2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)28指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(二十八)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．某公司為了適應(yīng)市場(chǎng)需求對(duì)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤(rùn)增長(zhǎng)快速，后來(lái)增長(zhǎng)越來(lái)越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)反映該公司調(diào)整后利潤(rùn)y與時(shí)間x的關(guān)系，可選用()A．一次函數(shù) B．二次函數(shù)C．指數(shù)型函數(shù) D．對(duì)數(shù)型函數(shù)D[由于一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)不會(huì)后來(lái)增長(zhǎng)越來(lái)越慢，只有對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)符合．]2．當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的應(yīng)當(dāng)是()A．y＝10x B．y＝lgxC．y＝x10 D．y＝10xD[由于指數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)是爆炸式增長(zhǎng)，則當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，函數(shù)y＝10x的增長(zhǎng)速度最快．]3．如圖給出了紅豆生長(zhǎng)時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖，那么紅豆生長(zhǎng)時(shí)間與枝數(shù)的關(guān)系用下列哪個(gè)函數(shù)模型擬合最好()A．指數(shù)函數(shù)：y＝2tB．對(duì)數(shù)函數(shù)：y＝log2tC．冪函數(shù)：y＝t3D．二次函數(shù)：y＝2t2A[由圖可知函數(shù)在第一象限內(nèi)是一個(gè)增函數(shù)，并且增長(zhǎng)速度較快，且圖象過(guò)點(diǎn)(2，4)，(4，16)，因此利用指數(shù)函數(shù)模型擬合較好．]4．有一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：x12345y1.55.913.424.137下列所給函數(shù)模型較適合的是()A．y＝logax(a＞1) B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝logax＋b(a＞1)C[通過(guò)所給數(shù)據(jù)可知y隨x的增大而增大，其增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，而A、D中的函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，B中的函數(shù)增長(zhǎng)速度保持不變．故選C.]5．四人賽跑，假設(shè)他們走過(guò)的路fi(x)(i∈{1，2，3，4})和時(shí)間x(x＞1)的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，假如他們始終跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是()A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2xD[明顯四個(gè)函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)是增長(zhǎng)最快的，故最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是f4(x)＝2x，故選D.]二、填空題6．在函數(shù)y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增長(zhǎng)速度最快的是________．y＝3x[由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、一次函數(shù)的增長(zhǎng)差異可推斷出y＝3x的增長(zhǎng)速度最快．]7．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(1，＋∞)上增長(zhǎng)較快的一個(gè)是________．y＝x2[當(dāng)x變大時(shí)，x比lnx增長(zhǎng)要快，∴x2要比xlnx增長(zhǎng)的要快．]8．某工廠8年來(lái)某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，給出下列四種說(shuō)法：①前三年中產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快；②前三年中產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢；③第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后產(chǎn)量保持不變．其中說(shuō)法正確的是________．②③[由t∈[0，3]的圖象，聯(lián)想到冪函數(shù)y＝xa(0＜a＜1)，反映了C隨時(shí)間的改變而漸漸增長(zhǎng)但速度越來(lái)越慢，由t∈[3，8]的圖象可知，總產(chǎn)量C沒(méi)有改變，即第三年后停止生產(chǎn)．]三、解答題9．某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元的利潤(rùn)目標(biāo)，打算制定一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的嘉獎(jiǎng)方案：在銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)進(jìn)行嘉獎(jiǎng)，且資金y(單位：萬(wàn)元)隨銷(xiāo)售利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但資金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)資金不超過(guò)利潤(rùn)的25%.現(xiàn)有三個(gè)嘉獎(jiǎng)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？[解]作出函數(shù)y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖象(如圖).視察圖象發(fā)覺(jué)，在區(qū)間[10，1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖象都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖象始終在y＝5和y＝0.25x的下方，這說(shuō)明只有按模型y＝log7x＋1進(jìn)行嘉獎(jiǎng)時(shí)才符合公司的要求．10．某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52，54，58.為了預(yù)料以后各月的患病人數(shù)，甲選擇了模型y＝ax2＋bx＋c，乙選擇了模型y＝p·qx＋r，其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a，b，c，p，q，r都是常數(shù)．結(jié)果4月，5月，6月份的患病人數(shù)分別為66，82，115，你認(rèn)為誰(shuí)選擇的模型較好？[解]令y＝f(x)＝ax2＋bx＋c，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·12＋b·1＋c＝52，,a·22＋b·2＋c＝54，,a·32＋b·3＋c＝58，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝52，,4a＋2b＋c＝54，,9a＋3b＋c＝58，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,c＝52，))所以甲：y1＝x2－x＋52，令y＝g(x)＝p·qx＋r.又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p·q1＋r＝52，①,p·q2＋r＝54，②,p·q3＋r＝58，③))②－①，得p·q2－p·q1＝2，④③－②，得p·q3－p·q2＝4，⑤⑤÷④，得q＝2.將q＝2代入④式，得p＝1.將q＝2，p＝1代入①式，得r＝50，所以乙：y2＝2x＋50.計(jì)算當(dāng)x＝4時(shí)，y1＝64，y2＝66；當(dāng)x＝5時(shí)，y1＝72，y2＝82；當(dāng)x＝6時(shí)，y1＝82，y2＝114.可見(jiàn)，乙選擇的模型較好．11．今有一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：t23456v1.54.047.51218.01現(xiàn)打算用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)所滿(mǎn)意的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()A．v＝log2t B．v＝logeq\s\do2(\f(1,2))tC．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－2C[由表中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)t增大時(shí)，v也隨著增大，所以B不正確．又當(dāng)t＝2時(shí)，v＝1.5，所以A、D不正確，C符合要求．]12．四個(gè)函數(shù)在第一象限中的圖象如圖所示，a，b，c，d所表示的函數(shù)可能是()A．a(chǎn)：y＝2xb：y＝x2c：y＝eq\r(x)d：y＝2－xB．a(chǎn)：y＝x2b：y＝2xc：y＝2－xd：y＝eq\r(x)C．a(chǎn)：y＝x2b：y＝2xc：y＝eq\r(x)d：y＝2－xD．a(chǎn)：y＝axb：y＝x2c：y＝2－xd：y＝eq\r(x)C[依據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象的特點(diǎn)，a，c對(duì)應(yīng)的函數(shù)分別是冪指數(shù)大于1和冪指數(shù)大于0小于1的冪函數(shù)．b，d對(duì)應(yīng)的函數(shù)分別為底數(shù)大于1和底數(shù)大于0小于1的指數(shù)函數(shù)．]13．當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)＝x2，g(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))，h(x)＝x－2的大小關(guān)系是()A．h(x)<g(x)<f(x) B．h(x)<f(x)<g(x)C．g(x)<h(x)<f(x) D．f(x)<g(x)<h(x)D[取特別值x＝eq\f(1,2)代入可解除A、B、C.]14．生活閱歷告知我們，當(dāng)水注入容器(設(shè)單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)水量相同)時(shí)，水的高度隨著時(shí)間的改變而改變，在下圖中請(qǐng)選擇與容器相匹配的圖象，A對(duì)應(yīng)________；B對(duì)應(yīng)________；C對(duì)應(yīng)________；D對(duì)應(yīng)________．(4)(1)(3)(2)[A容器下粗上細(xì)，水高度的改變先慢后快，故與(4)對(duì)應(yīng)；B容器為球形，水高度改變?yōu)榭臁?，?yīng)與(1)對(duì)應(yīng)；C，D容器都是柱形的，水高度的改變速度都應(yīng)是直線型，但C容器細(xì)，D容器粗，故水高度的改變?yōu)椋篊容器快，與(3)對(duì)應(yīng)，D容器慢，與(2)對(duì)應(yīng)．]15．假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案？[解]設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N＋)進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)y＝10x(x∈N＋)進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)y＝0.4×2x－1(x∈N＋)進(jìn)行描述．要對(duì)三個(gè)方案作出選擇，就要對(duì)它們的增長(zhǎng)狀況進(jìn)行分析．畫(huà)出三個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖可知方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長(zhǎng)狀況很不相同．可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長(zhǎng)量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長(zhǎng)”，但“增長(zhǎng)量”是成倍增加的，從第7天起先，方案三比其他兩個(gè)方案增長(zhǎng)得快得多，這種增長(zhǎng)速度是方案一、方案二