高等數(shù)學(xué)第9章-曲線積分與曲面積分課件

高等數(shù)學(xué)（第3版）下冊(cè)目錄CONTENTS第9章曲線積分與曲面積分第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分格林公式及其應(yīng)用對(duì)面積的曲面積分第5節(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分第6節(jié)高斯公式與斯托克公式第1節(jié)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分01一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算三、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的推廣四、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用舉例一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“分割,近似,求和,取極限”

可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用2.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義A＝M0，M1，M2，…，Mn-1，Mn＝B，設(shè)

為xOy平面內(nèi)的一條光滑曲線，函數(shù)f(x，y)是定義在L上的有界函數(shù)．在L上任意插入分點(diǎn)

將L分成n個(gè)小段，記，同時(shí)Δsi也表示其長(zhǎng)度．在Δsi上任取一點(diǎn)(ξi,ηi)，作乘積f(ξi,ηi)Δsi(i＝1,2，…，n)，并作和式記，如果不論如何分割及(ξi,ηi)如何選取，極限都存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x,y)在曲線L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類曲線積分，記作其中f(x,y)叫做被積函數(shù)，L叫做積分曲線.3.對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)（k為常數(shù));二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化定理1且上的連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義點(diǎn)設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為對(duì)應(yīng)參數(shù)為則說明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”.推論1

如果L的方程為Ψ(x)在推論3

如果極坐標(biāo)方程:則[a，b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有推論2

如果L的方程為x＝Ψ(y)(c≤y≤d)，Ψ(y)在[c，d]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)

B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)例9.1.3如果空間曲線弧的參數(shù)方程為三、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的推廣且

，Ψ(t)，ω(t)在[α,β]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則計(jì)算曲線積分其中Γ為螺旋線x＝acost，y＝asint，z＝kt上相應(yīng)于t從0到2π的一段弧.解:例9.1.51.曲線的弧長(zhǎng)四、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的應(yīng)用舉例在對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分(或

)中，令f(x，y，z)＝1(或f(x，y)＝1)得到Γ(或L)的弧長(zhǎng)公式：求曲線由點(diǎn)(0,4,4)至點(diǎn)解:

先把曲線L的方程化成以x為參數(shù)的方程：于是其長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度．例9.1.62.平面物質(zhì)曲線L的質(zhì)心坐標(biāo)與重積分類似，平面物質(zhì)曲線L的質(zhì)心坐標(biāo)為求半徑為R的均勻半圓弧形構(gòu)件L的質(zhì)心．

解:

取半圓形構(gòu)件的直徑為x軸，圓心在原點(diǎn)，如圖所示，半圓弧的參數(shù)方程為均勻半圓弧對(duì)稱于y軸，故例9.1.73.平面物質(zhì)曲線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與重積分相同，平面物質(zhì)曲線L關(guān)于x、y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為計(jì)算半徑為R,中心角為的圓弧L

對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度

=1).解:

取坐標(biāo)系如圖,則x軸是對(duì)稱軸例9.1.81.定義2.性質(zhì)（k為常數(shù));內(nèi)容小結(jié)3.計(jì)算?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧1.

已知橢圓周長(zhǎng)為a,求提示:原式=利用對(duì)稱性分析:思考與練習(xí)作業(yè)P1041(2),(4);2(1),(3);4;6;7;8;1.

L為球面標(biāo)面的交線,求其形心坐標(biāo).在第一卦限與三個(gè)坐解:

如圖所示,交線長(zhǎng)度為由對(duì)稱性,形心坐標(biāo)為備用例題2.計(jì)算其中

為球面解:化為參數(shù)方程則第2節(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分02一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法三、兩類曲線積分之間的關(guān)系一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.引例變力沿曲線所做的功.設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在xOy

平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L

移動(dòng)到點(diǎn)B,求移“分割”“近似”“求和”“取極限”變力沿直線所做的功解決辦法:動(dòng)過程中變力所作的功W.(1)“分割”(2)“近似”把L分成n個(gè)小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點(diǎn)在(3)“求和”(4)“取極限”(其中

為n

個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度)2.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義設(shè)

L

為xOy

平面內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一段有向光滑弧,若對(duì)L的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),都存在,在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L

叫做積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限記作若

為空間曲線弧,記稱為對(duì)x的曲線積分;稱為對(duì)y的曲線積分.若記,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也可寫作類似地,3.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)(1)若L

可分成n條有向光滑曲線弧(2)設(shè)L是有向曲線弧，－L是與L方向相反的有向曲線弧，則則說明:

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分曲線的方向

!二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法定理在有向曲線弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),證明:

下面先證存在,且有對(duì)應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)根據(jù)定義由于對(duì)應(yīng)參數(shù)因?yàn)長(zhǎng)為光滑弧,同理可證特別是,如果L

的方程為則說明:對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法可以寫成：“一定、二代、三替換，起點(diǎn)必定對(duì)下限”．計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式例9.2.3三、兩類曲線積分之間的關(guān)系設(shè)有向曲線L的起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B，L的方程為起點(diǎn)A，終點(diǎn)B分別對(duì)應(yīng)于參數(shù)α，β，且在[α，β](或[β，α])上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).根據(jù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算公式，有比較兩式可得：類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分其中α＝α(x，y，z)，β＝β(x，y，z)，γ＝γ(x，y，z)為有向曲線弧Γ上點(diǎn)(x，y，z)處的切向量的方向角．1.定義2.性質(zhì)(1)若L

可分成n條有向光滑曲線弧(2)設(shè)L是有向曲線弧，－L是與L方向相反的有向曲線弧，則則內(nèi)容小結(jié)3.計(jì)算?對(duì)有向光滑弧4.兩類曲線積分的關(guān)系第3節(jié)作業(yè)P1132(2),(4);3;5;7;8;9;1.計(jì)算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點(diǎn)的上半圓周,方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向;(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則備用例題2.設(shè)在力場(chǎng)作用下,質(zhì)點(diǎn)由沿

移動(dòng)到解:(1)(2)

的參數(shù)方程為試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.其中

為3.將積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的積分,解：其中L沿上半圓周第3節(jié)格林公式及其應(yīng)用03一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、二元函數(shù)全微分的求積問題1.兩個(gè)概念

1)平面單連通區(qū)域一、格林公式設(shè)D為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉曲線所圍部分都屬于D，則稱D為平面單連通區(qū)域；否則稱為復(fù)連通區(qū)域．通俗地說，平面單連通區(qū)域就是不含有“洞”(包括“點(diǎn)洞”)的區(qū)域，復(fù)連通區(qū)域就是含有“洞”的區(qū)域．2)區(qū)域邊界的正向我們規(guī)定L的正向如下：當(dāng)觀察者沿L的這個(gè)方向行走時(shí)，D總在它的左邊．2.格林公式定理1

設(shè)區(qū)域D

是由分段光滑正向曲線L圍成,則有(格林公式)函數(shù)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),其中L是D的取正向的邊界曲線．證明:1)若D既是X-型區(qū)域,又是

Y-

型區(qū)域,且則即同理可證①②①、②兩式相加得:2)若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個(gè)上述形式的區(qū)域,如圖正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積3.平面區(qū)域的面積計(jì)算橢圓所圍面積.解：例9.3.2計(jì)算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉域.解:

令,則利用格林公式,有例9.3.3計(jì)算其中L為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解:

令設(shè)L所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知例9.3.5在D內(nèi)作圓周取逆時(shí)針方向,,對(duì)區(qū)域應(yīng)用格記L和

lˉ

所圍的區(qū)域?yàn)榱止?得二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理2

設(shè)G是單連通區(qū)域

,在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)則曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)的充分必要條件是對(duì)G內(nèi)的任一封閉曲線C，都有證明：先證必要性．設(shè)曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)，則對(duì)G內(nèi)的任意一條閉曲線C，在C上任取兩點(diǎn)A，B，記C上連接A與B的兩條曲線分別為L(zhǎng)1，L2，有再證充分性.因?yàn)樗?，從而曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)．定理3

設(shè)G是單連通區(qū)域

,在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)則曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)的充分必要條件是在G內(nèi)恒有證：只需證明：對(duì)G內(nèi)的任意閉曲線C，積分的充分必要條件是：在G內(nèi)恒有式成立．（略）計(jì)算解:由于因此曲線積分與路徑無關(guān)．(1)(1)L1是圓周x2＋y2＝ax(a>0)，方向取逆時(shí)針方向；(2)L2是上半圓周x2＋y2＝ax(a>0，y≥0)，由A(a,0)到O(0,0)．例9.3.61.原函數(shù)的存在性條件在G內(nèi)恒成立．（證明略）定理4設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通域，函數(shù)P(x，y)，Q(x，y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則P(x，y)dx＋Q(x，y)dy在G內(nèi)為某一個(gè)二元函數(shù)u(x，y)的全微分的充分必要條件是等式三、二元函數(shù)全微分的求積問題2.原函數(shù)的求法如果Pdx＋Qdy存在一個(gè)原函數(shù)u(x，y)，則它的原函數(shù)不止一個(gè)，u(x，y)＋C也是原函數(shù)，任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)．如果已知Pdx＋Qdy是某二元函數(shù)的全微分，求它的原函數(shù)，稱為全微分求積．原函數(shù)u也可表示為解:令P＝(4x3＋10xy3－3y4)，Q＝(15x2y2－12xy3＋5y4)，且下式在整個(gè)xOy平面內(nèi)恒成立．取M0為M0(0,0)，利用公式得驗(yàn)證：在整個(gè)xOy平面內(nèi)，(4x3＋10xy3－3y4)dx＋(15x2y2－12xy3＋5y4)dy是某二元函數(shù)的全微分，并求出它的一個(gè)原函數(shù).例9.3.83.用原函數(shù)計(jì)算與路徑無關(guān)的曲線積分設(shè)G(x，y)是它的任一原函數(shù)，則若令(x，y)＝(x0，y0)，有G(x0，y0)＝C，從而再取(x，y)＝(x1，y1)，得到解:所以曲線積分與路徑無關(guān).即u(x，y)＝x2y3是2xy3dx＋3x2y2dy的一個(gè)原函數(shù).計(jì)算，其中L是沿曲線y＝sinx從O(0,0)到點(diǎn)A的一段?。?.3.91.格林公式2.與路徑無關(guān)的條件設(shè)P,Q

在G

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有3.原函數(shù)的求法內(nèi)容小結(jié)作業(yè)P1262(2),(3);3;5;7(1),(4),(5);8備用例題

1.

設(shè)

C

為沿從點(diǎn)依逆時(shí)針的半圓,計(jì)算解:

添加輔助線如圖,利用格林公式.原式=到點(diǎn)2.

驗(yàn)證是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函數(shù).證:

設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使3.

驗(yàn)證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.證:

令則由定理2

可知存在原函數(shù)或第4節(jié)對(duì)面積的曲面積分04一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)面積的曲面積分的算法一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)1.引例:

設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度類似求平面薄板質(zhì)量的思想,采用可得求質(zhì)

“分割,近似,求和,取極限”

的方法,量M.其中,

表示n

小塊曲面的直徑的(曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).最大值定義:設(shè)為光滑曲面,“乘積和式極限”都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在上的有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對(duì)做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對(duì)面積函數(shù),

叫做積分曲面.2.對(duì)面積的曲面積分的定義(1)線性性質(zhì)3.對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)(2)分域性質(zhì)則有若

是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面定理:

設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在

上連續(xù),存在,且有二、對(duì)面積的曲面積分的算法則曲面積分證明:由定義知而(

光滑)說明:可有類似的公式.1)如果曲面方程為2)若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS的表達(dá)式,也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分.例9.4.1計(jì)算曲面積分其中

是球面被平面截出的頂部.解:若是球面被平行平面z=±h

截出的上下兩部分,則思考計(jì)算其中

是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的整個(gè)邊界曲面.解:

設(shè)上的部分,則與

原式=分別表示

在平面例9.4.31.定義:2.計(jì)算:設(shè)則(曲面的其他兩種情況類似)“一代”，“二換”，“三投影”，“四計(jì)算”．內(nèi)容小結(jié)作業(yè)P1342(3),(4);3;4;6;7;1.計(jì)算解:取球面坐標(biāo)系,則備用例題2.計(jì)算其中

是球面利用對(duì)稱性可知解:

顯然球心為半徑為利用重心公式3.計(jì)算其中

是介于平面之間的圓柱面分析:

若將曲面分為前后(或左右)則解:

取曲面面積元素兩片,則計(jì)算較繁.4.

求橢圓柱面位于xOy

面上方及平面

z=y

下方那部分柱面

的側(cè)面積S.解:取第5節(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分05一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的算法三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)?曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)1.幾個(gè)名詞其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)

為有向曲面,側(cè)的規(guī)定

指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xOy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)為求單位時(shí)間流過有向曲面

的流量

.分析:若

是面積為A

的平面,則流量法向量:

流速為常向量:

2.引例對(duì)一般的有向曲面

,用“分割,近似,求和,取極限”

對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)進(jìn)行分析可得,則設(shè)

為一光滑的有向曲面,在

上定義了一個(gè)和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);

叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場(chǎng)若對(duì)

的任意分割則稱此極限為向量場(chǎng)A在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積3.定義：引例中,流過有向曲面

的流體的流量為稱為Q

在有向曲面

上對(duì)

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面

上對(duì)

x,

y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面

上對(duì)

y,z

的曲面積分;若記

正側(cè)的單位法向量為令則對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式4.對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)(1)(分域性質(zhì))如果把Σ分成Σ1和Σ2，則(2)設(shè)Σ是有向曲面，－Σ表示與Σ取相反側(cè)的有向曲面，則二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的算法定理1

設(shè)光滑曲面取上側(cè),是

上的連續(xù)函數(shù),則證:∵

取上側(cè),

?

若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明:如果積分曲面

取下側(cè),則解:

把

分為上下兩部分根據(jù)對(duì)稱性

思考:

下述解法是否正確:計(jì)算曲面積分其中

為球面外側(cè)x≥0，y≥0的部分.例9.5.1三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫令向量形式

定理2

設(shè)積分曲面Σ的方程為z＝z(x，y),(x，y)∈Dxy,其中Dxy是Σ在xOy平面上的投影區(qū)域，被積函數(shù)P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在Σ上連續(xù)，函數(shù)

z＝z(x，y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中當(dāng)Σ取上側(cè)時(shí)，上式右端取正號(hào)；當(dāng)Σ取下側(cè)時(shí)，上式右端取負(fù)號(hào)．解:P＝y(tǒng)－z，Q＝z－x，R＝x－y.曲面Σ的方程為

則計(jì)算曲面其中Σ為錐面

(0≤z≤h)部分的下側(cè).Σ在xOy平面的投影域?yàn)閳A域Dxy＝{(x,y)x2+y2≤h2}(如圖所示)；由Σ取下側(cè)，可得例9.5.3定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)系

內(nèi)容小結(jié)性質(zhì):聯(lián)系:2.對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的算法當(dāng)時(shí)，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“

”)“一代、二投、三定向，曲積化為重積算”．作業(yè)P1452(3),(4);3;4;備用例題

1.求取外側(cè).解:注意±號(hào)其中利用輪換對(duì)稱性2.

計(jì)算其中

是以原點(diǎn)為中心,邊長(zhǎng)為

a

的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè).解:

利用對(duì)稱性.原式

的頂部取上側(cè)

的底部取下側(cè)3.設(shè)S是球面的外側(cè),計(jì)算解:

利用輪換對(duì)稱性,有4.

計(jì)算曲面積分其中

解:

利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有∴原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).∴原式=原式=第6節(jié)高斯公式與斯托克斯公式06一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的算法三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系一、高斯公式定理1設(shè)空間閉區(qū)域

由分片光滑的閉曲

上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)P,Q,R在面

所圍成,則有

的方向取外側(cè),

這里Σ是Ω的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，cosα，cosβ，cosγ是Σ上點(diǎn)(x，y，z)處的法向量的方向余弦．公式叫做高斯公式．證明:設(shè)稱為XY-型區(qū)域,則所以若

不是XY–型區(qū)域,則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個(gè)XY–型區(qū)域,故上式仍成立.正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消,在輔助面類似可證三式相加,即得所證Gauss公式：用高斯公式計(jì)算其中

為柱面閉域

的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).解:

這里利用高斯公式,得原式=及平面z=0,z=3

所圍空間思考:

若

改為內(nèi)側(cè),結(jié)果有何變化?若

為圓柱側(cè)面(取外側(cè)),如何計(jì)算?利用質(zhì)心公式,注意例9.6.1利用高斯公式計(jì)算曲面積分其中

為錐面解:作輔助面取上側(cè)介于z=0及z=h之間部分的下側(cè),

,

,

為法向量的方向角.所圍區(qū)域?yàn)?/p>

,則例9.6.4利用質(zhì)心公式,注意思考:計(jì)算曲面積分提示:作取上側(cè)的輔助面介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).先二后一二、斯托克斯公式定理2設(shè)Γ為分段光滑的空間有向閉曲線，Σ是以Γ為邊界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向與Σ的側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在包含曲面Σ在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有公式叫做斯托克斯公式．

利用斯托克斯公式計(jì)算曲面積分，其中Γ為平面x＋y＋z＝1被三個(gè)坐標(biāo)面所截成的三角形的整個(gè)邊界，它的正向與這個(gè)三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則．解:按斯托克斯公式，有例