2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三單元函數(shù)第20課函數(shù)的平均變化率課時(shí)同步練習(xí)含解析新人教B版必修第一冊

第三單元函數(shù)第20課函數(shù)的平均改變率一、基礎(chǔ)鞏固1．已知函數(shù)f(x)＝x2＋1，當(dāng)x＝2，Δx＝0.1時(shí)，Δy的值為()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44【答案】B【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41，故選B.2．函數(shù)y＝1在[2,2＋Δx]上的平均改變率是()A．0B．1C．3 D．Δx【答案】A【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1－1,Δx)＝0.3．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s＝2t2＋5，則在時(shí)間(3,3＋Δt)中，相應(yīng)的平均速度等于()A．6＋Δt B．12＋Δt＋eq\f(9,Δt)C．12＋2Δt D．12【答案】C【解析】eq\f(Δs,Δt)＝eq\f([23＋Δt2＋5]－2×32＋5,Δt)＝12＋2Δt.4．假如函數(shù)y＝ax＋b在區(qū)間[1,2]上的平均改變率為3，則a＝()A．－3B．2C．3 D．－2【答案】C【解析】依據(jù)平均改變率的定義，可知eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2a＋b－a＋b,2－1)＝a＝3，故選C.5．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，假如對于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間I上的隨意兩個(gè)不同的自變量x1，x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，則()A．f(x)在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)B．f(x)在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)C．f(x)在這個(gè)區(qū)間上的增減性不確定D．f(x)在這個(gè)區(qū)間上為常數(shù)函數(shù)【答案】A【解析】①當(dāng)x1＞x2時(shí)，x1－x2＞0，則f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)．當(dāng)x1＜x2時(shí)，x1－x2＜0，則f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)．綜上可知f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)，故選A.6．函數(shù)y＝－x2＋x在x＝－1旁邊的平均改變率為________．【答案】3－Δx【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－－1＋Δx2＋－1＋Δx＋－12－－1,Δx)＝3－Δx.7．汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系圖像如圖所示，在時(shí)間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為eq\x\to(v1)，eq\x\to(v2)，eq\x\to(v3)，則三者的大小關(guān)系為________．【答案】eq\x\to(v1)＜eq\x\to(v2)＜eq\x\to(v3)【解析】eq\x\to(v1)＝eq\f(st1－st0,t1－t0)＝kOA，eq\x\to(v2)＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq\x\to(v3)＝eq\f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，而由圖像知kOA＜kAB＜kBC，∴eq\x\to(v1)＜eq\x\to(v2)＜eq\x\to(v3).8．函數(shù)f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均改變率為________，當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)平均改變率的值為________．【答案】6x0＋3Δx12.3【解析】函數(shù)f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均改變率為eq\f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0)＝eq\f([3x0＋Δx2＋2]－3x\o\al(2,0)＋2,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)，函數(shù)f(x)＝3x2＋2在區(qū)間[2,2.1]上的平均改變率為6×2＋3×0.1＝12.3.9．推斷函數(shù)g(x)＝eq\f(k,x)(k＜0，k為常數(shù))在(－∞，0)上的單調(diào)性．【答案】增函數(shù)【解析】設(shè)x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，則g(x1)－g(x2)＝eq\f(k,x1)－eq\f(k,x2)＝eq\f(kx2－x1,x1x2)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(gx1－gx2,x1－x2)＝－eq\f(k,x1x2).∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(k,x1x2)＞0，∴g(x)＝eq\f(k,x)(k＜0)在(－∞，0)上為增函數(shù)．10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x－1,x＋1)，x∈[3,5]．(1)推斷函數(shù)在區(qū)間[3,5]上的單調(diào)性，并給出證明；(2)求該函數(shù)的最大值和最小值．【答案】（1）增函數(shù)；（2）最大值eq\f(5,4)，最小值eq\f(3,2)【解析】(1)函數(shù)f(x)在[3,5]上是增函數(shù)．證明：設(shè)隨意x1，x2滿意3≤x1＜x2≤5，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1－1,x1＋1)－eq\f(2x2－1,x2＋1)＝eq\f(2x1－1x2＋1－2x2－1x1＋1,x1＋1x2＋1)＝eq\f(3x1－x2,x1＋1x2＋1)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＝eq\f(3,x1＋1x2＋1).因?yàn)?≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3,x1＋1x2＋1)＞0，所以f(x)＝eq\f(2x－1,x＋1)在[3,5]上是增函數(shù)．(2)f(x)min＝f(3)＝eq\f(2×3－1,3＋1)＝eq\f(5,4)，f(x)max＝f(5)＝eq\f(2×5－1,5＋1)＝eq\f(3,2).二、拓展提升11．若函數(shù)f(x)＝－x2＋10的圖像上一點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(31,4)))及鄰近一點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋Δx，\f(31,4)＋Δy))，則eq\f(Δy,Δx)＝()A．3B．－3C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3【答案】D【解析】∵Δy＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋Δx))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－3Δx－(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－3Δx－Δx2,Δx)＝－3－Δx，故選D.12.函數(shù)y＝x2在x0到x0＋Δx之間的平均改變率為k1，在x0－Δx到x0之間的平均改變率為k2，則k1與k2的大小關(guān)系為()A．k1＞k2 B．k1＜k2C．k1＝k2 D．不確定【答案】D【解析】k1＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝2x0＋Δx，k2＝eq\f(fx0－fx0－Δx,Δx)＝2x0－Δx.因?yàn)棣可大于零也可小于零，所以k1與k2的大小關(guān)系不確定．13．已知曲線y＝eq\f(1,x)－1上兩點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，B2＋Δx，－eq\f(1,2)＋Δy，當(dāng)Δx＝1時(shí)，割線AB的斜率為________．【答案】－eq\f(1,6)【解析】∵Δy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2＋Δx)－1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝eq\f(1,2＋Δx)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－2＋Δx,22＋Δx)＝eq\f(－Δx,22＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(－Δx,22＋Δx),Δx)＝eq\f(－1,22＋Δx)，即k＝eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,22＋Δx).∴當(dāng)Δx＝1時(shí)，k＝－eq\f(1,2×2＋1)＝－eq\f(1,6).14．如圖是函數(shù)y＝f(x)的圖像，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均改變率為________．【答案】eq\f(3,4)【解析】由函數(shù)f(x)的圖像知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，,x＋1，1＜x≤3.))所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均改變率為eq\f(f2－f0,2－0)＝eq\f(3－\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).15．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)．(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若對隨意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）eq\f(7,2)（2）(－3，＋∞)【解析】(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(1,2x)＋2.設(shè)1≤x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2x1x2)))，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(2x1x2－1,2x1x2).∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2x1x2－1,2x1x2)＞0，∴f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，∴f