b\<\a\\b\(當(dāng)且斥2+yty2|W

1?1161

僅當(dāng)?！╞時等號成立)

的關(guān)系

1.平面向量數(shù)量積的類型及求法:

(1)平面向量數(shù)量積有兩種計算公式：一是夾角公式a-b=HMIcos。；二是坐標(biāo)公

高中13

高中

式a?/)=%]X2+yxy2.

(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關(guān)

公式進行化簡.

2.平面向量數(shù)量積主要有兩個應(yīng)用：

(1)求夾角的大?。喝簟?，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得cosO=廣3

(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題.

(2)確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于

0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.

3.向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：

(1)向量與平面幾何綜合問題的解法

①坐標(biāo)法

把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進行相

應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.

②基向量法

適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來

進行求解.

(2)用向量解決平面幾何問題的步驟

①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)

化為向量問題；

②通過向量運算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；

③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

4.利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路：

(1)求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式.利用同角

三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解.

(2)求角時通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，先求值再求角.

(3)解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過向

量的相關(guān)運算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.

(4)解三角形.利用向量的坐標(biāo)運算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角

形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問題.

高中14

高中

5.用向量法解決實際問題的步驟如下：

第一步：抽象出實際問題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；

第二步：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；

第三步：利用向量的線性運算或數(shù)量積運算，求解數(shù)學(xué)模型；

第四步：用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)求解問題.

6.常見的向量表示形式：

（1）重心.若點G是△48C的重心，則臣+豆+虎=0或而=；（莎+而+京）（其

中產(chǎn)為平面內(nèi)任意一點）.反之，若由+礪+無=0，則點G是△48C的重心.

（2）垂心.若〃是的垂心，則必.瓦=麗.衣=麻.用.反之，若

HAHB=HBHC=HCHA^則點〃是△A8C的垂心.

（3）內(nèi)心.若點/是△NBC的內(nèi)心，貝/反^?歷+|海卜后1=0.反之，若

\~BC\JA+\CA\-1B+\~AB\4C=Q,則點/是△NBC的內(nèi)心.

（4）外心.若點。是△/8C的外心，貝U（E+歷）?函=（無+^>Q=（無+E）?就=0

或|方H礪H云八反之，若|方H礪H反I，則點。是△4sc的外心.

題型：平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：

（1）求向量的模.解決此類問題應(yīng)注意模的計算公式|”|=病=后］，或坐標(biāo)公式

|a1=p+y1的應(yīng)用，另外也可以運用向量數(shù)量積的運算公式列方程求解.

（2）求模的最值或取值范圍.解決此類問題通常有以下兩種方法：

①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值

或取值范圍；②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取

值范圍.

（3）由向量的模求夾角.對于此類問題的求解，其實質(zhì)是求向量模方法的逆運用.

易錯提醒：（1）平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負、可為零，且成了國初行

（2）當(dāng)值/。時，由鼠3=0不能推出不一定是零向量，這是因為任一與3垂直的非零向量不

都有ab=0-

當(dāng)時，且限日=）々時，也不能推出一定有3=5,當(dāng)B是與7垂直的非零向量，己是

高中15

高中

另一與1垂直的非零向量時，有//=鼠/=0,但Bwd.

（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即他/》片指力歷，這是因為伍而兄是一個與己共線的向量，

而（幾0）,是一個與3共線的向量，而萬與己不一定共線，所以他而前不一定等于（九己）1，

即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項，一般都是錯誤選項.

（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）.當(dāng)且僅當(dāng)限3>0且之。焉（4>0）（或限3<0，且

aAb0））.

三

例.下列說法中錯誤的是（）

A.單位向量都相等

B.向量羽與麗是共線向量，則點/、B、C、。必在同一條直線上

c.兩個非零向量癡，若他+昨忖|-向，則3與B共線且反向

D.已知向量》=（4,3-機）,彼=（1,加），若萬與B的夾角為銳角，則T<??<4

變式1.給出下列命題，其中正確的有（）

A.已知向量則a-?+c）+c.e-a）="c

B.若向量Z3共線,則向量Z］所在直線平行或重合

c.已知向量則向量23與任何向量都不構(gòu)成空間的一個基底

D.45,M,N為空間四點,若既兩，麗構(gòu)成空間的一個基底，則48,M,N共面

變式2.設(shè)?高均為單位向量，對任意的實數(shù)t有自+g扇H口+面恒成立，貝I（）

A.1與1的夾角為60。B.\e}+^\=^~

C.|%一句的最小值為/D.|?2+%（q-4）1的最小值為上

變式3.已知拋物線1=4歹的焦點為少，M（4,%）在拋物線上，延長“交拋物線于點N,

拋物線準(zhǔn)線與V軸交于點。，則下列敘述正確的是（）

A.\MF\=6B.點N的坐標(biāo)為,1,；）

高中16

高中

——?―?9

CQM"D.在“軸上存在點R,使得"節(jié)為鈍角

1.如圖，在三棱柱45。-4月。中，M,N分別是45,4G上的點，且曲/=24河，

C、N=2B、N.設(shè)~AB=a，AC=b，AAX=c若ABAC=90°,NBAA]=ZCAA,=60°,

AB=AC=A4=1,貝Ij()

A.MN=—a+—b+—c

333

C.福_1%

2.設(shè)工友工是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.6-tz=6B.?b)?c=a?(b?c)

B)=|Z|2_|加2

C.a-b=a-LbD.

3.（多選）下列各命題中，正確的命題為（）

A.y/a-a=\a\B.m(Aa)?b=(mX)a-b(m^GR)

C.a^b+c）=（b+c）-aD.a2b=b2a

4.給出下列命題，其中正確的命題是（）

A.若直線/的方向向量為工=（1。3）,平面。的法向量為3=1-2,0,|1,則直線///a

—■1—?1—-1—.

B.若對空間中任意一點。，^OP^-OA+-OB+-OC,則尸、A、B、C四點共面

442

C.兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線

D.已知向量2=（9,4,-4）,K=（1,2,2）,則￡在B上的投影向量為（1,2,2）

高中17

高中

5.設(shè)向量1=（左,2）,6=（1,-1）,則下列敘述錯誤的是（）

A.若左＜-2時，則方與B的夾角為鈍角B.同的最小值為2

C.與B共線的單位向量只有一個為拳，-彳D.若囪=2⑸，則上=2后或-2后

I22

6.設(shè)廠為拋物線C：/=3x的焦點，過尸且傾斜角為30。的直線交C于4,2兩點，則（）

A.\AB\=nB.OAOB=——

1116

C.yAyB=-3D.xAxB=3

7.已知向量a=（2,l）］=（l,-l）,c=（加-2,-”），其中私”均為正數(shù)，且（a/）〃c,下列說

法正確的是（）

A.々與B的夾角為鈍角

B.向量々在3方向上的投影為。

C.2m+n=4

D.小〃的最大值為2

8.已知“3C所在平面內(nèi)有三點O,N,P,則下列說法正確的是（）

A.若網(wǎng)=網(wǎng)=|因，則點。是OBC的外心

B.^NA+NB+NC=0,則點N是2BC的重心

C.若互5.詬=而?斤=京.蘇，則點P是AA8C的垂心

（益就1—■ABAC1

D.若『+產(chǎn)『BC=0,且二?萬方=弓，則”3C為直角三角形

［網(wǎng)對陽陷2

9.如圖，在平行六面體/BCD-44GA中，4c與BD交于O點、,且

ZBAD=ZBAA}=Z.DAAX=60°,AB=AD=4,=5.則下列結(jié)論正確的有（）

高中18

高中

A.AC.1BDB.BCX-AXC=9

C.BD.=V§5D.OB,^-AB--AD-AA,

1221

10.(多選)下列說法中正確的是()

A.若非零向量斕滿足口咽叩-耳，則Z與￡+5的夾角為30。

B.若Z石＞0，則Z花的夾角為銳角

C.若樂?刀=運?%+而?就+而?瓦，則4N2C一定是直角三角形

D.”8C的外接圓的圓心為。，半徑為1,若在+%=2粉，S.\O4\=\CA\,則向量

說在向量數(shù)方向上的投影數(shù)量為:3

11.下列說法中正確的是()

A.若。是內(nèi)一點，且次.無=次.反=發(fā).礪，則。為“8C的垂心

B.若。是“3C內(nèi)一點，S.BC-(OB+OC)=AC-(04+OC)=AB-(04+03)=0,則O

為的外心