2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程課時(shí)作業(yè)112.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程含解析新人教A版選修2-1

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)11橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，則M到另一焦點(diǎn)F2的距離為(C)A．3 B．6C．8 D．以上都不對(duì)解析：由橢圓的定義知|MF1|＋|MF2|＝10，∴|MF2|＝10－2＝8.故選C．2．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則橢圓的方程是(D)A．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．x2＋eq\f(y2,2)＝1 D．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1解析：由題意知，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且c＝2，∴a2＝2＋4＝6，因此橢圓方程為eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1，故選D．3．已知方程eq\f(x2,|m|－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是(C)A．m<2 B．1<m<2C．m<－1或1<m<eq\f(3,2) D．m<－1或1<m<2解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|m|－1>0，,2－m>0，,|m|－1<2－m，))解得m<－1或1<m<eq\f(3,2).故選C．4．設(shè)橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左焦點(diǎn)為F，P為橢圓上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為eq\r(3)，則|PF|等于(D)A．eq\f(1,2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(5,2) D．eq\f(7,2)解析：依題意得，橢圓的右焦點(diǎn)F2的橫坐標(biāo)是eq\r(3)，于是有|PF2|＝eq\f(1,2)，|PF|＝2×2－|PF2|＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)，選D．5．設(shè)定點(diǎn)F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，動(dòng)點(diǎn)P滿意條件|PF1|＋|PF2|＝a＋eq\f(9,a)(a>0)，則點(diǎn)P的軌跡是(D)A．橢圓 B．線段C．不存在 D．橢圓或線段解析：∵|PF1|＋|PF2|＝a＋eq\f(9,a)≥2eq\r(a·\f(9,a))＝6＝|F1F2|，當(dāng)|PF1|＋|PF2|>|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是橢圓；當(dāng)|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是線段F1F2.6．點(diǎn)P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點(diǎn)，以點(diǎn)P以及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于4，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是(C)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±1，\f(10,3)\r(2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±1，±\f(10,3)\r(2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(10,3)\r(2)，±1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)\r(2)，1))解析：設(shè)P(x0，y0)，則S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y0|＝eq\f(1,2)×2c|y0|＝c|y0|.又∵c＝eq\r(a2－b2)＝4，∴4|y0|＝4，得y0＝±1.可得x0＝±eq\f(10,3)eq\r(2).故P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(10,3)\r(2)，±1)).7．若α∈(0，eq\f(π,2))，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則α的取值范圍是(A)A．(eq\f(π,4)，eq\f(π,2)) B．(0，eq\f(π,4)]C．(0，eq\f(π,4)) D．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))解析：易知sinα≠0，cosα≠0，方程x2sinα＋y2cosα＝1可化為eq\f(x2,\f(1,sinα))＋eq\f(y2,\f(1,cosα))＝1.因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以eq\f(1,cosα)>eq\f(1,sinα)>0，即sinα>cosα>0.又α∈(0，eq\f(π,2))，所以eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2).8．若橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝90°，則△PF1F2的面積為(A)A．9 B．12C．15 D．18解析：設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則由∠F1PF2＝90°且|F1F2|＝8，知req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＝64.又r1＋r2＝10，可得r1r2＝18，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2＝9.二、填空題9．橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距是2，則m的值是3或5.解析：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1.∴m－4＝1，m＝5.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.10．過點(diǎn)(－3,2)且與eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓方程是eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.解析：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±eq\r(5)，0)，可設(shè)所求橢圓方程為eq\f(x2,b2＋5)＋eq\f(y2,b2)＝1，由eq\f(9,b2＋5)＋eq\f(4,b2)＝1，得b2＝10，b2＝－2(舍去)．故所求橢圓方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.11．已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝4，則∠F1PF2＝120°.解析：由題意，得a2＝9，∴a＝3，c2＝a2－b2＝9－2＝7，∴c＝eq\r(7)，∴|F1F2|＝2eq\r(7).∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2.∴cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2×|PF1||PF2|)＝eq\f(42＋22－2\r(7)2,2×4×2)＝－eq\f(1,2)，∴∠F1PF2＝120°.三、解答題12．已知一橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，eq\r(3))和(0，－eq\r(3))，且經(jīng)過點(diǎn)(2，－eq\r(3))，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：由條件得c＝eq\r(3)，且焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上．2a＝eq\r(22＋－\r(3)－\r(3)2)＋eq\r(22＋－\r(3)＋\r(3)2)＝6，所以a＝3.從而b2＝a2－c2＝6.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,6)＝1.13．已知?jiǎng)訄AM過定點(diǎn)A(－3,0)，并且內(nèi)切于定圓B：(x－3)2＋y2＝64，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．解：設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則|MA|＝r，|MB|＝8－r，∴|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓，且焦點(diǎn)分別是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8，∴a＝4，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴所求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1.——實(shí)力提升類——14．已知橢圓C上隨意一點(diǎn)P(x，y)都滿意關(guān)系式eq\r(x－12＋y2)＋eq\r(x＋12＋y2)＝4，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(B)A．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,4)＋y2＝1解析：由題設(shè)可知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，其坐標(biāo)分別為(1,0)，(－1,0)，2a＝4，故a＝2，c＝1，b2＝3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.15．設(shè)P(x，y)是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的點(diǎn)且P的縱坐標(biāo)y≠0，點(diǎn)A(－5,0)、B(5,0)，試推斷kPA·kPB是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．解：∵點(diǎn)P在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，∴y2＝16×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,25)))＝16×eq\f(25－x2,25).①∵點(diǎn)