《2 平行四邊形的判定》（同步訓(xùn)練）初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)-北師大版-2024-2025學(xué)年

《2平行四邊形的判定》同步訓(xùn)練(答案在后面)一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、在下列四邊形中，一定是平行四邊形的是：A.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形B.對(duì)角線互相平分的四邊形C.一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形D.四個(gè)角都相等的四邊形2、在梯形ABCD中，已知AD∥BC，若AB=CD，那么下列結(jié)論正確的是：A.ABCD是平行四邊形B.ABCD是等腰梯形C.AD=BCD.無法確定3、在下列四邊形中，不是平行四邊形的是（）A.對(duì)邊平行且相等的四邊形B.對(duì)角線互相平分的四邊形C.有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形D.對(duì)角線互相垂直的四邊形4、在四邊形ABCD中，若AD∥BC，AB=CD，且∠A=70°，則∠B的度數(shù)是（）A.70°B.110°C.120°D.無法確定5、在平行四邊形ABCD中，已知∠A=70°，則∠B的度數(shù)是：A.110°B.70°C.40°D.50°6、在下列四邊形中，一定是平行四邊形的是：A.有兩對(duì)對(duì)邊分別平行的四邊形B.有兩對(duì)對(duì)角分別相等的四邊形C.有兩對(duì)對(duì)邊分別平行且相等的四邊形D.有兩對(duì)對(duì)角分別互補(bǔ)的四邊形7、已知在平行四邊形ABCD中，AB=CD，∠BAD=70°，則∠BCD的度數(shù)是：A.70°B.110°C.140°D.160°8、在下列四邊形中，能夠判定為平行四邊形的是：A.對(duì)邊平行且相等的四邊形B.對(duì)角相等且鄰邊相等的四邊形C.對(duì)角線互相垂直的四邊形D.對(duì)角線互相平分的四邊形9、在下列四邊形中，滿足對(duì)邊平行的是（）A.一個(gè)四邊形，兩組對(duì)邊分別相等B.一個(gè)四邊形，兩組對(duì)角分別相等C.一個(gè)四邊形，對(duì)角線互相平分D.一個(gè)四邊形，一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等10、已知四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，則四邊形ABCD是（）A.矩形B.菱形C.平行四邊形D.梯形二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：已知在平行四邊形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O。（1）若AO=4cm，BO=5cm，求CD的長度；（2）若ABCD的面積為48cm2，求對(duì)角線AC和BD的長度。第二題：在平行四邊形ABCD中，E是AD上的點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的點(diǎn)，且BE=CF。已知∠ABC=60°，AB=10cm，求證：∠AED=∠CFE。第三題：在平行四邊形ABCD中，已知∠ABC=60°，AD=6cm，BC=8cm。求對(duì)角線AC和BD的長度。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：在平行四邊形ABCD中，已知AB=CD，AD=BC，E是邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊CD的中點(diǎn)。（1）請(qǐng)判斷四邊形AEFD是否為平行四邊形，并給出理由。（2）如果四邊形AEFD是平行四邊形，請(qǐng)證明EF平行于BC。第二題：在梯形ABCD中，AD平行于BC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)。若BE=CF，求證：四邊形AEFD是平行四邊形。第三題：已知在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是邊AB和邊CD上的點(diǎn)，且AE=CF，BE=DF。請(qǐng)判斷四邊形AEFD是否為平行四邊形？若為平行四邊形，請(qǐng)給出判定依據(jù)；若不為平行四邊形，請(qǐng)說明理由。第四題：已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠A=60°，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。第五題：已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∠BAD=60°，求證：四邊形ABCD是菱形。第六題：在平行四邊形ABCD中，E和F是AD和BC上的點(diǎn)，且BE=CF。若∠DAB=60°，求證：∠FED=60°。第七題：在平行四邊形ABCD中，已知∠ABC=70°，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=EC。求證：∠AED=∠ABC?！?平行四邊形的判定》同步訓(xùn)練及答案解析一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、在下列四邊形中，一定是平行四邊形的是：A.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形B.對(duì)角線互相平分的四邊形C.一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形D.四個(gè)角都相等的四邊形答案：B解析：根據(jù)平行四邊形的判定定理，如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分，那么這個(gè)四邊形一定是平行四邊形。因此，選項(xiàng)B正確。2、在梯形ABCD中，已知AD∥BC，若AB=CD，那么下列結(jié)論正確的是：A.ABCD是平行四邊形B.ABCD是等腰梯形C.AD=BCD.無法確定答案：B解析：由梯形的定義，已知AD∥BC，所以ABCD是梯形。又因?yàn)锳B=CD，根據(jù)等腰梯形的定義，如果梯形的兩腰相等，則這個(gè)梯形是等腰梯形。所以選項(xiàng)B正確。其他選項(xiàng)無法根據(jù)已知條件確定。3、在下列四邊形中，不是平行四邊形的是（）A.對(duì)邊平行且相等的四邊形B.對(duì)角線互相平分的四邊形C.有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形D.對(duì)角線互相垂直的四邊形答案：D解析：平行四邊形的判定條件包括：對(duì)邊平行且相等、對(duì)角線互相平分、一組對(duì)邊平行且相等。選項(xiàng)D中的對(duì)角線互相垂直并不是平行四邊形的判定條件，因此選D。4、在四邊形ABCD中，若AD∥BC，AB=CD，且∠A=70°，則∠B的度數(shù)是（）A.70°B.110°C.120°D.無法確定答案：B解析：由題意知，四邊形ABCD中AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，∠A和∠B是同位角，所以∠B=70°。又因?yàn)锳B=CD，且ABCD不是平行四邊形，所以四邊形ABCD是等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，底角相等，所以∠B=∠D=70°。因此，∠B的度數(shù)是110°。5、在平行四邊形ABCD中，已知∠A=70°，則∠B的度數(shù)是：A.110°B.70°C.40°D.50°答案：D解析：在平行四邊形中，對(duì)角相等，即∠A=∠C，因此∠C=70°。由于平行四邊形的相鄰內(nèi)角互補(bǔ)，即∠A+∠B=180°，所以∠B=180°-∠A=180°-70°=110°。選項(xiàng)D正確。6、在下列四邊形中，一定是平行四邊形的是：A.有兩對(duì)對(duì)邊分別平行的四邊形B.有兩對(duì)對(duì)角分別相等的四邊形C.有兩對(duì)對(duì)邊分別平行且相等的四邊形D.有兩對(duì)對(duì)角分別互補(bǔ)的四邊形答案：C解析：根據(jù)平行四邊形的判定定理，如果一個(gè)四邊形有兩對(duì)對(duì)邊分別平行且相等，那么這個(gè)四邊形一定是平行四邊形。選項(xiàng)C滿足這個(gè)條件，所以是正確答案。其他選項(xiàng)不能保證四邊形一定是平行四邊形。7、已知在平行四邊形ABCD中，AB=CD，∠BAD=70°，則∠BCD的度數(shù)是：A.70°B.110°C.140°D.160°答案：B解析：在平行四邊形ABCD中，對(duì)角相等，所以∠BCD=∠BAD=70°。因此，正確答案是B。8、在下列四邊形中，能夠判定為平行四邊形的是：A.對(duì)邊平行且相等的四邊形B.對(duì)角相等且鄰邊相等的四邊形C.對(duì)角線互相垂直的四邊形D.對(duì)角線互相平分的四邊形答案：D解析：根據(jù)平行四邊形的定義，對(duì)角線互相平分是判定平行四邊形的一個(gè)充分條件。因此，正確答案是D。其他選項(xiàng)中的條件并不能唯一確定一個(gè)四邊形為平行四邊形。9、在下列四邊形中，滿足對(duì)邊平行的是（）A.一個(gè)四邊形，兩組對(duì)邊分別相等B.一個(gè)四邊形，兩組對(duì)角分別相等C.一個(gè)四邊形，對(duì)角線互相平分D.一個(gè)四邊形，一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等答案：C解析：根據(jù)平行四邊形的判定定理，如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形。選項(xiàng)C符合這一條件，因此正確答案是C。10、已知四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，則四邊形ABCD是（）A.矩形B.菱形C.平行四邊形D.梯形答案：C解析：根據(jù)平行四邊形的定義，如果一個(gè)四邊形的對(duì)邊分別平行，則這個(gè)四邊形是平行四邊形。選項(xiàng)C符合這一條件，雖然題目中未明確說明其他角或?qū)蔷€的信息，但僅憑對(duì)邊平行這一條件，我們就可以判斷四邊形ABCD是平行四邊形。因此正確答案是C。二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：已知在平行四邊形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O。（1）若AO=4cm，BO=5cm，求CD的長度；（2）若ABCD的面積為48cm2，求對(duì)角線AC和BD的長度。答案：（1）CD的長度為8cm。解析：由于ABCD是平行四邊形，所以AB平行于CD，AD平行于BC，且AB=CD，AD=BC。又因?yàn)閷?duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角線互相平分，所以O(shè)A=OC，OB=OD。已知AO=4cm，BO=5cm，則OC=AO=4cm，OD=BO=5cm。由于O是對(duì)角線的交點(diǎn)，AC=AO+OC=4cm+4cm=8cm。在三角形BCO中，根據(jù)勾股定理，有CO2+BO2=BC2，即42+52=BC2，解得BC=√(16+25)=√41。因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以CD=AB=6cm。（2）設(shè)AC=xcm，BD=ycm。解析：根據(jù)平行四邊形的面積公式，面積等于對(duì)角線乘積的一半，即S=1/2×AC×BD。已知ABCD的面積為48cm2，所以1/2×x×y=48，即xy=96。由于對(duì)角線互相平分，所以AO=1/2×AC，BO=1/2×BD。在三角形ABO中，根據(jù)勾股定理，有AO2+BO2=AB2。代入AO和BO的表達(dá)式，得到(1/2×AC)2+(1/2×BD)2=AB2。由于AB=6cm，所以(1/2×AC)2+(1/2×BD)2=62，即(1/4)×AC2+(1/4)×BD2=36。將xy=96代入上式，得到(1/4)×(96/B)2+(1/4)×(96/B)2=36。化簡得到(1/2)×(96/B)2=36，即(96/B)2=72。解得B=√(96/72)=√(4/3)=2√3。因?yàn)锽D=2BO，所以BD=2×2√3=4√3。再將BD的值代入xy=96，得到x×4√3=96，解得x=96/(4√3)=24/√3=8√3。所以，對(duì)角線AC的長度為8√3cm，對(duì)角線BD的長度為4√3cm。第二題：在平行四邊形ABCD中，E是AD上的點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的點(diǎn)，且BE=CF。已知∠ABC=60°，AB=10cm，求證：∠AED=∠CFE。答案：證明：因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以AD∥BC。由BE=CF，且AD∥BC，根據(jù)同位角相等，可得∠AED=∠CFE。由于∠ABC=60°，且ABCD是平行四邊形，所以∠ABC=∠ADC=60°。在△ABE和△CDF中，有：AB=CD（平行四邊形的對(duì)邊相等）∠ABC=∠CDF=60°（由步驟3得出）BE=CF（已知）根據(jù)SAS（邊-角-邊）全等條件，可得△ABE≌△CDF。因此，對(duì)應(yīng)角相等，即∠AED=∠CFE。解析：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定。首先，利用平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，得到∠AED=∠CFE。然后，通過構(gòu)造兩個(gè)全等三角形△ABE和△CDF，證明這兩個(gè)角相等。這是通過SAS全等條件實(shí)現(xiàn)的，即兩三角形的兩邊和夾角分別相等。第三題：在平行四邊形ABCD中，已知∠ABC=60°，AD=6cm，BC=8cm。求對(duì)角線AC和BD的長度。答案：AC=8cm，BD=10cm解析：Step1：由于ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊相等，所以AB=CD，BC=AD。Step2：在ΔABC中，∠ABC=60°，AB=8cm，根據(jù)余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2*AB*BC*cos∠ABCAC2=82+62-2*8*6*cos60°AC2=64+36-96*0.5AC2=100-48AC2=52AC=√52AC=2√13cmStep3：由于ABCD是平行四邊形，對(duì)角線互相平分，所以O(shè)A=OC=1/2AC=√13cm。Step4：在ΔAOB中，OA=√13cm，OB=AD=6cm，根據(jù)勾股定理可得：OB2=OA2+AB262=(√13)2+AB236=13+AB2AB2=36-13AB2=23AB=√23cmStep5：由于ABCD是平行四邊形，對(duì)邊相等，所以CD=AB=√23cm。Step6：在ΔCOD中，OC=√13cm，OD=CD=√23cm，根據(jù)勾股定理可得：OD2=OC2+CD2OD2=(√13)2+(√23)2OD2=13+23OD2=36OD=√36OD=6cmStep7：對(duì)角線BD的長度為OB+OD=6cm+6cm=12cm。綜上所述，對(duì)角線AC的長度為2√13cm，對(duì)角線BD的長度為12cm。所以答案為AC=8cm，BD=10cm。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：在平行四邊形ABCD中，已知AB=CD，AD=BC，E是邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊CD的中點(diǎn)。（1）請(qǐng)判斷四邊形AEFD是否為平行四邊形，并給出理由。（2）如果四邊形AEFD是平行四邊形，請(qǐng)證明EF平行于BC。答案：（1）四邊形AEFD是平行四邊形。理由：由于E和F分別是AB和CD的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理，EF將AD和BC平分，即EF=1/2AD=1/2BC。又因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以AD平行于BC。因此，EF平行于AD，并且EF=AD/2，同理EF=BC/2，所以EF=AD=BC/2。由平行四邊形的定義，對(duì)邊相等且對(duì)邊平行，所以AEFD是平行四邊形。（2）證明：由（1）知，四邊形AEFD是平行四邊形，因此對(duì)邊EF和AD平行。由于ABCD是平行四邊形，AD平行于BC，而EF與AD平行，根據(jù)平行線的性質(zhì)，EF也平行于BC。解析：本題主要考察平行四邊形的性質(zhì)和判定，以及中位線定理的應(yīng)用。首先，通過中位線定理得出EF=AD=BC/2，然后利用平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，判斷出四邊形AEFD是平行四邊形。最后，利用平行線的傳遞性質(zhì)，證明EF平行于BC。第二題：在梯形ABCD中，AD平行于BC，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)。若BE=CF，求證：四邊形AEFD是平行四邊形。答案：證明：因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，所以BE=EC，AF=FD。由于AD平行于BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，有∠ABE=∠AFD（同位角相等）。又因?yàn)锽E=CF，所以∠EBF=∠EFC（等腰三角形的底角相等）。在三角形ABE和三角形AFD中，有：∠ABE=∠AFD（已證）∠EBA=∠FDA（對(duì)頂角相等）BE=CF（題目條件）根據(jù)SAS（邊-角-邊）全等條件，可以得出三角形ABE≌三角形AFD。全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，所以AE=DF。由于AE=DF，并且AD平行于BC，根據(jù)平行四邊形的定義，四邊形AEFD的對(duì)邊相等且平行，因此四邊形AEFD是平行四邊形。解析：本題考查了梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定。通過證明三角形ABE和三角形AFD全等，利用全等三角形的性質(zhì)和梯形的性質(zhì)，得出四邊形AEFD是平行四邊形。解題的關(guān)鍵在于正確運(yùn)用SAS全等條件和平行線的性質(zhì)。第三題：已知在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是邊AB和邊CD上的點(diǎn)，且AE=CF，BE=DF。請(qǐng)判斷四邊形AEFD是否為平行四邊形？若為平行四邊形，請(qǐng)給出判定依據(jù)；若不為平行四邊形，請(qǐng)說明理由。答案：四邊形AEFD為平行四邊形。解析：因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以AB∥CD，AD∥BC。又因?yàn)锳E=CF，所以△AEB≌△CFD（SAS準(zhǔn)則）。所以EB=FD。同理可得，AB∥EF，AD∥EF。因此，四邊形AEFD具有對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，所以AEFD是平行四邊形。第四題：已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠A=60°，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。答案：證明：因?yàn)锳D∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)，同位角相等，所以∠BAD=∠BCD。已知AB=CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，底角相等，所以∠B=∠D。由于∠A=60°，且∠B=∠D，所以∠BAD=∠BCD=60°。因?yàn)椤螧AD=∠BCD且AD∥BC，根據(jù)平行四邊形的判定定理，對(duì)邊相等且平行，所以四邊形ABCD是平行四邊形。解析：本題考查了平行四邊形的判定方法。通過證明對(duì)邊平行且相等，從而判定四邊形為平行四邊形。在證明過程中，利用了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)。第五題：已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∠BAD=60°，求證：四邊形ABCD是菱形。答案：證明：因?yàn)锳D∥BC，所以∠ABC=∠BAD=60°（同位角相等）；又因?yàn)锳D=BC，所以AB=AD（三角形ABD中，角BAD=60°，AD=BC，所以AB=AD，根據(jù)等邊對(duì)等角）；因此，四邊形ABCD的兩組對(duì)邊相等，即AB=BC，AD=CD；又因?yàn)锳D∥BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形；由于AB=