2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題（學(xué)生版+解析）

專題04圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題

（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍..............................................1

三、定直線問題............................................2

二、典型題型..............................................2

題型一：定點(diǎn)問題......................................2

題型二：定值問題......................................5

題型三：定直線問題.....................................8

三、專項(xiàng)訓(xùn)練.............................................46

一、必備秘籍

一、定點(diǎn)問題

1.求解（或證明）直線和曲線過定點(diǎn)的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量x,y視作常

數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個方程就是對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的

系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于％,丁的方程組，這個方程組的解所確定的點(diǎn)就

是直線或曲線所過的定點(diǎn).

2.常用方法：一是引進(jìn)參數(shù)法，引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變

化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)；二是特殊到一般法，根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探

索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).

二、定值問題

1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜

率等）的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始

終是一個確定的值.常見定值問題的處理方法：

（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示

（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示（有的甚至就是核心變量），然后進(jìn)行化簡，看能

否得到一個常數(shù).

2.定值問題的處理技巧：

(1)對于較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直線等)求出定值，進(jìn)

而給后面一般情況的處理提供一個方向.

(2)在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏

(3)巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運(yùn)

算

三、定直線問題

定直線問題是證明動點(diǎn)在定直線上，其實(shí)質(zhì)是求動點(diǎn)的軌跡方程，所以所用的方法即為求

軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等.

二、典型題型

題型一：定點(diǎn)問題

22

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))如圖，四邊形ABC。是橢圓上+匕=1的內(nèi)接四邊形，直

32

線AB經(jīng)過左焦點(diǎn)K，直線AC,BD交于右焦點(diǎn)F2,直線AB與直線CD的斜率分別為左,網(wǎng).

(2)求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

22

2.(2024高三?全國?專題練習(xí)圮知橢圓C：1r+/=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,工,

|百耳|=4,過F?的直線/與橢圓C交于P,。兩點(diǎn)，△尸。耳的周長為8萬.

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖，點(diǎn)A,片分別是橢圓C的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，直線機(jī)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,

N(M,N都在x軸上方).且NAf；M=NO耳N.證明直線機(jī)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

3.(2024,黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測)已知雙曲線C：m-1=l(a>0,8>0)的焦距為2君，點(diǎn)

ab

￡)(4,右)在C上.

(1)求C的方程；

(2)直線/：%=畋+1與C的右支交于兩點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，。點(diǎn)在x軸上的投

影為G.

①求H的取值范圍；

②求證：直線3E過點(diǎn)G.

4.（2024?青海海南?二模）已知雙曲線C：E-4=l（a>0,b>0）的虛軸長為20,點(diǎn)尸（3，-2）在

ab

C上.設(shè)直線/與C交于A,B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)尸），直線AP與8尸的斜率之積為g.

⑴求C的方程；

（2）證明：直線/的斜率存在，且直線/過定點(diǎn).

5.（23-24高二下?河南焦作?期末）已知拋物線。：曠=2/（2>0）的焦點(diǎn)為廠，。為原點(diǎn),

第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在C上，忸。=|/羽，且APOR的面積為2忘.

⑴求C的方程；

⑵若以，N是。上與尸不重合的兩動點(diǎn)，且求證：直線MN過定點(diǎn).

6.(23-24高二下?安徽亳州?期末)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A是拋物線C:尤2=2刀(0>0)上與

點(diǎn)。不重合的任意一點(diǎn).

(1)設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為尸，若以P為圓心，E4為半徑的圓廠交C的準(zhǔn)線/于M、N兩點(diǎn),

且NMFN=9(r,AAMN的面積為4夜，求圓產(chǎn)的方程；

(2)若8是拋物線C上的另外一點(diǎn)，非零向量冰面滿足性+西=屋-得，證明：直線A3

必經(jīng)過一個定點(diǎn).

題型二：定值問題

1.(2024iWi三,全國,專題練習(xí))如圖所示，已知橢圓系方程C"：+=n〈a>b>0,

ab

/eN+),工、工是橢圓Cf的焦點(diǎn)，A(瘋⑹是橢圓Cf上一點(diǎn)，且在.質(zhì)=0.

⑴求C”的離心率，求出G的方程.

(2)P為橢圓G上任意一點(diǎn)，過P且與橢圓C3相切的直線/與橢圓Cf交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P

關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為。，求證：AQMN的面積為定值.

22

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知橢圓上+匕=1的左、右頂點(diǎn)分別為A,8,過X軸上一

42

點(diǎn)M（T,0）作一直線PQ,與橢圓交于尸，。兩點(diǎn)（異于48）,直線AP和8。的交點(diǎn)為N,

記直線和AP的斜率分別為4,打，求%的值.

左2

fv2

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知耳，心是雙曲線方-4=l（a>0,10）的左右焦點(diǎn)，

ab

閨段=2底點(diǎn)產(chǎn)（2布,2）在雙曲線上.

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/與雙曲線相切與于點(diǎn)Q,與雙曲線的兩條漸近線分別相交于V、N兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q

在雙曲線上運(yùn)動時，兩.兩的值是否為定值？若是，求出定值；否則，請說明理由.

22

4.(23-24高二下?上海?期末)已知雙曲線C：與一斗=1伍>0,b>0)的離心率為0,點(diǎn)(3,-1)

ab

在雙曲線C上.過C的左焦點(diǎn)/作直線/交C的左支于A、8兩點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程.

(2)若"(-2,0),試問：是否存在直線/,使得點(diǎn)M在以為直徑的圓上？若存在出直線/

的方程；若不存在，說明理由.

⑶點(diǎn)P(Y,2),直線AP交直線x=-2于點(diǎn)Q.設(shè)直線的斜率分別匕、k2,求證:

匕-修為定值.

5.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知拋物線「：y2=2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)P(l,2),直線/與拋

物線「有兩個不同的交點(diǎn)A8,直線上4交，軸于直線P8交y軸于N.

⑴若直線/過點(diǎn)2(0,1),求直線/的斜率k的取值范圍；

⑵若直線/過拋物線「的焦點(diǎn)尸，交y軸于點(diǎn)。，畫=2而，詼=〃而，求彳+〃的值；

⑶若直線/過點(diǎn)。(0,1),設(shè)0(0,0),兩=幾加，的=〃詼，求：+)的值.

6.（23-24高一下?安徽?階段練習(xí)）已知拋物線7：/=2*5＞0）經(jīng)過點(diǎn)

4（1,忘）,3（1,一夜）,C（2,點(diǎn)）中的兩個點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn).

⑴求拋物線7的方程；

7TFR

⑵過尸且傾斜角為7的直線交7于氏S兩點(diǎn)，R在第一象限，求M的值；

3FS

⑶過點(diǎn)P（L0）的直線/與拋物線「交于2E兩點(diǎn)，直線ODQE分別交直線戶-1于M,N兩

點(diǎn)，記直線PM,PN的斜率分別為.白,證明：勺網(wǎng)為定值.

題型三：定直線問題

22

1.（23-24高三下?上海?開學(xué)考試）已知橢圓r：1+當(dāng)=1（。＞匕＞o）的離心率為:，左右焦

a2b2

點(diǎn)分別為百，鳥，"是橢圓上一點(diǎn)，|咋|=2,N用明=60。.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)N?！唬┑闹本€與橢圓交于P,。兩點(diǎn)，R為線段尸。中點(diǎn).

⑴求證：R點(diǎn)軌跡方程為人+注嘰。;

（ii）。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OR與橢圓交于點(diǎn)S,點(diǎn)G為直線OR上一動點(diǎn)，且礪.礪=2麗2,

求證：點(diǎn)G在定直線上.

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知橢圓C:g+'=ig>b>0)的離心率為*A,5分

別為C的上、下頂點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、=辰+4與C交于不同的兩點(diǎn)“，N.

(1)設(shè)點(diǎn)尸為線段MN的中點(diǎn)，證明：直線。尸與直線初V的斜率之積為定值；

⑵若|AB卜4,證明：直線與直線AN的交點(diǎn)G在定直線上.

/V2

3.(23-24高二下?黑龍江大慶?期中)已知A,2分別是雙曲線C：/-2=1(。>。8>0)的左、

右頂點(diǎn)，P是C上異于A,B的一點(diǎn)，直線PA,尸8的斜率分別為勺,勺，且上上=|4刃=4.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知過點(diǎn)(4,0)的直線/:x=my+4,交C的左，右兩支于。，E兩點(diǎn)(異于A,B).

(i)求m的取值范圍；

(ii)設(shè)直線4D與直線8E交于點(diǎn)Q,求證：點(diǎn)。在定直線上.

4.（2024高三下?河南?專題練習(xí)）動點(diǎn)P（x,y）與定點(diǎn)/（2,0）的距離和它到定直線/:x=g的

距離的比是2,記動點(diǎn)尸的軌跡為曲線C.

⑴求C的方程；

⑵過R（-2,0）的直線/與C交于A3兩點(diǎn)，且麗=a而（“>0）,若點(diǎn)加滿足：W=a礪，證

明：點(diǎn)加在一條定直線上.

5.（23-24高二下?廣東惠州?階段練習(xí)）已知拋物線C:x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)JF關(guān)于直線

產(chǎn)-2的對稱點(diǎn)為（0,-5）.

⑴求C的方程；

（2）若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過焦點(diǎn)P且斜率為1的直線/交C于4B兩點(diǎn)，求|AB|；

⑶過點(diǎn)M（4,l）的動直線/交C于不同的A8兩點(diǎn)，N為線段AB上一點(diǎn)，且滿足

\AM\-\BN\=\AN\-\BM\,證明：點(diǎn)N在某定直線上，并求出該定直線的方程.

22

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，已知橢圓C：=+1=1（。>b>0）,

a"t>-

尸是橢圓的右焦點(diǎn)且橢圓C與圓M：（了-6）2+丁=16外切，又與圓郎x?+（y-2退『=3外

切.

（1）求橢圓C的方程.

（2）己知A,2是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，A在無軸的上方，連接AF,B尸并分別延長

交橢圓C于。，E兩點(diǎn)，證明：直線。石過定點(diǎn).

22

3.（23-24高二下?山西運(yùn)城?期中）已知A,8分別是雙曲線（7：3-*=1（穌0力>0）的左、

ab-

右頂點(diǎn)，尸是C上異于A,8的一點(diǎn)，直線尸A,P8的斜率分別為3月，且氏色=14刃=4.

⑴求雙曲線C的方程；

（2）已知過點(diǎn)（4,0）的直線/交C于RE兩點(diǎn)（異于A,B）,直線AD與直線BE交于點(diǎn)Q.求

證:點(diǎn)Q在定直線上.

4.（23-24高二下?云南曲靖?階段練習(xí)）設(shè)拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M（p,0）,

過點(diǎn)P且斜率存在的直線交C于不同的A8兩點(diǎn)，當(dāng)直線A"垂直于x軸時，|AF|=3.

⑴求C的方程；

⑵設(shè)直線A",與C的另一個交點(diǎn)分別為D,E,設(shè)直線AB,DE的斜率分別為尢/，證明:

（I）》為定值；

（ii）直線DE恒過定點(diǎn).

5.（23-24高二上?山東濰坊?階段練習(xí)）已知點(diǎn)"（-2,0）,圓C:（x-3）2+y2=4,點(diǎn)E是圓

C上的任意一點(diǎn).動圓。過點(diǎn)C,且與尤=-3相切，點(diǎn)。的軌跡為曲線「

⑴求曲線r的方程；

⑵若與X軸不垂直的直線，與曲線r交于A、5兩點(diǎn)，點(diǎn)N為/與X軸的交點(diǎn)，且

EN

4AMN=NBMN,若在x軸上存在異于點(diǎn)N的一點(diǎn)G,使得—為定值，求點(diǎn)G的坐標(biāo);

⑶過點(diǎn)（-3,0）的直線與曲線r交于P、。兩點(diǎn)，且曲線「在尸、Q兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)S,

證明：s在定直線上.

專題04圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題

（典型題型歸類訓(xùn)練）

目錄

一、必備秘籍..............................................1

三、定直線問題............................................2

二、典型題型..............................................2

題型一：定點(diǎn)問題......................................2

題型二：定值問題......................................5

題型三：定直線問題.....................................8

三、專項(xiàng)訓(xùn)練.............................................46

一、必備秘籍

一、定點(diǎn)問題

1.求解（或證明）直線和曲線過定點(diǎn)的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量x,y視作常

數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個方程就是對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的

系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x,y的方程組，這個方程組的解所確定的點(diǎn)就

是直線或曲線所過的定點(diǎn).

2.常用方法：一是引進(jìn)參數(shù)法，引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變

化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)；二是特殊到一般法，根據(jù)動點(diǎn)或動線的特殊情況探

索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).

二、定值問題

1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜

率等）的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始

終是一個確定的值.常見定值問題的處理方法：

（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示

（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示（有的甚至就是核心變量），然后進(jìn)行化簡，看能

否得到一個常數(shù).

2.定值問題的處理技巧：

（1）對于較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)

而給后面一般情況的處理提供一個方向.

（2）在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏

（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運(yùn)

算

三、定直線問題

定直線問題是證明動點(diǎn)在定直線上，其實(shí)質(zhì)是求動點(diǎn)的軌跡方程，所以所用的方法即為求

軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等.

二、典型題型

題型一：定點(diǎn)問題

22

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是橢圓上+二=1的內(nèi)接四邊形，直

32

線AB經(jīng)過左焦點(diǎn)K,直線AC,BD交于右焦點(diǎn)F2,直線AB與直線CD的斜率分別為".

（2）求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】⑴證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）設(shè)4（占,%）,5伍，%），°（%3，%），。?，乂），表示出直線AC的方程，代入橢圓

方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出力,則可表示出與，表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，同理表示

出點(diǎn)。的坐標(biāo)，再由A,耳，8三點(diǎn)共線，得%%-9%=%-%，然后利用斜率公式化簡心，

可得匕，心的關(guān)系；

（2）解法一：直線CO交x軸于點(diǎn)/（%,%）,表示出直線CD的方程，表示出看,結(jié)合（1）

中的關(guān)系化簡可得答案，解法二：設(shè)直線AB,DC交于點(diǎn)P,則由題意可設(shè)尸（3,m）,由

對稱性可知，直線過定點(diǎn)必在無軸上，然后根據(jù)（1）得到的關(guān)系化簡可得答案.

【詳解】（1）設(shè)4（%,%）,3（孫％），。電,%）,。（4,24），

M—1尤2v2

則直線AC的方程為％=y+1,代入橢圓方程上+匕=1,

X32

整理得（2—卜2+（占_皿一才=0.

因?yàn)楸?％=J，所以%=已，從而馬=3%+1=^^.

2—玉%-2%XA-2

因?yàn)锳,月，2三點(diǎn)共線，所以弋=/，從而再%-尤2%=%一%.

%M

"一為_9_2.-2_____%&_2）_M（%_2）_____

%2x?-32%-3（2%-3）（再-2）-（2%-3）（%-2）

X]一2%—2

（X%-%%）+2（%-%）_3（%-%）

設(shè)直線C。交x軸于點(diǎn)M（無。,0）,

因?yàn)镼0=上比，所以直線8為＞一%=止&（尤一馬）,

x4-x3x4-x3

當(dāng)尸。時，得-丁

2玉-3y22X2-3%

_x3y4-x4y3_再一2x2-2x2-2x「2（2%_3）%_（2%-3）%

'刃一％上j2（%1-2）-y1（x2-2）

x?-2%]—2

=2（尤1%-々%）+3（/-%）=5（%-%）=5

（無1%-々%）+2（%-%）3（%-%）3,

故直線co過定點(diǎn)（g,oj.

解法二：如圖，設(shè)直線AB,DC交于點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸在仍對應(yīng)的極線號1.Y+0苛?"V=1,即尤=3

上，

可設(shè)P（3,m）,

由對稱性可知，直線8過定點(diǎn)必在x軸上，不妨設(shè)定點(diǎn)為7（30）

,m7m,1/口3—/15

則匕=左T%=丁上7=須居=「，由（z1x）知丁=4，得—r=w，n即n，=；?

故直線CD過定點(diǎn)［I，0）.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值和定點(diǎn)問題，解

題的關(guān)鍵是利用“設(shè)而不求"的思想，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程化簡，結(jié)

合根與系數(shù)的關(guān)系求解，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

22

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）己知橢圓C：=+3=1（。>8>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片,工，

ab

|百耳|=4,過工的直線/與橢圓C交于尸，Q兩點(diǎn)，4的周長為8萬.

⑴求橢圓C的方程；

（2）如圖，點(diǎn)4及分別是橢圓C的左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)，直線機(jī)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)

N都在x軸上方）.且NAf；M=NO居N.證明直線機(jī)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

22

【答案】（1）二+二=1

84

（2）證明見解析，定點(diǎn)（-4,0）.

【分析】（1）由焦距和焦點(diǎn)三角形的周長求出6,。，得橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線/方程為尸立+機(jī)，代入橢圓方程，設(shè)加（4%）,"（々,％），韋達(dá)定理表示出根

與系數(shù)的關(guān)系，由44片/=/。甲7,得與M=-%V,利用斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理化簡得

m=4k,可得直線/過定點(diǎn)（一4,0）.

【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c,由題意知國用=2c=4,解得。=2.

由橢圓的定義知，^尸。月的周長為4a=8直，,。=2近，故廿=4.

22

.??橢圓C的方程為工+二=1.

84

（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線/:y=kx+m,,

把直線方程代入橢圓方程，整理可得（1+2k②卜②+4初a+2;層-8=0,

22m

A=8（8k2-A??+4）＞0,B|JSk-m+4＞0,xt+x2=--4k2=網(wǎng)~.

V71-1+2/1-1+2左②

■:髭M=七？43={7,M,N都在x軸上方，＞ZAfJM=ZO^N,/.k=-kFN.

石+29+2

二=即乂（々+2）=—%（芯+2）.

將％=%+m,y2=kx2+in代入，

整理可得2gx2+（2左+%）（占+々）+4m=0,又占%=：丁2；；，%+,-J黑2，

即4km2-16k-8k2m-4km1+Sk2m+4m=0＞整理可得m=4左,

二直線/為尸質(zhì)+4Z=Mx+4）.二直線/過定點(diǎn)（TO）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去M或y）建立一元二次方程,

然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的

設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐

曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形

的面積等問題.

22—

3.（2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測）已知雙曲線C蘇-方=1（°＞0,。＞0）的焦距為2百，點(diǎn)

。（4,右）在C上.

（1）求C的方程；

（2）直線/:產(chǎn)機(jī)＞+1與C的右支交于兩點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，。點(diǎn)在x軸上的投

影為G.

①求H的取值范圍；

②求證：直線3E過點(diǎn)G.

【答案】

4

⑵①V3＜|m|＜2；②證明見解析

a2+b2=c2

【分析】（1）由題可得，，-。=1,解方程即可得到答案；

2c=26

（2）①設(shè)4（網(wǎng),X）,3優(yōu),%），聯(lián)立二，消去x得（1-4）/+273一3=0,由于

lx—4y=4

/與C的右支交于A,8兩點(diǎn)，雙曲線C的漸近線方程為y=±gx,可得

A=4m2+12（m2-4）=16（m2-3）＞0,以及需＞J，解不等式可得同的取值范圍；

②由①得%+%=———，y,y2=^-，由題可得G（4,O）,利用向量關(guān)系可得屈〃屈,

m-4m-4

從而可得6,G,E三點(diǎn)共線，即可證明.

〃2+/=c2

【詳解】⑴由已知得當(dāng)-4=1,解得/=4方=1,

ab

2c=26

所以C的方程為:-V=i.

（2）①設(shè)。和弘）,B（x2,y2）,則E（X],-yJ,

消去x得（＞-4）/+2陽-3=0,

則rri1—4w0，△=4〃/+12（〃/—4）=16（w？—3）＞0,

解得|〃z|＞百，且|"叱2.

又/與C的右支交于A,8兩點(diǎn)，C的漸近線方程為＞=土;x,

…11

則方>5'即0<|相|<2,

所以同的取值范圍為(6,2).

②由①得…=-蕓-3

m2-4

又點(diǎn)。(4,6)在x軸上的投影為G(4,0),所以厘=(無2—4,%),群(…f),

3

所以(％—4)y2+(x2-4)y1=(my1-3)y2+(my2-)yi=2沖g-3(%+%),

__3__2m

=2m-------3-------=0,

m—4m-4

所以說//GS，

又說，歷有公共點(diǎn)G,所以2,G,E三點(diǎn)共線，所以直線的過點(diǎn)G.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：(1)直線與雙曲線一支相交于兩點(diǎn)，可利用韋達(dá)定理、根的判別式以

及直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系進(jìn)行求解；

(2)證明直線過定點(diǎn)，可利用向量平行關(guān)系進(jìn)行證明.

4.(2024?青海海南?二模)已知雙曲線。:±-《=1(。>0,6>0)的虛軸長為2&,點(diǎn)尸(3,-2)在

ab

C上.設(shè)直線/與C交于A,B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)尸)，直線4尸與8尸的斜率之積為;.

(1)求C的方程；

(2)證明：直線/的斜率存在，且直線/過定點(diǎn).

22

【答案】(1)工-匕=1

32

⑵證明見解析

【分析】(1)借助虛軸定義得6=拒，將尸3-2)的坐標(biāo)代入方程得片=3,即可求解雙曲

線方程；

(2)設(shè)出直線方程，代入曲線中，可得與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，借助韋達(dá)定理計算斜

率之積可得直線/中參數(shù)關(guān)系，即可得其定點(diǎn).

【詳解】(1)因?yàn)樘撦S長為2》=20,所以6=0,

r2V294

將尸(3,-2)的坐標(biāo)代入方程-3=1,得=-彳=1,解得〃=3,

a2b2a22

22

故C的方程為上-匕=1.

32

(2)設(shè)4(占,加),3(/,為)，直線AP的斜率為匕，直線8尸的斜率為心.

《上=1丁

當(dāng)直線/的斜率不存在時，設(shè)/:x=f，聯(lián)立32得丫=±昌_2,

由k的=g,得g-2+2.代-2+2],解得（=T（舍去）或f=3（舍去），

t—3Z—33

所以直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為、=履+根，

代入C的方程得（2-3k2）--6kmx—3m2—6=0,

6km-3m2-6

則x+x=

x22-3V122-3k2

22

(%+2)(為+2){kx1+m+2)(fcc2+m+2)kx1x2+k(m+2)(尤]+x2)+(m+2)

由k[k：2

3

(%i—3)(X2-3)xxx2-3(玉+9)+9王元2—3(%+x2)+9

2

可得(左2-§卜/+(km+2左+1)(T+蒼)+m+4m+1=0,

口J—1-3m2-6…r、c6km,

BOk2——---------+(km+2k+1)?--------+m22+根+4=

I3J2-3k22-3k2

化簡得3m2+（64+8）機(jī)一（9左2_4）=0,即（加一34+2）（%+34+2）=0,

2.

所以機(jī)二左—或〃i=-3k-2，

3

當(dāng)機(jī)=—3左-2時，直線/的方程為>=丘-34-2,直線/過點(diǎn)/3,-2）,

與條件矛盾，舍去；

當(dāng)加=左-|時，直線/的方程為y=Ax+A-g,直線/過定點(diǎn)

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題的策略：

1、參數(shù)法：參數(shù)解決定點(diǎn)問題的思路：①引進(jìn)動點(diǎn)的坐標(biāo)或動直線中的參數(shù)表示變化量,

即確定題目中核心變量（通常為變量上）；②利用條件找到太過定點(diǎn)的曲線廠（x,y）=0之間

的關(guān)系，得到關(guān)于人與蒼，的等式，再研究變化量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，得出定點(diǎn)的坐標(biāo)；

2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時，常根據(jù)動點(diǎn)或動直線的特殊情況探

索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).

5.（23-24高二下?河南焦作?期末）已知拋物線C：V=2px（p>0）的焦點(diǎn)為八。為原點(diǎn),

第一象限內(nèi)的點(diǎn)尸在C上，忸。=|尸產(chǎn)I，且尸的面積為2后.

(1)求C的方程；

(2)若/,N是C上與尸不重合的兩動點(diǎn)，且求證：直線MN過定點(diǎn).

【答案】⑴y2="

⑵證明見解析

【分析】(1)根據(jù)1Pol=|母1,可得P(子,2p),由面積公式即可求出P,從而得到拋物

線方程；

(2)設(shè)直線的方程為：x=my+n,M5,%),N(x2,y2),聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得

由PMLAV,利用向量關(guān)系化簡可得：5-5)2-8(根+0)2=0,從而得到機(jī)，w的關(guān)系，即

可證明.

【詳解】(1)由題可得尸§,0),由|PO|=|尸耳，可得P的橫坐標(biāo)為？，

因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)，則尸(K,1p),

42

所以SP0F=—x—x/。-=2^/2,解得：P—4,

aP0F222

所以拋物線方程為V=8x

(2)由(1)可得：下(2,0),PQ2也),

顯然直線的斜率不為0,設(shè)直線的方程為：工=陽+",NG，%),

所以加=(占一1,%—2后)，兩=(無之一1,%—2行)

y2_8工

聯(lián)立方程「,可得：y2-8/ra;-8〃=0,

[x=my+n

所以A=64m2+32">0,BP2m2+n>0,%+%=8根，"%=一8"，

因?yàn)樗詢?麗=（%后）?（無?一1,%—20）=0,

貝！Jxlx2-（xl+x2）+l+y1y2-2y/2（y1+y2）+8=0,

22_

化簡得：，皆-（〃7M+my2+2n）-Sn-16s/2m+9=0,

則n2—10〃一8^m2++9=0,

所以（"-5）2-8（機(jī)+JI）?=0,

解得：n-5=lyflm+4，或5=-20zn-4,

當(dāng)〃-5=2\f2m+4時，即〃=2\[2m+9>JU.2m2+n=2m2+2A/5m+9=（sflm+1）2+8>0,

^sV\x=my+n=my+2A/2OT+9=m（y+2A/2）+9,所以直線ACV過定點(diǎn)為（9,-2點(diǎn)），

當(dāng)九一5=—2,^f2m—4時，即九=—2y[2,m+1>且2rrr+n=Im"—+1=（yp2m—I）->0,

^\ikx=my+n=my-2\f2m+1=m（y-272）+1,所以直線A/N過定點(diǎn)為（1,2夜），即點(diǎn)P,

不滿足題意，舍去；

綜上：直線MN過定點(diǎn)為（9,-2&）

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：

（1）"特殊探路，一般證明J即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一

般性證明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系

或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為

坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

（3）求證直線過定點(diǎn)（%,%）,常利用直線的點(diǎn)斜式方程>-%=4（》-不）或截距式尸質(zhì)+萬

或橫截式?x="y+”來證明.

6.（23-24高二下?安徽亳州?期末）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A是拋物線C:f=2刀5>0）上與

點(diǎn)。不重合的任意一點(diǎn).

⑴設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為尸，若以P為圓心，“4為半徑的圓廠交C的準(zhǔn)線/于/、N兩點(diǎn)，

且NMFN=9（y,AAMN的面積為4夜，求圓產(chǎn)的方程；

（2）若8是拋物線C上的另外一點(diǎn)，非零向量冰無滿足匹+西=|函-網(wǎng)，證明：直線A3

必經(jīng)過一個定點(diǎn).

【答案】⑴/+（匕1）2=8

（2）證明見解析

【分析】（1）求出|MN|,點(diǎn)A到準(zhǔn)線/的距離d=|FM|,利用%^=40求出P可得答案；

（2）方法一,對國+得=母一網(wǎng)兩邊平方得32+認(rèn)%=。，設(shè)4（冷乂）,3（和為），設(shè)

直線AB的方程為>->=三"（》-王），結(jié)合拋物線方程得V-%=胃3"-尤J,再由

X?一玉2P

%％+x%=0可得答案；方法二對向+詞=|弧-西兩邊平方得平2+%%=。，設(shè)

4（.%）,3優(yōu),％）,設(shè)直線A3的方程為>=質(zhì)+人與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合

+可得答案.

【詳解】⑴準(zhǔn)線/為、=苫/］。,￡|至心的距離是兒由對稱性知，

△MFN是等腰直角三角形，斜邊|MN卜2p,

點(diǎn)A到準(zhǔn)線/的距離d=|E4|=|回W|=30,

x

^^AMN=~\MN\xd=4A/2,解得p=2,

故圓F的方程為尤2+（y-l）2=8；

（2）方法一,因?yàn)槲?而卜廊-西,

所以向（+函。+2函.而=_2函.而+|明2+|得,

所以。A_L0B,石超+%%=0，

設(shè)B（x,,y2）,A>3在拋物線C:x?=2py（p>0）上，

則x；=2p%、4=2p，2.

顯然直線AB的斜率存在，

則直線鉆的方程為少二七打…），

將月=工、代入得,

2p2p

即=干2力

令…,得f廣巖.J…一去（*）

x2,x2八

由占％+%%=。得，再％----2=0，

4P

因?yàn)槲鳠o2彳。（否則，豕訪有一個為零向量），

所以%％=-4p2,代入（*）式可得y=2p,

故直線A3經(jīng)過定點(diǎn)（O,2p）.

方法二，因?yàn)閨況+礪|=|函-礪所以次上礪，及超+%%=0,

設(shè)A（%,%）、3（%2，%）,48在拋物線C:無2=2py（p>0）上，

則x：=2p%、x；=2p%,

顯然直線A3的斜率存在，設(shè)直線的方程為>=h+人，

fy=kx+b

聯(lián)立，c消去y得到，

[_T=2py

1

x-2pkx-2pb=Q,x}+x2=2pk,x1x2=-2pb,

由x\x+%%=°得，X]X,+Bx；=0,

2一4p-

因?yàn)橥觚?*。（否則，弧南有一個為零向量），

所以當(dāng)々=一4//,即一2pb=-4p2,b=2p,

因此y=fac+人就是>=丘+2。.故直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（O,2p）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）"特殊探路，一般證明J即

先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）"一般推理，特殊

求解J即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)

參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；

（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.

題型二：定值問題

1.（2024iWi三,全國,專題練習(xí)）如圖所示，已知橢圓系方程C.：=+々=n（a>Z?>0,

ab

〃eN+）,在、工是橢圓Cf的焦點(diǎn)，4（屈百）是橢圓C6上一點(diǎn)，且而.朋=0.

（I）求C”的離心率，求出G的方程.

（2）P為橢圓G上任意一點(diǎn)，過尸且與橢圓G相切的直線/與橢圓C6交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P

關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為。，求證：AQMN的面積為定值.

【答案】+^2=1

2

（2）證明見解析

【分析】（1）先根據(jù)橢圓C。，荏2?質(zhì)=0,A（逐,石），求得a,b,進(jìn)而得到橢圓c”的

方程求解;

X=_x

（2）作伸縮變換，丫_5,使橢圓G變?yōu)閳Ax2+『=6,橢圓C6變?yōu)閳Ax2+y2=i2，由

題意得到500"=而,的，再由點(diǎn)尸關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q，S.2MN=2S.OMN求解.

2222

【詳解】（1）解：橢圓Cf的方程為=6,即蘇+東=1,

???AF2F^=0,二市?2_L4后，&（遙,6）,

6a2—6b~-6,BPa1—b21.

又回+應(yīng)T，

6a26b2

/=2,b2=1f

二橢圓C"的方程為

2n-n^2

C”的離心率e=

2n2

橢圓G的方程為］+y=1.

X=x

（2）作伸縮變換

則橢圓變?yōu)閳AX?+/=6，橢圓Cf變?yōu)閳AX2+Y2=12.

如圖所示.

yjk

M'_

?直線MV與橢圓C,相切于點(diǎn)尸，則變換后直線MN'與圓x2+y2=6相切于點(diǎn)P,此時

O'P'J.M'N'.

而OAT=2括，O'P'=V6,則MP=J12-6=?,

仄而M'N，=2MP=2限，

r

故S40MN=^x娓=6=-fisQMN，于是

又點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q,則S^QMN=2SAOMV=672,

即AQMN的面積為定值6夜.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第二問通過作伸縮變換,將橢圓問題轉(zhuǎn)化為圓的問題,

易得SQMM=yfls—MN，再利用對稱性，由S.QMN=2S.0MN而得解.

22

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知橢圓工+匕=1的左、右頂點(diǎn)分別為A,5,過x軸上一

42

點(diǎn)M（T,0）作一直線PQ,與橢圓交于P,。兩點(diǎn)（異于48）,直線"和BQ的交點(diǎn)為N,

記直線和AP的斜率分別為尢,白，求3的值.

【分析】法一：首先利用三點(diǎn)共線表示點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，并利用方程聯(lián)立，得出P,。兩點(diǎn)坐

標(biāo)關(guān)系，代入即可求值.

法二：由題意可得點(diǎn)N在M（Y,0）關(guān)于橢圓的極線x=-1上，設(shè)N（-l,0）,再利用斜率公式

計算即可得出結(jié)論.

【詳解】解法一：由題意設(shè)直線PQ的方程：x=my-4,N（x,y）,P（xl,y1）,

%y

由P,N,A和Q,N,8三點(diǎn)共線可知

*=2%（”2）+2%（為+2）=2%（吵-6）+2%（町-2）

牛討”一%（尤2-2）+%（占+2）一乂（啊2-6）+為（啰一2）

.2myy-6y-2y2.myy+6y-6y

-x----i-2-----l---2,x+q-----l-2-----l---2,(*)

3%-%3%-%

x=my-4

聯(lián)立Yy2得(irr+2)/—8陽+12=0,

——+—=1'

142

A=64m2—48(m2+2)=16(m2—6)>0,m2>6,

8m123.、

，二〃"%=］（%+%），

代入(*)得x+44一3必=3,

3%-%

丫

..k=yk_-^=￡±^=i__?_=1