數(shù)學(xué)課堂探究：3回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一求線性回歸直線方程(1)散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量基礎(chǔ)上的,對于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖,在圖上看它們有無關(guān)系,關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析．（2）求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時,求出的回歸直線方程才有實際意義,否則,求出的回歸直線方程毫無意義．【典型例題1】某商場經(jīng)營一批進(jìn)價是30元/件的小商品，在市場試驗中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x(x取整數(shù))元與日銷售量y臺之間有如下關(guān)系x35404550y56412811（1）y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程．(方程的斜率保留一個有效數(shù)字）（2）設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)(1）寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并預(yù)測當(dāng)銷售單價x為多少元時,才能獲得最大日銷售利潤．解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示，從圖中可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此兩個變量線性相關(guān)．設(shè)回歸直線為eq\o（y,\s\up6（^))＝eq\o(b，\s\up6(^)）x＋eq\o（a，\s\up6（^）），由題知eq\x\to(x)＝42.5，eq\x\to（y)＝34，則求得eq\o(b,\s\up6（^))＝eq\f(\i\su（i＝1,4,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y)，\i\su（i＝1，4，)xi－\x\to（x）2）＝eq\f(－370，125)≈－3。eq\o（a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6（^））eq\x\to（x）＝34－(－3）×42.5＝161。5。∴eq\o(y，\s\up6(^))＝－3x＋161。5。(2）依題意有P＝（－3x＋161.5）(x－30)＝－3x2＋251。5x－4845＝－3eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(251。5,6)））2＋eq\f(251.52,12）－4845.∴當(dāng)x＝eq\f(251.5，6)≈42時，P有最大值，約為426.即預(yù)測當(dāng)銷售單價為42元時，才能獲得最大日銷售利潤．規(guī)律總結(jié)先根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上利用回歸方程系數(shù)的有關(guān)公式，求出相應(yīng)的系數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)知識求出日銷售利潤最大時的銷售單價．探究二線性回歸分析解答本類題目應(yīng)先通過散點(diǎn)圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù)R2來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上,借助回歸方程對實際問題進(jìn)行分析．【典型例題2】在一段時間內(nèi)，某種商品的價格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為：x（元)1416182022y(件)1210753且知x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，求出y對x的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞．解：eq\x\to（x）＝eq\f（1,5）×(14＋16＋18＋20＋22）＝18，eq\x\to（y）＝eq\f（1,5）×(12＋10＋7＋5＋3)＝7。4,eq\i\su(i＝1，5，x)eq\o\al（2,i）＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，eq\i\su（i＝1，5,y)eq\o\al（2，i）＝122＋102＋72＋52＋32＝327，eq\i\su(i＝1，5,x）iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴eq\o（b，\s\up6（^））＝eq\f（\i\su(i＝1，5,x)iyi－5\x\to（x)\x\to（y），\i\su(i＝1，5,x)\o\al（2，i)－5\x\to(x2）)＝eq\f（620－5×18×7。4,1660－5×182)＝eq\f（－46,40）＝－1.15。∴eq\o（a，\s\up6（^））＝7.4＋1.15×18＝28。1，∴回歸直線方程為eq\o（y，\s\up6（^）)＝－1.15x＋28。1.列出殘差表為yi－eq\o（y,\s\up6（^)）i00。3－0。4－0.10.2yi－eq\x\to（y）4。62.6－0.4－2.4－4.4∴eq\i\su（i＝1，5，)（yi－eq\o(yi，\s\up6（^)））2＝0。3，eq\i\su(i＝1，5，)(yi－eq\x\to(y）)2＝53.2，R2＝1－eq\f(\i\su（i＝1，5，）yi－\o（yi,\s\up6（^））2，\i\su(i＝1，5,)yi－\x\to（y）2）≈0.994。故R2≈0。994，說明擬合效果較好．規(guī)律總結(jié)“相關(guān)指數(shù)R2、殘差圖"在回歸分析中的作用：（1）相關(guān)指數(shù)R2是用來刻畫回歸效果的，由R2＝1－eq\f（\i\su（i＝1,n，)yi－\o(yi，\s\up6（^))2，\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y）2）可知R2越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果就越好．（2)殘差圖也是用來刻畫回歸效果的,判斷依據(jù)是：殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中,帶狀區(qū)域越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程預(yù)報精度越高．探究三求非線性回歸方程非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式，這時我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖．把它與必修模塊數(shù)學(xué)1中學(xué)過的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）圖象作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決．【典型例題3】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和支出的維修費(fèi)用y(萬元），有如下表的統(tǒng)計資料：使用年限x23456維修費(fèi)用y2.23。85。56.57.0若由資料知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，試求：(1)線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b，\s\up6（^）)x＋eq\o（a，\s\up6（^)）。（2）估計使用年限為10年時，維修費(fèi)用是多少？（3)計算總偏差平方和、殘差平方和及回歸平方和．（4)求R2并說明模型的擬合效果．解：（1）將已知條件制成下表i12345合計xi2345620yi2。23。85。56.57.025xiyi4.411。422.032.542.0112。3xeq\o\al（2,i）4916253690eq\x\to(x）＝4;eq\x\to(y)＝5；eq\i\su(i＝1,5，x）eq\o\al（2，i）＝90；eq\i\su(i＝1，5,x)iyi＝112.3設(shè)回歸方程為eq\o(y,\s\up6（^））＝eq\o(b，\s\up6(^））x＋eq\o（a,\s\up6（^）)，于是有eq\o(b，\s\up6(^）)＝eq\f(\i\su（i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x）\x\to(y），\i\su（i＝1,5，x）\o\al(2,i）－5\x\to（x2))＝eq\f（112.3－5×4×5，90－5×42）＝1.23，eq\o（a,\s\up6(^)）＝eq\x\to（y）－eq\o(b，\s\up6（^)）eq\x\to（x)＝5－1。23×4＝0.08，所以線性回歸方程是eq\o（y,\s\up6(^））＝1.23x＋0。08.（2)當(dāng)x＝10時,eq\o(y，\s\up6（^）)＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估計使用10年時維修費(fèi)用是12。38萬元．(3）總偏差平方和:eq\i\su（i＝1，5,)（yi－eq\x\to(y))2＝15.78,殘差平方和：eq\o（y1，\s\up6（^))＝2.46＋0。08＝2.54，eq\o(y2，\s\up6(^））＝3。77，eq\o(y3,\s\up6（^）)＝5,eq\o（y4，\s\up6(^)）＝6.23，eq\o（y5,\s\up6（^））＝7.46,eq\i\su（i＝1，5，）(yi－eq\o（yi，\s\up6(^)））2＝0.651，回歸平方和：15.78－0。651＝15.129.（4）R2＝1－eq\f（\i\su(i＝1,5，)yi－\o（yi，\s\up6（^)）2,\i\su（i＝1,5，）yi－\x\to（y)2)＝1－eq\f(0。651，15.78）≈0。9587，模型的擬合效果較好，使用年限解釋了95.87％的維修費(fèi)用支出．規(guī)律總結(jié)把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，拓展了解題思路．探究四易錯辨析易錯點(diǎn)殘差平方和與相關(guān)指數(shù)的理解不清致誤【典型例題4】對兩個變量y和x進(jìn)行回歸分析,得到一組樣本數(shù)據(jù)：（x1,y1)，(x2，y2）,…，（xn，yn)，則下列說法中不正確的是（)A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程eq\o(y，\s\up6（^））＝eq\o(b，\s\up6(^)）x＋eq\o（a，\s\up6（^