滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考點 第23章 解直角三角形知識歸納與題型突破（12類題型清單）

第二十三章解直角三角形知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記1、在Rt?ACB中，∠C=90sinA=∠A的對邊2、特殊三角函數(shù)值3、直角三角形的邊角關(guān)系（a、b為直角邊，c為斜邊）(1)銳角之間的關(guān)系:∠A=90°—∠B,∠B=90°-∠A;(2)三邊之間的關(guān)系:a=c2?b2(3)邊角之間的關(guān)系:a=csinA,a=ccosB,a=btanA,b=csinB,b=ccosA,b=atanB.4、用解直角三角形解決實際問題的步驟(1)審題，弄清方向角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念，將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題.(2)認(rèn)真分析題意,畫出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題,對于較復(fù)雜的問題，往往要通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形.(3)根據(jù)條件，結(jié)合圖形，選用適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)解直角三角形.(4)按照題目中的精確度進(jìn)行近似計算，檢驗得到符合實際要求的解，并按題目要求的精確度確定答案，并標(biāo)注單位0303題型歸納題型一求角的三角函數(shù)值例1.（24-25九年級上·云南·階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=1，則sinA=A．223 B．13 C． 鞏固訓(xùn)練1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖所示放置（點A，O，C均在網(wǎng)格的格點上，且點C在OB上），則sin∠AOB的值為（A．12 B． C．23 2．（22-23九年級下·浙江金華·開學(xué)考試）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則的值為（）A．5 B．255 C． D．3．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，下列三角函數(shù)值正確的是（A．sinA=1517 B．cosA=題型二已知三角函數(shù)值求長度例2．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足為點E．若sin∠ADE=45，AD=4，則鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·全國·單元測試）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，cosB2．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點E在AB上，BE=2，點F在BD上，，則EF=3．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，點E在矩形ABCD的邊CD上，將△ADE沿AE折疊，點D恰好落在邊BC上的點F處，若BC=10．sin∠AFB=45

題型三特殊三角形的三角函數(shù)例3.（24-25九年級上·山東泰安·階段練習(xí)）在Rt△ABC中，，則cosA鞏固訓(xùn)練1．（2024九年級上·上海·專題練習(xí)）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，則A．12 B． C．33 D．2．（22-23八年級下·吉林長春·期末）小明利用如圖所示的量角器量出∠AOB的度數(shù)，cos∠AOB的值為（A． B． C．12 D．333．（2024九年級下·浙江·專題練習(xí)）在△ABC中，若三個內(nèi)角∠A：∠B：∠C=1：2：3，則sinAA．1：2 B．1：3 C．1：3 D．題型四特殊三角函數(shù)值的混合運(yùn)算例4.（24-25九年級上·河北石家莊·開學(xué)考試）計算2sin2鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·重慶·階段練習(xí)）計算：．2．（24-25九年級上·全國·單元測試）．3．（2023·湖北黃岡·模擬預(yù)測）計算：2sin45°?2cos題型五三角函數(shù)的綜合例5.（2023·上海普陀·三模）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，，則tanE=鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·上海·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°,AB=AC，點D為斜邊BC上一點，且，將△ABD沿直線AD翻折，點B的對應(yīng)點為B'，則sin

2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC=6，tan∠BAC=34，點D是AC邊上任意一點，連接BD，將△BCD沿著BD翻折得△BC'D，且C'3．（2023·上海長寧·一模）如圖，點E在正方形ABCD的邊CD上，∠ABE的平分線交AD邊于點F，連接EF，如果正方形ABCD的面積為12，且CE=2，那么cot∠BEF?∠題型六解直角三角形的相關(guān)計算例6．（24-25九年級上·上海虹口·階段練習(xí)）已知△ABC中，AB=4，sinA=12，，如果解這個三角形有2解，則a鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）等腰△ABC中，AB=AC，，D為AB的中點，BE⊥BC交射線CD于E，若BC=8，則線段的長為．2．（23-24九年級下·全國·期末）在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，若sinA?cosA=0且a=2c3．（2024·湖北荊門·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AB上，△BEC與△FEC關(guān)于直線對稱，點B的對稱點F在邊AD上，G為CD中點，連結(jié)BG分別與CE，CF交于M，N兩點．若BM=BE，MG=1，則BN的長為，sin∠AFE的值為

題型七解非直角三角形例7.（2024·四川資陽·中考真題）在△ABC中，∠A=60°，AC=4．若△ABC是銳角三角形，則邊AB長的取值范圍是．鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·江蘇南通·期末）如圖，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tanB=32

A．2+23 B．3+3 C．42．（22-23九年級上·山東淄博·期中）如圖，在△ABC中，，，BC=66，AD平分∠BAC交BC于點D，則線段AD的長為（

）A．66 B．12 C．633．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則∠APD的余弦值為（）A．12 B． C． D．25題型八構(gòu)造直角三角形求邊長或面積例8.（2022·四川綿陽·三模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，則這個四邊形的面積是（

）A．34 B．32 C．3 鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·安徽宣城·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A=30°，，BC=32，求△ABC2．（23-24九年級上·山東青島·期末）為全面實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，促進(jìn)農(nóng)業(yè)全面升級、農(nóng)村全面進(jìn)步、農(nóng)民全面發(fā)展．如圖，四邊形ABCD是某蔬菜大棚的側(cè)面示意圖，已知墻BC與地面垂直，且長度為5米，現(xiàn)測得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的寬CD的長度．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈35，sin67°≈1213，cos67°≈3．（20-21八年級下·安徽淮南·期末）已學(xué)校操場邊有一塊不規(guī)則的四邊形。八年級（1）班的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組想要求出它的面積，經(jīng)過測量知：∠B=90°,AB=4題型九仰俯角問題例9.（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量潮汐塔AB的高度，測量方案如圖所示：無人機(jī)在距水平地面119m的點M處測得潮汐塔頂端A的俯角為22°，再將無人機(jī)沿水平方向飛行74m到達(dá)點N，測得潮汐塔底端B的俯角為45°（點M,N,A,B在同一平面內(nèi)），則潮汐塔AB的高度為（

）（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：）A．41m B．42m C．48m D．51m鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·全國·單元測試）某班的同學(xué)想測量一教樓AB的高度，如圖，大樓前有一段斜坡BC，已知BC的長為8米，它的坡度i=1:3，在離C點30米的D處，測得以教樓頂端A的仰角為37°，則一教樓AB的高度約為（

）米．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tanA．24.1 B．23.7 C．18.1 D．20.22．（23-24九年級上·山東濟(jì)南·期末）如圖，數(shù)學(xué)實踐活動小組要測量學(xué)校附近樓房CD的高度，在水平地面A處安置測角儀測得樓房CD頂部點D的仰角為45°，向前走20米到達(dá)A1處，測得點D的仰角為67.5°，已知測角儀AB的高度為1米，則樓房CD的高度為（）（tanA． B．53+21 C． D．203．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高的測量儀EF測得的仰角為45°，小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測量儀CD測得的仰角為53°，則電子廠AB的高度為（

）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cosA．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m題型十方位角問題例10.（23-24九年級上·重慶·階段練習(xí)）讓運(yùn)動揮灑汗水，讓青春閃耀光芒．重慶某中學(xué)倡議全校師生“每天運(yùn)動一小時，快樂學(xué)習(xí)每一天”，響應(yīng)學(xué)校號召，小明決定早睡早起，每天步行上學(xué)．如圖，小明家在A處，學(xué)校在C處，從家到學(xué)校有兩條線路，他可以從點A經(jīng)過點B到點C，也可以從點A經(jīng)過點D到點C．經(jīng)測量，點B在點A的正北方向，AB=300米．點C在點B的北偏東45°；點D在點A的正東方向，點C在點D的北偏東30°方向，CD=2900米．(1)求BC的長度（精確到個位）；(2)小明每天步行上學(xué)都要從點A到點C，路線一；從點A經(jīng)過點B到點C，路線二；從點A經(jīng)過點D到點C，請計算說明他走哪一條路線較近？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，，6≈2.449鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·重慶九龍坡·開學(xué)考試）小明和小玲游覽一處景點，如圖，兩人同時從景區(qū)大門A出發(fā)，小明沿正東方向步行60米到一處小山B處，再沿著BC前往寺廟C處，在B處測得亭臺D在北偏東方向上，而寺廟C在B的北偏東30°方向上，小玲沿著A的東北方向上步行一段時間到達(dá)亭臺D處，再步行至正東方向的寺廟C處．(1)求小山B與亭臺D之間的距離；（結(jié)果保留根號）(2)若兩人步行速度一樣，則誰先到達(dá)寺廟C處．（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：，3≈1.73，6≈2.452．（23-24九年級上·重慶榮昌·期末）今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬，如圖，媽媽位于游客中心A的正北方向的B處，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C處．烈日當(dāng)空，媽媽準(zhǔn)備把包里的太陽帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時明明騎馬向南偏東60°方向緩慢前進(jìn)．15分鐘后，他們再游客中心A的北偏西37°方向的點D處相遇．

(1)求媽媽步行的速度；(2)求明明從C處到D處的距離．3．（22-23九年級上·重慶沙坪壩·期中）隨著南海局勢的升級，中國政府決定在黃巖島填海造陸，修建機(jī)場，設(shè)立雷達(dá)塔．某日，在雷達(dá)塔A處偵測到東北方向上的點B處有一艘菲律賓漁船進(jìn)入我方偵測區(qū)域，且以30海里/時的速度往正南方向航行，我方與其進(jìn)行多次無線電溝通無果后，這艘漁船行駛了1小時10分到達(dá)點A南偏東53°方向的C處，與此同時我方立即通知（通知時間忽略不計）與A、C在一條直線上的中國海警船往正西方向?qū)υ摑O船進(jìn)行偵測攔截，其中海警船位于與A相距100海里的D處．(1)求AC的距離和點D到直線BC的距離；(2)若海警船航行速度為40海里/時，可偵測半徑為25海里，當(dāng)海警船航行1小時時，是否可以偵測到菲律賓漁船，為什么？（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，題型十一坡度坡比問題例11.（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）和平路中學(xué)一年一度的校運(yùn)會正在如火如荼的進(jìn)行中，負(fù)責(zé)通訊報道的小明和小亮使用無人機(jī)采集一組航拍畫面．在航拍時，小明在C處測得無人機(jī)A的仰角為45°，同時小亮登上看臺CF上的D處測得無人機(jī)A的仰角為31°．若小亮所在看臺CF的坡比為1:3，鉛垂高度DG=3米（點E，G，C，B在同一水平線上），求此時無人機(jī)的高度AB．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin3鞏固訓(xùn)練1．（21-22九年級上·安徽亳州·階段練習(xí)）為測量底部不能到達(dá)的建筑物AB的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在山坡的頂端C處測得建筑物頂部A的仰角為20°，在山腳D處測得建筑物頂部A的仰角為60°，若山坡CD的坡度i=1:3，坡長CD=20米，求建筑物AB的高度．（精確到1米)（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan2．（2024·吉林·模擬預(yù)測）某小區(qū)開展了“行車安全，方便居民”的活動，對地下車庫作了改進(jìn)，如圖，AB⊥BC測得AB=5米，BC=12米，為了居民行車安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改為13°，即∠ADC=13°（此時點B、C、D(1)求這個車庫的斜坡AC的長；(2)求斜坡改進(jìn)后的起點D與原起點C的距離（結(jié)果精確到0．1米，參考數(shù)據(jù)：sin13°≈0.22，cos13．（23-24九年級下·重慶·階段練習(xí)）如圖，斜坡AB長130米，坡度i=1:2.4，BC⊥AC，現(xiàn)計劃在斜坡中點D處挖去部分坡體修建一個平行于水平線CA的平臺DE和一條新的斜坡．(1)若修建的斜坡的坡角為30°，求平臺DE的長；（結(jié)果保留根號）(2)斜坡AB正前方一座建筑物QM上懸掛了一幅巨型廣告MN，小明在D點測得廣告頂部M的仰角為26.5°，他沿坡面DA走到坡腳A處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來到P處，測得廣告底部N的仰角為53°，此時小明距大樓底端Q處30米．已知B、C、A、M、Q在同一平面內(nèi)，C、A、P、Q在同一條直線上，求廣告MN的長度．（參考數(shù)據(jù)：，，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，題型十二其他問題例12.（24-25九年級上·山東泰安·階段練習(xí)）拉桿箱是外出旅行常用工具．某種拉桿箱示意圖如圖所示（滾輪忽略不計），箱體截面是矩形BCDE，BC的長度為60cm，兩節(jié)可調(diào)節(jié)的拉桿長度相等，且與BC在同一條直線上．如圖1，當(dāng)拉桿伸出一節(jié)AB時，AC與地面夾角∠ACG=53°；如圖2，當(dāng)拉桿伸出兩節(jié)（AM、）時，AC與地面夾角∠ACG=37°，兩種情況下拉桿把手A點距離地面高度相同．求每節(jié)拉桿的長度．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，，tan53°≈4鞏固訓(xùn)練1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在徐州云龍湖旅游景區(qū)，點A為“彭城風(fēng)華”觀演場地，點B為“水族展覽館”，點C為“徐州漢畫像石藝術(shù)館”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城風(fēng)華”觀演場地與“水族展覽館”之間的距離AB（精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：，3≈1.73）2．（2024·全國·模擬預(yù)測）【綜合與實踐】如圖1，光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象，其中α代表入射角，代表折射角．學(xué)習(xí)小組查閱資料了解到，若n=sinαsinβ，則把n稱為折射率．（參考數(shù)據(jù)：sin【實踐操作】如圖2，為了進(jìn)一步研究光的折射現(xiàn)象，學(xué)習(xí)小組設(shè)計了如下實驗：將激光筆固定在MN處，光線可沿照射到空容器底部B處，將水加至D處，且BF=12cm時，光點移動到C處，此時測得DF=16cm,BC=7cm【問題解決】(1)求入射角∠PDG(2)請求出光線從空氣射入水中的折射率n．3．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB=1m，BC=0.6m，∠ABC=123°，該車的高度AO=1.7m．如圖2，打開后備箱，車后蓋ABC落在AB'C'處，

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點B'到地面l(2)若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險?請說明理由．（結(jié)果精確到0．01m，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.454，，tan27°≈0.510

第二十三章解直角三角形知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記1、在Rt?ACB中，∠C=90sinA=∠A的對邊2、特殊三角函數(shù)值3、直角三角形的邊角關(guān)系（a、b為直角邊，c為斜邊）(1)銳角之間的關(guān)系:∠A=90°—∠B,∠B=90°-∠A;(2)三邊之間的關(guān)系:a=c2?b2(3)邊角之間的關(guān)系:a=csinA,a=ccosB,a=btanA,b=csinB,b=ccosA,b=atanB.4、用解直角三角形解決實際問題的步驟(1)審題，弄清方向角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念，將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題.(2)認(rèn)真分析題意,畫出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題,對于較復(fù)雜的問題，往往要通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形.(3)根據(jù)條件，結(jié)合圖形，選用適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)解直角三角形.(4)按照題目中的精確度進(jìn)行近似計算，檢驗得到符合實際要求的解，并按題目要求的精確度確定答案，并標(biāo)注單位0303題型歸納題型一求角的三角函數(shù)值例1.（24-25九年級上·云南·階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=1，則sinA=（A．223 B．13 C． 【答案】A【分析】根據(jù)正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA【詳解】解：，，AC=1，∴BC=A∴sin故選：A．鞏固訓(xùn)練1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）正方形網(wǎng)格中，∠AOB如圖所示放置（點A，O，C均在網(wǎng)格的格點上，且點C在OB上），則sin∠AOB的值為（A．12 B． C．23 【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，勾股定理逆定理，找出OB邊上的格點C，連接AC，利用勾股定理求出AO、AC、的長度，再利用勾股定理逆定理證明△AOC是直角三角形，然后根據(jù)正弦的定義計算即可得解．【詳解】如圖，C為OB邊上的格點，連接AC，根據(jù)勾股定理，AO=2AC=1OC=1所以，AO所以，△AOCsin∠故選：B．2．（22-23九年級下·浙江金華·開學(xué)考試）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則的值為（）A．5 B．255 C． D．【答案】B【分析】本題考查網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．連接DE，CE，根據(jù)題意可得：AB∥DE，從而利用平行線的性質(zhì)可得∠APC=∠EDC，然后利用勾股定理的逆定理證明△DCE是直角三角形，從而可得∠DCE=90°，再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算可得cos∠【詳解】解：如圖：連接DE，CE，由題意得：AB∥∴∠APC=在△DCE中，CD，DE∴，∴△DCE∴∠DCE=90°∴，∴，故選：B．3．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，下列三角函數(shù)值正確的是（

A．sinA=1517 B．cosA=【答案】B【分析】本題考查了求正弦，余弦，正切，掌握直角三角形中邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意作出圖形，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求解即可．【詳解】解：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，∴sinA=BCAB=817∴、C、D錯誤，B正確，故選B．題型二已知三角函數(shù)值求長度例2．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足為點E．若sin∠ADE=45，AD=4，則【答案】5【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、正弦的定義、同角的余角相等．根據(jù)同角的余角相等，得到sin∠ADE=sin【詳解】解：在矩形ABCD中，∠ADC=90°∵DE∴∠∴sin∵AD=4∴AC=5故答案為：5．鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·全國·單元測試）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，cosB【答案】8【分析】本題考查了解直角三角形，熟練掌握正弦、余弦的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意得出sinB=3【詳解】解：∵AC=6，cosB∴sinB∴AC∴BA=10，∴BC=AB×cos故答案為：8．2．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點E在AB上，BE=2，點F在BD上，，則EF=【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義得出AM=2，利用勾股定理求出DM的長，過點D作EF的平行線構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)即可得答案．本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)，熟練掌握判定，正切函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作DM∥EF交AB于點M，則，∵四邊形ABCD是矩形，AD=6，，∴AM=2∴由勾股定理得．，AB=8，，∵EF∴△∴EF．故答案為：．3．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，點E在矩形ABCD的邊CD上，將△ADE沿AE折疊，點D恰好落在邊BC上的點F處，若BC=10．sin∠AFB=45

【答案】5【分析】利用矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得AD=AF=10，EF=ED，可得AB=AF?sin∠AFB=10×45=8，BF=A【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC=10，根據(jù)折疊可知，可知AD=AF=10，EF=ED，則，在Rt△ABF中，AB=AF?sin∠∴BF=AF2設(shè)DE=x，則CE=CD?DE=8?x，在Rt△CEF中，EF2解得：x=5，即：DE=5，故答案為：5．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形，靈活運(yùn)用折疊的性質(zhì)得到相等線段是解決問題的關(guān)鍵．題型三特殊三角形的三角函數(shù)例3.（24-25九年級上·山東泰安·階段練習(xí)）在Rt△ABC中，，則cosA2【答案】【分析】本題考查特殊三角函數(shù)值，利用cosA=12求出【詳解】解：在Rt△ABC中，∴∠∴cos故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．（2024九年級上·上?！ｎ}練習(xí)）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，則tanA．12 B． C．33 D．【答案】C【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理和特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)∠C=90°，∠A:∠B=1:2，求出∠A【詳解】解：如下圖：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A=90°×∴tan∠故選：C．2．（22-23八年級下·吉林長春·期末）小明利用如圖所示的量角器量出∠AOB的度數(shù)，cos∠AOB的值為（A． B． C．12 D．33【答案】C【分析】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值，由量角器讀數(shù)可知∠AOB=60°【詳解】解：由量角器讀數(shù)可知∠AOB=60°∴cos∠故選：C．3．（2024九年級下·浙江·專題練習(xí)）在△ABC中，若三個內(nèi)角∠A：∠B：∠C=1：2：3，則sinAA．1：2 B．1：3 C．1：3 D．【答案】B【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及三角形內(nèi)角和．熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．先求出∠A、∠B【詳解】解：∵∠A、∠B、∠C的度數(shù)之比為1：2：3，1+2+3=6，∴∠A=16×180°=30°∴sinA=sin30°=1∴sinA故選：B．題型四特殊三角函數(shù)值的混合運(yùn)算例4.（24-25九年級上·河北石家莊·開學(xué)考試）計算2sin2【答案】5【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可，熟練地掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式=2×=2×=5故答案為：52鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·重慶·階段練習(xí)）計算：．【答案】【分析】本題考查了特殊角的銳角函數(shù)值的計算，二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．先化簡每一個銳角函數(shù)值，再進(jìn)行二次根式的計算即可．【詳解】解：原式==3故答案為：．2．（24-25九年級上·全國·單元測試）．【答案】?34【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可．【詳解】解：===?3故答案為：?3．（2023·湖北黃岡·模擬預(yù)測）計算：2sin45°?2cos30°+(1?tan60°【答案】0【分析】本題考查了含有特殊角的三角函數(shù)解得計算，二次根式的化簡，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．分別代入每一個特殊角的三角函數(shù)值，去絕對值，再進(jìn)行加減計算即可．【詳解】解：原式==1?=0，故答案為：0．題型五三角函數(shù)的綜合例5.（2023·上海普陀·三模）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，，則tanE=【答案】?3+2【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，以及等腰三角形性質(zhì)得到∠CDG=∠CGD=12∠ACB=30°，作于點，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得到FH=12DF，利用解直角三角形得到【詳解】解：∵△∴∠∵CG=CD∴∠作于點，∴FH=1∴DH=tanE=∵DF=DEtanE=故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角函數(shù)綜合，直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用．鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級上·上海·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°,AB=AC，點D為斜邊BC上一點，且，將△ABD沿直線AD翻折，點B的對應(yīng)點為B'，則sin∠

【答案】10【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的知識，正弦函數(shù)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．先證明A、B'、C、D四點共圓，推出∠CB'D=∠CAD，過點D作DE⊥AC于點E，利用平行線分線段成比例定理得到AE=3CE，由勾股定理得到AD=【詳解】解：∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠由折疊性質(zhì)得∠A∴∠∴A、B'、C、D∴∠過點D作DE⊥AC于點E，

∵∠CAB=90°，∴DE∴BD=3CD，∵∠ACB=45°∴△∴DE=CE設(shè)DE=CE=a，則AE=3CE=3a，在Rt△ADE中，AD=∴sin故答案為：102．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC=6，tan∠BAC=34，點D是AC邊上任意一點，連接BD，將△BCD沿著BD翻折得△BC'D，且C'【答案】9【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的知識．作BH⊥AC于點，則∠AHB=∠BHC=90°，根據(jù)三角函數(shù)值可設(shè)設(shè)BH=3x，則AH=4x，得到AB=5x=6，求出AH=245，，CH=65，證明△BDH≌△BDE，得到【詳解】解：如圖，作BH⊥AC于點，則∠AHB=∠tan∠BAC=BH∴設(shè)BH=3x，則AH=4x，∴AB=5x=6∴x=∴AH=4x=245，∴CH=AC?AH=6?在△BDH和△BDE∠BDH=∴△∴BE=BH=∴AE=AB?BE=6?tan∠BAC=∴DE=故答案為：953．（2023·上海長寧·一模）如圖，點E在正方形ABCD的邊CD上，∠ABE的平分線交AD邊于點F，連接EF，如果正方形ABCD的面積為12，且CE=2，那么cot∠BEF?∠【答案】【分析】過點E作EG∥BC交AB于點G，證明∠BEF?∠DFE=∠EBC，根據(jù)正方形的面積求出BC=23【詳解】解：過點E作EG∥BC交AB于點G，如圖所示：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BC，∠ABC=∵EG∥∴AD∥∴∠DFE=∠FEG，∠BEG=∴∠BEF?∵正方形ABCD的面積為12，∴BC=23∵CE=2，∴cot∠答案：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角函數(shù)的計算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出∠BEF?題型六解直角三角形的相關(guān)計算例6．（24-25九年級上·上海虹口·階段練習(xí)）已知△ABC中，AB=4，sinA=12，，如果解這個三角形有2解，則a【答案】2<a≤4【分析】本題主要考查了解直角三角形，確定有兩個解的臨界點成為解題的關(guān)鍵．如圖：過B作BC邊上的高BH．解直角三角形可得BH=2，再根據(jù)這個三角形有2解可知以B為圓心、以BH半徑的圓與射線AD有兩個交點；然后確定兩個臨界點解答即可．【詳解】解：如圖：過B作BC邊上的高BH．∵sinA=1∴BH=sin∵這個三角形有2解，∴以B為圓心，以BH半徑的圓與射線AD有兩個交點，當(dāng)與射線AD掐有一個交點時，即點C與點H重合，∴a=BC=BH=2；當(dāng)以B為圓心，以AB半徑的圓與射線AD有兩個交點的臨界點，即a=BC綜上，a的取值范圍是2<a≤4．故答案為：2<a≤4．鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）等腰△ABC中，AB=AC，，D為AB的中點，BE⊥BC交射線CD于E，若BC=8，則線段的長為．【答案】2【分析】本題考查了解直角三角形、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì)，作AF⊥BC交BC于F，交于G，利用等腰三角形的性質(zhì)及銳角三角形函數(shù)可得AF=3，利用ASA可得△BED≌△AGD，進(jìn)而可得，則可得AF=32BE【詳解】解：作AF⊥BC交BC于F，交于G，如圖：∵等腰△ABC中，AB=AC，BC=8，∴BF=CF=∵tan∴AF∴AF=∵BE∴BE∴△∴GF∴GF=∵D為AB的中點，∴BD=AD在△BED和△AGD∠EBD=∴△∴AG=BE∴AF=AG+GF=BE+解得：BE=2，故答案為：2．2．（23-24九年級下·全國·期末）在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，若sinA?cosA=0且a=2ccos【答案】等腰直角三角形【分析】本題考查銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是正確判斷的前提．由sinA?cosA=0得出△ABC的形狀是直角三角形，由a=2ccosB，【詳解】解：∵sin∴sinA=0∵sin0°=0,cos90°=0∴∠∴cosB=∵a=2c∴cos∴a∴a∴a=∴cosB=∴∠,∴AC=AB∴△故答案為：等腰直角三角形．3．（2024·湖北荊門·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AB上，△BEC與△FEC關(guān)于直線對稱，點B的對稱點F在邊AD上，G為CD中點，連結(jié)BG分別與CE，CF交于M，N兩點．若BM=BE，MG=1，則BN的長為，sin∠AFE的值為

【答案】22【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是連接輔助線通過全等三角形及相似三角形的判定及性質(zhì)求解．連接，F(xiàn)M，由翻折及BM=ME可得四邊形BEFM為菱形，再由菱形對角線的性質(zhì)可得BN=BA．先證明△AEF≌△NMF得AE=NM，再證明△FMN∽△CGN可得CGFM=【詳解】解：，∴∠BEM=∵AB∴∠又∵∠BME=∴∠∴MG=GC=1為CD中點，∴CD=AB=2∵四邊形ABCD是矩形，∴∠FAB=連接，F(xiàn)M，

由對稱可得△∴∠FEM=∠BEM，BE=EF，∠EFC=∵BM=BE，，∵∠BEM=∴∠∴EF∴四邊形BEFM為平行四邊形，，∴四邊形BEFM為菱形，∵∠EBC=∠EFC=90°，EF∥BG，BF平分∠∴∠∵BF平分∠ABN，∠FAB=90°∴FA=FN∴Rt．∵FE=FM，F(xiàn)A=FN，∠A=∴Rt∴AE=NM設(shè)AE=NM=x，則BE=FM=2?x，NG=MG?NM=1?x，∵FM∴∠∴△CGFM=即12?x解得x=2+2>2（舍）)或∴EF=BE=2?x=．故答案為：2；2?1題型七解非直角三角形例7.（2024·四川資陽·中考真題）在△ABC中，∠A=60°，AC=4．若△ABC是銳角三角形，則邊AB長的取值范圍是．【答案】2<AB<8【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．作△ABC的高CD，，根據(jù)題意可得AB>AD，AC>AE，在中，根據(jù)三角函數(shù)可得AD=ACcos∠A=2，即AB>2，再根據(jù)AB=【詳解】解：如圖，作△ABC的高CD，，∵△ABC∴CD，在的內(nèi)部，∴AB>AD，AC>AE，在Rt△ACD中，∠A=60°，AC=4∴AD=AC∴AB>2又∵AB=∴2<AB<8故答案為：2<AB<8．鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·江蘇南通·期末）如圖，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tanB=32

A．2+23 B．3+3 C．4【答案】D【分析】作CD⊥AB于D，根據(jù)∠A=30°，AC=23，算出CD和AD，再根據(jù)tanB=CDBD【詳解】如下圖，作CD⊥AB于D，

在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2∴CD=12AC=在Rt△BCD中，tan∴3∴BD=2∴AB=AD+BD=3+2=5故選：D．【點睛】本題考查了用銳角三角函數(shù)解非直角三角形，作垂直構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（22-23九年級上·山東淄博·期中）如圖，在△ABC中，，，BC=66，AD平分∠BAC交BC于點D，則線段AD的長為（

）A．66 B．12 C．63【答案】B【分析】過點作AB的垂線，垂足分別為，在Rt△CFB，Rt△ACF中，求得CF,AC的長，進(jìn)而證明△ACD【詳解】解：如圖，過點作AB的垂線，垂足分別為，在Rt△CFB中，BF=BC×在Rt△ACF中，AC=∵△ABC中，∠CAB=60°，，∴∠ACD=75°∵AD是∠BAC∴∠DAB=30°∴∠ADC=∴∠ADC=∴AC=AD=12．故選:B．【點睛】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解決問題的關(guān)鍵是將作輔助線，將斜三角形劃分為直角三角形．3．（2024·安徽合肥·一模）如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則∠APD的余弦值為（）A．12 B． C． D．25【答案】C【分析】取格點E，連接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可證得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性質(zhì)可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，從而結(jié)論可得．【詳解】解：取格點E，連接AE、BE，如圖：設(shè)網(wǎng)格中的小正方形的邊長為1，則BE＝12AE＝22AB=32∵BE2+AE2＝2+8＝10，AB2＝10，∴BE2+AE2＝AB2．∴∠AEB＝90°．由題意：∠EBD＝∠CDB＝45°．∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，∴∠APD＝∠ABE．在Rt△ABE中，cos∠ABE＝．∴cos∠APD＝．故選：C．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，本題是網(wǎng)格問題，巧妙的構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．題型八構(gòu)造直角三角形求邊長或面積例8.（2022·四川綿陽·三模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，則這個四邊形的面積是（

）A．34 B．32 C．3 【答案】C【分析】過B、D兩點分別作AC的垂線，利用∠AOD=60°，可推出DG=32DO，BH=32BO，再利用四邊形ABCD的面積等于△ACD的面積加上△【詳解】如圖，過點D作DG⊥AC于點G，過點B作BH⊥AC于點H，∵∠AOD=60°，∴∠AOD=∠BOC=60°，∴DG=32DO同理可得：BH=32BOS四邊形ABCD=12×AC×DG+12×AC=12×AC×32×（DO+=3，故選：C．【點睛】本題考查含30°的直角三角形的性質(zhì)和四邊形面積的計算，熟練掌握含30°直角三角形的性質(zhì)和不規(guī)則四邊形面積的計算是解決本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（22-23九年級上·安徽宣城·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A=30°，，BC=32，求△ABC【答案】9【分析】過點C作CD⊥AB于點【詳解】解：如圖，過點C作CD⊥AB于點在Rt△BCD中，，BC=32∴BD=BC?∴CD=BD=3．在中，∵∠A=30°∴AC=6，．∴AB=AD+BD=33∴SΔABC【點睛】本題考查了解三角形，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形．2．（23-24九年級上·山東青島·期末）為全面實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，促進(jìn)農(nóng)業(yè)全面升級、農(nóng)村全面進(jìn)步、農(nóng)民全面發(fā)展．如圖，四邊形ABCD是某蔬菜大棚的側(cè)面示意圖，已知墻BC與地面垂直，且長度為5米，現(xiàn)測得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的寬CD的長度．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈35，sin67°≈1213，cos67°≈【答案】6.5米【分析】過點A作AE⊥BC于點E，過點B作BF⊥AE于點F，把圖形分成兩個直角三角形和一個矩形，然后在Rt△ABF求出BF、AF，利用矩形性質(zhì)求出AE，再在Rt△ADE求出【詳解】解：如圖，過點A作AE⊥BC于點E，過點B作BF⊥AE于點F，根據(jù)題意可知：AB＝4，CB＝5，∠ABF＝∠ABC-90°=22°，在Rt△ABF中，∠AFB=9∴sin∠ABF=AF∴BF=AB∵∴∴四邊形CBFE是矩形∴∴在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴∴DC=DE+EC=答：蔬菜大棚的寬DC的長度為6.5米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；由根據(jù)已知條件構(gòu)造直角三角形，求出AE是解決問題的關(guān)鍵．3．（20-21八年級下·安徽淮南·期末）已學(xué)校操場邊有一塊不規(guī)則的四邊形。八年級（1）班的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組想要求出它的面積，經(jīng)過測量知：∠B=90°,AB=4【答案】36【分析】連接AC，構(gòu)造直角三角形，用勾股定理即可．【詳解】解：如圖，連接AC，在Rt△ABC，AC=又∵在△ACD中，AC=5,CD=12,AD=13,∵AC∴A∴△ACD是直角三角形，∠ACD∴S【點睛】此題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．題型九仰俯角問題例9.（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬平口區(qū)域內(nèi)的標(biāo)志性建筑，在其塔頂可俯視景區(qū)全貌．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測量潮汐塔AB的高度，測量方案如圖所示：無人機(jī)在距水平地面119m的點M處測得潮汐塔頂端A的俯角為22°，再將無人機(jī)沿水平方向飛行74m到達(dá)點N，測得潮汐塔底端B的俯角為45°（點M,N,A,B在同一平面內(nèi)），則潮汐塔AB的高度為（

）（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：）A．41m B．42m C．48m D．51m【答案】B【分析】本題考査了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．延長BA交MN于點C，根據(jù)題意得，然后在Rt△CNB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CN的長，從而求出MC的長，再在Rt△AMC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC【詳解】如圖，延長BA交MN于點C．由題意得．在Rt△CNB中，，．在Rt△AMC中，∠，．故選B．鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·全國·單元測試）某班的同學(xué)想測量一教樓AB的高度，如圖，大樓前有一段斜坡BC，已知BC的長為8米，它的坡度i=1:3，在離C點30米的D處，測得以教樓頂端A的仰角為37°，則一教樓AB的高度約為（

）米．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3A．24.1 B．23.7 C．18.1 D．20.2【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，延長AB交直線DC于點F，在Rt△BCF中利用坡度的定義求得CF的長，則DF即可求得，然后在直角△ADF中利用三角函數(shù)求得AF的長，進(jìn)而求得AB【詳解】延長AB交直線DC于點F，∵在Rt△BCF中，BF∴設(shè)BF=k，則CF=3又∵BC=8，∴k=4，∴BF=4,CF=4∵DF=DC+CF，∴DF=30+4在Rt△∵tan∴AF=∵AB=AF?BF，∴AB=27.7?4≈23.7(米)，故選：B.2．（23-24九年級上·山東濟(jì)南·期末）如圖，數(shù)學(xué)實踐活動小組要測量學(xué)校附近樓房CD的高度，在水平地面A處安置測角儀測得樓房CD頂部點D的仰角為45°，向前走20米到達(dá)A1處，測得點D的仰角為67.5°，已知測角儀AB的高度為1米，則樓房CD的高度為（）（tan67.5°=1+A． B．53+21 C． D．20【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，由題意得出BE=DE，設(shè)DE=x米，則BE=x米，B1E=x?20【詳解】解：如圖，，在Rt△BDE中，∠∴BE=DE，設(shè)DE=x米，則BE=x米，B1在Rt△B1DE解得：x=102∴樓房CD的高度為102故選：C．3．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高的測量儀EF測得的仰角為45°，小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測量儀CD測得的仰角為53°，則電子廠AB的高度為（

）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cosA．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m【答案】A【分析】本題考查了與仰角有關(guān)的解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，先證明四邊形EFDG、EFBM、CDBN是矩形，再設(shè)GM=xm，表示EM=x+5m，然后在Rt△AEM，tan∠AEM=【詳解】解：如圖：延長DC交EM于一點G，∵∠∴四邊形EFDG是矩形∵∠∴四邊形EFBM是矩形同理得四邊形CDBN是矩形依題意，得EF=MB=1.8m，CD=1.5m，∠∴CG=1.8?1.5m=0.3m∴CG=MN=0.3m∴設(shè)GM=xm，則EM=在Rt△∴EM×1=AM即AM=在Rt△∴CN即AN=∴MN=AN?AM=∴x=15.9m∴AM=15.9+5=20.9∴AB=AM+EF=AM+MB=20.9+1.8=22.7故選：A題型十方位角問題例10.（23-24九年級上·重慶·階段練習(xí)）讓運(yùn)動揮灑汗水，讓青春閃耀光芒．重慶某中學(xué)倡議全校師生“每天運(yùn)動一小時，快樂學(xué)習(xí)每一天”，響應(yīng)學(xué)校號召，小明決定早睡早起，每天步行上學(xué)．如圖，小明家在A處，學(xué)校在C處，從家到學(xué)校有兩條線路，他可以從點A經(jīng)過點B到點C，也可以從點A經(jīng)過點D到點C．經(jīng)測量，點B在點A的正北方向，AB=300米．點C在點B的北偏東45°；點D在點A的正東方向，點C在點D的北偏東30°方向，CD=2900米．(1)求BC的長度（精確到個位）；(2)小明每天步行上學(xué)都要從點A到點C，路線一；從點A經(jīng)過點B到點C，路線二；從點A經(jīng)過點D到點C，請計算說明他走哪一條路線較近？（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，，6≈2.449【答案】(1)3127米(2)路線二較近，見解析【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——方向角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過點C作CM⊥AD交AD的延長線于點M，過點B作BN⊥AM交AM于點N，過點D作交BN于點H，則四邊形ABNM、四邊形ABHD、四邊形DMNH都是矩形，△BCN是等腰直角三角形，在Rt△CMD中求出的長，進(jìn)而可求CN的長，在Rt△CBN中，即可求出BC的長度；（2）分別求出AB+BC和AD+CD的長度，然后進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：過點C作CM⊥AD交AD的延長線于點M，過點B作BN⊥AM交AM于點N，過點D作交BN于點H．由題可知：∠CBN=45°，∠A=90°，∠CDM=60°∴四邊形ABNM、四邊形ABHD、四邊形DMNH都是矩形，△BCN在Rt△∵∠CDM=60°，CD=2900米，∴DM=12DC=1450∵AB=MN=300米，∴CN=CM?MN=1450在Rt△CBN中，∠∴CB=2CN=1450答：BC的長度為3127米．（2）解：路線一：AB+BC=300+14506?300∵AM=BN=CN=1450∴AD=AM?DM=1450∴路線二：AD+CD=14503+1150∵3427<3361，∴路線二較近．鞏固訓(xùn)練1．（24-25九年級上·重慶九龍坡·開學(xué)考試）小明和小玲游覽一處景點，如圖，兩人同時從景區(qū)大門A出發(fā)，小明沿正東方向步行60米到一處小山B處，再沿著BC前往寺廟C處，在B處測得亭臺D在北偏東方向上，而寺廟C在B的北偏東30°方向上，小玲沿著A的東北方向上步行一段時間到達(dá)亭臺D處，再步行至正東方向的寺廟C處．(1)求小山B與亭臺D之間的距離；（結(jié)果保留根號）(2)若兩人步行速度一樣，則誰先到達(dá)寺廟C處．（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：，3≈1.73，6≈2.45【答案】(1)小山B與亭臺D之間的距離米(2)小玲先到達(dá)寺廟C處【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．（1）作BE⊥AD于點E，在Rt△ABE中求出BE=AE=302，然后在（2）延長AB，作DF⊥BA于點F，作CG⊥BA于點G，則∠CBG=60°，在Rt△AFD中求出DF=AF=30+303，CG=DF=30+303米，在Rt△BCG中求出【詳解】（1）作BE⊥AD于點E，由題意知，AB=60，∠A=45°，∠ABD=90°+15°=105°，∠CBA=90°+30°=120°，∠在Rt△ABE中，在Rt△BDE中，ED=3BE=30∴小山B與亭臺D之間的距離米（2）延長AB，作DF⊥BA于點F，作CG⊥BA于點G，則∠CBG=180°?由題意知，CD∥∴四邊形CDFG是矩形，∴CG=DF,CD=FG．∵AE=302，ED=30∴AD=302在Rt△AFD中，DF=AF=AD2在Rt△BCG中，BG=CG∴∴SS明∵141.2<154.6∴小玲先到．答：小玲先到達(dá)寺廟C處．2．（23-24九年級上·重慶榮昌·期末）今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬，如圖，媽媽位于游客中心A的正北方向的B處，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C處．烈日當(dāng)空，媽媽準(zhǔn)備把包里的太陽帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時明明騎馬向南偏東60°方向緩慢前進(jìn)．15分鐘后，他們再游客中心A的北偏西37°方向的點D處相遇．

(1)求媽媽步行的速度；(2)求明明從C處到D處的距離．【答案】(1)媽媽步行的速度為6(2)明明從C處到D處的距離約為1+【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形，掌握方向角定義．（1）根據(jù)正切函數(shù)求出BD的長，即路程，則速度=路程÷時間，代入計算即可；（2）過點C作CE⊥AB交AB延長線于點E，設(shè)AE=CE=akm，過點D作于點F，得矩形BEFD，可得EF=DB=1.5km，表示出DF，CF【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知：，∴BD=AB·tan∴1.5÷15答：媽媽步行的速度為6km/h（2）解：如圖，過點C作CE⊥AB交AB延長線于點E，

∵∠CAE=45°,∴△AEC∴AE=CE，設(shè)AE=CE=akm過點D作于點F，得矩形BEFD，∴EF=DB=1.5km，DF=BE=AE?AB=∴CF=CE?EF=a?1.5在Rt△CDF中，tan∴tan3∴33∴a=9+∴DF=a?2=1+∴CD=2DF=1+答：明明從C處到D處的距離約為1+33．（22-23九年級上·重慶沙坪壩·期中）隨著南海局勢的升級，中國政府決定在黃巖島填海造陸，修建機(jī)場，設(shè)立雷達(dá)塔．某日，在雷達(dá)塔A處偵測到東北方向上的點B處有一艘菲律賓漁船進(jìn)入我方偵測區(qū)域，且以30海里/時的速度往正南方向航行，我方與其進(jìn)行多次無線電溝通無果后，這艘漁船行駛了1小時10分到達(dá)點A南偏東53°方向的C處，與此同時我方立即通知（通知時間忽略不計）與A、C在一條直線上的中國海警船往正西方向?qū)υ摑O船進(jìn)行偵測攔截，其中海警船位于與A相距100海里的D處．(1)求AC的距離和點D到直線BC的距離；(2)若海警船航行速度為40海里/時，可偵測半徑為25海里，當(dāng)海警船航行1小時時，是否可以偵測到菲律賓漁船，為什么？（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，【答案】(1)AC的距離為25海里，點D到直線BC的距離為60海里(2)可以偵測到菲律賓漁船，理由見解析【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用：（1）作DE⊥BC于E，AF⊥BC于F，根據(jù)方向角和銳角三角函數(shù)的定義求出BF、CF、AF，求出AC，根據(jù)題意求出CD，根據(jù)正弦的定義求出DE；（2）設(shè)1小時后，海警船到達(dá)點G，菲律賓漁船到達(dá)點，分別求出GE,HE的長，勾股定理求出GH的長，判斷即可．【詳解】（1）解：作DE⊥BC于E，AF⊥BC于由題意得，BC=30×76=35∵∠BAF=45°,∴BF=AF=x，F(xiàn)C=AF÷tan∴x+3解得，x=20，∴34∴AC=A∴CD=AD?AC=75，∴DE=CD?答：AC的距離為25海里，點D到直線BC的距離為60海里；（2）能，理由如下：設(shè)1小時后，海警船到達(dá)點G，菲律賓漁船到達(dá)點，則，CH=30，由（1）知CE=CD?∴HE=CE?CH=15，GE=DE?DG=20，由勾股定理，得：GH=故可以偵測到菲律賓漁船．題型十一坡度坡比問題例11.（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）和平路中學(xué)一年一度的校運(yùn)會正在如火如荼的進(jìn)行中，負(fù)責(zé)通訊報道的小明和小亮使用無人機(jī)采集一組航拍畫面．在航拍時，小明在C處測得無人機(jī)A的仰角為45°，同時小亮登上看臺CF上的D處測得無人機(jī)A的仰角為31°．若小亮所在看臺CF的坡比為1:3，鉛垂高度DG=3米（點E，G，C，B在同一水平線上），求此時無人機(jī)的高度AB．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin3【答案】此時無人機(jī)的高度AB約為21米【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，過點D作DH⊥AB于點H，設(shè)米，四邊形GBHD是矩形，則DH=GB，BH=DG=3米，得到AH=AB?BH=x?3米．證明AB=BC=x米，進(jìn)一步得到DH=GB=9+x米．在中，tan∠【詳解】解：如圖，過點D作DH⊥AB于點H，設(shè)∵∠DGB=∴四邊形GBHD是矩形，∴DH=GB，BH=DG=3米，∴AH=AB?BH=∵小亮所在看臺CF的坡比為1:3，鉛垂高度DG=3米，（米）．∵∠ACB=45°∴AB=BC=x∴DH=GB=在中，∵∠ADH=31°∴tan解得x≈21，米．答：此時無人機(jī)的高度AB約為21米．鞏固訓(xùn)練1．（21-22九年級上·安徽亳州·階段練習(xí)）為測量底部不能到達(dá)的建筑物AB的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在山坡的頂端C處測得建筑物頂部A的仰角為20°，在山腳D處測得建筑物頂部A的仰角為60°，若山坡CD的坡度i=1:3，坡長CD=20米，求建筑物AB的高度．（精確到1米)（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan【答案】約21米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點C作CF⊥AB，垂足為F，過點C作，垂足為E，根據(jù)題意得：CF∥EB，根據(jù)山坡CD的坡度i=1:3，可得∠CDE=30°，從而利用平行線的性質(zhì)，以及平角定義可得∠ADC=90°，∠ACD=50°，然后在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，最后在Rt△ADB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出【詳解】解：過點C作CF⊥AB，垂足為F，過點C作，垂足為E，由題意得：CF∥∵山坡CD的坡度i=1:3∴，在Rt△CDE中，tan∴∠∵CF，∵∠ADB=60°，，，在Rt△ACD中，CD=20（米），在Rt△ADB中，（米)，答：建筑物AB的高度約為21米．2．（2024·吉林·模擬預(yù)測）某小區(qū)開展了“行車安全，方便居民”的活動，對地下車庫作了改進(jìn)，如圖，AB⊥BC測得AB=5米，BC=12米，為了居民行車安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改為13°，即∠ADC=13°（此時點B、C、D(1)求這個車庫的斜坡AC的長；(2)求斜坡改進(jìn)后的起點D與原起點C的距離（結(jié)果精確到0．1米，參考數(shù)據(jù)：sin13°≈0.22，cos1【答案】(1)13米(2)9.7米【分析】本題考查了勾股定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．（1）根據(jù)勾股定理即可解答；（2）先求出BD=ABtan∠【詳解】（1）解：∵AB⊥BC，AB=5米，BC=12米，∴（米）．答：這個車庫的斜坡AC的長為13米．（2）解：在Rt△ADB中，∠ADB=13°，AB=5∴BD=AB∴DC=DB?BC=21.74?12≈9.7（米）．答：斜坡改進(jìn)后的起點D與原起點C的距離約為9.7米．3．（23-24九年級下·重慶·階段練習(xí)）如圖，斜坡AB長130米，坡度i=1:2.4，BC⊥AC，現(xiàn)計劃在斜坡中點D處挖去部分坡體修建一個平行于水平線CA的平臺DE和一條新的斜坡．(1)若修建的斜坡的坡角為30°，求平臺DE的長；（結(jié)果保留根號）(2)斜坡AB正前方一座建筑物QM上懸掛了一幅巨型廣告MN，小明在D點測得廣告頂部M的仰角為26.5°，他沿坡面DA走到坡腳A處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來到P處，測得廣告底部N的仰角為53°，此時小明距大樓底端Q處30米．已知B、C、A、M、Q在同一平面內(nèi)，C、A、P、Q在同一條直線上，求廣告MN的長度．（參考數(shù)據(jù)：，，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，【答案】(1)60?253(2)35米【分析】（1）若修建的斜坡的坡角為30°，求平臺DE的長；（結(jié)果保留根號）（2）延長ED交QM于點H，解直角三角形MDH，解直角三角形PQN，求得MH，，根據(jù)MN=