直線與圓專題復習第12講 圓的弦長與弦心距問題 訓練題集【老師版】

高中數(shù)學精編資源2/2第12講圓的弦長與弦心距問題一、單選題1．（2021·河南焦作·高二期中（理））圓截軸所得的線段長度為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】令，求出與軸交點的橫坐標，進而可得截軸所得的線段長度.【詳解】解：圓，令得，解得，故截軸所得的線段長度為.故選：C.2．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學高三月考）已知圓的圓心在直線上，且與直線：相切于點，則圓被直線截得的弦長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】設出圓心坐標，根據(jù)圓與直線：相切于點，得到關于m的方程，解出m，再求解圓被直線截得的弦長【詳解】∵圓的圓心在直線上∴設圓心為∵圓與直線：相切于點∴，解得：∴圓的圓心為，半徑∴圓心到直線距離∴弦長=，故選：D3．（2021·江蘇·鹽城中學高二月考）在定圓內過點作兩條互相垂直的直線與C分別交于A，B和M，N，則的范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設，求出兩種臨界值下的最值，進而求出的范圍，再結合基本不等式和對勾函數(shù)即可求解【詳解】設，當，，，交換位置可得，故，，又，顯然能取到，故，由對勾函數(shù)性質可知，當或時，，故，故選：D4．（2021·遼寧·鐵嶺市清河高級中學高二月考）已知圓的方程為，設該圓過點的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD面積為（）A． B． C．8 D．13【答案】B【分析】先將圓的方程化為標準方程，根據(jù)過點的直線與圓心與M的連線垂直時，弦長最短，過點的直線且過圓心時，弦長最長求解.【詳解】圓的方程為，化為標準方程：，圓心為，半徑為，當過點的直線與垂直時，弦長最短，且，當過點的直線且過圓心時，弦長最長，且，此時，，所以四邊形ABCD面積為，故選：B5．（2021·江蘇南京·高二月考）已知直線與圓：交于，兩點，為圓心，當?shù)拿娣e最大時，實數(shù)的值為（）A． B．-3或1 C．0或1 D．-1或3【答案】B【分析】用m表示出圓心到直線的距離和弦長，即可得到三角形面積的表達式，利用基本不等式求出最大值和取最值時的條件.【詳解】圓：的圓心坐標，半徑r=2.由圓心到直線的距離，得：.直線被圓截得的弦長為，所以三角形的面積.當且僅當，即或1時取“=”.故選：B6．（2021·四川成都·高二月考（文））圓截直線的最短弦長為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出直線過定點，在圓內，則當時，弦長最短，由勾股定理得弦長．【詳解】由已知，半徑為，直線方程整理得，由，得，即直線過定點，又，因此在圓內，當時，弦長最短．為弦中點．，所以．故選：C．7．（2021·河南·鄲城縣第一高級中學一模（文））若點為圓的弦的中點，則弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】圓的圓心，由給定條件結合圓的性質可得，求出直線OP斜率即可計算作答.【詳解】依題意，圓的圓心，因點為圓的弦的中點，則有，而直線OP斜率為，于是得直線AB斜率，又直線過，因此有，即，所以弦所在直線的方程為.故選：A8．（2021·全國·高二課時練習）直線截圓所得劣弧所對的圓心角為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圓的圓心到直線距離即可求得劣弧所對圓心角.【詳解】圓的圓心O(0，0)，半徑，則點O到直線的距離，設劣弧所對的圓心角為，則，解得，即，所以劣弧所對的圓心角為.故選：C9．（2021·山東·高三月考）《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表，其中《方田》章有弧田面積計算問題，計算術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面積的計算公式為：弧田面積（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圓?。ê喎Q為弧田?。┖鸵詧A弧的端點為端點的線段（簡稱為弧田弦）圍成的平面圖形，公式中“弦”指的是弧田弦的長，“矢”等于弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田，其弦長等于，其弧所在圓為圓，若用上述弧田面積計算公式算得該弧田的面積為，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由弧田面積求出矢，設半徑為，圓心到弧田弦的距離為，列出方程組求出，，從而得到，再由，即可求解.【詳解】如圖所示，由題意可得，弧田面積（弦矢+矢矢）（矢+矢矢），解得矢，或矢（舍去），設半徑為，圓心到弧田的距離為，則，解得，，所以，所以.故選：D10．（2021·廣西河池·高二月考（理））已知圓被直線截得的弦長為，則（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】配方得圓心坐標和半徑，求出圓心到直線的距離，由勾股定理表示出弦長，從而可得參數(shù)值．【詳解】配方得，所以圓心為，半徑為2，因為圓被直線截得的弦長為，所以圓心到直線的距離為1，∴，解得．故選：B．11．（2021·全國·高二課時練習）已知圓的圓心與點關于直線對稱，直線與圓相交于、兩點，且，則圓的方程為（）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對稱性得到圓心的坐標，利用點到直線的距離公式求得圓心到直線，利用弦長公式求得半徑，進而得到圓的方程.【詳解】點關于直線對稱的點，圓心到直線的距離為，所以，所以圓的方程為，故：C．12．（2021·全國·高二單元測試）設直線：與圓：相交于、兩點，若，則圓的面積為（）.A． B．C． D．【答案】C【分析】將圓的一般方程化為標準方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，由勾股定理求出，根據(jù)圓的面積公式即可求解.【詳解】由題意：，圓的標準方程為，∴圓心到直線的距離，∴，故，∴，故選：C．13．（2021·江西·南昌市第八中學高二月考（文））直線：被圓：所截得的弦中，最短弦所在的直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出直線經過的定點，進而可知點在圓內，從而可知最短弦所在直線必與直線垂直，由此即可求解【詳解】因為直線：經過定點，圓心為，，故點在圓內，故最短弦所在直線必與直線垂直，又，因此最短弦所在直線斜率為，方程為，即，故選：B．二、多選題14．（2021·重慶八中高三月考）設動直線交圓于A，B兩點（點C為圓心），則下列說法正確的有（）A．直線l過定點 B．當取得最大值時，C．當最小時，其余弦值為 D．的最大值為6【答案】ACD【分析】對于A：整理得，由此可求得直線所過的定點；對于B：由直線l過定點，且定點在圓C的內部，當直線l過圓心時，取得最大值，由此求得m的值；對于C：設直線l過的定點，當時，最小，由余弦定理計算可判斷；對于D：當共線，且方向相同時，取得最大值，由此可判斷.【詳解】解：對于A：由整理得，當，即時，不論為何值時，都成立，所以直線l過定點，故A正確；對于B：因為直線l過定點，將定點代入圓，所以定點在圓C的內部，當直線l過圓心時，取得最大值，此時，解得，故B不正確；對于C：設直線l過的定點，當時，最小，而，所以，所以在中，，故C正確；對于D：，而表示在方向上的投影，所以當共線，且方向相同時，取得最大值，此時，所以的最大值為6，故D正確，故選：ACD.15．（2021·安徽·合肥一中高二期中）在平面直角坐標系中，如果點P的坐標滿足，其中為參數(shù)．已知直線與點P的軌跡交于A，B兩點，直線與點P的軌跡交于C，D兩點，則四邊形的面積的值可以是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先求出點P的軌跡，分析得到直線過定點，定點在直線上，求出四邊形的面積為，再求出最大值即得解.【詳解】由題得，平方相加得點P的軌跡方程為，點P的軌跡是以點為圓心半徑為3的圓.,所以直線過定點，由于所以定點在直線上，由題得四邊形的面積為，當最大時，面積最大，此時,所以，所以直線的方程為，經過圓心，所以此時,由題得圓心到直線的距離為.所以面積的最大值為，所以面積的取值范圍為.故選：BC16．（2021·湖南郴州·高三月考）已知直線：和圓：，下列說法正確的是（）A．直線恒過定點B．圓被軸截得的弦長為C．直線被圓截得的弦長存在最大值，且最大值為4D．直線被圓截得的弦長存在最小值，且最小值為4【答案】AD【分析】利用直線系方程求得直線所過定點的坐標判斷A；求出圓C被x軸截得的弦長判斷B；當直線過圓心時可判斷C，當直線時算出弦長可判斷D.【詳解】由，得，聯(lián)立，得，無論m為何值，直線恒過定點，故A正確；在中，令，得，所以圓被軸截得的弦長為，故B錯誤；當直線l過圓心C時，直線被圓截得的弦長最大，最大值為6，此時直線方程為，故C錯誤；設，易知P在圓內，當直線時，直線l被圓截得的弦長最小，且最小值為，故D正確.故選：AD17．（2021·全國·高二單元測試）已知圓，為圓心）直線，點在直線上運動，直線PA，PB分別于圓切于點，．則下列說法正確的是（）A．四邊形的面積最小值為B．最短時，弦長為C．最短時，弦直線方程為D．直線過定點為，【答案】ABD【分析】A選項，四邊形的面積可以看成兩個直角三角形的面積之和，又因切線長定理可知，當最短時，面積最小；B選項，等面積法，即由A選項的四邊形面積求弦長；C選項，兩垂直直線的斜率相乘等于，兩平行直線斜率相等；D選項，由向量積公式求定點坐標.【詳解】選項，四邊形的面積可以看成兩個直角三角形的面積之和，即，又因切線長定理可知，即，當最短時，四邊形面積最?。峙c及半徑構成直角三角形，最短時，最短，即，，，故正確．由上述可知，時，最短，由等面積法可知，．得，故正確．，，，，可設的直線方程為，由半弦長、半徑、弦心距構成直角三角形可知，弦心距，圓心到直線的距離，解得，即直線的方程為．故錯誤．設圓上一點為，，，，，，，，，，，易知，同理，．，原式，將，代入得等號成立，故直線過定點為，，正確．故選:ABD．18．（2021·福建·高三月考）已知點，直線：，圓：，過點分別作圓的兩條切線，（，為切點），在的外接圓上．則（）A．直線的方程是 B．被圓截得的最短弦的長為C．四邊形的面積為 D．的取值范圍為【答案】BD【分析】求出以為直徑的圓的方程，與圓的方程聯(lián)立可得直線的方程判斷A；求出直線所過定點，得到圓心到直線的最小距離，再由垂徑定理求被圓截得的最短弦的長判斷B；直接求出四邊形的面積判斷C；求解，再分別減去的外接圓半徑與加上的外接圓半徑求得的取值范圍判斷D．【詳解】對于A，圓的圓心坐標為，，則的中點為，，則以為直徑的圓的方程為，又圓：，兩式作差可得直線的方程是，故A錯誤；對于B，直線：可化為，聯(lián)立，解得直線過定點，且定點在圓內，當且僅當時，弦長最短，又，所以的最小值為，故B正確；對于C，四邊形的對角線、互相垂直，則四邊形的面積，因為，，所以，故C錯誤；對于D，由題意知，的外接圓恰好是經過、、、四點的圓，因為的中點為外接圓的圓心，所以圓上的點到點距離最小值是，最大值是，所以的取值范圍為，故D正確．故選：BD．19．（2021·江蘇·高二專題練習）在平面直角坐標系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個動點，滿足，則PAB面積的值可以是（）A． B． C．10 D．8【答案】ACD【分析】根據(jù)，得到，設圓心到直線距離為，由求解.【詳解】，設圓心到直線距離為，則，所以，令，，令，解得（負值舍去），當時，；當時，，所以當時，取最大值，即取最大值為，故選：ACD.三、填空題20．（2021·河北秦皇島·二模）已知直線與圓相交于A，B兩點，則面積為___________.【答案】2【分析】求得圓心到直線的距離，求得弦長，由此求得三角形的面積.【詳解】圓心為，半徑，因為圓心C到直線的距離為，所以，所以面積為.故答案為：21．（2021·全國·高三專題練習（理））在平面直角坐標系中，直線與圓交于兩點.當?shù)拿娣e最大時，實數(shù)的值為__________．【答案】或【分析】求出圓心與半徑，再利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，進而求出弦長，從而可得，配方當，取得最值，即求.【詳解】由，則圓心，，點到直線的距離，由弦長公式，，設，則，當時，，此時，即，，解得或.故答案為：或22．（2021·廣東·清遠市第一中學高三開學考試）已知直線與圓相交于A?B兩點，O為坐標原點，且的面積為，則實數(shù)m=______.【答案】【分析】根據(jù)三角形的面積求得，根據(jù)圓心到直線的距離列方程，解方程求得的值.【詳解】，，，，∴圓心O到直線的距離，即，.故答案為：23．（2021·江蘇·星海實驗中學高二月考）已知點及圓，若直線過點P，且被圓C截得的弦的長為，則直線的方程為________．【答案】或.【分析】求得圓心坐標和半徑，利用圓的弦長公式，求得圓心到直線的距離為，結合斜率不存在和斜率存在，兩種情況討論，即可求解.【詳解】由題意，圓，可得，可得圓心，半徑，設圓心到直線的距離為，因為直線被圓的弦長為，可得，解得又由直線過點，當直線的斜率不存在時，此時直線方程為，此時圓心到直線的距離為，滿足題意；當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，可得直線方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，即，綜上可得，所求直線方程為或.24．（2021·云南·峨山彝族自治縣第一中學高三月考（文））已知直線，則圓截直線所得的弦長的取值范圍是__________________.【答案】【分析】求出直線l恒過的定點P，圓的圓心C和半徑r，再判定點P與圓C的位置關系，根據(jù)圓的性質即可得弦長范圍.【詳解】依題意，直線恒過定點，圓的圓心，半徑，因，則點P在圓C內，由圓的性質知，過點P的最長弦是圓C的直徑，即過點P的弦長最大值為6，過點P的最短弦是圓C內過點P垂直于過點P的直徑的弦，該弦長為，即過點P的弦長最小值為，所以所求弦長的取值范圍是.故答案為：25．（2021·全國·高三專題練習）如圖，橢圓，圓，橢圓的左右焦點分別為，過橢圓上一點和原點作直線交圓于兩點，若，則的值為___________．【答案】【分析】先利用圓的弦長問題將轉化為求，再利用平面向量的模長、橢圓的定義、焦點三角形的余弦定理進行求解.【詳解】設圓的半徑為，由已知，得：，則，所以.故答案為：6.四、解答題26．（2021·遼寧·沈陽市第二十八中學高二月考）在平行四邊形ABCD中，，，.（1）若圓過，，三點，求圓的方程；（2）過點作圓的切線，切點為，，求.【答案】（1）（2）【分析】（1）設出圓的一般方程，待定系數(shù)法求解即可.（2）首先求出點的坐標，進而求出以為圓心為半徑的圓的方程，從而得到直線的方程，再結合勾股定理即可求出結果.（1）設圓的方程為,將，，代入方程，可得，解得，所以圓的方程為,（2）設，因為平行四邊形ABCD，所以,，顯然直線,的斜率均存在，所以，解得，故，由（1）知圓的方程為的圓心，半徑為則,因此，所以，因此以為圓心為半徑的圓的方程為，則直線的方程為，則圓心到直線的距離為，故.27．（2021·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學高二月考（理））已知圓：及其上一點.（1）設圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標準方程；（2）設平行于的直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程；（3）設點滿足：存在圓上的兩點，，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或（3）【分析】（1）利用圓與直線相切，圓與圓外切的性質求出圓的圓心，進而得到圓的標準方程；（2）由直線平行得出斜率相等，再利用點到直線的距離公式以及垂徑定理即可求解；（3）先將，的坐標關系表示出來，再將坐標代入圓中進行坐標轉化，得到兩個圓有公共點，進而求出實數(shù)的取值范圍.（1）解：將圓化為標準方程得：圓心，半徑為由圓心在直線上，可設圓與軸相切，與圓外切于是圓的半徑為，從而，解得圓的標準方程為：（2）解：直線平行于直線的斜率為設直線的方程為即則圓心到直線的距離且解得或故直線的方程為：或（3）解：設，，，，①在圓上②將①代入②得于是點既在圓上，又在圓上圓與圓有公共點解得：實數(shù)的取值范圍為：.【點睛】方法點睛：直線與圓的位置關系有：相離，相切，相交；圓與圓的位置關系有：外離，外切，內切，相交，內含；要求熟練掌握各種位置關系時，圓心和直線間的距離與半徑的關系以及圓心與圓心的距離與半徑和與差的關系.28．（2021·河北·匯文二中高二月考）已知圓，圓.（1）試判斷兩圓的位置關系；（2）直線過點與圓相交于兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）相交；（2）或.【分析】（1）由圓的方程可確定兩圓圓心和半徑，根據(jù)圓心距與關系可得兩圓位置關系；（2）易知直線斜率存在，假設直線方程，利用垂徑定理可構造方程求得，由此可得直線方程.（1）由圓的方程知：圓圓心為，半徑；圓圓心為，半徑；，，圓和圓相交.（2）當直線斜率不存在，即時，直線與圓相離，不合題意；當直線斜率存在時，設，即，圓心到距離，，解得：或，或，即直線方程為或.29．（2021·全國·高三專題練習）在平面直角坐標中曲線與坐標軸的交點都在圓上，若直線被圓截得的弦長最短，求的值.【答案】2【分析】先求出曲線與坐標軸的交點，根據(jù)題意求出圓心坐標和半徑，即可寫出圓的方程，由直線系求出直線所過定點M，利用圓的平面幾何性質，可知當時所得弦長最短.【詳解】曲線與軸的交點為，令，解得，即曲線與軸的交點為，故可設圓的圓心為，則有解得，則圓C的圓心為，半徑為，所以圓的方程為.由可得，所以直線恒過定點，設圓心到直線的距離為，則弦長為，所以弦長最短時，最大，即時，故，解得.故直線被圓截得的弦長最短時.30．（2021·全國·高三專題練習）在平面直角坐標中曲線與坐標軸的交點都在圓上，若直線被圓截得的弦恰以為中點，求的值.【答案】【分析】先求出曲線與坐標軸的交點，根據(jù)題意求出圓心坐標和半徑，即可寫出圓的方程，設點，由垂徑定理可知與直線垂直，結合斜率關系可求得的值.【詳解】曲線與軸的交點為，令，解得，，即曲線與軸的交點為、，故可設圓的圓