新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練專題22 新高考新題型第19題新定義壓軸解答題歸納（9大題型）（練習(xí)）（解析版）

專題22新高考新題型第19題新定義壓軸解答題歸納目錄01集合新定義 102函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義 503立體幾何新定義 1104三角函數(shù)新定義 1905平面向量與解三角形新定義 2206數(shù)列新定義 2707圓錐曲線新定義 3408概率與統(tǒng)計(jì)新定義 4209高等數(shù)學(xué)背景下新定義 4501集合新定義1．（2024·北京·高三北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0元正整數(shù)集合SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，且對(duì)任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，寫出所有滿足條件的集合SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0個(gè)正約數(shù)，求證：SKIPIF1<0；(3)求證：對(duì)任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．根據(jù)題意可知，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，滿足題意；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，滿足題意；顯然易知當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0時(shí)，又滿足SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0滿足題意；因此可得所有滿足條件的集合SKIPIF1<0為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）證明：由題分別令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0即SKIPIF1<0這SKIPIF1<0個(gè)小于SKIPIF1<0的數(shù)均為SKIPIF1<0的正約數(shù)．因?yàn)镾KIPIF1<0的正約數(shù)的個(gè)數(shù)恰為SKIPIF1<0個(gè)(其中最大的是SKIPIF1<0，最小的是1)，而SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0（3）證明：由題可知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0將最后一個(gè)不等式整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．（2024·北京·高三北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.若集合SKIPIF1<0滿足對(duì)于任意的兩個(gè)非空集合SKIPIF1<0，都有集合SKIPIF1<0的所有元素之和與集合SKIPIF1<0的元素之和不相等，則稱集合SKIPIF1<0具有性質(zhì)SKIPIF1<0.(1)判斷集合SKIPIF1<0是否具有性質(zhì)SKIPIF1<0，并說明理由；(2)若集合SKIPIF1<0具有性質(zhì)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)若集合SKIPIF1<0具有性質(zhì)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）對(duì)于集合SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，故集合SKIPIF1<0的元素和相等，故SKIPIF1<0不具有性質(zhì)SKIPIF1<0.對(duì)于SKIPIF1<0，其共有15個(gè)非空子集：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，各集合的和分別為：SKIPIF1<0，它們彼此相異，故SKIPIF1<0具有性質(zhì)SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0具有性質(zhì)SKIPIF1<0，故對(duì)于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也具有性質(zhì)SKIPIF1<0，否則SKIPIF1<0有兩個(gè)非空子集SKIPIF1<0，它們的元素和相等，而SKIPIF1<0也是SKIPIF1<0的子集，故SKIPIF1<0不具有性質(zhì)SKIPIF1<0，矛盾.注意到SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0個(gè)非空子集，每個(gè)子集的元素和相異，且子集的和最大為SKIPIF1<0，最小為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（3）假設(shè)集合SKIPIF1<0具有性質(zhì)SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由（2）可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.而SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，即此時(shí)任意的正整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故此時(shí)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即對(duì)集合SKIPIF1<0具有性質(zhì)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.3．（2024·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）已知集合SKIPIF1<0.若對(duì)于集合M的任意k元子集A，A中必有4個(gè)元素的和為SKIPIF1<0，則稱這樣的正整數(shù)k為“好數(shù)”，所有“好數(shù)”的最小值記作SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0，即集合SKIPIF1<0.（i）寫出M的一個(gè)子集B，且B中存在4個(gè)元素的和為SKIPIF1<0；（ii）寫出M的一個(gè)5元子集C，使得C中任意4個(gè)元素的和大于SKIPIF1<0；(2)證明：SKIPIF1<0；(3)證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，滿足條件；取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；滿足條件.（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從大到小取SKIPIF1<0個(gè)元素，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中任意4個(gè)元素之和SKIPIF1<0，不成立，故SKIPIF1<0.（3）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，把集合SKIPIF1<0的元素按和為SKIPIF1<0分組，得：SKIPIF1<0，易得，SKIPIF1<0中至少有2個(gè)二元子集滿足SKIPIF1<0．若把集合SKIPIF1<0的元素按和為SKIPIF1<0分組，得：SKIPIF1<0．易得，SKIPIF1<0中至少有3個(gè)二元子集滿足SKIPIF1<0．而集合SKIPIF1<0兩兩互不相交，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中每一個(gè)至多有一個(gè)公共元素，所以，SKIPIF1<0中必有一個(gè)與SKIPIF1<0沒有公共元素，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的4個(gè)元素就是SKIPIF1<0的4個(gè)互異元素，而這4個(gè)元素的和為SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．02函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義4．（2024·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？奸_學(xué)考試）對(duì)于函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)SKIPIF1<0，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，則稱SKIPIF1<0是“躍點(diǎn)”函數(shù)，并稱SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0躍點(diǎn)”.(1)若函數(shù)SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0躍點(diǎn)”函數(shù)，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的“1躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的“1躍點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(3)若函數(shù)SKIPIF1<0是“1躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)恰存在一個(gè)“1躍點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)為SKIPIF1<0，因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0躍點(diǎn)”函數(shù)，則方程SKIPIF1<0有解，即SKIPIF1<0有解，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.（2）函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)為SKIPIF1<0，依題意，方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個(gè)不等實(shí)根，令SKIPIF1<0，因此函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.（3）函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)為SKIPIF1<0，因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0是“1躍點(diǎn)”函數(shù)，且在定義域內(nèi)恰存在一個(gè)“1躍點(diǎn)”，則方程SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，令SKIPIF1<0，求導(dǎo)得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0恒成立，函數(shù)SKIPIF1<0的取值集合是SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，函數(shù)SKIPIF1<0的取值集合是SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，函數(shù)SKIPIF1<0的取值集合是SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，如圖，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象有唯一公共點(diǎn)，即方程SKIPIF1<0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，從而SKIPIF1<0，所以b的取值范圍為SKIPIF1<0.5．（2024·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？奸_學(xué)考試）俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直線逼近函數(shù)理論的先驅(qū).對(duì)定義在非空集合SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0，以及函數(shù)SKIPIF1<0，切比雪夫?qū)⒑瘮?shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值稱為函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的“偏差”.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的“偏差”；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值.【解析】（1）SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的“偏差”為SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的“偏差”為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0“偏差”為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，無最小值，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0“偏差”為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，無最小值，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0的“偏差”為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，無最小值，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0的“偏差”為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0的“偏差”為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，無最小值，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0的“偏差”為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的“偏差”取得最小值為SKIPIF1<0.6．（2024·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)SKIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0的函數(shù)，如果對(duì)任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均成立，則稱SKIPIF1<0是“平緩函數(shù)”.(1)若SKIPIF1<0，試判斷SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是否為“平緩函數(shù)”?并說明理由;(參考公式:SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立)(2)若函數(shù)SKIPIF1<0是“平緩函數(shù)”，且SKIPIF1<0是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對(duì)任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0;(3)設(shè)SKIPIF1<0為定義在SKIPIF1<0上函數(shù)，且存在正常數(shù)SKIPIF1<0使得函數(shù)SKIPIF1<0為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定義數(shù)列SKIPIF1<0滿足:SKIPIF1<0，試證明:對(duì)任意的正整數(shù)SKIPIF1<0.【解析】（1）對(duì)于函數(shù)SKIPIF1<0，由對(duì)任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知函數(shù)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的“平緩函數(shù)”.對(duì)于函數(shù)SKIPIF1<0，由對(duì)任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此函數(shù)SKIPIF1<0也是SKIPIF1<0上的“平緩函數(shù)”；（2）由已知可得SKIPIF1<0，由于函數(shù)SKIPIF1<0是周期函數(shù)，故不妨設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的“平緩函數(shù)”得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時(shí)由SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的“平緩函數(shù)”得SKIPIF1<0SKIPIF1<0綜上所述，命題得證；（3）由SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的“平緩函數(shù)”，且SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則對(duì)任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<07．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若定義域?yàn)镈的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0是定義域?yàn)镈的嚴(yán)格增函數(shù)，則稱SKIPIF1<0是一個(gè)“T函數(shù)”.(1)分別判斷SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是否為T函數(shù)，并說明理由；(2)已知常數(shù)SKIPIF1<0，若定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0是T函數(shù)，判斷SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小關(guān)系，并證明；(3)已知T函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镽，不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0在R上嚴(yán)格增.【解析】（1）SKIPIF1<0，定義域?yàn)镽，SKIPIF1<0是R上的嚴(yán)格增函數(shù)，故SKIPIF1<0是“T函數(shù)”；SKIPIF1<0，定義域?yàn)镽，SKIPIF1<0不是R上的嚴(yán)格增函數(shù)，故SKIPIF1<0不是“T函數(shù)”.（2）SKIPIF1<0，證明如下因?yàn)槎x在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0是T函數(shù)，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上嚴(yán)格遞增，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（3）T函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镽，故SKIPIF1<0在R上嚴(yán)格增，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，這與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0矛盾，故不存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0在R上嚴(yán)格增.03立體幾何新定義8．（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結(jié)構(gòu)圖，由正六棱錐SKIPIF1<0和SKIPIF1<0構(gòu)成，兩個(gè)棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為SKIPIF1<0，底面中心為SKIPIF1<0，通過連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態(tài)，下頂點(diǎn)SKIPIF1<0與天花板的距離為SKIPIF1<0，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設(shè)金屬條的總長(zhǎng)為y．（1）設(shè)∠O1AO=SKIPIF1<0(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的范圍；SKIPIF1<0（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)θ，當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時(shí)，金屬條總長(zhǎng)y最?。窘馕觥浚?）在直角三角形OAO1中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以θ的范圍是SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．從而有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．（2）令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性與SKIPIF1<0關(guān)系列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00+SKIPIF1<0SKIPIF1<0極小值SKIPIF1<0所以當(dāng)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0取得最小值，即y最?。十?dāng)角SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）時(shí)，金屬條總長(zhǎng)y最?。?．（2024·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？级＃┓浞渴亲匀唤缱钌衿娴摹敖ㄖ敝?，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為軸將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別向上翻轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)重合為點(diǎn)SKIPIF1<0所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于SKIPIF1<0減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是SKIPIF1<0，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為SKIPIF1<0.(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；(2)若正六棱柱底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2，設(shè)SKIPIF1<0（i）用SKIPIF1<0表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積SKIPIF1<0；（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時(shí)，求其頂點(diǎn)SKIPIF1<0的曲率的余弦值.【解析】（1）蜂房曲頂空間的彎曲度為頂端三個(gè)菱形的7個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，根據(jù)定義其度量值等于SKIPIF1<0減去三個(gè)菱形的內(nèi)角和SKIPIF1<0，再減去6個(gè)直角梯形中的兩個(gè)非直角內(nèi)角和SKIPIF1<0，即蜂房曲頂空間的彎曲度為SKIPIF1<0.（2）（i）如圖所示，連接AC，SH，則SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的射影為O，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，菱形SAHC的面積為SKIPIF1<0，側(cè)面積SKIPIF1<0，所以蜂房的表面積為SKIPIF1<0.（ii）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增；在SKIPIF1<0遞增.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值，也即是最小值.此時(shí)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，又頂點(diǎn)SKIPIF1<0的曲率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.10．（2024·北京·高三統(tǒng)考期末）用光線照射物體，在某個(gè)平面上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面.由平行光線形成的投影叫做平行投影，由點(diǎn)光源發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.投影線垂直于投影面產(chǎn)生的平行投影叫做正投影，投影線不垂直于投影而產(chǎn)生的平行投影叫做斜投影.物體投影的形狀?大小與它相對(duì)于投影面的位置和角度有關(guān).如圖所示，已知平行四邊形SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的平行投影是四邊形SKIPIF1<0.圖SKIPIF1<0圖SKIPIF1<0圖SKIPIF1<0(1)若平行四邊形SKIPIF1<0平行于投影面（如圖SKIPIF1<0），求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；(2)在圖SKIPIF1<0中作出平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線（保留作圖痕跡，不需要寫出過程）；(3)如圖SKIPIF1<0，已知四邊形SKIPIF1<0和平行四邊形SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線是直線SKIPIF1<0，且這個(gè)平行投影是正投影.設(shè)二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為銳角），猜想并寫出角SKIPIF1<0的余弦值（用SKIPIF1<0表示），再給出證明.【解析】（1）依題意，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0共面.SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0.又平行四邊形SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形.（2）如圖，直線SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線.（3）猜想：SKIPIF1<0.不妨將平行四邊形SKIPIF1<0平移，使SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，如圖所示.則面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0的交線SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0.過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.由正投影，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.11．（2024·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期末）射影幾何學(xué)中，中心投影是指光從一點(diǎn)向四周散射而形成的投影，如圖，SKIPIF1<0為透視中心，平面內(nèi)四個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0經(jīng)過中心投影之后的投影點(diǎn)分別為SKIPIF1<0．對(duì)于四個(gè)有序點(diǎn)SKIPIF1<0，定義比值SKIPIF1<0叫做這四個(gè)有序點(diǎn)的交比，記作SKIPIF1<0．

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【解析】（1）在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由題意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0①，在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0②，在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0③，且SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0③得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0④由①④解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（負(fù)值舍去），即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.04三角函數(shù)新定義12．如果對(duì)于三個(gè)數(shù)a、b、c能構(gòu)成三角形的三邊，則稱這三個(gè)數(shù)為“三角形數(shù)”，對(duì)于“三角形數(shù)”a、b、c，如果函數(shù)SKIPIF1<0使得三個(gè)數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0仍為“三角形數(shù)”，則稱SKIPIF1<0為“保三角形函數(shù)”．SKIPIF1<0對(duì)于“三角形數(shù)”SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，判斷函數(shù)SKIPIF1<0是否是“保三角形函數(shù)”，并說明理由；SKIPIF1<0對(duì)于“三角形數(shù)”SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，判斷函數(shù)SKIPIF1<0是否是“保三角形函數(shù)”，并說明理由．【解析】SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0不是“保三角形函數(shù)”，理由如下，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能構(gòu)成三角形，SKIPIF1<0不是“保三角形函數(shù)”；SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0是“保三角形函數(shù)”，理由如下，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0能構(gòu)成三角形，所以SKIPIF1<0是“保三角形函數(shù)”．13．?dāng)?shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)：SKIPIF1<0，其中n!SKIPIF1<0利用該公式可以得到：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0時(shí)，值域也為SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的“和諧區(qū)間”．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是否存在“和諧區(qū)間”?若存在，求出SKIPIF1<0的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】SKIPIF1<0證明：由已知當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，假設(shè)存在，則由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，與值域是SKIPIF1<0矛盾，故不存在“和諧區(qū)間”，同理，SKIPIF1<0時(shí)，也不存在，下面討論SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0最小值為SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0最大值為2，故SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，值域?yàn)镾KIPIF1<0，符合題意．若SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，同理可得SKIPIF1<0，舍去，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0矛盾；若SKIPIF1<0，同理，矛盾，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0所以SKIPIF1<0，從而，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，矛盾，綜上所述，SKIPIF1<0有唯一的“和諧區(qū)間”SKIPIF1<014．已知函數(shù)SKIPIF1<0，若存在實(shí)數(shù)m、SKIPIF1<0，使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，均有SKIPIF1<0成立，則稱函數(shù)SKIPIF1<0為“可平衡”函數(shù)；有序數(shù)對(duì)SKIPIF1<0稱為函數(shù)SKIPIF1<0的“平衡”數(shù)對(duì)．SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的“平衡”數(shù)對(duì)；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0是否為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均為函數(shù)SKIPIF1<0的“平衡”數(shù)對(duì)，求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】SKIPIF1<0根據(jù)題意可知，對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x

，

SKIPIF1<0

，即

SKIPIF1<0

對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x

恒成立，只有

SKIPIF1<0

，

SKIPIF1<0

，故函數(shù)

SKIPIF1<0

的“平衡”數(shù)對(duì)為

SKIPIF1<0

；SKIPIF1<0若

SKIPIF1<0

，則

SKIPIF1<0

，SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

，要使得

SKIPIF1<0

為“可平衡”函數(shù)，需使

SKIPIF1<0

對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x

均成立，只有

SKIPIF1<0

，此時(shí)

SKIPIF1<0

，

SKIPIF1<0

，故

k

存在使得SKIPIF1<0

是“可平衡”函數(shù)．SKIPIF1<0假設(shè)存在實(shí)數(shù)

m、SKIPIF1<0

，對(duì)于定義域內(nèi)的任意

x

均有

SKIPIF1<0成立SKIPIF1<0則

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0

均為函數(shù)

SKIPIF1<0

的“平衡”數(shù)對(duì)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0

，函數(shù)單調(diào)遞增，SKIPIF1<0

即

SKIPIF1<0

，所以SKIPIF1<0的取范圍為

SKIPIF1<005平面向量與解三角形新定義15．古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對(duì)凸四邊形SKIPIF1<0凸四邊形是指沒有角度大于SKIPIF1<0的四邊形SKIPIF1<0進(jìn)行研究，終于有重大發(fā)現(xiàn)：任意一凸四邊形，兩組對(duì)邊的乘積之和不小于兩條對(duì)角線的乘積，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)等號(hào)成立．且若給定凸四邊形的四條邊長(zhǎng)，四點(diǎn)共圓時(shí)四邊形的面積最大．根據(jù)上述材料，解決以下問題：如圖，在凸四邊形ABCD中，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0圖SKIPIF1<0，求線段BD長(zhǎng)度的最大值；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0圖SKIPIF1<0，求四邊形ABCD面積取得最大值時(shí)角A的大小，并求出四邊形ABCD面積的最大值．【解析】SKIPIF1<0設(shè)

SKIPIF1<0

，則

SKIPIF1<0

，由材料可知，

SKIPIF1<0

，即

SKIPIF1<0

，解得

SKIPIF1<0

，所以線段

BD

長(zhǎng)度的最大值為

SKIPIF1<0

．SKIPIF1<0由材料可知，當(dāng)

A、B、C、SKIPIF1<0

四點(diǎn)共圓時(shí)，四邊形

ABCD

的面積達(dá)到最大．連接

BD

，在

SKIPIF1<0

中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，①在

SKIPIF1<0

中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，②

因?yàn)?/p>

A、B、C、SKIPIF1<0

四點(diǎn)共圓，所以

SKIPIF1<0

，從而

SKIPIF1<0

，③由①②③，解得

SKIPIF1<0

，因?yàn)?/p>

SKIPIF1<0

，所以

SKIPIF1<0

．從而

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以

SKIPIF1<0

．16．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)任意兩個(gè)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線時(shí)，記以O(shè)M，ON為鄰邊的平行四邊形的面積為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共線時(shí)，規(guī)定SKIPIF1<0SKIPIF1<0ⅠSKIPIF1<0分別根據(jù)下列已知條件求SKIPIF1<0：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0ⅡSKIPIF1<0若向量SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0ⅢSKIPIF1<0若A，B，C是以O(shè)為圓心的單位圓上不同的點(diǎn)，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0ⅰSKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的最大值；SKIPIF1<0ⅱSKIPIF1<0寫出SKIPIF1<0的最大值．SKIPIF1<0只需寫出結(jié)果SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0ⅠSKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0ⅡSKIPIF1<0因?yàn)橄蛄縎KIPIF1<0，且向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0；SKIPIF1<0ⅢSKIPIF1<0