第1章 直角三角形的邊角關系 北師大版九年級數(shù)學下冊單元綜合練習題(含詳解)

2024-2025學年北師大版九年級數(shù)學下冊《第1章直角三角形的邊角關系》單元綜合練習題（附答案）一、單選題1．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10A．35 B．45 C．532．若△ABC的內(nèi)角滿足|cosA-1A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形3．如圖，某商場有一自動扶梯，其傾斜角為28°，高為7米．則AB可表示為（

）A．7sin28° B．7cos28° C．4．如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠B=42°,BC=8，若用科學計算器求AC的長，則下列按鍵順序正確的是（

）A． B．C． D．5．如圖所示，已知在三角形紙片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一點E，沿BE進行翻折，使A與BC延長線上的點D重合，則DE的長度為（

）A．6 B．3 C．23 D．6．如圖，點A、B、O都在格點上，則∠AOB的正弦值是（

）A．31010 B．12 C．17．如圖，從點P觀測點B的俯角是（

）A．∠HPB B．∠CPB C．∠APB D．∠PBA8．平陸運河連通西江“黃金水道”和北部灣港口，是廣西世紀大工程．如圖是某港口的平面示意圖，碼頭A在觀測站B的正東方向，碼頭A的北偏西60°方向上有一小島C，小島C在觀測站B的北偏西15°方向上，碼頭A到小島C的距離AC為3+1海里．觀測站B到AC的距離BP是（

A．3 B．1 C．2 D．3二、填空題9．在△ABC中，∠C=90°．(1)若AC=3，BC=4，則cosA=____，sinA=_____，tan(2)若AB=15，sinA=13，則AC(3)若AB=3，∠A=60°，則BC的長為_______．10．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=32，CD⊥AB于點D．若BD=23

11．如圖，在矩形ABCD中，E是DC上一點，AE=AB，AB=2AD，則∠EBC的度數(shù)是．12．在邊長為6的菱形ABCD中，∠B=60°，對角線AC、BD交于點O，點E是對角線BD上的點，且AE=2OE，則BE的長為．13．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點E在AB上，BE=2，點F在BD上，tan∠AEF=3，則EF=14．如圖，在龜山附近的小山AB的頂部有一座通訊塔BC，點A,B,C位于同一直線上．在地面P處，測得塔頂C的仰角為42°，塔底B的仰角為35°．已知通訊塔BC的高度為29米，則小山AB的高度為米．（結果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：tan35°≈0.70,15．“天水麻辣燙”火了！如圖，太原的小李乘坐高鐵由太原南去天水吃麻辣燙時，在距離鐵軌100米的B處觀察他所乘坐的由太原南開往天水的“和諧號”動車．他觀察到，當“和諧號”動車車頭在A處時，恰好位于B處的北偏東60°方向上；10秒鐘后，動車車頭到達C處，恰好位于B處的西北方向上．根據(jù)所學知識，該時段動車的平均速度是米/秒．16．如圖，甲船從A處向正北方向的C島航行，同時，乙船在C島正東方向80海里的D處向正東方向航行，此時甲船觀察到乙船在北偏東45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B處觀察到乙船在北偏東70°方向的E處，則乙船向正東方向航行了海里．（精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，三、解答題17．求下列各式的值：(1)2(2)tan18．解直角三角形(1)∠C(2)∠C19．如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC．20．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點D、E分別在邊AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=8，(1)求CD的長．(2)求tan∠DBC21．圖1是某種可調(diào)節(jié)支撐架，BC為水平固定桿，豎直固定桿AB⊥BC，活動桿AD可繞點A旋轉，CD為液壓可伸縮支撐桿，已知AB=10cm，BC=20cm，(1)如圖2，當活動桿AD處于水平狀態(tài)時，直接寫出可伸縮支撐桿CD的長度．（結果保留根號）(2)如圖3，當活動桿AD繞點A由水平狀態(tài)按逆時針方向旋轉角度α，且tanα=34（α為銳角），求此時可伸縮支撐桿CD的長度（結果精確到122．如圖，已知直線y=2x+2與直線y=-2x+6相交于D，它們與x軸分別交于A，B兩點，直線DF⊥x軸，交x軸于F，設點E是線段DF的中點，連接EB(1)求點D的坐標；(2)設G是線段EF上一點，如果∠GBF=∠DBE，求點G的坐標；(3)設點P為x軸上一點，∠DAO+∠DPO=θ，當tanθ=4時，求點P23．在陽光下，測得一根與地面垂直、長為1米的竹竿的影長為2米．同時兩名同學測量一棵樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上．(1)如圖1：小明發(fā)現(xiàn)樹的影子一部分落在地面上，還有一部分影子落在教學樓的墻壁上，量得墻壁上的影長CD為3.5米，落在地面上的影長BD為6米，求樹AB的高度．(2)如圖2：小紅發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上，此時測得地面上的影長EF為8米，坡面上的影長FG為4米．已知斜坡的坡角為30°，則樹的高度為多少？參考答案：題號12345678答案AADDCDBB1．解：由題意得：sinA=故選：A．2．解：∵|cos∴cosA=∴∠A=60°,∠B=30°，∴∠C=90°，即△ABC的形狀是直角三角形．故選：A．3．解：設扶梯的長度為x米，由題意得，sin28°=解得AB=7故選D．4．解：∵∠C=90°,∠B=42°,BC=8，∴AC=BC?tan∴用科學計算器求AC的長的按鍵順序為：；故選D．5．解：∵∠BCA=90°，BC=3，AB=6，∴sin∴∠A=30°，∠ABC=60°，根據(jù)軸對稱的性質可知：∠CBE=∠ABE=1∠D=∠A=30°，∴CE=BC?tan∵∠D=30°，∴DE=2CE=2×3故選：C．6．解：如圖，過點B作BC⊥AO于點C，連接AB并延長，過點O作OD⊥AB交AB延長線于點D，在Rt△ADO∵∠ADO=90°，AD=4，DO=2，由勾股定理可知：AO=A同理，在Rt△BDO中，由勾股定理可知：BO=2設CO=x，在Rt△BCO中，由勾股定理可知：B同理，在Rt△ACB中，AC2∴BC∴2∴8-x解得x1=6∴BC=B∴sin故選：D．7．解：∵水平線與視線的夾角，即是俯角，∴從點P觀測點B的俯角為∠CPB，故選：B．8．解：由題意得∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=15°+90°=105°，∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-30°-105°=45°，過B作BP⊥AC，垂足為P，

∴∠BPC=∠BPA=90°，∴∠PBA=90°-∠BAC=60°，∠CBP=∠ABC-∠PBA=∴BP=CP，AP=BP設BP=CP=x，則AP=3∴AC=CP+AP=x+3解得x=1，∴觀測站B到AC的距離BP是1．故選：B．9．(1)35，45(2)10(3)310．解：∵sinB=∴∠B=60°，∵CD⊥AB于D，∴∠BCD=90°-60°=30°，∴BC=2BD，∵∠ACB=90°，∴∠A=90°-60°=30°，∴AB=2BC，∴AB=4BD，∴AD=3BD=3×3故答案為：6311．解：∵AE=AB，AB=2AD∴AE=2AD∵四邊形ABCD是矩形∴∠D=90°∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°∵cos∴∠DAE=60°∴∠BAE=30°∵AE=AB∴∠ABE=∠AEB=∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=15°．故答案為：15°．12．解：由菱形的性質可知，AC⊥BD，AB=BC，∵∠B=60°，∴∠ABD=∠CBD=1∴△ABC為等邊三角形，∴AO=CO=1∴BO=DO=AB?cos∵點E在對角線BD上，∴點E的位置有兩種情況：①如解圖①，當點E在BO上時，∵OE∴∠OAE=30°，∴OE=AO?tan∴BE=BO-OE=33②如解圖②，當點E在DO上時，由①可得OE=3∴BE=BO+OE=33綜上所述，BE的長為23或4故答案為：23或413．解：如圖，作DM∥EF交AB于點M，則∠AMD=∠AEF，∵四邊形ABCD是矩形，AD=6，tan∠AMD=∴AM=2，∴由勾股定理得DM=A∵AM=2，AB=8，∴BM=6，∵EF∥DM，∴△BEF∽△BMD，∴EF∴EF=2故答案為：21014．解：由題意可知，在Rt△PAC∵∠APC=42°，tan42°=∴tan∴AP=AB+BC在Rt△PAB∵∠APB=35°，tan35°=∴AP=AB∴AB+BC∴tan∴tan∴AB=tan故答案為：102．15．解：作BD⊥AC于點D．∵在Rt△ABD中，∠ABD=60°，∴∠DAB=30°∴AB=2BD=200（米），AD=A同理，CD=BD=100（米）．則AC=(100+1003則平均速度是100+100310=10(故答案為：10316．解：由題意得：AB=30（海里），AC⊥CE,在Rt△ACD中，∠CAD=45°∴AC=CD∴BC=AC-AB=80-30=50（海里），在Rt△BCE中，∠CBE=70°，∴CE=BC?tan∴DE=CE-CD=137.5-80=57.5≈58（海里），即乙船向正東方向航行了58海里，故答案為：5817．解：（1）2=2×=1（2）tan=1+6×=318．（1）解：∵∠C∴AC=AB2∴∠A∴∠B（2）解：∠C∴AB=AC2∴∠A∴∠B19．解：過點A作AD⊥BC交BC于點D，即∠ADC=∠ADB=90°，∵∠C=45°，AC=2，∴AD=AC?sin∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=DC=2∵∠B=30°，∴BD=AD∴BC=BD+DC=220．（1）解：∵DE⊥AB，AE=8，在Rt△ADE，sin設DE=3x，AD=5x，由勾股定理可得DE2+A解得x=-2（舍去）或x=2，∴DE=6，AD=10，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=6；（2）∵DE⊥AB，∠C=90°，CD=DE，又∵BD=BD，∴Rt△BCD≌∴BC=BE，設BC=BE=y，在Rt△ABC中，sin解得y=12，即BC=BE=12，∴在Rt△BCD中，tan21．（1）解：過點C作CE⊥AD，垂足為E，由題意得：AB=CE=10cm，BC=AE=20∵AD=50cm∴ED=AD-AE=50-20=30cm在Rt△CED中，CD=∴可伸縮支撐桿CD的長度為1010（2）解：過點D作DF⊥BC，交BC的延長線于點F，交AD'于點解：由題意得：AB=FG=10cm，AG=BF，∠AGD=90°在Rt△ADG中，tan∴設DG=3xcm，則AG=4x∴AD=A∵AD=50cm∴5x=50，解得：x=10，∴AG=40cm，DG=30∴DF=DG+FG=30+10=40cm∴BF=AG=40cm∵BC=20cm∴CF=BF-BC=40-20=20cm在Rt△CFD中，CD=∴此時可伸縮支撐桿CD的長度為45cm22．（1）解：由題意可得：y=2x+2y=-2x+6，解得：x=1∴點D的坐標為1,4．（2）解：∵直線DF⊥x軸，交x軸于F，∴點F的坐標為1,0，∵點E是線段DF的中點，∴點E的坐標為1,2，∴DE=2，∵直線y=-2x+6與x軸分別交于B點，∴B3,0∴FB=OB-OF=3-1=2，∴BD=3-12+如圖：過E作EI⊥BD于I，作EH⊥BG交BG延長線于H，∵12∴EI=2∴sin∠DBE=設G1,g，即GF=g，∵∠GBF=∠DBE，∴sinGBF=∴g4+g2∴點G的坐標為1,（3）解：∵直線y=2x+2x軸交于A，∴A-1,0，即如圖：連接OD,DF，若點P在點A的左側，∵OF=1,DF=4,∴tan∠DOF=DFOF∴∠DOF=∠DAO+∠ADO=θ，∵∠DAO+∠DPO=θ，∴∠OPD=∠ADO，∵∠AOD=∠DOP，∴△OAD∽△ODP，∴OAOD∴OD∴12+4∴點P的坐標為-17,0．同理可得：若點P在點A的右側時，點P的坐標為19,0．綜上，點P的坐標為-17,0或19,0．（1）解：根據(jù)題意，CD=3.5米，BD=6