2024屆高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題《不等式與基本不等式的應(yīng)用》含答案解析

高中

專題02函數(shù)及其應(yīng)用、指對(duì)塞函數(shù)

易錯(cuò)點(diǎn)一：對(duì)函數(shù)定義域、值域及解析式理解存在偏差(定義域、

值域及解析式的求算)

已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法

法1：若“X)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運(yùn)算構(gòu)成的，則它的定義域?yàn)楦骰境醯?/p>

函數(shù)的定義域的交集.

法2：復(fù)合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對(duì)應(yīng)的

內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可.

函數(shù)解析式的常見求法

法1：配湊法：己知=g(x),求/(x)的問題，往往把右邊的g(x)整理或配湊成只

含〃(X)的式子，然后用X將〃(x)代換.

法2：待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法，比如二次

函數(shù)/(X)可設(shè)為/(x)=如2+6x+c(aR0),其中c是待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程

組，解出a,b,c即可.

法3：換元法：已知/'(〃(x))=g(x),求/(x)時(shí),往往可設(shè)〃(x)=f,從中解出x,代入g(x)

進(jìn)行換元.應(yīng)用換元法時(shí)要注意新元的取值范圍.

法4：解方程組法：已知/(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除外)是未知量外，還有其他未知

量，如(或/(-x))等，可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過解方程組求出

“X).

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分段函數(shù)

第一步：求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該

區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式求值.

第二步：當(dāng)出現(xiàn)/(/(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

第三步：當(dāng)自變量的值所在區(qū)間不確定時(shí)，要分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)參照分段函數(shù)不同

段的端點(diǎn)。

結(jié)論：復(fù)合函數(shù)：

一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=/(w)和"=g(x),如果通過變量可以表示成x的函數(shù)，那

么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=/Q)和〃=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=/(g(x)),其中>=/(〃)叫做復(fù)

合函數(shù)y=/(g(x))的外層函數(shù)，￡=8。)叫做了=/(g(x))的內(nèi)層函數(shù).

抽象函數(shù)的定義域的求法：

(1)若已知函數(shù)的定義域?yàn)椋踑用，則復(fù)合函數(shù)/(g(x))的家義域由q,g(x),6求出.

(2)若已知函數(shù)/(g(x))的定義域?yàn)椋踑,6］,則的定義域?yàn)間(x)在時(shí)的值域.

易錯(cuò)提醒：函數(shù)的概念

①一般地，給定非空數(shù)集/,B,按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則/,使得N中任意元素x,都有3中

唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)，那么從集合/到集合B的這個(gè)對(duì)應(yīng)，叫做從集合/到集合B的一個(gè)

函數(shù).記作：x->y=/(x),xe/.集合/叫做函數(shù)的定義域，記為。，集合｛y|y=/(x),xe/｝

叫做值域，記為C.

②函數(shù)的實(shí)質(zhì)是從一個(gè)非空集合到另一個(gè)非空集合的映射.

③函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為y=/(x),xcD

④函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則.

⑤同一函數(shù)：兩個(gè)函數(shù)只有在定義域和對(duì)應(yīng)法則都相等時(shí)，兩個(gè)函數(shù)才相同.

基本的函數(shù)定義域限制

求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：

①分式的分母不為零；

②偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：

③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1;

④零次幕或負(fù)指數(shù)次幕的底數(shù)不為零；

⑤三角函數(shù)中的正切y=tanx的定義域是｛x|xe凡且xwAx+］,萬ez］；

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⑥已知/(x)的定義域求解/[g(x)]的定義域，或己知了物(切的定義域求/(X)的定義

域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對(duì)應(yīng)法則J下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍

相同；

⑦對(duì)于實(shí)際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問題函數(shù)的定

義域.

基本初等函數(shù)的值域

?y=kx+b(k^O)的值域是火.

②y=依2+6x+c(aw0)的值域是：當(dāng)°>0時(shí)，值域?yàn)椋?y2"｝；當(dāng)a<0時(shí)，值

4ac-b2

域?yàn)閃

4。

③y=g（心0）的值域是刨了W0｝.

④y=優(yōu)（a>0且aw1）的值域是（0,+oo）.

⑤y=log,x（a>0且awl）的值域是R.

分段函數(shù)的應(yīng)用

分段函數(shù)問題往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然

后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決.

例.函數(shù)/(》)=，■的定義域?yàn)?)

A.(-℃,3]B.(1,+℃)

C.（1,3]D.（-oo,l）u[3,+oo）

變式1：設(shè)/（尤）=，，若/'（，"）=/'（加+i）,則（）

A.14B.16C.2D.6

變式2：已知集合/=卜卜=jTx|+2],5={y}=日一2x+2卜則Np|8=（）

A.[-2,2]B.[0,+?）C.[1,2]D.[0,2]

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變式3：已知函數(shù)/(x)二〈15j/刀,則下列正確的是()

f(x+l),x<1

A.7(/(O))=|B./(/(1))=^C./(/(log23))=^D.〃x)的值域?yàn)?0,1]

N42.

1.已知函數(shù)/⑺=ln/，貝U/[〃3)]=()

33

A.In3B.3C.eD.eln3

2.給出下列4個(gè)函數(shù)，其中對(duì)于任意xeR均成立的是()

A./(sin3x)=sinxB.f(sin3x)=x3+x2+x

C.f+2^=|x+2|D./(x?+4x)=|x+2|

3.已知函數(shù)/(l—x)=l^，(xwo),則〃x)=()

A.B.7"^7T("I)

(I)(尤T)

44

c.7~亨-1(尤H。)D.7一行T("1)

(I)(x-l)

4.已知函數(shù)滿足〃2尤)=/(尤+1),則〃x)可能是().

A.f(x)=xB.f(x)=log2x

C"2、D.

5.設(shè)集合Z={X|4/73X<0},B=[y\y=^2+^,則42=()

A.(0,2]B.(0,3]C.2，TjD.3,?

6.集合p={x|k|<2},0={"=值+i},則pn°=()

A.{1,2}B.{x|l<x<2}

C.{x|l<x<2|D.{x|l<x<2}

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易錯(cuò)點(diǎn)二：忽視單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的主次(函數(shù)的單調(diào)性與最值)

1.函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)函數(shù)定義內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的。

2.函數(shù)/(%)在給定區(qū)間上的單調(diào)性是函數(shù)在該區(qū)間上的整體性質(zhì)。

3.函數(shù)的單調(diào)定義中的%、/有三個(gè)特征：(1)任意性(2)有大小(3)屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)

間。

4.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須先求定義域。

5.判斷函數(shù)單調(diào)性常用以下幾種方法：

方法1：定義法：一般步驟為設(shè)元—作差―變形?判斷符號(hào)一得出結(jié)論.

方法2：圖象法：如果/(x)是以圖象形式給出的，或者/(x)的圖象易作出，則可由圖象的上

升或下降確定單調(diào)性.

方法3：導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

方法4：性質(zhì)法：(1)對(duì)于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及

/(%)±g(x)增減性質(zhì)進(jìn)行判斷；

6.求函數(shù)最值(值域)的常用方法

方法1：?jiǎn)握{(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

方法2：圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.

方法3：基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式

求出最值.

方法4：導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.

結(jié)論：

1.單調(diào)性技巧

(1)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)X],3是/'(x)定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且必＜馬；

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論.

(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

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①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號(hào)一下結(jié)論”進(jìn)行判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫

出它們的單調(diào)區(qū)間.

(3)記住幾條常用的結(jié)論：

結(jié)論1：若“X)是增函數(shù)，則-“X)為減函數(shù)；若“X)是減函數(shù)，則-“X)為增函數(shù)；

結(jié)論2：若/(x)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在“X)和g(x)的公共定義域上/(x)+g(x)

為增(或減)函數(shù)；

結(jié)論3：若〃x)>0且為增函數(shù)，則函數(shù)/而為增函數(shù)，,為減函數(shù)；

結(jié)論4：若/(x)>0且“X)為減函數(shù)，則函數(shù)77而為減函數(shù)，上為增函數(shù).

/(X)

易錯(cuò)提醒：1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)“X)的定義域?yàn)?,區(qū)間。

如果對(duì)于。內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值X],%當(dāng)西<々時(shí)，都有/(X])</(%),符號(hào)一致

那么就說/(X)在區(qū)間。上是增函數(shù).

如果對(duì)于。內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值再，X],當(dāng)國(guó)<Z時(shí)，都有/(%)>/(%)，符號(hào)相

反那么就說在區(qū)間。上是減函數(shù).

①屬于定義域N內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；

②任意兩個(gè)自變量X],%且王</；

③都有〃再)</(%)或/(%,)>f?)；

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象上坡路，減函數(shù)的圖象下坡路.

(2)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)“X)在

區(qū)間。上具有單調(diào)性，。稱為函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì).

(3)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，

內(nèi)層函數(shù)是增(減)函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增(減)函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減(增)

函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).

2.函數(shù)的最值

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前提：一般地，設(shè)函數(shù)yy(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

條件：(1)對(duì)于任意的xe/,都有(2)存在x°e/,使得/(%)=〃■結(jié)論m為最

大值

(1)對(duì)于任意的xe/,都有/(x)NM；(2)存在使得/(%)=”結(jié)論”為最小值

例.若函數(shù)/(x)=/5+ig>0且"I)在區(qū)間(1,+動(dòng)上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是()

A.(0,1)B.^0,—

C.(1,2]D.[2,+動(dòng)

變式1.下列函數(shù)中，滿足“對(duì)任意的占,%€(0,+?)),使得〃玉)一",<0"成立的是()

玉—x2

2

A./(X)=-X-2X+1B.f(x)=x~—C./(x)=x+1D./(x)=log2(2x)+1

X

變式2.若定義在(-”,0)U(0,+⑹上的函數(shù)/(x)同時(shí)滿足：①/(X)為奇函數(shù)；②對(duì)任意的

士,超40,+<對(duì)，且x產(chǎn)乙,都有""再)了"(』<0,則稱函數(shù)/(X)具有性質(zhì)P.已知函數(shù)

再一x2

“X)具有性質(zhì)p,則不等式〃x—2)</([：)的解集為()

A.(-oo,-l)B.(-3,2)

C.(-^,-3)U(-l,2)D.(―叫―3)u(2,+s)

變式3.定義在(0,+。)上的函數(shù)滿足：對(duì)\/占,％e(0,+8),且x產(chǎn)乙都有"?：*)>1,

則不等式/'⑵嗎力-/(力>1嗎/-》的解集為()

A.(1,2)B.(2,4)C.(4,8)D.(8,16)

1.已知函數(shù)〃x)=2'2；-sinx,若對(duì)于一切的實(shí)數(shù)x,不等式/(2履2)</[-日]恒成立,

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則上的取值范圍為（）

A.[-2,0）B.（-2,0）C.[-3,0]D.（-3,0]

2.已知函數(shù)/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的0＜根＜〃，都有/（加）一/（〃）＜0,且

m-n

/（4）=0,則不等式“T-2）-/（X+2）＞0的解集為（）

X

A.（-6,0）B.（-co,-6）u（2,+oo）

C.（-叫-6川（0,2）D.（-8,-6）U（-2,0）U（2,+8）

3.已知函數(shù)〃x）=-x+lg￡,且〃加）+/（如-1）＞0,則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

B?產(chǎn)

4.已知函數(shù)/⑶的定義域?yàn)镽,7（x7）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱，/（3）=0,且對(duì)任意的

國(guó)應(yīng)?-8,0）,x產(chǎn)吃，滿足""）一"西）＜0,則不等式（x-l）/（x+l”0的解集為（）

X?-X]

A.（f[[32,+8）B.[-4,-l]u[0,l]

C.[-4,-l]u[l,2]D.[-4,-l]u[2,+co）

5.已知函數(shù)/Xx）=x|x|,關(guān)于x的不等式/（一一i）+4/（ax+l）W0在R上恒成立，則。的取值

范圍為（）

A.[0,2]B.[0,1]C.[-2,2]D.[-1,1]

6.“X）為定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意的馬＞占20,都有＞2,且八2）=4,

則不等式/（x）＞2國(guó)的解集為（）

A.（-8,-2）D（2,+。）B.（2,+oo）

C.（0,2）D.（—叫2）

/、\-x+\,x＞a/、/、

7.函數(shù)/（》）=3；2c＜，其中°V-2,則滿足/（x）+/（x-l）＜5的尤取值范圍

I—X+5X+yX+J,X＜＜2

是（）

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A.（-1,+8）B.^--,+ooj

C.卜百,+8）D.（0,+e）

ex-ln（x+l）-l,x＞0

8.己知函數(shù)〃x）=1,.，若/（e-2）+/（e2”0,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為

1--+ln（l-x）,x＜0

（）

A.（-oo,0]B.[0,+司C.[-ln2,0]D.（-oo,-ln2]

9.德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念.在研

究切線時(shí)認(rèn)識(shí)到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變

成無限小時(shí)它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.設(shè)尸（尤）是函數(shù)/（無）的導(dǎo)函數(shù)，若

/個(gè)）〉0,對(duì)5,%《0,+8）,且X產(chǎn)馬,總有/"I）；/（%）＜/]汽三）則下列選項(xiàng)正

確的是（）

A./(2)</(e)</(7t)B./⑺<_f(e)</<2)

c.r（2）＜/（3）-/（2）＜r（3）D.r（3）＜/（3）-/（2）＜r（2）

10.設(shè)函數(shù)/（x）=.sm2x,則（）

sinx+cosx

A.的一個(gè)周期為兀B.〃x）在上單調(diào)遞增

C.〃x）在（dj上有最大值乎D.“X）圖象的一條對(duì)稱軸為直線X=：

11.已知函數(shù)/（x）=&+。一〃卜，則（）

A.函數(shù)/（x）為奇函數(shù)

B.當(dāng)/[））=1時(shí)，Q=_g或1

C.若函數(shù)/（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為[0,1）

D.若函數(shù)/（x）在區(qū)間上的值域?yàn)閇-1,1],則實(shí)數(shù)。的取值范圍為一；,4

易錯(cuò)點(diǎn)三：奇偶性的前提及兩個(gè)函數(shù)與一個(gè)函數(shù)的區(qū)別（函數(shù)的

奇偶性、周期性、對(duì)稱性）

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1.奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)/(x)是偶函數(shù)o函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

函數(shù)/(%)是奇函數(shù)o函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.

(3)若奇函數(shù)y=/(x)在x=0處有意義，則有〃0)=0；

偶函數(shù)y=/(x)必滿足/(x)=/(|x|).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)/(x)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的

和的形式.記g(x)=g[/(x)+/(-x)]，A(x)=1[/(x)-/(-x)],則/(x)=g(x)+〃(x).

(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)式通過加、減、乘、除四

則運(yùn)算所得的函數(shù)，inf(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)Xg(x),f(x)4-g(x).

對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇X(+)奇=偶；奇x(十)偶=奇；偶x(十)偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的奇偶性原則：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)=�)或函數(shù)=--).

aa+\

②函數(shù)/(x)=±(優(yōu)一尸).

③函數(shù)/(X)=log“葉'=log。(1+且L)或函數(shù)"X)=log?！?=log“(1一-—)

x-mx-mx+mx+m

2

④函數(shù)/(X)=10ga(Jx2+1+%)或函數(shù)f(x)=lOga(7x+1-X).

注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)/母)=加+且-。片0)或函數(shù)“切=加-烏1(加€尺).

a-1a+\

偶函數(shù)：①函數(shù)/(')=±(優(yōu)+〃).

②函數(shù)/(x)=loga(^+l)-^.

③函數(shù)〃|x|)類型的一切函數(shù).

高中10

高中

④常數(shù)函數(shù)

2.周期性技巧

結(jié)論1：)若對(duì)于非零常數(shù)加和任意實(shí)數(shù)X,等式/(x+加)=-/(x)恒成立，則/(x)是周期函

數(shù)，且2加是它的一個(gè)周期.

證明：/(x+2m)=f(x+m+m)=-f(x+m)=/(x)T=Ttn

也可理解為：平移加個(gè)單位到谷底，再平移一個(gè)單位到巔峰，再平移一個(gè)單位又到谷底，則

谷底與谷底的距離為2加，7=2加

結(jié)論2)定義在R上的函數(shù)/(X),對(duì)任意的xeA,若有/(x+a)=/(x+b)(其中為

常數(shù)，a手b),則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，,-同是函數(shù)的一個(gè)周期.

證明：f(x-a+a)=/(x-a+b)=>/(x)=/(x+b-a):.T=|Z>-?|

口訣：同號(hào)差(周期)異號(hào)加(對(duì)稱軸)n只研究x前的正負(fù).

結(jié)論3：)定義在R上的函數(shù)于(%),對(duì)任意的xeR,若有/(x+a)=-/(x+b)(其中為

常數(shù)，a^b),則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，2卜-4是函數(shù)的一個(gè)周期.

證明：/(x+a)=-/(%+6)先向左平移a個(gè)單位得f(x-a+a)=-f(x-a+b)

=>/(x)=-f(x+b-a)^-b-a=m'n/(x)=-/(x+〃)如同結(jié)論1

(結(jié)論4J定義在R上的函數(shù)/(X),對(duì)任意的xeR,若有/(x+a)=--一，(或

/(X)

/(x+a)=——匚)(其中。為常數(shù)，"0),則函數(shù)/⑺是周期函數(shù)，2同是函數(shù)的一個(gè)周

/(X)

期.

證明：土石'/('+刈=/("+"+")=土/)=/(x).-.T=2\a\

結(jié)論5,定義在R上的函數(shù)f(x),對(duì)任意的xeR,有/(<?+%)=f(a-x)且

f(b+x)=f(b-x),

(其中是常數(shù)，awb)則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，2|a-可是函數(shù)的一個(gè)周期.

高中11

高中

另一種題干出現(xiàn)的信息：①若y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=6都對(duì)稱，則等價(jià)于

f(a+x)=f(a-x)Mf(b+x)=f(b-x),則y=/(x)為周期函數(shù)且T=2b—葉

②若y=/(x)為偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則了=/(x)為周期函數(shù)且7=2同

證明：/(a+x)=/(a-x)向左平移a個(gè)單位，得/(x-a+a)=/(a-[x—a])

n/(x)=/(2"x)，同理n/(x)=/(2b—x),n/(2。一x)=/(2b-x)

利用口訣：同號(hào)差(周期)異號(hào)加(對(duì)稱軸)n只研究x前的正負(fù).秒出周期

(結(jié)論6據(jù)定義在R上的函數(shù)歹=/(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)xeR,恒有/(x)=/(a+x)+/(x—a)成

立(awO),則/(x)是周期函數(shù)，且6時(shí)是它的一個(gè)周期.

證明：由函數(shù)/(x)=f(a+x)+/(%-?)=>/(%+?)=/(x+2a)+/(x)

=>/(x)=/(x+2?)+/(X)+/(x-a)=>/(x-a)=-/(x+2a),向右平移。個(gè)單位得

/(x)=-/(x+3a)=>/(x+3a+3a)=-/(x+3a)=/(x)T=6|?|

口訣：內(nèi)同號(hào)，外異號(hào)，內(nèi)部只差需2倍，出現(xiàn)周期很easy.

結(jié)論7:為對(duì)于非零常數(shù)加和任意實(shí)數(shù)x,等式/(x+加)=；+；；；成立,則/(x)是周期函

數(shù)，且4加是它的一個(gè)周期.

1+l+f(x)

F口口、1+/(x)r1+/(x+m)1-/(x)1

證明：/(%+m)=+2/m)=——7=

1-/Wl-/(x+m)11+f(x)/(x)

f[x+2m)=---二如同結(jié)論4,f(x+2m+2m)=-------------r=/(x)T=4m

f\x)f{x+2m)

結(jié)論8那對(duì)于非零常數(shù)加和任意實(shí)數(shù)x,等式/(x+加)=J/⑴成立,

則/(X)是周期函

--------1+/W

數(shù)，且2機(jī)是它的一個(gè)周期.

11-/(X)

F口口//、1-/(X)l-/(x+m)l+/(x)

證明：/(x+掰)=-~—n/(x+2加)=--------=—；-TT—

1+/Wl+f(x+m)]?J/(x)

l+/(x)

高中12

高中

，T=2m

1

對(duì)于非零常數(shù)m和任意實(shí)數(shù)x，等式/(x+m)=1-(/(x)wO)成立，則/(x)

/(X)

是周期函數(shù)，且3加是它的一個(gè)周期.

證明：/(X+加)=1—I(/(x)wO)得

J\x)

11-1-1

/(X+3加)=1——~——=1------;----=-----——=----;-----=f(x)

/(x+2m)]1f(x+m)-l1___1___J

/(x+加)/(x)

T=3m

(結(jié)論10：3)若定義在R上的函數(shù)3=/(x)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)/(生為),8(6,%)都對(duì)稱，則/(%)

是周期函數(shù)，且20-《是它的一個(gè)周期.

②若奇函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)/(見0)對(duì)稱，則/(x)是周期函數(shù)，且2時(shí)是它的一個(gè)周

期.

證明：函數(shù)y=/(x)滿足f(a+x)+/(a—x)=2yo且f(b+x)+f(b-x)=2y0,

貝!J/(x)=2y0-f(2a-x)=2y0-f(2b-x)n/(2?-x)=f(2b-x)

利用口訣：同號(hào)差(周期)異號(hào)加(對(duì)稱軸)n只研究x前的正負(fù).秒出周期

(結(jié)論11緲若定義在R上的函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)/(a,%)和直線x=b都對(duì)稱，則

/(x)是周期函數(shù)，且附-4是它的一個(gè)周期.

②若奇函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則/(x)是周期函數(shù)，且4時(shí)是它的一個(gè)周

期.

證明：函數(shù)y=/(x)滿足f(a+x)+/(a-x)=2%且f(b+x)=f[b-x),

則/(x)=2孔-/(2a-x)=f(2b-x)n/(%)=2y0-f(2b-2a+x)=2y0-f(2a-x)

f(2b+x)=2y0-f(2a+x)n/(x)=2y0-f(2b-2a+x)

.■./(x)=2j0-f(2b-2a+x)=2y0+f(4b-4a+x)-2y0T=4\b-a\

3.對(duì)稱性技巧

高中13

高中

(1)若函數(shù)y=/(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則/(a+x)=/(a-x).

(2)若函數(shù)》=/。)關(guān)于點(diǎn)(0,6)對(duì)稱，則/(a+x)+/(a-x)=26.

(3)函數(shù)y=/(a+x)與y=/(a-x)關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)y=/(“+x)與y=-/(a-x)關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱.

結(jié)論：

1.(1)如果一個(gè)奇函數(shù)〃x)在原點(diǎn)處有定義，即/(0)有意義，那么一定有/(0)=0.

(2)如果函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，那么/(x)=/(|x|).

2.函數(shù)周期性常用結(jié)論

對(duì)/(X)定義域內(nèi)任一自變量的值X：

⑴若f(x+a)=—/(x),則T=2a(a>0).

(2)若f(x+a)=--—，則7=2a(a>0).

/(x)

(3)若f{x+a)=-----，則7=2a(a>0).

/(x)

3.對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論

(1)若函數(shù)y=/(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

(2)若對(duì)于R上的任意x都有f(2a-x)=/(x)或/(-x)=/(2a+x),則%f(x)的圖象關(guān)

于直線x=a對(duì)稱.

(3)若函數(shù)y=/(x+6)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(6,0)中心對(duì)稱.

易錯(cuò)提醒：奇偶性的前提及兩個(gè)函數(shù)與一個(gè)函數(shù)的區(qū)別

1.函數(shù)的奇偶性

由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)

x,-x也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).

2.函數(shù)的對(duì)稱性

(1)若函數(shù)y=/(x+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于x=a對(duì)稱.

(2)若函數(shù)y=/(x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y="X)關(guān)于點(diǎn)伍，0)對(duì)稱.

(3)若f(x)=/(2a-x),則函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱.

(4)^f(x)+f(2a-x)=2b,則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(a,6)對(duì)稱.

高中14

高中

例.設(shè)函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,且/(X+1)是奇函數(shù)，〃2x+3)是偶函數(shù)，貝I]()

A./(O)=OB./(4)=0C./(5)=0D./(-2)=0

變式1.已知函數(shù)“X)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，/(2x+l)-l是奇函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的

是()

A./(1)=1B./(0)=0

C./(X)是以4為周期的函數(shù)D./(x)的圖象關(guān)于x=6對(duì)稱

變式2.已知函數(shù)y=/(x)=x+—下列結(jié)論中：①當(dāng)x>l時(shí)，/⑴的最小值為3；

x-1

②函數(shù)y=〃x+D-1是奇函數(shù)；③函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱；④y+i=o是

y=/(x)圖象的一條切線，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

變式3.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)滿足((r)=-〃x),/(l-x)=/(l+x),當(dāng)xe(O,l]時(shí),

〃x)=21og2Al，貝!1/(2023)的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

1.已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,==+當(dāng)xe[l,2)時(shí)，

f(x)=xlnx-l,則“2025)的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

2.定義在R上的奇函數(shù)〃x)滿足/(x+1)是偶函數(shù)，當(dāng)尤e(O,l]時(shí)，〃x)=2sin1x,則

7(2024)=()

A.-2B.-1C.0D.2

3.已知函數(shù)/(x)與g(x)的定義域均為R,/(x+l)+g(x-2)=3,/(x-l)-g(-x)=l,且

g(-l)=2,g(x-l)為偶函數(shù)，下列結(jié)論正確的是()

A./(x)的周期為4B.g(3)=l

高中15

高中

20242024

C.(左)=4048D.Zg⑻=2024

k=lk=\

4.已知函數(shù)/(x)和其導(dǎo)函數(shù)g(無)的定義域都是R,若與g(2x+l)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0

B.△或關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱

x

C.g(2023)=l

D.(g(l)-l)x(g(2)+l)+(g(2)-l)x(g(3)+1)+…+(g(2023)-l)x(g(2024)+l)=0

5.已知非常數(shù)函數(shù)〃x)及其導(dǎo)函數(shù)尸(x)的定義域均為R,若/(2-x)為奇函數(shù)，/(2x+4)

為偶函數(shù)，則()

A."2)=1B./(2024)=-/(2020)

C.7'(一1)=/'⑺D.<(-2021)=<(2025)

6.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,并且對(duì)VxeR,都有/(-x)="x+2)=-/(2-x),則下列說

法正確的是()

A.V=/(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱

B.函數(shù)/⑴為偶函數(shù)

2024

c.￡f(k)=o

k=\

D.若xe(0,l)時(shí)，/(x)=log2(x+l),則尤e(3,4)時(shí)，/(x)=-log2(5-x)

7.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,函數(shù)/(力的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，且滿足/(x+3)=/(l-X),

則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)/(x+1)是奇函數(shù)

B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

C.函數(shù)/(X)是最小正周期為2的周期函數(shù)

2024

D.若函數(shù)g(x)滿足g(x)+/(尤+3)=2,則￡g(>)=4048

k=l

8.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足〃x+2)=/(x-2),且當(dāng)x?0,2］時(shí),/(%)是減函數(shù),則下

列四個(gè)命題中正確的是()

A.T=4

高中16

a+

B.直線x=-2為函數(shù)y=/（x）圖象的一條對(duì)稱軸

C.函數(shù)在區(qū)間［-2,9］上存在3個(gè)零點(diǎn)

D.若/=在區(qū)間［-4,0］上的根為%,則占+%=-2

易錯(cuò)點(diǎn)四：遺漏幕函數(shù)的特征及二次函數(shù)弦長(zhǎng)公式（幕函數(shù)與二

次函數(shù)）

1、根據(jù)圖象高低判斷暴指數(shù)大小的方法

幕函數(shù)的塞指數(shù)的大小，大都可通過幕函數(shù)的圖象與直線x=a（a^1）的交點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小反

映.一般地，在區(qū)間（0,1）上，幕函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸（簡(jiǎn)記為“指大、圖低"）,

在區(qū)間（1,+8）上，幕函數(shù)中指數(shù)越大，圖象越遠(yuǎn)離x軸（不包括塞函數(shù)y=x°）,在區(qū)間（0,1）

上，募函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸（簡(jiǎn)記為“指大圖低》在區(qū)間（1,+00）上，幕函數(shù)

中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.

2、對(duì)于函數(shù)/（x）=a/+bx+c,若是二次函數(shù)，就隱含aw0,當(dāng)題目未說明是二次函數(shù)

時(shí)，就要分。=0和。70兩種情況討論.在二次函數(shù)了=辦2+桁+°（。/0）中，。的正負(fù)決

定拋物線開口的方向（a的大小決定開口大?。ヽ確定拋物線在j軸上的截距，b與a確定頂點(diǎn)

的橫坐標(biāo)（或?qū)ΨQ軸的位置）.

3、根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與單調(diào)區(qū)間的位置關(guān)系，

若二次函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，則該區(qū)間在對(duì)稱軸的一側(cè)，若二次函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)，則對(duì)

稱軸在該區(qū)間內(nèi)（非端點(diǎn)），

4、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)處取得，可

分別求值再比較大小，最后確定最值.

結(jié)論：

1.塞函數(shù)了=x"（a6R）在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下:

①當(dāng)a<0時(shí)，其圖象可類似了=/畫出；

高中17

高中

②當(dāng)0<0<1時(shí)，其圖象可類似V-G畫出；

③當(dāng)。>1時(shí)，其圖象可類似畫出.

2.實(shí)系數(shù)一元二次方程"2+bx+c=0(4W0)的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系

A=b2-4ac>0

(1)方程有兩個(gè)不等正根石,》20

占+三=-"0

xxx2=—>0

\=b2-4ac>0

(2)方程有兩個(gè)不等負(fù)根玉,、2O<

再+%2=------<0

a

(3)方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為X],%=xYx2=—<0

3.一元二次方程ax?+6x+c=0(aw0)的根的分布問題

一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：

(1)開口方向；(2)判別式；(3)對(duì)稱軸x=-2與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；(4)區(qū)間端點(diǎn)函

數(shù)值的正負(fù).

設(shè)司,％2為實(shí)系數(shù)方程a/+bx+c=O(tz>0)的兩根，則一元二次

ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布與其限定條件如下所示.

①加<七</，

OF1%x

fA>0

限定條件<--b->、m

|2a

[/W>o

②玉<加</

高中18

高中

<x2<m

在區(qū)間（加,〃）內(nèi)沒有實(shí)根

限定條件A<0

A=0

限定條件xx=x2<m

或]X=x2>m

高中19

高中

A>0

b

限定條件---<m

2a

A

7(^)<o

限定條件《

在區(qū)間（掰,〃）內(nèi)有且只