2024-2025學年高二年級上冊期中模擬數(shù)學試卷5（含答案）

2024-2025學年高二上學期期中模擬測試卷

【人教A版2019】范圍：第一章?第三章

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.圓/+y2-4無=0的圓心坐標和半徑分別為（）

A.（0,2）,2B.（-2,0）,4C.（2,0）,2D.（2,0）,4

【答案】C

【分析】將圓的一般方程化為標準方程，由此得到結(jié)果.

【詳解】圓的方程可化為：（x—2，+y2=4,.?.圓心坐標為（2,0）,半徑r=2.

故選：C.

2.頂點在原點，準線方程為％=，的拋物線的標準方程為（）

4

AA.y"2=-3xDB.2———3x

J2J2

C.y2=3%D.y2=—3x

【答案】D

【分析】求出p的值，可得出拋物線的標準方程.

【詳解】由題意可知，拋物線的開口向左，設拋物線的標準方程為y2=-2px（p>0）,

則5=￡所以p=|,所以拋物線的標準方程為y2=—3%.

故選：D.

3.雙曲線，—?=l（a>0）的離心率為則。=（）

A.1B.gC.J]D.

【答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線的基本量關系求解即可.

【詳解】由題意,殍,即蘇+4=3a2,解得。=

故選：B

4.如圖，空間四邊形勿比中，OA=a,OB=b,方=落點攤碗上，且。M=2MA,點微式中點,

則而=()

A.—CL—bH—cB.—CLH—bH—c

232322

C.~CL—b—cD.—CLu—c

22232

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量線性運算，結(jié)合圖形分析可得.

【詳解】因為。M=2M力，點仍3%中點，

所以祈1=BN=^BC,

故而=MA+AB+~BN=|OX+0B-0A+^BC

=1a+^-a+|(OC-OB)=-|a+S+|(c-b)=一|益+|B+g氏

故選：B.

5.若兩異面直線"與I2的方向向量分別是瓦=(1,0,-1),底=(0,-14),則直線.與I2的夾角為

()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【解析】設異面直線％與所成的角為。，根據(jù)cose=Ms(石，底“，即可求解.

【詳解】由題意，兩異面直線k與(2的方向向量分別是后=(1,0,—1)，^=(0,-1,1),

可得同=』，同=6小可=—1,

設異面直線4與，2所成的角為仇則COS。=|cos(可'，可)|=L=I，

又因為eC(0°,90°),所以6=60。,

即直線％與弓的夾角為60°.

故選：B.

6.已知直線4：a%+2y+4=0,直線4：%+(Q+l)y+4=0,若“/弓，則"與與的距離為()

A.@B.2^2C.3^2D.4^2

【答案】C

【分析】

先由直線平行求得a的值，再利用平行直線間的距離公式即可得解.

【詳解】因為4：a%+2y+4=0,與：%+(a+l)y+4=0，且?！ㄐ?/p>

所以"。，且；誓一解得。二一2,

貝ij，i：—21+2y+4=0,即％—y—2=0,l2'.x—y+4=0,

所以，1與，2的距禺為'=」=32.

乙Ji+iN

故選：C.

7.若直線此一y-2=0與曲線J1一(y-=%-1有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍是

)

A.(Q]B.g,4]

C-[-2<_|)U(?2]D-G+8)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，化簡曲線為-if+(y—1)2=1(x21),再由直線恒過定點P(0,—2),結(jié)合圖

象和圓心到直線的距離，列出方程，即可求解.

【詳解】由曲線J1—(y—ip=x-1,可得(％-1)2+(y-1)2=1(%>1),

又由直線/ex—y—2=0f可化為y=kx—2,直線怛過定點P(0,—2),

作出半圓與直線的圖象，如圖所示，

結(jié)合圖象，可得力（1,0）,所以演4=牛*=2,

1—（J

當直線與半圓相切時，可得半3=1,解得k=%

Jfc2+1

所以實數(shù)k的取值范圍為G，2].

故選：A.

8.瑞士數(shù)學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，

這條直線被稱為歐拉線.已知△ABC的頂點力（—1,0）,B（l,0）,C（l,l）,若直線/:ax+（a-3）y+1=0與

△ABC的歐拉線垂直，則直線（與△ABC的歐拉線的交點坐標為（）

【答案】B

【分析】由題求出歐拉線方程，即可得直線，方程，后可得交點坐標.

【詳解】由△4BC的頂點坐標，可知其重心為（干1,=j）.

注意到%B=。，直線比斜率不存在，則△ABC為直角三角形，

_1_1

則其垂心為其直角頂點則AZBC歐拉線方程為：二|=三今丫=+

0——1——2N

33

因其與士ax+（a—3）y+1=0=y=二——二垂直，則一^=2=a=2.

v7a—3a-3a-3

則/:y=2x+l,則直線/與△ABC的歐拉線的交點坐標滿足]'=一5"十萬n]'3）即交點為

（y=2%+1[y=|

（-髭）?

故選：B

選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下面四個結(jié)論正確的是（）

A.若三個非零空間向量乙『,才滿足江，另石，房則有用浮

B.若空間四個點PC=^-~PA+^PB,則AB,C三點共線.

44

C.已知位Z可是空間的一組基底，若沅=3+落則但石，網(wǎng)也是空間的一組基底

D.已知向量d=（l,l,x），b=（-3,%,9）,若x<V，則值，研為鈍角.

【答案】BC

【分析】根據(jù)向量的概念，空間向量的基本定理，以及空間向量基底的定義和空間向量的數(shù)量積的運

算公式，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，若非零空間向量匕江日滿足江，另,石，落不一定滿足到/落所以A不正確；

對于B中，因為麗=工方+三麗，則工麗一工刀=2而一三而，BRIC=3CB,

444444

又因為前與方有公共點，所以A,B,C三點共線，所以B正確；

對于C中，由國工,送是空間的一組基底，且萬=B+3

令記=xd.+yB,可得%江+丫另=江+*此時方程組無解，所以2,另,日+不共面，

所以何虛,記｝可以作為一個空間基底，所以C正確；

對于D中，若值，3為鈍角，則心另<0,且日與3不共線，

由2?另=-3+x+9x<0,解得x<,,當時d與另平行時，由==工=］解得％=-3,

10-3x9

當2與3不共線得x。—3,所以當％且X?！?時，口石）為鈍角，所以D錯誤.

故選：BC

10.線":二+3y+9=O14：（Q-2）%+ay+7—a=0,則下列說法正確的是（）

A.當a>0時，％的傾斜角的范圍是［0,學）

B.若j/5則a=3

C.若I1112,則a=|

10

D.當a=3時,%到與的距離為?

【答案】BCD

【分析】求出直線，2的斜率范圍判斷A;由兩直線平行求出a判斷B；由兩直線垂直求出a判斷C；由平

行線間距離公式計算判斷D.

【詳解】對于A,當a>0時，直線％的斜率％=三=2-1>一1，當—l<k<0時，％的傾斜角ae

LaaL

當kN0時，I2的傾斜角ae[0,5），A錯誤;

對于B,由，//I2，得展—1=解得a=3,B正確;

對于C,由，］J-與，得(a—2)+3ct=0,解得a=5,C正確;

對于D,當a=3時，Z'/'，直線q:%+3y+4=0,'到，2的距.為一廣陽-二-,D正確.

Jl2+32

故選：BCD

11.雙曲線C:/-4=1的左、右焦點分別為乙,乙，圓M:（%+2）2+y2=1與雙曲線的漸近線在第二、

第三象限分別相切于點4B,則下列說法正確的是（）.

3

A.雙曲線的漸近線方程為y=±*

B.雙曲線的離心率為3-

C.雙曲線的焦點到漸近線的距離為]

D.△力BP?的周長為g+2}+2小

【答案】ABD

【分析】

求出雙曲線的漸近線方程，借助圓的切線求出所，再逐項計算判斷即得結(jié)果.

2

【詳解】圓時:（K+2）2+曠2=1的圓心用（—2,0）,半徑r=l,雙曲線C:/—9=1的漸近線方程為

bx±y=0,

3

依題意，3旦=1,解得62=1,因此雙曲線的漸近線方程為y=土骨，A正確;

Jl+b2

2323

雙曲線C的實半軸長為1,則半焦距。=4+/=看，其離心率為-c=等，B正確;

23

雙曲線C的右焦點尸2（+，。），點尸2到漸近線無土

由］%±j3y=0,解得x=_|,y=±f,即|陰二/

1(%+2)2+y2=1

故選：ABD

三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線2的方向向量為（2,巾,1）,平面a的法向量為（1彳,2）,且〃/a,那么巾=

【答案】-8

【分析】根據(jù)題意，得到直線的方向向量與平面法向量互相垂直，結(jié)合向量的數(shù)量積列出方程，即

可求解.

【詳解】由直線2的方向向量為（2,6,1）,平面a的法向量為（1彳,2）,

因為〃/a,可得直線的方向向量與平面法向量互相垂直，所以2+|m+2=0,

解得7?1=-8.

故答案為：-8

13.已知圓C：x2+y2-4x-2y+1=0,圓C的弦AB被點P(2,0)平分，則弦4B所在的直線方程

是.

【答案】y=0

【分析】

先將圓的方程化為標準方程，得到圓心C(2,l),由于圓C的弦AB被點P(2,0)平分，tUBLPC,得到

kAB=0,由點斜式求解即可.

【詳解】因為圓C：x2+y2-4%—2y+1=0,

所以化為標準方程為：(x-2)2+(y-l)2=4,所以圓心C(2,l).

又圓C的弦4B被點P(2,0)平分，故ABLPC,

而直線PC斜率不存在，所以%B=0，

由于AB過點P(2,0),故直線的方程為：y=0.

故答案為：y=0.

14.已知點P(—3,0)在動直線mx+政—(m+3n)=0上的投影為點〃，若點N(2,|),則|MN|的最大值

為.

【答案】y/5.5

【分析】化簡直線為加(％-1)+幾3—3)=0,得到恒過定點M'(1,3),根據(jù)題意，得到點M落在以

PM'為直徑的圓上，其中半徑為「=|,結(jié)合|MN|max=MM+r,即可求解.

【詳解】由直線血久+—(zu+3九)=0,可化為根。-1)+n(y—3)=0,

由方程組卜—1=°,解得x=l,y=3,可得直線恒過定點M'(1,3),

ly-3=0

則"MZI=J(l+3>+(0-3)2=5,

因為P在動直線rnx+ny-(m+3n)=0上的投影為點M,即PM1MM',

所以點M落在以PM'為直徑的圓上，其中圓的半徑為r=也

設PM'的中點為4可得4(—1,|),

又因為N(2,|),可得|/N|=3,所以|MN|的最大值為3+|=藍.

故答案為：y.

四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知直線/經(jīng)過兩條直線x+2y—5=0和3%-y-1=0的交點.

(1)若直線/與直線％-2y-3=0垂直，求直線1的方程；

(2)若直線/與直線％-2y-3=0平行，求直線/的方程及此時直線I與直線x-2y-3=0的距離.

【答案】(l)2x+y—4=0；

(2)x-2y+3=0,|^5.

【分析】(1)求出兩條直線的交點得(1,2),再利用直線垂直設2的方程為2x+y+C1=0,把(1,2)

代入方程即得.

(2)由直線平行設直線加勺方程為x-2y+C2=0(C2-3),把(1,2)代入方程即得，再求出平行線

間距離.

【詳解】(1)由卜+2"5=°,解得卜=1,即直線無+2y—5=0和3x—y—1=0的交點為

(3%—y—1=0ly=2

(1,2)，

由直線(與直線尤—2y—3=0垂直，設直線/的方程為2%+y+%=0,

把點(1,2)代入方程得2+2+J=0,解得力=-4,

所以直線/的方程為2%+y-4=0.

(2)由直線/平行于直線x-2y-3=0,設直線/的方程為％—2y+。=。(Q。一3)，

把點(1,2)代入方程得1—2x2+Q=0，解得。2=3,

所以直線/的方程為x—2y+3=0,直線2與直線x-2y-3=0的距離d=%(，)1=(

"+(-2)2

16.(15分)已知雙曲線式一片=1.

4m

(1)若巾=5,求雙曲線E的焦點坐標，頂點坐標和漸近線方程；

(2)若雙曲線E的離心率e6,3,求實數(shù)小的取值范圍.

5

【答案】⑴焦點坐標為(—3,0),(3,0)；頂點坐標為(—2,0),(2,0)；漸近線方程為y=±1x

(2)(20,32)

【分析】(1)代入血=5,求出a,b,c的值以及雙曲線焦點的位置，即可得出答案；

m+4

(2)根據(jù)已知求出a,b,c的值，得出e=?，根據(jù)e的取值范圍，即可得出答案.

22

【詳解】⑴由已知可得，雙曲線的方程為卜上1,

所以，雙曲線的焦點在工軸上，且=4,b2=5,c2=a2+b2=9,

所以，a=2,b=c=3,

所以，雙曲線E的焦點坐標為(—3,0),(3,0)；

頂點坐標為(—2,0),(2,0)；

漸近線方程為y=±￡%=士

(2)由已知可得，a2=4,b2=m>0,c2=a2+b2=m+4,

所以，a=2,b=y/m,c=Jm+4,

c

e丁〒

整理可得，24<6+4<36,

解得20<m<32.

17.(15分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA1平面ABCD,AB1AD,AD//BC,AP=AB=AD=1,

且直線PB與CD所成角的大小為參

p

BC

(1)求BC的長；

⑵求點C到平面PBD的距離.

【答案】(1)2

⑵小

【分析】(1)建立空間直角坐標系，然后求出麗，利用直線PB與CD所成角的大小為求出BC的長

即可；

(2)先求出平面的法向量，再根據(jù)點到面的距離公式求出距離即可.

【詳解】(1)因為P4_L平面4BCD,且AB1ZD,

所以建立如圖分別以AB,AD,AP為x,y,z軸的空間直角坐標系，

貝1JP(O,O,1),B(1,O,O),C(O,1,O),令BC=t,貝>0),

所以而=(1,0,-1),CO=(-1,1-t,0),

所以3〈兩麗”骷二刀后，

因為直線PB與CD所成角的大小為專所以cos<PB,CD>=p

即/——二|,解得t=0（舍）或者t=2,

J2xjl+（l-t）2

所以BC的長為2；

（2）由（1）知P（0,0,l）,B（l,0,0）,D（0,l,0）,C（l,2,0）,

令平面PBD的法向量為訪=(x,y,z),因為麗=(1,0,-1),麗=(0,1,-1),

所以巴一°=["Z~°,令x=l,則y=l,z=l,所以記=(1,1,1),

im-PD=0iy-z=0

又怎=(0,-2,0),所以d==磊=

'7?\m\唱I3\

所以點C到平面PBD的距離為|[.

18.(17分)若圓M的方程為(％—1)2+(y—4)2=4,/ABC中，已知4(7,2),8(4,6)，點C為圓M上的動

點.

(1)求AC中點D的軌跡方程；

(2)求2MBe面積的最小值.

【答案】(1)(x—4)2+(y—3)2=1；(2)4

(xn=2x—7

【解析】(1)設D(x,y),C(Xo，yo),根據(jù)中點坐標公式得出，由相關點法即可求出點。

Do=2y-2

的軌跡方程；

(2)利用兩點間的距離公式以及點到直線的距離公式即可求解.

(%=2(x=2x_7

【詳解】(1)設。(%,丫),。。0，丫0)有<°rr,

[y=竽d=2y—2

222

由(尤0-l)+(y0-4)=4得(2x—7—I?+(2y—2—4)=4,

即D點的軌跡方程為(x-4)2+(y-3)2=1.

(2)計算得|2B|=5,直線AB為4x+3y-34=0,

點(1,4)到直線ZB的距離d=包|3=當，

點C到直線AB的最小距離為藍-2=|

；?(S/4BC)min=~X5X-=4.

【點睛】本題考查了相關點法求點的軌跡方程、點斜式方程、兩點間的距離公式以及點到直線的距

離公式，需熟記公式，屬于基礎題.

19.(17分)如圖，已知外(—J10,0),/^(小。。)分別是雙曲線氏/—3=l(a>0/>0)的左、右

(2)過直線/：x=l上任意一點酢直線q,q與燃左、右兩支相交于4曬點，直線q關于直線，對

稱的直線為22(與4不重合)，^2與珊左、右兩支相交于G/兩點.證明：^ABD=ZACD.

v2,2

【答案】(1)^一5A=1

46

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)焦點以及點P(—坐,5)在雙曲線上，列方程即可求解，

(2)聯(lián)立直線與雙曲線方程可得韋達定理，進而根據(jù)弦長公式求解|47|=Jl+H|%1-1|,\BT\=

222

J1+/