2024年北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二10月月數(shù) 學(xué)2024年10月4150120上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題，共40分)10小題,4分,40分,在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,化簡(jiǎn)ABADAA1

2.若向量a(1,1,0),b(1,0,2),則|ab|5(A)5

(B)4 (C)

(D)517A(020兩點(diǎn)的直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為k,那么k171(A)-2 (B)-1 (C) (D)212已知n為平面的一個(gè)法向量,l為一條直線(xiàn),m為直線(xiàn)l的方向向量,則“mn”是“l(fā)//”的(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件5.如圖所示,直線(xiàn)l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則下列結(jié)論正確的是k2k3

k3k2

k2k3

k2k3如圖,在四面體OABC中OAa,OBb,OCcDBC的中點(diǎn)EAD的中點(diǎn),則OE可用向量a,b,c表示為1a1b1c2 2 2

1a1b1c4 4 2

1a1b14 2 4

1a1b1c2 4 4如圖,ABC中,ABBCABBC,所成的角為π(A)6

π(B)4

π(C)3

π(D)22B(20),過(guò)點(diǎn)C(14的直線(xiàn)lAB沒(méi)有公共點(diǎn),則直線(xiàn)l斜率k的取值范圍是(Ak1或k4

(B)4k1

(C)1k4

(Dk4或k1如圖,1ABCDABCD中EAB上的點(diǎn),AE3,PDE上,則PAD距離的最小值為

1111

EB 13(A)5

22

32

(D)1如圖,aABCD中P的中點(diǎn)Q上任意一點(diǎn),E,FCD上任意兩點(diǎn),EF的長(zhǎng)為定值,則下面的四個(gè)值中不為定值的是(A)點(diǎn)P到平面QEF的距離 (B)直線(xiàn)PQ與平面PEF所成的角(C)三棱錐P-QEF的體積 (D)二面角P-EF-Q的大小第二部分(非選擇題，共110分)二、填空題共5小題,每小題5分,共25分。若d(0,是直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量,則直線(xiàn)l的傾斜角大小為 .已知點(diǎn)2),C(3,m)三點(diǎn)共線(xiàn),則實(shí)數(shù)m的值為 正三棱柱ABCABC中,ABAA2,則直線(xiàn)BC與平面ABBA所成角的正弦值為 .如圖,四面體ABCD的每條棱長(zhǎng)都等于2,M,N分別是AB,CD上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值是 此時(shí)MNDB= .ABF-DCEABAF,ABADAF4，G為CD上的動(dòng)點(diǎn),給出下列四個(gè)結(jié)論:①G為CD的中點(diǎn)時(shí)，平面EFBC平面BCG;②存在點(diǎn)G,使得BF平面ADG;③有且僅有一個(gè)點(diǎn)G，使得三棱錐E-ACG體積是12;④不存在點(diǎn)G,使得直線(xiàn)CF與平面BCG所成的角為60°其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .三、解答題共6小題,共85分。解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,驗(yàn)算步驟或證明過(guò)程。16.(13分)A(24B(20C(1,1.(I)AB的斜率和傾斜角;(II)若A,B,C,D可以構(gòu)成平行四邊形,且點(diǎn)D在第一象限,求點(diǎn)D的坐標(biāo).17.(14分)已知向量a2b2,14cx.(I)若ac,x的值;求cosab;若abc不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底,x的值.18.(13分)如圖所示,MA平面ABCD,底面ABCD邊長(zhǎng)為1的正方形,MA2,P是MC上一點(diǎn),且CP1CM.5(I)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并求點(diǎn)P坐標(biāo);(II)求證:MBDP.2219.(15分)221是邊長(zhǎng)為

的正方形ABCD,將ACD沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐PABC,且PB .證明:PACABC;M,ABCMBC593,若存在,M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20.(15分)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,Q為棱PD的中點(diǎn).求證:PB//ACQ;BAPD,再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知,P-ABCD唯一確定,并求:PCACQ所成角的正弦值(ii)PACQ的距離.條件①：二面角P-CD-A的大小為45;條件②:PD 2;條件③:AQPC.21.(15分)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知向量uabcx0y0z0，若直線(xiàn)l以u(píng)為方向向量且經(jīng)過(guò)P,則直線(xiàn)lxx0yy0zz0(abc0;若平面以u(píng)為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)0 a b cP0,則平面的點(diǎn)法式方程表示為axx0byy0czz00.y23已知直線(xiàn)l的標(biāo)準(zhǔn)式方程為x1 z,平面的點(diǎn)法式方程可表示為3xyz5y231 2 1線(xiàn)l與平面1所成角的正弦值;已知平面2的點(diǎn)法式方程可表示為2x3yz20,2,1,P到平面2的距離;(III)（i）Mxyzx||y|2,|z|MS，求幾何體S的體積；Nxyzx||y|2,|y||z|2,|z||x|2}N中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為T(mén),求幾何體T相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的大小.參考答案10小題,4分,40分,在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.D2.A3.A4.B5.C6.D7.C8.C9.A10.B二、填空題共5小題,每小題5分,共25分。π11.2

1512.0 13.10

15.①②④14.2,2注：14題第一空3分，第二空2分；15題選對(duì)1個(gè)給314.2,2三、解答題共6小題,共85分。解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,驗(yàn)算步驟或證明過(guò)程。16.解:(I)直線(xiàn)AB的斜率k =401， 4分AB 22π傾斜角為4

…………………………..6分(II)不妨設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,當(dāng)構(gòu)成 ABCD時(shí),則ODOAOCOB(5,0),即D(-5,0),不在第一象限，舍;… 8分當(dāng)構(gòu)成 ADBC時(shí),則ODOAOBOC,即D(1,-5),不在第一象限，舍;… 10分當(dāng)構(gòu)成 ABDC時(shí),則ODOBOCOA(3,5),即D(3,5),在第一象限,… 12分綜上,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,5) 13分17.（由ac得ac15312x, 3分aa2214,|b(2)242(II)因?yàn)閨

21,ab1231249,… 7分ab 36所以,cosa,b 9分|ab| 14（III）若a,b,c不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，則向量a,b,c共面， 10分則存在,R,使得cab,. 分2所以24

1,解得x所以,實(shí)數(shù)x的值為-6. 14分解：(I)MAABCDABADABCD,所以,AMAB,AMAD,在正方形ABCD中,ABAD,所以,AB,AD,AM兩兩垂直,… 2分建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz(圖略)， 3分則0),M(0,2),0),0),… 4分CM2,… 5分設(shè)P(x,y,z)，CP1CM由 ,可得(xyCP1CM5

1(1,1,2),5, 解得x4,y4,z2,即P4427分, 5 5 5 5555 55(II)MB2DP4125 55 所以,MBDP0,即MBDP,… 分所以,MBDP 13分解:(I)AC的中點(diǎn)O,OB,OP,在正方形ABCD中,OBODOP1,并且OBAC, 1分在OBP中,PB2OP2OB2,所以,OBOP,. 2分因?yàn)镺PACO,OP,AC平面PAC,所以,OB平面PAC, 4分而OB平面ABC,所以,平面PAC平面ABC 6分(II)因?yàn)镺B,OA,OP兩兩垂直,所以建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz 7分則0),P(0,0),C(0,0),… 8分因?yàn)镺P平面ABC,所以平面ABC的法向量為OP(0,10分M,AMAP(0設(shè)平面MBC的法向量為n(x,y,z),nBxy則有nM(2)yz,

1),則M(0,1,),不妨設(shè)y,得n(,,2),… 12分|OPn| 53所以,|cosOP,n|OP||n|

, 14分9兩邊平方，整理得6210，解得1或1(舍),3 2經(jīng)檢驗(yàn)，1滿(mǎn)足題意，因此，存在點(diǎn)M，只需AM1AP即可 15分3 3解:(I)證明:BD,AC于O,OQ,PABCD中,ABCD1的正方形所以O(shè)BD的中點(diǎn),因?yàn)镼為棱PD的中點(diǎn)，所以,OQ//PB, 2分因?yàn)镺QAQ,PBA,所以,PB//平面ACQ 4分(II)因?yàn)锽APD,BA//CD,所以,CDPD,選擇①②:因?yàn)锳DCD,且平面PAD平面ABCDCD所以,ADP是二面角PCDA的平面角,即ADP45,因?yàn)镻A2AD2PD22ADPDcosADP1,所以,PA2AD2PD2,故PAAD,因?yàn)锽AAD,BAPD,ADPDD,AD,PD平面PAD,所以,BA平面即證AB,AD,AP兩兩垂直 7分選①③:因?yàn)锳DCD,且平面PAD平面ABCDCD所以,ADP是二面角PCDA的平面角,即ADP45,因?yàn)镃DAD,ADPDD,AD,PD平面PAD,所以,CD平面PAD,因?yàn)锳Q平面PAD,所以,CDAQ,因?yàn)锳QPC,PCCDC,PC,CD平面PCD,所以,AQ平面PCD,因?yàn)镻D平面PCD,所以,AQPD,因?yàn)镼為PD中點(diǎn),所以,PAAD,所以,APDADP45,PAD90,即PAAD,因?yàn)锽A//CD,CD平面PAD,所以,BA平面即證AB,AD,AP兩兩垂直 7分選②③:因?yàn)镃DAD,ADPDD,AD,PD平面PAD,所以,CD平面PAD,因?yàn)锳Q平面PAD,所以,CDAQ,因?yàn)锳QPC,PCCDC,PC,CD平面PCD,所以AQ平面PCD,因?yàn)镻D平面PCD,所以AQPD,因?yàn)镼為PD中點(diǎn),PAAD1,所以,PA2AD2PD2,即PAAD,因?yàn)锽A//CD,CD平面PAD,所以,BA平面即證AB,AD,AP兩兩垂直 7分如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 8分則 110),0),Q, ,P(0,, 22AQ11,AC0)PC9分 22 設(shè)m(x,y,z)為面ACQ的一個(gè)法向量,mAQ1y1z0,則 2 2mACxy,令x1,得m,… 分|mPC| 1 1所以,|cosm,PC ,|mPC| 33 3所以直線(xiàn)PC與平面ACQ所成角的正弦值為1,13分3PACQ的距離為d

3.|PC|PCm|1|m|3

15分21.（直線(xiàn)l的方向向量為u,3,2),1分平面1的法向量為n(,… 2分所以cosun

un10,|un| 10(II)平面2的法向量為n(2,,… 5分設(shè)點(diǎn)x0,y0,z0是平面上一點(diǎn),則2x03y0z02,不妨令x0y00,則z02,即點(diǎn)Q(0,2)是平面2上一點(diǎn), 6分|PQn|PQn| 14|n|22(III)(i)幾何