2025屆高考數(shù)學(xué)一輪專(zhuān)題重組卷第一部分專(zhuān)題十七計(jì)數(shù)原理理含解析

PAGE專(zhuān)題十七計(jì)數(shù)原理本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分70分，考試時(shí)間45分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共50分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(2024·岳陽(yáng)二模)若m，n均為非負(fù)整數(shù)，在做m＋n的加法時(shí)各位均不進(jìn)位．例如：2024＋100＝2119，則稱(m，n)為“簡(jiǎn)潔的”有序?qū)Γ鴐＋n稱為有序?qū)?m，n)的值，那么值為2024的“簡(jiǎn)潔的”有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)是()A．100B．96C．60D．30答案C解析值為2024的“簡(jiǎn)潔的”有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)是3×1×2×10＝60.故選C.2．(2024·廣州市天河區(qū)畢業(yè)班綜合測(cè)試)支配5名學(xué)生去3個(gè)社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，且每人只去一個(gè)社區(qū)，要求每個(gè)社區(qū)至少有一名學(xué)生進(jìn)行志愿服務(wù)，則不同的支配方式共有()A．360種B．300種C．150種D．125種答案C解析5名學(xué)生分成3組，每組至少1人，有3,1,1和2,2,1兩種狀況：①3,1,1：分組共有eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))＝10種分法；再安排到3個(gè)社區(qū)：10Aeq\o\al(3,3)＝60種．②2,2,1：分組共有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))＝15種分法；再安排到3個(gè)社區(qū)：15Aeq\o\al(3,3)＝90種．綜上所述，共有60＋90＝150種支配方式．故選C.3．(2024·韶關(guān)市調(diào)研考試)某中學(xué)元旦晚會(huì)共由6個(gè)節(jié)目組成，演出依次有如下要求：節(jié)目甲必需排在乙的前面，丙不能排在最終一位，該晚會(huì)節(jié)目演出依次的編排方案共有()A．720種B．360種C．300種D．600種答案C解析先支配好除丙之外的5個(gè)節(jié)目，有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(2,2))＝60種可能，再支配丙，有5種可能，共300種方案，故選C.4．(2024·合肥二檢)某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù)，要求是：任務(wù)A必需排在前三項(xiàng)執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需馬上執(zhí)行任務(wù)E；任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰．則不同的執(zhí)行方案共有()A．36種B．44種C．48種D．54種答案B解析六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，假如任務(wù)A排在第一位時(shí)，E排在其次位，剩下四個(gè)位置，先排好B，C，再在B，C之間的3個(gè)空位中插入D，F(xiàn)，此時(shí)共有排列方法：Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12種；假如任務(wù)A排在其次位時(shí)，E排在第三位，則B，C可能分別在A，E的兩側(cè)，排列方法有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝12種，可能都在A，E的右側(cè)，排列方法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝4種；假如任務(wù)A排在第三位時(shí)，E排在第四位，則B，C分別在A，E的兩側(cè)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝16種；所以不同的執(zhí)行方案共有12＋12＋4＋16＝44種．5．(2024·新余市高三期末考試)把1,2,3，…，6這六個(gè)數(shù)隨機(jī)地排成一列組成一個(gè)數(shù)列，要求該數(shù)列恰先增后減，則這樣的數(shù)列共有多少個(gè)？()A．31B．30C．28D．32答案B解析該數(shù)列恰先增后減，則數(shù)字6肯定是分界點(diǎn)，且前面的依次和后面的依次都只有一種，當(dāng)6前有1個(gè)數(shù)字時(shí)，有Ceq\o\al(1,5)＝5種，當(dāng)6前有2個(gè)數(shù)字時(shí)，有Ceq\o\al(2,5)＝10種，當(dāng)6前有3個(gè)數(shù)字時(shí)，有Ceq\o\al(3,5)＝10種，當(dāng)6前有4個(gè)數(shù)字時(shí)，有Ceq\o\al(4,5)＝5種，依據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，共有5＋10＋10＋5＝30種，故選B.6．(2024·臨汾模擬)已知三棱錐的6條棱代表6種不同的化工產(chǎn)品，有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是平安的，沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危急的．現(xiàn)用編號(hào)為1,2,3的三個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這6種化工產(chǎn)品，每個(gè)倉(cāng)庫(kù)放2種，那么平安存放的不同方法種數(shù)為()A．12B．24C．36D．48答案D解析依據(jù)題意，如圖的三棱錐中，設(shè)6條棱為1,2,3,4,5,6，分析可得1、4,2、6,3、5不能分到同一組，分2步進(jìn)行分析：①將6種化工產(chǎn)品分成3組，其中1、4,2、6,3、5不能分到同一組，有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))－3×2－1＝8種分組方法；②將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)3個(gè)倉(cāng)庫(kù)，有Aeq\o\al(3,3)＝6種狀況，則平安存放的不同方法種數(shù)有8×6＝48種；故選D.7．(2024·洛陽(yáng)高三統(tǒng)考)4名高校生到三家企業(yè)應(yīng)聘，每名高校生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名高校生的狀況有()A．24種B．36種C．48種D．60種答案D解析分兩類(lèi)，第一類(lèi)有3名被錄用，有Aeq\o\al(3,4)＝24種；其次類(lèi)，4名都被錄用，則有一家錄用2名，有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝36，依據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有24＋36＝60種．故選D.8．(2024·蕪湖一模)某校高一開(kāi)設(shè)4門(mén)選修課，有4名同學(xué)選修，每人只選1門(mén)，恰有2門(mén)課程沒(méi)有同學(xué)選修，則不同的選課方案有()A．96種B．84種C．78種D．16種答案B解析恰有2門(mén)選修課沒(méi)有被這4名學(xué)生選擇，先從4門(mén)課中任選2門(mén)共有Ceq\o\al(2,4)＝6種，4名學(xué)生選2門(mén)課共有24＝16種，解除4名同學(xué)全選其中一門(mén)課程為16－2＝14種，故有14×6＝84種．故選B.9．(2024·衡水二中檢測(cè))用紅、黃、藍(lán)3種顏色給如圖所示的六個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是()A．12B．24C．30D．36答案C解析按依次涂色，第一個(gè)圓有3種選擇，其次個(gè)圓有2種選擇，若前三個(gè)圓用了3種顏色，則第三個(gè)圓有1種選擇，后三個(gè)圓也用了3種顏色，共有3×2×1×Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)＝24(種)，若前三個(gè)圓用了2種顏色，則后三個(gè)圓也用了2種顏色，所以共有3×2＝6(種)．綜上可得不同的涂色方案的種數(shù)是30.10．(2024·西安市長(zhǎng)安一中二模)將數(shù)字“124467”重新排列后得到不同的偶數(shù)個(gè)數(shù)為()A．72B．120C．192D．240答案D解析由題意，末尾是2或6，不同的偶數(shù)個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,5)＝120；末尾是4，不同的偶數(shù)個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(5,5)＝120，故共有120＋120＝240個(gè)．故選D.第Ⅱ卷(非選擇題，共20分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)11．(2024·湖北聯(lián)考)某共享汽車(chē)停放點(diǎn)的停車(chē)位排成一排且恰好全部空閑，假設(shè)最先來(lái)停車(chē)點(diǎn)停車(chē)的3輛共享汽車(chē)都是隨機(jī)停放的，且這3輛共享汽車(chē)都不相鄰的概率與這3輛共享汽車(chē)恰有2輛相鄰的概率相等，則該停車(chē)點(diǎn)的車(chē)位數(shù)為_(kāi)_______．答案10解析設(shè)停車(chē)位有n個(gè)，這3輛共享汽車(chē)都不相鄰的種數(shù)：相當(dāng)于先將(n－3)個(gè)停車(chē)位排放好，再將這3輛共享汽車(chē)插入到所成(n－2)個(gè)間隔中，故有Aeq\o\al(3,n－2)種，恰有2輛相鄰的種數(shù)：先把其中2輛捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素，再和另一個(gè)插入到將(n－3)個(gè)停車(chē)位排放好所成的(n－2)個(gè)間隔中，故有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,n－2)種，因?yàn)檫@3輛共享汽車(chē)都不相鄰的概率與這3輛共享汽車(chē)恰有2輛相鄰的概率相等，∴Aeq\o\al(3,n－2)＝Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,n－2)，解得n＝10.12．(2024·汕頭市高三上學(xué)期期末)把分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的五張卡片全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，且若分得的卡片超過(guò)一張，則必需是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答)．答案36解析先將卡片分為符合條件的3份，由題意，3人分5張卡片，且每人至少一張，至多三張，若分得的卡片超過(guò)一張，則必需是連號(hào)，相當(dāng)于將1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)用2個(gè)板子隔開(kāi)，在4個(gè)空位插2個(gè)板子，共有Ceq\o\al(2,4)＝6種狀況，再對(duì)應(yīng)到3個(gè)人，有Aeq\o\al(3,3)＝6種狀況，則共有6×6＝36種狀況．13．(2024·衡水中學(xué)高三上學(xué)期四調(diào))某校畢業(yè)典禮由6個(gè)節(jié)目組成，考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出依次有如下要求：節(jié)目甲必需排在前三位，且節(jié)目丙、丁必需排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出依次的編排方案共有________種．答案120解析①當(dāng)甲在首位，丙丁捆綁，自由排列，共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(2,2)＝48種；②當(dāng)甲在其次位，首位不能是丙和丁，共有3×Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝36種；③當(dāng)甲在第三位，前兩位分別是丙丁和不是丙丁兩種狀況，共Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2)＝36種，因此共48＋36＋36＝120種．14．(2024·廣州市天河區(qū)高三一模)假如一個(gè)三位數(shù)abc同時(shí)滿意a>b且b<c，則稱該三位數(shù)為“凹數(shù)”，那么全部不同的三位“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)是________．答案285解析依據(jù)題意，按十位數(shù)字分類(lèi)探討：①十位數(shù)字是9時(shí)不存在，此時(shí)三位“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為0；②十位數(shù)字是8，只有989，此時(shí)三位“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為1；③十位數(shù)字是7，則百位與個(gè)位都有2種可能，所以此時(shí)三位“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為2×2＝4；④十位數(shù)字是6，則百位與個(gè)位都有3種可能，所以此時(shí)三位“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為3×3＝9；⑤十位數(shù)字是5，則百位與個(gè)位都有4種可能，所以此時(shí)三位“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為4×4＝16；⑥十位數(shù)字是4時(shí)，則百位與個(gè)位都有5種可能，