陜西省西安市曲江二中2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

第頁西安市曲江第二中學(xué)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期12月份月考(數(shù)學(xué))試題(全卷滿分120分，時(shí)間100分鐘)一、選擇題(本大題共10小題，共30分)1.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A.y＝2x﹣3 B.C.y＝（x﹣5）2﹣x2 D.y＝x（1﹣x）【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：A．y=2x-3，不是二次函數(shù)，故不符合題意；

B．，不是二次函數(shù)，故不符合題意；

C．y=（x-5）2-x2=x2-10x+25-x2=-10x+25，不是二次函數(shù)，故不符合題意；

D．y=x（1-x）=-x2+x，是二次函數(shù)，故符合題意；

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2.拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算自變量為0對應(yīng)的函數(shù)值得到拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再解方程得拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】當(dāng)時(shí)，，則拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，解得，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以拋物線與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)是常數(shù)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．3.如圖所示，為的弦，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】∵為的弦，，∴，，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于（﹣2，0）和（4，0）兩點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)值y＞0時(shí)，自變量x的取值范圍是（）A.x＜﹣2 B.﹣2＜x＜4 C.x＞0 D.x＞4【答案】B【解析】【詳解】當(dāng)函數(shù)值y＞0時(shí)，自變量x的取值范圍是：﹣2＜x＜4．故選B．5.如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖，其中點(diǎn)A、B、C分別在格點(diǎn)上，則sinA的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理，可得AC的長，再根據(jù)正弦等于對邊比斜邊，可得答案．【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵BC=2，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、三角形的面積以及銳角三角函數(shù)的定義，構(gòu)造∠A所在的直角三角形是解題的關(guān)鍵．6.對于二次函數(shù)的圖象的特征，下列描述正確的是（）A.開口向上 B.經(jīng)過原點(diǎn)C.對稱軸是y軸 D.頂點(diǎn)在x軸上【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】在二次函數(shù)中，∵，∴圖像開口向下，故A錯(cuò)誤；令，則，∴圖像不經(jīng)過原點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；二次函數(shù)的對稱軸為直線，故C錯(cuò)誤；二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴頂點(diǎn)在x軸上，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)性質(zhì)，掌握二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.在中，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)求出，利用勾股定理求出，再根據(jù)公式求出答案．【詳解】解：∵在中，，，∴，即，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，熟記角的三角函數(shù)值的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．8.如果點(diǎn)在拋物線上，將此拋物線向右平移3個(gè)單位后，點(diǎn)同時(shí)平移到點(diǎn)，那么坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先把代入得，于是得到點(diǎn)坐標(biāo)為，由于拋物線向右平移3個(gè)單位，則拋物線上所有點(diǎn)都右平移3個(gè)單位，然后根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律可確定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：把代入得，則點(diǎn)坐標(biāo)為，把點(diǎn)向右平移3個(gè)單位后所得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．9.已知二次函數(shù)的y與x的部分對應(yīng)值如下表：x013y131下列結(jié)論：①拋物線的開口向下；②其圖象的對稱軸為直線；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；④方程有一個(gè)根大于4，其中正確的結(jié)論有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象具有對稱性和表格中的數(shù)據(jù)，可以得到對稱軸為x==，再由圖象中的數(shù)據(jù)可以得到當(dāng)x=取得最大值，從而可以得到函數(shù)的開口向下以及得到函數(shù)當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞時(shí)，y隨x的增大而減小，然后根據(jù)x=0時(shí)，y=1，x=-1時(shí)，y=-3，可以得到方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根所在的大體位置，從而可以解答本題．【詳解】解：由表格可知，二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最大值，當(dāng)x==時(shí)，取得最大值，∴拋物線的開口向下，故①正確，其圖象的對稱軸是直線x=，故②錯(cuò)誤，當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而增大，故③正確，方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根大于-1，小于0，則方程的另一個(gè)根大于2×=3，小于3+1=4，故④錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用表格中數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)判斷題目中各個(gè)結(jié)論是否正確．10.已知拋物線(，c為常數(shù)，且)，關(guān)于拋物線的下列說法中，不正確的是()A.拋物線的對稱軸為直線B.若，則拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)在y軸兩側(cè)C.若點(diǎn)，在拋物線上，且，，則D.若點(diǎn)在拋物線上，則【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．將解析式化為頂點(diǎn)式，得出對稱軸為直線，即可判斷A選項(xiàng)，令，則，根據(jù)判別式，即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)已知條件，可得，根據(jù)拋物線開口向上，離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，即可判斷C選項(xiàng)，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，可得函數(shù)最小值，進(jìn)而判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：∵，∴拋物線的對稱軸是直線，故A選項(xiàng)正確；令，則，，若，，，∴則拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)在y軸兩側(cè)，故B選項(xiàng)正確；拋物線開口向上，若點(diǎn)，在拋物線上，且，，則，，∴，故C選項(xiàng)正確；∵，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，拋物線開口向上，若點(diǎn)在拋物線上，則故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：D．二、填空題(本大題共6小題，共24分)11.某滑雪運(yùn)動(dòng)員沿著坡比的斜坡向下滑行了200米，則運(yùn)動(dòng)員下降的垂直高度為________米．【答案】100【解析】【分析】設(shè)出垂直高度，表示出水平距離，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)垂直高度下降了米，則水平前進(jìn)了米．根據(jù)勾股定理可得：．解得，即它距離地面的垂直高度下降了100米．故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，難度不大，此題的關(guān)鍵是熟悉且會(huì)靈活應(yīng)用公式：（坡度）垂直高度水平寬度，綜合利用了勾股定理．12.某件商品的銷售利潤y（元）與商品銷售單價(jià)x（元）之間滿足，不考慮其他因素，銷售一件該商品的最大利潤為______元．【答案】2【解析】【分析】知的最大值在時(shí)取得，值為．詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)可知在時(shí)，最大且取值為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用中的最值問題．解題的關(guān)鍵將二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式．13.如果拋物線的頂點(diǎn)在軸上，那么常數(shù)m的值是_________【答案】【解析】【分析】把二次函數(shù)一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)頂點(diǎn)在x軸上確定其縱坐標(biāo)為0，進(jìn)而求出m的值．【詳解】∵，∴二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為．∵頂點(diǎn)在x軸上，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式的方法和坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．14.某人在大廈一層乘坐觀光電梯，看到大廈外一棵樹上的鳥巢，仰角為，到達(dá)大廈的第五層后，再看這個(gè)鳥巢，俯角為，已知大廈的層高均為，則這棵樹與大廈的距離為____________m．【答案】【解析】【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解仰角與俯角的含義是解本題的關(guān)鍵，先畫出圖形，過作于，則，四邊形為矩形，再進(jìn)一步解決即可．【詳解】解：如圖，由題意可得：，，，過作于，則，四邊形為矩形，∴，，，，∴，，，∴，解得：，∴，∴這棵樹與大廈的距離為；故答案為：15.如圖，已知沿角平分線所在的直線翻折，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，且，那么的正切值是________

【答案】【解析】【分析】如圖，連接交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，先證明為的中位線，由三角形中位線定理得，由翻折變換的性質(zhì)得在的垂直平分線上，同理得出是的中位線，再由三角形中位線定理得，設(shè)，則，，求得，，然后根據(jù)正切函數(shù)公式求值即可．【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中位線，，由翻折變換的性質(zhì)得在的垂直平分線上，，，同理：是的中位線，，設(shè)，則，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求角的正切值，翻折變換的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，合理添加輔助線，利用三角形中位線定理，證得，是解題關(guān)鍵．16.二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，與y軸交于，對稱軸為直線．以下結(jié)論：①；②③對于任意實(shí)數(shù)m，都有成立；④在該函數(shù)圖象上，則；其中正確結(jié)論序號是_________．【答案】①②【解析】【分析】根據(jù)開口方向、對稱軸位置、與y軸交點(diǎn)位置判斷出，，的正負(fù)，可得結(jié)論①正確；利用對稱軸公式可得，當(dāng)時(shí)，，解不等式可得結(jié)論②正確；當(dāng)時(shí)，可得③錯(cuò)誤；點(diǎn)到對稱軸的距離和開口方向可判定得結(jié)論④正確．【詳解】解：拋物線開口向上，，拋物線與軸交于點(diǎn)，，，，，故①正確，，當(dāng)時(shí)，，，，故②正確，當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤，，點(diǎn)到對稱軸的距離最大，函數(shù)值最大，點(diǎn)，到對稱軸的距離最小，函數(shù)值最小，，故④錯(cuò)誤，綜上所述：①②正確．故答案為①②．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．三、計(jì)算題(本大題共1小題，共10分)17.計(jì)算：（1）（2）【答案】(1)，（2）3+【解析】【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及二次根式的化簡分別計(jì)算即可．【詳解】（1）原式==；（2）原式==3+.【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及二次根式的化簡.四、解答題(本大題共5小題，共56分)18.如圖所示，以的頂點(diǎn)A為圓心，為半徑作圓，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，延長交于G．（1）求證：；（2）若劣弧所對圓心角度數(shù)為，求的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，弧與圓心角的關(guān)系等知識點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出．（1）要證明，則要證明，由等邊對等角以及平行四邊形性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)劣弧所對圓心角的度數(shù)為，得到，于是得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【小問1詳解】解：如圖，連接，為圓心，，，四邊形為平行四邊形，，，，，；【小問2詳解】∵劣弧所對圓心角度數(shù)為，，，四邊形為平行四邊形，，．19.某學(xué)校九年級的一場籃球比賽中，如圖隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手時(shí)離地面高m，與籃圈中心的水平距離為7m，當(dāng)球出手后水平距離為4m時(shí)到達(dá)最大高度4m，設(shè)籃球運(yùn)行軌跡為拋物線，籃圈距地面3m．（1）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，問此球能否準(zhǔn)確投中？（2）此時(shí)，若對方隊(duì)員乙在甲前1m處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為m，那么他能否獲得成功？請說明理由．【答案】（1）能夠投中，理由見解析；（2）能夠蓋帽攔截成功，理由見解析【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）觀察函數(shù)圖象找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）代入求出值．（1）觀察函數(shù)圖象可知：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，籃圈中心的坐標(biāo)是．設(shè)拋物線的解析式是，根據(jù)拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征驗(yàn)證籃圈中心點(diǎn)是否在拋物線上，此題得解；（2）代入求出值，由該值小于可得出蓋帽攔截成功．【小問1詳解】解：由題意可知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，籃圈中心的坐標(biāo)是．∴可設(shè)拋物線的解析式是．拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，解得：，拋物線解析式為．當(dāng)時(shí)，，籃圈的中心點(diǎn)在拋物線上，能夠投中．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，能夠蓋帽攔截成功．20.如圖，小明家對面有一個(gè)山坡，一根電線桿直立在山坡上，小明想用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識測量電線桿的高度，設(shè)計(jì)了如下方案：小明在家門口小廣場點(diǎn)A處，利用測傾器測得電線桿頂端P的仰角，從點(diǎn)A朝著方向走8米到達(dá)B點(diǎn)，測得電線桿頂端點(diǎn)P的仰角，電線桿底端點(diǎn)Q的仰角，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算出電線桿的高度（已知：測傾器的高度，結(jié)果保留根號）．【答案】米【解析】【分析】延長交直線的延長線于點(diǎn)H，設(shè)米，在直角和直角中，根據(jù)三角函數(shù)利用x表示出和，根據(jù)即可列出方程求得x的值，再在直角中利用三角函數(shù)求得的長，則的長度即可求解．【詳解】解：延長交直線的延長線于點(diǎn)H，由題意得，四邊形是矩形，∴米，設(shè)米．在直角中，，則米，∵，∴，在直角中，米，∵米，∴，解得．則米．在直角中，，∴米．∴（米）．答：電線桿的高度是米．【點(diǎn)睛】本題考查了仰角的定義，以及三角函數(shù)，正確求得的長度是關(guān)鍵．21.華聯(lián)商場以每件10元購進(jìn)一種商品，已知銷售價(jià)不低于成本價(jià)，且物價(jià)部門規(guī)定這種商品的銷售價(jià)不得高于20元/件，試銷中發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(件)與每件的銷售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)，且銷售價(jià)與銷售量的關(guān)系如下表：銷售價(jià)(x元)10151820銷售量(y件)30252220（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）求商場每天的銷售利潤w(元)與每件的銷售價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式，如果商場要想獲得最大利潤，每件商品的銷售價(jià)定為多少為最合適？最大銷售利潤為多少？【答案】（1）與之間的函數(shù)關(guān)系式為，；（2）每件銷售價(jià)為20元時(shí)，每天銷售利潤最大，最大利潤是200元．【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握二次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，把代入求出k和b的值即可得出函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)“總利潤＝每件的利潤×銷售量”可得函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步求解可得．【小問1詳解】解：設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，把代入得：，解得：，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為，∵銷售價(jià)不低于成本價(jià)，且物價(jià)部門規(guī)定這種商品的銷售價(jià)不高