2024-2025學年江蘇省南京市高二年級上冊10月六校聯(lián)考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年江蘇省南京市高二上學期10月六校聯(lián)考數(shù)學

檢測試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項

符合題目要求.

1.已知復數(shù)2滿足0+2I）Z=3—41,則目=（）

A.6B.也C.3D.5

2.設。為實數(shù)，已知直線4："+3y-2=0,：6x+（"3）歹+4=0,若k〃％,則a=（

）

A.6B.一3C.6或一3D,16或3

3.已知焦點在*軸上的橢圓加3的焦距為6,則實數(shù)加等于（）

321

C.12D.12-66

A.4B.4

COS。=6(\

sin]cr-—

tan|(7+—|=

已知I4>,則l4

4.()

A.-V3B.-3C.6D,3

設直線即+=0與圓0：/+（丁—2）2=16相交于45兩點，且VN8C的面積為

5.2

8,則。=（）

C.1D.母

A.-V2B.-1

已知"為直線：夕+上的動點，點P滿足MP=G，-4）,則點p的軌跡方程

6./2%+31=0

為()

Ip9+3+4)29=高49

歹+

A.3%-29=0B.13

,,49

2x+3y+9=0D(%+2)+3.4)=~

7.如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內裝有純凈水，/8=8,44=2,圖1中水面高度

]_2

恰好為棱臺高度的5,圖2中水面高度為棱臺高度的§,若圖1和圖2中純凈水的體積分別

匕,

26287387

A.3B,5C,208D.208

22

二+P（xv）

8.關于橢圓有如下結論：“過橢圓。b上一點乍該橢圓的切線，

22

警+理=1C：A+==l（a〉b〉0）

切線方程為少左.，，設橢圓a'b-的左焦點為右頂點為A,

過/且垂直于x軸的直線與C的一個交點為過M作橢圓的切線/,若切線/的斜率

勺與直線4W的斜率左2滿足尢+2&=°,則橢圓c的離心率為（）

12V|

A.3B.3c.3D.2

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.國慶期間，某校開展“弘揚中華傳統(tǒng)文化，傳承中華文明”主題活動知識競賽.賽前為了解學

生的備賽情況，組織對高一年級和高二年級學生的抽樣測試，測試成績數(shù)據(jù)處理后，得到如

下頻率分布直方圖，則下面說法正確的是（）

A.a=0.025

B.高一年級抽測成績的眾數(shù)為75

C.高二年級抽測成績的70百分位數(shù)為87

D.估計高一年級學生成績的平均分低于高二年級學生成績的平均分

10.已知加，〃是兩條不同的直線，°,〃是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）

A.若a"B,mlla,〃_L￡,則加B.若mua,則

mHn

Q若加_La,〃///?,mHny則D.若儀，￡,mua,〃u/7,貝1

m-Ln

11.已知圓C：（X—2）2+/=4,以下四個命題表述正確的是（）

A,若圓》2+產(chǎn)—10》-8歹+〃2=°與圓。恰有3條公切線，則加=16

B.圓/r'ZynO與圓。的公共弦所在直線為2x+>=°

C,直線°機+1）“+G機+2）>—5機—3=°與圓°恒有兩個公共點

D.點尸為V軸上一個動點，過點尸作圓C的兩條切線，切點分別為48,且48的中點為

M,若定點"（5,3）,則"N的最大值為6

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.

12.從分別寫有12，3,4,5的五張卡片中任取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之和是3的倍

數(shù)的概率為

13.己知P為橢圓°，9+4—1上的點，“（1，°）,則線段取長度的最小值為.

14.已知"（°'2），8（1，°），°6°）,點。是直線2。上的動點，若ZQWGBD恒成立，則

正整數(shù)/的最小值是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記V4BC的內角4瓦。的對邊分別為a，“。,旦加in2/=asinfi

（1）求角A；

3月

（2）若a=的面積為2,求V48C的周長.

16.如圖，圓柱。0中，是一條母線，48是底面一條直徑，C是荔的中點.

（1）證明：平面PNC，平面P5C；

（2）若尸幺=248=4,求二面角/一尸8_。的余弦值.

17.某校為了厚植文化自信、增強學生的愛國情懷，特舉辦“中國詩詞精髓”知識競賽活動，比

賽中只有48兩道題目，比賽按先A題后8題的答題順序各答1次，答對A題得2分，答

對3題得3分，答錯得0分.已知學生甲答對A題的概率為），答對8題的概率為4,其中

32

0<p<l,0<q<l學生乙答對A題的概率為答對2題的概率為3,且甲乙各自在答

1j_

48兩題的結果互不影響.已知甲比賽后得5分的概率為§,得3分的概率為％.

（1）求夕國的值；

（2）求比賽后，甲乙總得分不低于8分的概率.

18.已知圓河過點'（3'3）,圓心M在直線2》+了—5=°上，且直線x―2了+5=°與圓

河相切.

(1)求圓〃的方程;

(2)過點,(°'一2)的直線/交圓M于48兩點若A為線段Q8的中點，求直線/的方程.

v221

C:——H—v—=l(ci>b>0)一,404

19.已知橢圓a卜的離心率為2分別為橢圓C的左、右頂點，

氣巴分別為橢圓C的左、右焦點，恒陽=6.

(1)求橢圓°的方程；

(2)設與工軸不垂直的直線/交橢圓°于凡°兩點(用。在工軸的兩側)，記直線

4P，4P,4。，4。的斜率分別為勺，及2,左3，k4

(i)求自%2的值;

左+左4=[(左2+左3)

(ii)若3問直線是否過定點，若過定點，求出定點；若不過定點,

說明理由.

2024-2025學年江蘇省南京市高二上學期10月六校聯(lián)考數(shù)學

檢測試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項

符合題目要求.

1.已知復數(shù)z滿足0+2I)Z=3—41,則目=()

A.石B.石C.3D,5

【正確答案】B

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘、除法運算可得z=-l-2i,結合復數(shù)的幾何意義計算即可求解.

3-4i(3-4i)(l-2i)3-6i-4i-8,?

z=------=------------------=----------------=-1-21

【詳解】由題意知，"2i(l+2i)(l-2i)5,

所以目“尸+(-2)=0

故選：B

2.設。為實數(shù)，已知直線/i+3y-2=0」2&+("3)y+4=0,若/J",則a=(

)

A.6B.一3C.6或—3D.一6或3

【正確答案】A

【分析】由兩條直線的一般式方程平行的條件求解即可.

【詳解】因為所以"("3)=18,解得："6或a=-3.

當〃=6時，4：6x+3y—2=0,4：6x+3y+4=°平行

當a=-3時，小―3x+3y-2=04：6x-6歹+4=0,可判斷此時重合，舍去.

故選：A

3.已知焦點在工軸上的橢圓機3的焦距為6,則實數(shù)機等于(

221

12-673

A.4B.4C.12D

【正確答案】C

【分析】根據(jù)橢圓的標準方程建立方程，解之即可求解.

［詳解］由題意知，m>3,a=Gi,b3c=3,

又。2=〃+02,所以加=3+9=12,

即實數(shù)機的值為12.

故選：C

C0S6Z_6

.，兀）（兀）

sina——tan。+—=

4.已知I4J，貝UI4J（）

AB.-3C.百D.3

【正確答案】B

【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式和同角的商關系可得tana=2,結合兩角和的正切公式計

算即可求解.

cosa_后

sin(a--)cosa=也sin(a)=V2(^-sina-cosa)=sina-cosa

【詳解】由4,得422,

/兀、tana+13.

tan(6Z+—)=----------=——=-3

即tan。=2,所以4l-tana-1

故選：B

5.設直線即+2=0與圓。：/+3—2)2=16相交于48兩點，且V48C的面積為

8,貝()

A.一拒B.-1C.1D.亞

【正確答案】C

【分析】利用三角形的面積公式可得2,由圓心C（0,2）到直線x+*+2=°的距

離］，再利用點線距公式建立方程，解之即可.

1,

S=-x42sinZACB=8

【詳解】由三角形的面積公式可得2,

TI

,ZACB=-

得sniNZCB=l,由0〈44cB＜兀，得2,

所以V48C為等腰直角三角形，

所以圓心C（°，2）到直線x+即+2=0的距離為d—4smw—2行，

|2Q+2|7—

d=/=25/2

由點到直線的距離公式得&+/,解得。=1.

故選：C

6.已知M為直線/：2x+3y+l=°上的動點，點尸滿足必則點尸的軌跡方程

為（）

49

9+（J+4）0=

a3x-2j+9=0B.（”一2）l3

、49

（X+2）9

c2x+3j+9=0D+U—4）=—

【正確答案】C

【分析】由點「坐標，得到四坐標，代入直線方程即可.

【詳解】設點尸（”/）,因為⑼^⑵一外，所以"（X—2/+4）,

代入直線方程可得：2（%-2）+3&+4）+1=0,

化簡可得.2x+3y+9=0

所以P的軌跡方程為2x+3j+9=0.

故選：c

7.如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內裝有純凈水，4s=8,4瓦=2,圖1中水面高度

j_2

恰好為棱臺高度的5,圖2中水面高度為棱臺高度的§,若圖1和圖2中純凈水的體積分別

6287387

A.3B.5C.208D.208

【正確答案】D

【分析】根據(jù)棱臺的體積公式，求出憶匕，即可解出.

【詳解】設四棱臺的高度為人，在圖1中，中間液面四邊形的邊長為5,在圖2中，中間液

面四邊形的邊長為6,

川Vx=g（64+25+j64x25）g=^^,%=；（4+36+14x36）,=^^

匕_387

所以心福

故選：D.

22

=+3=1（。）"。）P（xV）

8.關于橢圓有如下結論：“過橢圓。b上一點廠乍該橢圓的切線,

22

號+岑=1U*+==l（a〉b〉0）

切線方程為如b.，，設橢圓a-b-的左焦點為右頂點為A,

過尸且垂直于x軸的直線與C的一個交點為過.作橢圓的切線/,若切線/的斜率

《與直線幺〃的斜率占滿足尢+2左2=°,則橢圓c的離心率為（）

12V2

A3B.3C.3D.至

【正確答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，求出點的坐標，再求出切線/與直線的斜率，列式求解

即可.

土/…）

【詳解】依題意，“（a，O），E（—c，O）,由工=^代入橢圓方程得'

a,不妨設a

b2

—y

7-CXJ1

I:----1--a......二1

則切線,/〃，即卜=0+4,切線/的斜率K=e,

b2

ja/_022

直線ZM的斜率2-c—aa（a+c）,則e+2（e—1）=0,所以,下,

故選：C

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.國慶期間，某校開展“弘揚中華傳統(tǒng)文化，傳承中華文明”主題活動知識競賽.賽前為了解學

生的備賽情況，組織對高一年級和高二年級學生的抽樣測試，測試成績數(shù)據(jù)處理后，得到如

下頻率分布直方圖，則下面說法正確的是（）

A.〃=0.025

B.高一年級抽測成績的眾數(shù)為75

C.高二年級抽測成績的70百分位數(shù)為87

D.估計高一年級學生成績的平均分低于高二年級學生成績的平均分

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)頻率分步直方圖、樣本的數(shù)字特征等基礎知識判斷即可.

【詳解】對于A：由?0025x2+0.010+0.02+a+0.04)xl0=l,解得°=0.025,正確;

對于B：由頻率分布直方圖可知高一年級抽測成績的眾數(shù)為75,正確；

對于C：因為"0.025,由(0.0025x2+0.010+0.025)x10=0.4,

3

(0.0025x2+0.010+0.025+0.04)x10=0.8八小陽曰80+10x7=87.5

17,所以70百分位數(shù)是4,故

錯誤；

對于D：高一年學生成績的平均數(shù)約為

45x0.04+55x0.11+65x0.18+75x0.35+85x0.22+95x0.1=74分；

高二年學生成績的平均數(shù)約為

45x0.025+55x0.025+65x0.1+75x0.25+85x0.4+95x0.2=80.75分，

因為74<80.75,故正確；

故選：ABD

10.已知機，〃是兩條不同的直線，a,6是兩個不同的平面，則下列說法正確的是(

)

A.若尸，機//a,則加B.若。〃"，"?ua,〃u力，則

mHn

C.若切_La,〃//尸，mlln,則D.若mua,〃<=，，貝°

mLn

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間線線、線面、面面垂直或平行關系逐項判斷即可.

【詳解】對于A,由機"a,得存在過直線機的平面與平a交，令交線為c,則加

而〃，a"B,則〃La,因此加上〃，A正確；

對于B,由a“尸，mua,〃u力，得機,〃是平行直線或異面直線，B錯誤；

對于C,由“///,得存在過直線〃的平面與平廠交，令交線為/,則〃/〃，

由機〃〃，得加/〃，又加貝因此c正確；

對于D,a，B,〃?ua,〃<=力，當機，〃都平行于名月的交線時，mlln,D錯誤.

故選：AC

11.已知圓C：（x-2）2+/=4,以下四個命題表述正確的是（）

A,若圓x2+FT°x_8y+加=0與圓C恰有3條公切線，則加=16

B.圓與圓。的公共弦所在直線為2x+y=°

C,直線°機*1）“+G機+2）>—5機—3=°與圓c恒有兩個公共點

D.點?為V軸上一個動點，過點P作圓C的兩條切線，切點分別為48,且48的中點為

M,若定點N（5,3）,則MN的最大值為6

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)圓與圓的位置關系即可判斷A；由兩圓方程相減即為兩圓公共弦所在直線方程,

即可判斷B；求出直線所過定點坐標，得到定點在圓內，故直線與圓〃恒有兩個公共點，即

可判斷C；易知直線恒過定點（°，°）,由加上加得出點M的軌跡，結合點與圓的位

置關系計算即可判斷D.

【詳解】A：由題意得：1+「—1°”—8歹+加=°的圓心為（5,4）,半徑為

—V64+100-4m=J41一加

2,

該圓與圓C：（X-2）2+/=4有3條公切線，則兩圓外切，

所以J（5—2）+（4—0）=卜41—優(yōu)+21解得機=32,故A錯誤；

B：兩圓的圓心分別為?T），（2，°）,半徑分別為1和2,

則2T=1〈河后不前7<3=1+2,所以兩圓相交,

/+y2+2v=0與(x-2)2+/=4相減得:2x+y=0

故圓/￥2+2〉=°與圓c的公共弦所在直線為2x+V=°,故B正確;

2x+3y-5=0fx=1

令［x+2y—3=0,解得L=l,

即直線（2根+Dx+（3機+2）y—5切-3=0恒過點（L1）,

由于（1—2）+-<4,點（1,1）在圓屈內，

所以（2機+l）x+（3機+2）y—5機—3=0與圓屈恒有兩個公共點,故c正確；

D：如圖，圓C（2，°）,半徑為2,則圓C與y軸相切，切點為原點°,即為A,

易知直線A8恒過點“（0，°）,又〃為AB的中點，則00，加，

所以點M的軌跡是以NC為直徑的圓，圓心為"°）,半徑為1,

又陽5,3）,所以的最大值為"（5-1）?+（3-Op+1=6,故口正確.

故選：BCD

關鍵點點睛：本題D選項的關鍵點在于直線恒過定點（°，°）,由功工用得出點M的

軌跡為圓.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.

12.從分別寫有12，3,45的五張卡片中任取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之和是3的倍

數(shù)的概率為.

2

【正確答案】5##0.4

【分析】由古典概型概率計算公式直接求解.

【詳解】從五張卡片中任取兩張共有c;=l°,

兩張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)有，（1'2）（L5）（2,4）,（4,5）共4種,

P--4--2

所以概率105.

2

故《

u土2+匕2_]

13.已知P為橢圓，94上的點，/&°）,則線段取長度的最小值為.

【正確答案】5##5

【分析】記線段4的長度為"，表達”的函數(shù)，利用尸（X。，為）；-3-X0-3,結合二次函

數(shù)的性質即可求"的最小值.

【詳解】設/仕°）,記線段口的長度為"，尸是橢圓E上任意一點，

設尸（%,%）,-3三工0-3

x

d=J（x（）T）2+%2=j（x（）-1）2+4,_/=J-|o-2x0+5

所以：Yl力V9

=9逑

由于—故'=時，d有最小值，且d的最小值5,

4亞

故5

14.己知/（°'2），8（1，0），°（/，0）,點。是直線/。上的動點，若AD4班BD恒成立,則

正整數(shù)力的最小值是.

【正確答案】4

Z）|x,—x+2j廠

【分析】求出直線NC的方程，設I'人由/DWJ33D,列不等式，利用判別式

法求出/的范圍，即可求解.

2°

y——x+2

【詳解】由題意知直線NC的方程為'/

因為點。是直線NC上的動點，所以可設I/<

2

廠A/^￥^-J（x-l）+4p-lT

因為ADW6BD,所以'tVVJ；

（2+馬——,+當x+1520

化簡得：I廠）I㈠對任意x恒成立，

A=f6+—1-4xl5xf2+^<0A=4+--7^°

所以I=''）,化簡得rt,

t〉[2+10&{<12-]0/

解得一7或一7,結合r為正整數(shù)得：/的最小值為4.

故4

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記V4BC的內角C的對邊分別為凡“c,且加in2/=asinS

（1）求角A；

3G

（2）若°=J7,A4BC的面積為2,求V4BC的周長.

471

A——

【正確答案】（1）3

⑵5+夕

【分析】（1）根據(jù)二倍角公式，結合正弦定理邊角互化，即可求解，

（2）根據(jù)面積公式可得稅的值，結合余弦定理即可求解.

【小問1詳解】

因為加in24=asinB,所以2加irk4cos4=asinB

根據(jù)正弦定理，得2sia8siiL4cosZ=sirUsinS,

cosA=一

因為sinBw0,sirb4w0，所以2.

又4?0㈤,所以

【小問2詳解】

s--bcsmA=—bc---=----be=6

在V48C中，由已知‘2222

，J,a=5

因為3

,=(b+c)2—26c-26c.臼

由余弦定理可得/=62+c2_26ccosN,即7U7,

即7=3+。）~—36。，又6>0,c>0所以b+c=5

所以V/5C的周長周長為5+J7.

16.如圖，圓柱。9中，P4是一條母線，48是底面一條直徑，C是筋的中點.

（1）證明：平面尸平面P5C；

⑵若P4=24B=4,求二面角/一尸8-。的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

2

(2)3.

【分析】(1)由線面垂直的性質可得P/,BC，又結合線面垂直和面面垂直的

判定定理即可證明；

(2)如圖，確定NCE°是二面角“一尸8一C的平面角，利用定義法求解即可.

【小問1詳解】

因為PZ是一條母線，所以平面48C,

而BCu平面ABC,則PA±BC,

因為幺8是底面一條直徑，c是次的中點，所以NNC8=90。，即NC,8C,

又PA,ACu平面尸/C且0=4,

所以8C，平面P4C,而8Cu平面%C,

則平面尸/C,平面P5C.

【小問2詳解】

設PZ=228=4,則08=26，

因為C是令的中點，。為底面圓心，所以平面

作OELPB,交融于點￡連接CE,

由。E，PB,CE1PB可知，ACEO是二面角A-PB-C的平面角.

0E=彳=2#

則P5,OE=尸力.30,即2V55,

CE=y]0C2+0E2=—

在直角AC°￡中，5.

2后

cos，CEO=_5廠=-

3A/53

所以5

2

故二面角A-PB-C的余弦值為3.

c

17.某校為了厚植文化自信、增強學生的愛國情懷，特舉辦“中國詩詞精髓”知識競賽活動，比

賽中只有48兩道題目，比賽按先A題后8題的答題順序各答1次，答對A題得2分，答

對8題得3分，答錯得0分.已知學生甲答對A題的概率為），答對2題的概率為4,其中

32

學生乙答對A題的概率為答對8題的概率為3,且甲乙各自在答

1]_

48兩題的結果互不影響.已知甲比賽后得5分的概率為§,得3分的概率為％.

（1）求夕國的值；

（2）求比賽后，甲乙總得分不低于8分的概率.

21

p=一,q=一

【正確答案】（1）32

11

(2)36.

【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.

（2）記甲得分為z?分的事件為G（Z=。'2,3,5）,乙得分為7?分的事件為2（z=。，2,3,5）,

從而得到不低于8分的事件為E=C3D5+C5D3+C5D5,再結合概率加法、乘法公式即可求

解.

【小問1詳解】

1

Pq=3

(、1

由題意得

21

解得p=G3，q=72.

【小問2詳解】

比賽結束后，甲、乙個人得分可能為°，2,3,5.

記甲得分為i分的事件為G（，=°，2,3,5）,乙得分為i分的事件為。。=0,2,3,5）,

相互獨立，

記兩輪投籃后甲總得分不低于8分為事件E,

則￡=G05+C5O3+C5Q5,且GABsAiGA彼此互斥.

易得6.

尸山）=局冬然G）《9）=洛"

所以尸（E）=尸（GA+C5D3+（GA）+尸）

C5D5）=P（C5D3）+P（GA

=1X1+Ixi+Ixi=n

62363236

11

所以兩輪投籃后，甲總得分不低于8分的概率為36.

18.己知圓〃過點'（'3）,圓心/在直線2x+y-5=°上，且直線x—2y+5=°與圓

M相切.

（1）求圓河的方程；

（2）過點2）的直線/交圓M于48兩點若A為線段Q8的中點，求直線/的方程.

【正確答案】（1）（%—2）2+3-1）2=5

（2）x=0或5xT2y-24=0

【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；

⑵設“（XJ）,從而得到8（2x，2y+2）,由48在圓上，代入方程求解即可解決問題.

【小問1詳解】

設圓〃的方程為&-a?+"-A》=’,

因為圓M過點'(36),所以(3-4+(3-6)2=/①，

又因為圓心/在直線2x+.v-5=°上，所以2a+6-5=0②，

\a-2b+5\

r=-------j=——1

直線x—2y+5=0與圓M相切，得到V5③，

由①②③解得：a=2,6=1/=后因此圓”的方程為(x—2)2+(y_l)2=5.

【小問2詳解】

設“(”/),因為N為線段8。的中點,所以5(2羽2y+2),

24

X=——

13

<(X-2)2+(J-1)2=5卜=o

16

因為48在圓M上，所以1(2x—2)+(2了+1)=5,解得］>=°或y------

13

當“(°，°)時，由°(°「2)可知直線i的方程為x=0.

-2+15

k=^2T=n

當〔13'司時，由