第03章 一次函數(shù)與一次不等式-假期晉級(jí)利器之初升高數(shù)學(xué)銜接教材（解析版）

第3章一次函數(shù)與一次不等式【知識(shí)銜接】————初中知識(shí)回顧————1、形如y=kx+b(k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)。（1）它的圖象是一條斜率為k，過(guò)點(diǎn)（0，b）的直線。（2）k>0是增函數(shù)；k<0是減函數(shù)。2、不等式ax>b的解的情況：（1）當(dāng)a>0時(shí)，；（2）當(dāng)a<0時(shí)，；（3）當(dāng)a=0時(shí)，i)若b≤0，則取所有實(shí)數(shù)；ii)若b>0，則無(wú)解。類似地，請(qǐng)同學(xué)們自行分析不等式ax<b的解的情況?！咧兄R(shí)鏈接————一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，b≠0）的圖象所經(jīng)過(guò)的象限有四種情況：①當(dāng)k>0，b>0，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；②當(dāng)k>0，b<0，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限；③當(dāng)k<0，b>0，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；④當(dāng)k<0，b<0，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限．一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)中，|k|越大，直線y=kx+b越靠近y軸，即直線與x軸正半軸的夾角越大；|k|越小，直線y=kx+b越靠近x軸，即直線與x軸的夾角越?。畬W(xué)#科網(wǎng)【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型1．一次函數(shù)y＝(m－2)x＋3的圖象如圖所示，則m的取值范圍是（）A．m＜2B．0＜m＜2C．m＜0D．m＞2【答案】A【解析】如圖所示，一次函數(shù)y=（m﹣2）x+3的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，∴m﹣2＜0，解得m＜2，故選A．2．如圖，把RtABC放在直角坐標(biāo)系內(nèi)，其中∠CAB=90°，BC=5，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）、（4，0）．將ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)C落在直線y=2x﹣6上時(shí)，線段BC掃過(guò)的面積為（）A．4B．8C．16D．8【答案】C3．已知點(diǎn)A是直線y=x+1上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為﹣，若點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____．【答案】(,)【解析】分析：利用待定系數(shù)法求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求出點(diǎn)B坐標(biāo)即可；詳解：由題意A（-，），∵A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，∴B（，），故答案為（，）．4．星期天，小明上午8：00從家里出發(fā)，騎車到圖書館去借書，再騎車回到家．他離家的距離y（千米）與時(shí)間t（分鐘）的關(guān)系如圖所示，則上午8：45小明離家的距離是__千米．【答案】1．5．【解析】分析：首先設(shè)當(dāng)40≤t≤60時(shí)，距離y（千米）與時(shí)間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系為y=kt+b，然后再把（40，2）（60，0）代入可得關(guān)于k、b的方程組，解出k、b的值，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，再把t=45代入即可．點(diǎn)睛：本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，掌握待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．5．一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：先求出不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示.詳解：解不等式組得－3＜x≤2，在數(shù)軸上表示為：故選D.點(diǎn)睛：解一元一次不等式組，通常采用“分開解，集中定”的方法，即單獨(dú)的解每一個(gè)不等式，而后集中找它們的解的“公共部分”．在找“公共部分”的過(guò)程中，可借助數(shù)軸或口訣兩種方法確定不等式組的解集．其中確定不等組解集的方法為：“大大取大，小小取小，大小小大中間找，大大小小是無(wú)解”．在數(shù)軸上表示解集時(shí)，大于向右畫，小于向左畫，含等號(hào)取實(shí)心點(diǎn)，不含等號(hào)取空心圓圈.6．若實(shí)數(shù)3是不等式2x–a–2<0的一個(gè)解，則a可取的最小正整數(shù)為（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】解：根據(jù)題意，x=3是不等式的一個(gè)解，∴將x=3代入不等式，得：6﹣a﹣2＜0，解得：a＞4，則a可取的最小正整數(shù)為5，故選D．學(xué)-科網(wǎng)點(diǎn)睛：本題主要考查不等式的整數(shù)解，熟練掌握不等式解得定義及解不等式的能力是解題的關(guān)鍵．高中經(jīng)典題型1．若函數(shù)在上的最大值與最小值之差為，則實(shí)數(shù)（）A．B．C．或D．【答案】C【解析】，若，則的最大與最小之差為（舍），若，則，，則（符合），若，則，，則，則（符合），故選C．2．若,且，則__________．【答案】【解析】由，，解得，于是，故答案為．3．如圖，已知函數(shù)f(x)的圖象是兩條直線的一部分，其定義域?yàn)?－1,0]∪(0,1)，則不等式f(x)－f(－x)>－1的解集是______________．【答案】(－1，－)∪[0,1)4．已知函數(shù)，且在上的最小值為，求的最大值．【答案】1【解析】試題分析：（1）由題意知，分三種情況討論，即可求解函數(shù)的最小值，得出的表達(dá)式，即可求解的最大值．試題解析：由題意知，（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為增函數(shù)，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為減函數(shù)，∴；（3）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴其在上為增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，有，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值1．點(diǎn)睛:本題考查了函數(shù)最值問(wèn)題及其應(yīng)用，其中解答中涉及到一次函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及分段函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了分類討論的思想方法，本題的解答中注意的情況，容易導(dǎo)致錯(cuò)解，試題有一定的基礎(chǔ)性，屬于基礎(chǔ)題．5．(1)求函數(shù)y＝ax＋1(a≠0)在[0，2]上的最值．(2)若函數(shù)y＝ax＋1在[0，2]上的最大值與最小值之差為2．求a的值．【答案】(1)詳見解析;(2)a＝±1．6．某商店銷售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元，銷售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元．學(xué)-科網(wǎng)（1)求每臺(tái)A型電腦和B型電腦的銷售利潤(rùn)；（2）該商店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái)，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過(guò)A型電腦的2倍。設(shè)購(gòu)進(jìn)A掀電腦x臺(tái)，這100臺(tái)電腦的銷售總利潤(rùn)為y元。①求y與x的關(guān)系式；②該商店購(gòu)進(jìn)A型、B型各多少臺(tái)，才能使銷售利潤(rùn)最大？（3）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)A型電腦出廠價(jià)下調(diào)m（0＜m＜100）元，且限定商店最多購(gòu)進(jìn)A型電腦70臺(tái)。若商店保持兩種電腦的售價(jià)不變，請(qǐng)你以上信息及（2）中的條件，設(shè)計(jì)出使這100臺(tái)電腦銷售總利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案?！敬鸢浮浚?）每臺(tái)A型電腦的銷售利潤(rùn)為100元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為150元；（2）商店購(gòu)進(jìn)A型電腦34臺(tái)，B型電腦66臺(tái)，才能使銷售總利潤(rùn)最大；（3）即商店購(gòu)進(jìn)70臺(tái)A型電腦和30臺(tái)B型電腦才能獲得最大利潤(rùn)．【解析】試題分析：（1）依據(jù)題設(shè)條件每臺(tái)A型電腦的銷售利潤(rùn)為a元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為b元建立方程組進(jìn)行求解；（2）①根據(jù)題意建立目標(biāo)函數(shù)y＝100x＋150(100－x)；②根據(jù)題意建立不等式100－x≤2x進(jìn)行分析求解；（3）據(jù)題意建立目標(biāo)函數(shù)y＝（100+m）x＋150(100－x)，然后運(yùn)用分類整合思想對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論求其最大值。解：（1）設(shè)每臺(tái)A型電腦的銷售利潤(rùn)為a元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為b元，則有解得即每臺(tái)A型電腦的銷售利潤(rùn)為100元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為150元．（3）根據(jù)題意得y＝（100+m）x＋150(100－x)，即y＝（m－50）x＋15000．33≤x≤70．①當(dāng)0＜m＜50時(shí)，m－50＜0，y隨x的增大而減?。喈?dāng)x=34時(shí)，y取得最大值．即商店購(gòu)進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦才能獲得最大利潤(rùn)；②當(dāng)m=50時(shí)，m－50=0，y＝15000．即商店購(gòu)進(jìn)A型電腦數(shù)最滿足33≤x≤70的整數(shù)時(shí)，均獲得最大利潤(rùn)；③當(dāng)50＜m＜100時(shí)，m－50＞0，y隨x的增大而增大．∴x=70時(shí)，y取得最大值．即商店購(gòu)進(jìn)70臺(tái)A型電腦和30臺(tái)B型電腦才能獲得最大利潤(rùn)．【實(shí)戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實(shí)基礎(chǔ)————A組1．關(guān)于直線l:y=kx+k(k≠0),下列說(shuō)法不正確的是()A．點(diǎn)(0,k)在l上B．l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-1,0)C．當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大D．l經(jīng)過(guò)第一、二、三象限【答案】D【解析】A．當(dāng)x=0時(shí)，y=k，即點(diǎn)（0，k）在l上，故此選項(xiàng)正確；B．當(dāng)x=﹣1時(shí)，y=﹣k+k=0，此選項(xiàng)正確；C．當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，此選項(xiàng)正確；D．不能確定l經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選D．2．如圖，在等腰中，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若直線：把分成面積相等的兩部分，則的值為__________．【答案】【解析】分析：根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后根據(jù)題意即可列出相應(yīng)的方程，從而可以求得m的值．詳解：∵y=mx+m=m（x+1），∴函數(shù)y=mx+m一定過(guò)點(diǎn)（-1，0），當(dāng)x=0時(shí)，y=m，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），由題意可得，直線AB的解析式為y=-x+2，，得，∵直線l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面積相等的兩部分，∴，解得，m=或m=（舍去），故答案為：．點(diǎn)睛：本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn)，則關(guān)于的不等式組的解集為__________．【答案】【解析】【分析】先將點(diǎn)P(n,?4)代入數(shù)y=?x?2,求出n的值，再找出直線落在數(shù)y=?x?2的下方且都在x軸下方的部分對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即可．【點(diǎn)評(píng)】考查一次函數(shù)與一次不等式，會(huì)數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.4．一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則不等式kx+b<0的解集為__________．【答案】x<1【解析】解：∵y=kx+b，kx+b＜0，∴y＜0，由圖象可知：x＜1．故答案為：x＜1．5．已知關(guān)于x的方程mx+3=4的解為x=1，則直線y=（m﹣2）x﹣3一定不經(jīng)過(guò)第___象限．【答案】一．【解析】試題分析：∵關(guān)于x的方程mx+3=4的解為x=1，∴m+3=4，∴m=1，∴直線y=（m﹣2）x﹣3為直線y=﹣x﹣3，∴直線y=（m﹣2）x﹣3一定不經(jīng)過(guò)第一象限，故答案為：一．6．若點(diǎn)M（k﹣1，k+1）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)在第四象限內(nèi)，則一次函數(shù)y=（k﹣1）x+k的圖象不經(jīng)過(guò)第象限．【答案】一【解析】試題分析：首先確定點(diǎn)M所處的象限，然后確定k的符號(hào)，從而確定一次函數(shù)所經(jīng)過(guò)的象限，得到答案．∵點(diǎn)M（k﹣1，k+1）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)在第四象限內(nèi)，∴點(diǎn)M（k﹣1，k+1）位于第三象限，∴k﹣1＜0且k+1＜0，解得：k＜﹣1，∴y=（k﹣1）x+k經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第一象限7．如圖，直線y=x+與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)．（1）求∠ABO的度數(shù)；（2）過(guò)A的直線l交x軸半軸于C，AB=AC，求直線l的函數(shù)解析式．【答案】（1）∠ABO=60°；（2）y=﹣x+．【解析】試題分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式y(tǒng)=x+求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，在Rt△ABO中，求出tan∠ABO的值，從而求出∠ABO的度數(shù)；（2）根據(jù)題意可得，AB=AC，AO⊥BC，可得AO為BC的中垂線，根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l的函數(shù)解析式即可．試題解析：（1）對(duì)于直線y=x+，令x=0，則y=，令y=0，則x=﹣1，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0），則AO=，BO=1，在Rt△ABO中，∵tan∠ABO==，∴∠ABO=60°；（2）在△ABC中，∵AB=AC，AO⊥BC，∴AO為BC的中垂線，即BO=CO，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b（k，b為常數(shù)），則，解得：，即函數(shù)解析式為：y=﹣x+．8．昨天早晨7點(diǎn)，小明乘車從家出發(fā)，去西安參加中學(xué)生科技創(chuàng)新大賽，賽后，他當(dāng)天按原路返回，如圖，是小明昨天出行的過(guò)程中，他距西安的距離y（千米）與他離家的時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)圖象．根據(jù)下面圖象，回答下列問(wèn)題：（1）求線段AB所表示的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知昨天下午3點(diǎn)時(shí)，小明距西安112千米，求他何時(shí)到家？【答案】（1）y=﹣96x+192（0≤x≤2）；（2）下午4時(shí)．【解析】試題分析：（1）可設(shè)線段AB所表示的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法列方程組求解即可；（2）先根據(jù)速度=路程÷時(shí)間求出小明回家的速度，再根據(jù)時(shí)間=路程÷速度，列出算式計(jì)算即可求解．試題解析：（1）設(shè)線段AB所表示的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b，依題意有：，解得．故線段AB所表示的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣96x+192（0≤x≤2）；（2）12+3﹣（7+6.6）=15﹣13.6=1.4（小時(shí)），112÷1.4=80（千米/時(shí)），（192﹣112）÷80=80÷80=1（小時(shí)），3+1=4（時(shí)）．答：他下午4時(shí)到家．9．某公園出售的一次性使用門票，每張10元，為了吸引更多游客，新近推出購(gòu)買“個(gè)人年票”的售票活動(dòng)（從購(gòu)買日起，可供持票者使用一年）．年票分A．B兩類：A類年票每張100元，持票者每次進(jìn)入公園無(wú)需再購(gòu)買門票；B類年票每張50元，持票者進(jìn)入公園時(shí)需再購(gòu)買每次2元的門票．某游客一年中進(jìn)入該公園至少要超過(guò)多少次時(shí)，購(gòu)買A類年票最合算？【分析】由于購(gòu)買A年票首先要花100元，以后就不用再花錢了，那么可讓另外兩種購(gòu)票方式所花的費(fèi)用分別大于100，可得出不等式組，求解后即判斷除至少超過(guò)多少次，購(gòu)買A才合算?！賾?zhàn)高中題——能力提升————B組1、已知abc≠0且，那么直線y=px+p一定通過(guò)第（）象限A、一、二 B、二、三 C、三、四 D、一、四2、已知一次函數(shù)f(x)=3x+2，一次函數(shù)g(x)=ax+b，且f[g(x)]=12x+11，求a+b的值。3、當(dāng)1≤x≤2時(shí)，函數(shù)f(x)=kx+(1-3k)恒為正值，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。4、已知x≥0，y≥0，z≥0，且滿足x+2y+3z=2，