數(shù)學(xué)課堂探究：2排列與組合（第2課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一組合概念的理解與應(yīng)用區(qū)別排列與組合的關(guān)鍵是看取出元素之后，在安排這些元素時(shí)，是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的則為排列,與順序無關(guān)的則為組合．【典型例題1】判斷下列問題是排列問題，還是組合問題．（1)從1，2，3，…，9這九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，組成一個(gè)三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有多少個(gè)？（2)從1，2,3，…，9這九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)，然后把這三個(gè)數(shù)字相加得到一個(gè)和，這樣的和共有多少個(gè)？(3)從a，b,c，d這四名學(xué)生中選2名學(xué)生，去完成同一件工作有多少種不同的選法？(4)規(guī)定每兩個(gè)人相互通話一次，5個(gè)人共通了多少次電話？（5）5個(gè)人相互各寫一封信，共寫了多少封信？思路分析:觀察取出的元素與順序有關(guān)還是無關(guān)，從而確定是排列問題，還是組合問題．解：（1)取出3個(gè)數(shù)字后，如果改變?nèi)齻€(gè)數(shù)字的順序,會(huì)得到不同的三位數(shù),此問題不但與取出元素有關(guān)，而且與元素的安排順序有關(guān)，是排列問題．（2）取出3個(gè)數(shù)字之后，無論怎樣改變這三個(gè)數(shù)字之間的順序，其和均不變，此問題只與取出元素有關(guān)，而與元素的安排順序無關(guān)，是組合問題．（3）2名學(xué)生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題．（4)甲與乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，無順序區(qū)別,為組合問題．（5）發(fā)信人與收信人是有區(qū)別的，是排列問題．規(guī)律總結(jié)區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚條件是什么,區(qū)分的標(biāo)志是有無順序，而區(qū)分有無順序的方法是：把問題的一個(gè)選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置，看是否會(huì)產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題．探究二借助圖表列出所有組合對于給出的組合問題，要求寫出所有組合,一般是將元素按一定的順序排好，然后按照順序用圖示或圖表的方法逐個(gè)地將各個(gè)組合表示出來．這樣做直觀、明了、清楚，可避免重復(fù)和遺漏．【典型例題2】（1)已知a,b,c,d這4個(gè)元素，寫出每次取出2個(gè)元素的所有組合；（2)已知A,B,C，D，E這5個(gè)元素，寫出每次取出3個(gè)元素的所有組合．思路分析：先將元素按一定順序?qū)懗?，然后按照順序用圖示的方法逐步寫出各個(gè)組合即可．解：（1）可按a→b→c→d順序?qū)懗?，即所以，所有組合為ab,ac，ad,bc，bd，cd。(2）可按AB→AC→AD→BC→BD→CD順序?qū)懗?，即所以，所有組合為ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE。探究三組合數(shù)公式（1）組合數(shù)公式的選取：涉及具體數(shù)字的可以用展開式計(jì)算,涉及字母的可以用階乘式計(jì)算．（2)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m，n)＝Ceq\o\al(n－m，n）,主要應(yīng)用于簡化運(yùn)算．性質(zhì)2：Ceq\o\al(m，n＋1)＝Ceq\o\al（m,n）＋Ceq\o\al(m－1，n）,從右到左兩個(gè)組合數(shù)合為一個(gè)，實(shí)現(xiàn)了由繁到簡的化簡過程，主要應(yīng)用于組合數(shù)的化簡．【典型例題3】（1）計(jì)算：①3Ceq\o\al（3,8)－2Ceq\o\al（2,5)＋Ceq\o\al(8，8);②Ceq\o\al(98，100）＋Ceq\o\al(199,200）；③Ceq\o\al（1，6）＋Ceq\o\al(2，6)＋Ceq\o\al(3，7)。（2)證明:mCeq\o\al（m，n）＝nCeq\o\al（m－1,n－1）.思路分析:（1）先考慮利用組合數(shù)的性質(zhì)對原式進(jìn)行化簡，然后利用組合數(shù)公式展開計(jì)算．(2)式子中涉及字母，可以用階乘式證明．（1）解：①3Ceq\o\al（3，8)－2Ceq\o\al(2，5）＋Ceq\o\al(8,8)＝3×eq\f（8×7×6，3×2×1)－2×eq\f（5×4，2×1）＋1＝149.②Ceq\o\al（98,100)＋Ceq\o\al（199,200）＝Ceq\o\al(2，100）＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2×1）＋200＝5150.③Ceq\o\al（1,6）＋Ceq\o\al（2，6)＋Ceq\o\al（3，7）＝Ceq\o\al（2，7)＋Ceq\o\al(3,7）＝Ceq\o\al（3，8)＝eq\f(8×7×6，3×2×1)＝56.（2)證明：∵左邊＝m·eq\f（n！,m！n－m?。絜q\f（n·n－1！,m－1!n－m!）＝neq\f（n－1！，m－1!n－m!)＝nCeq\o\al（m－1,n－1）＝右邊，∴mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al（m－1,n－1).規(guī)律總結(jié)應(yīng)用組合數(shù)公式時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)方面:(1）準(zhǔn)確展開:應(yīng)用組合數(shù)公式展開時(shí)要注意展開式的項(xiàng)數(shù)要準(zhǔn)確．（2)應(yīng)用兩個(gè)性質(zhì)可以簡化運(yùn)算,起到事半功倍的效果．探究四常見的組合問題解簡單的組合應(yīng)用題時(shí)，要先判斷它是不是組合問題,取出元素只是組成一組,與順序無關(guān)則是組合問題；取出元素排成一列，與順序有關(guān)則是排列問題．只有當(dāng)該問題構(gòu)成組合模型時(shí)，才能運(yùn)用組合數(shù)公式求出其種數(shù)．在解題時(shí)還應(yīng)注意兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，在分類和分步時(shí)，注意無重復(fù)或遺漏．【典型例題4】現(xiàn)有10名教師,其中男教師6名，女教師4名．（1）現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？(2)選出2名男教師或2名女教師去外地學(xué)習(xí),有多少種不同的選法？(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？思路分析:首先確定是否是組合問題,再確定完成事情是分步,還是分類．解：(1）從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即有Ceq\o\al(2,10)＝eq\f（10×9,2×1）＝45種不同的選法．（2）可把問題分兩類：第1類，選出2名男教師有Ceq\o\al（2,6）種方法;第2類，選出2名女教師有Ceq\o\al（2,4）種方法,即共有Ceq\o\al（2，6）＋Ceq\o\al(2,4）＝21種不同的選法．(3)從6名男教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2，6）種，從4名女教師中選2名的選法有Ceq\o\al（2,4)種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2，6）×Ceq\o\al（2，4）＝eq\f(6×5，2×1）×eq\f(4×3，2×1）＝90種不同的選法．探究五易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)考慮問題不全面重復(fù)計(jì)數(shù)或漏解【典型例題5】有編號分別為1,2,3,4的四個(gè)盒子和四個(gè)小球,把小球全部放入盒子．恰有一個(gè)空盒,有多少種放法？錯(cuò)解一：將3個(gè)小球放入4個(gè)盒子中，有Aeq\o\al(3,4）種放法，再把余下的1個(gè)小球放到3個(gè)盒子中的一個(gè),有Ceq\o\al（1，3）種放法．所以有Aeq\o\al(3，4)×Ceq\o\al（1,3）＝72種放法．錯(cuò)解二：從4個(gè)小球中任取3個(gè)，有Ceq\o\al(3，4）種取法，從4個(gè)盒子中任取3個(gè)，有Ceq\o\al(3,4)種取法．將3個(gè)小球放到取出的3個(gè)盒子中,有Aeq\o\al(3,3）種放法,再把余下的小球放到3個(gè)盒子中的一個(gè)，有3種放法，所以放法共有Ceq\o\al(3，4）×Ceq\o\al（3，4)×Aeq\o\al(3,4)×3＝288種．錯(cuò)因分析：錯(cuò)解一屬于遺漏計(jì)數(shù)問題．從四個(gè)小球中取出3個(gè)(不妨設(shè)為1號、2號、3號）放入三個(gè)盒中，則把4號小球放入三個(gè)盒中的一個(gè)時(shí),只有1號和4號;2號和4號；3號和4號三種情況,漏掉了1號和2號；1號和3號；2號和3號的情況．錯(cuò)解二屬于重復(fù)計(jì)數(shù)問題．若取出的3個(gè)小球?yàn)?號，2號,3號，則4號小球放入盒中時(shí)，其中一種方式為eq\x(1,4）eq\x（2)eq\x(3)；若取出的3個(gè)小球?yàn)?號,3號，4號，則1號小球放入盒中時(shí),其中也有一種方式為eq\x(2)eq