平面向量綜合題型梳理

平面向量綜合1.用向量解決平面幾何問(wèn)題的步驟⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題;⑶把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.題型1向量與三角形的綜合例題1在AABC中，已知sinA:sinB:sinC=l:l:①，且3AAg=；，則AB?BC+BC?CA+CA?AB的值是（B.22【解析】在AABC中，設(shè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊為a,b,c，根據(jù)正弦定理可知-a-=-b-=-c-,sinAsinBsinC已知sinA:sinB:sinC=1:1:<2，所以a:b:c=1:1:42，顯然AABC是等腰三角形，即顯然AABC是等腰三角形，即a=b,c=2bb,S二1n1b.b=1nb=1AABC 2 2因此有a=b=1,c=<2所以AB?BC+BC?CA+cA?AB=cb-cos（兀--）+ab.cos（兀-三）+bc-cos（兀-三）=-2，選c4 2 4練習(xí)1.已知AABC,AB=6,AC=3,N是邊BC上的點(diǎn)，且BN=2NC,O為AABC的外心，AN.Ao的值為（ ）C.C.18，一 f1 2—【解析】因?yàn)锽N=2NC，所以AN-AB=2AC-2AN，因此AN=-AB+-AC；取AB，AC中點(diǎn)分別為D,E，則OD1AB，oe1AC；

因止匕前二詬花二」前2=18,AC-AO=ACAE2所以AN?49=(1—>2——>-AB+-AC?A0=(3 31'—r2—所以AN?49=(1—>2——>-AB+-AC?A0=(3 3一A小A0+—AC?A0=6+3=9.選。3 3練習(xí)2.已知向量正=(sinA,sinC),n=(cosC,cosA),前不二sinIB.且NA、NB、ZC分別是:\ABC的三邊。、b,。所對(duì)的角.(1)求NB；(2)若b=2,a+c=4,求&A5C的面積.【解析】(1)m-n=sinAcosC+cosAsinC=sin2B,「.sinB=2sinBcosBBB為AABC的內(nèi)角，則0<B<兀,sinB豐0,⑵由余弦定理，得：cosB-a2+02一b2，即：cos二竺上￡三2ac 3 2ac，a2+c2—ac+4,aa+c=4,/.(a+c)2―a2+c2+2ac=16,，ac-4/.S =—acsinB=AABC 2練習(xí)3.在一中，內(nèi)角L：.的對(duì)邊分別為/「，已知「一'一=：（1）求角.「的大??；（2）若:■‘刀在一邊上，且8；一、；， ?，-T，且、「求|.'二「??|必「b【解析】（1）因?yàn)閍cosB-c=，、、1-1由正弦定理得：sinAcosB-sinc=4』：，所以sinAcosB-（sinAcosB+cosAsinB）=「，TOC\o"1-5"\h\z1d.1 .d—i1 2jf所以cosA=-.：,又0<A<兀，故A".，.上 Jj— ^―- 23T 2IT（2）由b-c=2/:，a=4、「，A=.',由余弦定理得：（4「：）2=b2+c2-2bccos,,lJ kJ即b2+c2+bc=48，又b-c=2;、所以b2+c2=40,bc=8,又M、D在BC邊上，且用=2BK,|."?"?=0,所以2iM=i",:,所以4加2=八*2+此2+2油-A('=b2+C2-bc=32,所以A羽2=8,11由三角形面積公式得：］|明怛力|可疝II的用M一8x— 一 一一所以14洌= 2=1,所以總值2=1,所以14Ml2+L4川2=94題型2向量幾何意義的靈活應(yīng)用例題2設(shè)0、4、5是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，記出二足QB=b,若P為線段45垂直平分線上任意一點(diǎn),且「亦=5,當(dāng)同=2同=1時(shí)測(cè)/值一而等于 ()5 3A.3B.0C.-D.-【解析】設(shè)網(wǎng)是線段48的中點(diǎn)根據(jù)題意，得麗=血+而,0A-0B=BAOP^OA-麗;=(而+加)?曲="初曲+滋?由，■■■MP與曲互相垂直:?麗?煽=口.因此..宓曲-網(wǎng))=f加?威，又“(M”中，0M是4日邊上的中線，血=；例+QB}111??.(?初.BA=-(tM+0B)-BA=-(tM+OB}(0A-0B)=^0A2-OB2);而|=2,QE=1,^0P-[0A-0B)=()MBA=^(22-l2)=|.故選：D.練習(xí)1.如圖，△/比'是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)0,￡分別是八用網(wǎng)的中點(diǎn).BB(I)連接■一并延長(zhǎng)到點(diǎn)'，使得??二 ］，求二』的值;

(ID若點(diǎn)戶為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，|Q|多長(zhǎng)時(shí)，兩瓦:最小，并求最小值.【解析】(I)如圖，以點(diǎn)仃為坐標(biāo)原點(diǎn)，咒￡0匚所在直線分別為％y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則久&口)，川-工⑨曲1,0)￡(04磯E翳)設(shè)而=2詼,修弓設(shè)而=2詼,修弓!T*4 4AF=AF=A0+(fF-(L。)+[)囚=44｛浮)44(H)設(shè)才P=tAC=4I事)=設(shè)P(孫)/P=畫上+V)=(0刷,得PC"g)貝|]血=[1-t,-&t)p￡=(--tr^--\倍。3 ?③ 3 1APb^￡=(1-t-^) ^t)=4X2-4t+-=4(t--)2+-占 占 U MU1---???當(dāng)2時(shí)，pope取最小值，此時(shí)|/ip|二i練習(xí)2.如圖在△AOB中,。是邊05的中點(diǎn)，。是邊04上靠近0的三等分點(diǎn),A。與5。交于M點(diǎn).設(shè)曲V,由4.(1)用鼻，百表示的;(2)過(guò)點(diǎn)M的直線與邊04,05分別交于￡,F.設(shè)仇■寸內(nèi)，,二p飾,求L?的值.

【解析】（1）設(shè)用=而+防則月初二飽-醇=0-1)而+yOB=(z-l)a￥yb,AD=0D-0A=-士申?ZMD三點(diǎn)共線，.”況，疝共線，從而/x-l）=-y…①又CM,5三點(diǎn)共線，...mi,■（必共線，同理可得/y-I）=-x…②ij聯(lián)立①②，解得,聯(lián)立①②，解得,故41=4+劣.(2)EM=(2)EM=0M—0E= 卜己5—pQ=(尸一p)口.4—E.■JO J JEF=OF-0E=(]b-pct.???皿用洪線，???匕\ 2 I2廣pq=-"]，整理得—+--J/ s pq（1）求證:M是。。的中點(diǎn)；（2）若A5=2,5C=1,H是5M上異于點(diǎn)B的一動(dòng)點(diǎn)，求&?的的最小值.【解析】⑴設(shè)畫二機(jī)匚力,麗二疝4,由題意知醒=［血=3就"M）［（況+加:i］）W麻t|m比，(27=1-今解得—m=nu又=血+CN(27=1-今解得—m=num=7 i1.??匚何=加力=#,即亂是。。的中點(diǎn).n=—(2)'：AB=2,BC=1是。。的中點(diǎn)，.*.MBM，NA5M=45°),AH-^=(AB+麗后E=-(魂+論)?麗=&-麗-I的|2二-|油||麗匕05(180。-/45切-I麗|2

二胸曲I必45?！沟?『②曲-I曲|2二(|曲|.yj2+；???當(dāng)I研1=梃即H與M重合時(shí)M計(jì)的取得最小值，且最小值為。題型3向量與三角函數(shù)化簡(jiǎn)及性質(zhì)綜合例題3 已知向量弓二(sin0,cos0-2sin0),b=(1,2).--sin0-cosO⑴若。/小求幣由的值;(2)若ao<0<k,求e的值.【解析】(1)因?yàn)椤ā╞,所以2sin?=cos?—2sin?,于是4sin?=cos?(2)若ao<0<k,求e的值.【解析】(1)因?yàn)椤ā╞,所以2sin?=cos?—2sin?,于是4sin?=cos?；當(dāng)cos?二0時(shí)，sin0=0,與sin2?+COS2?二1矛盾，所以cos?。。,a1故tan0=-，所以4sin0?cos0sin0-cos0tan0 41+3cos20 sin20+4cos20 tan20+465(2)由Ia1=1bI知，sin20+(cos0-2sin0)2=5,即1一4sin0cos0+4sin20=5，從而-2sin20+2(1-cos20):4，即sin20+cos20=-1,八兀于是sin20+-=<2 八 兀 兀9兀一_,又由o<0<^知，-<20+^<彳，兀 5兀 兀 7兀 兀 3兀所以20+= 或20+=，因此0=5或0=.I I I I 乙 練習(xí)1.已知-一：,油丁i：,■ :....：,函數(shù).[J一.，.上(I)求仁)的對(duì)稱軸方程;(II)求使「二十：成立的?的取值集合;7TJT(III)若對(duì)任意實(shí)數(shù)」：I.」，不等式：匕：?二<'’恒成立，求實(shí)數(shù)門的取值范圍.OJ【解析】(I)*：「, .?一1-CQS^X1 +-sIyQx=717T令工-，…一金,解得?kn37r…M37r.工，！二」的對(duì)稱軸方程為「=.一Zo(II)由?：得'，"三!'「I,即血：二一，二2 4 2 4jT7?3ttjTITJT故ITJT故x的取值集合為?北十版。與+忱A".又萬(wàn)Z=o,?,?2。+5）乙=夫+1.訓(xùn)=B=1且展5=o,?,?1+3=挹.'.|c|2+l=2^|ccos<c,a+^>,又cos<E,@+B>e[-1,1],即€[-1,1]解得：72-1vI斗V*+1,本題正確結(jié)果；[J2—1J2+1]TOC\o"1-5"\h\z練習(xí)l已知直線:「L」,一,；―—?=二…三?【過(guò)定點(diǎn)?，線段：,」?是圓.. ： ： ?的直徑，則月b后二.【解析】直線.： .■ ■ ■：■三?」：可化為1■ 1 !1 ■,』jc-by-1=0聯(lián)立：一"?，解得點(diǎn)「?,??,線段「是圓:一"”「—：?'「=?的直徑，AI'1■ 1 1 ' '」.'' ':練習(xí)2.如圖，已知八 :;,B為AC的中點(diǎn)，分別以AB,AC為直徑在AC的同側(cè)作半圓，M,N分別為兩半圓上的動(dòng)點(diǎn)〔不含端點(diǎn)A,B,G,且BM^SN,貝收,小的最大值為.可得?「：，：：，,?「，以AB為直徑的半圓方程為?. 'I-'■■1以AC為直徑的半圓方程為. ? .： ■: ■

設(shè)K(2+285525出口),N(4+4皿耶河哂,0<a,J?<tfRM1RN,可得Dffd'=(-24-rZcoscf^sina)■RM1RN,可得Dffd即有一8s邛十8（3508邪十sipasinp）=0即為白口邛=cosacosp+sinasinP，即有u口邛=co5（a-0）又。＜% 可得f=比即口=邛川廠?Tn（2*2cosaf2sina）（-4+4ms/?,4si叩）刈,1內(nèi)CN=-8-Scosa+8cosP+&（匚口5農(nóng)。50+5mos加月）=-8-Scorer+16m邛=1￡匚。邛-16Ms/19=-16（co5/？--J2+41 IT 2ti h■*可得門口討一=口，即￡=仃=可時(shí)，川/厘的最大值為4士 lJ kJ練習(xí)3.已知圓C/+0+1＞=4,過(guò)點(diǎn)PC0Z的直線I與圓相交于不同的兩點(diǎn)4B（/）判斷曲?西是否為定值若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由（II）若曲?而=1,求直線珀勺方程【解析】⑺當(dāng)直線，與工軸垂直時(shí)（斜率不存在）,A,R的坐標(biāo)分別為（0「3）此時(shí)兩.由二A當(dāng)直線，與喑由不垂直時(shí)，設(shè)工的斜率為自，直線1的方程為y=入+2設(shè)八卜躥，必：聯(lián)立4消去y得（1+廬）/+6kx+5=0-6k S則有與*一行，^2=~一百1+￥1+A=3我-加（1+Y）＞00后＞：PAPB=x1x2+（為-RO”2）又力二丘1+2,y2=kx2+2所以臉?曲=帆與卜后尤］/=（廬+I）/蜘=5,綜上，曲即為定值5(II)0A0B=與心+y必=?+1)巧小+2Mti+/)+4=6k=6k +4=1+k2-1水 +9=1+ic2所以直線，的方程為 「一或’..：：?：,題型5向量與圓錐曲線綜合2 2例題5 已知橢圓C三+5=1(口>匕>。)，F(xiàn)/2為其左、右焦點(diǎn)上為橢圓匚上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，。為/b2內(nèi)一點(diǎn)，滿足3兩二PR+麻1P々的內(nèi)心為/,且有店;；1%同(其中:為實(shí)數(shù))，則橢圓門的離心率2二【解析】設(shè)P（加%），V3PG=P%+PF2=2Po.??用=[陶.?.G為叫戶&的重心，.?.g點(diǎn)坐標(biāo)為G停當(dāng)??,布二/1%，?,?歷||萬(wàn)軸，???/的縱坐標(biāo)為一3在明「/中，|PF/+|PF2|=2a」F[Fj二及，叫叫=展巴打小仇|又/為A&PF?的內(nèi)心，.?./的縱坐標(biāo)勺即為內(nèi)切圓半徑l3由于/把A&P&分為三個(gè)底分別為AF1P/的三邊，高為內(nèi)切圓半徑2的小三角形lJ1 y0i i y0：?5嶼產(chǎn)產(chǎn)或PQ\+IVJ+用&1)1卬，,度國(guó)&||y0|=-(|pf1|+1&&|+叫)引即.2cj|y0|=^(2a+2c)|—.\2c=a￡j -uJJ橢圓。的離心率:?二La2練習(xí)1.已知橢圓C:02+卷=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，離心率為左，且橢圓C的上頂點(diǎn)到橢圓C的左、右頂點(diǎn)的距離之和為2J5.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)P,Q是直線x=t上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)，若點(diǎn)P,Q滿足詼?迎=2詼?可，點(diǎn)M在直線x=2<3上，且可?西二2，直線l過(guò)點(diǎn)Q且垂直于直線OM，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證:點(diǎn)F