2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)突破：將軍飲馬模型（原卷版）

模型介紹

一、兩條線段和的最小值。

基本圖形解析：

(一)、已知兩個(gè)定點(diǎn)：

1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P,使PA+PB最小;

(1)點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：

4

*

B

(2)點(diǎn)A、B在直線同側(cè):

A*

*

B

A、N是關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。

2、在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q,使PA+PQ+QB最小。

(1)兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：

A

n

BB

。/

----------------?n

(4)、臺(tái)球兩次碰壁模型片’

變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn),

使得圍成的四邊形ADEB周長最短.

*B

1.m

變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線

別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)

PA+PQ+QA周長最短.

二、求兩線段差的最大值問題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第

三

基本圖形解析：

1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P,使PA與PB的差最大；

(1)點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：

解：延長AB交直線m于點(diǎn)P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P'A—P?B<AB,

而PA—PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。

（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：

A

om

B

解：過BB作關(guān)

于直線m的對(duì)稱點(diǎn)BJ連接AB，交點(diǎn)直線m于P,止匕

時(shí)PB=PB'，PA-PB最大值為AB'

Mm

詞面例題精講

考點(diǎn)一、兩定一動(dòng)模型

【例1].如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線。E交8C于點(diǎn)。，垂足為E,M■為。E上任

意一點(diǎn)，BA=3,AC=4,BC=6,則周長的最小值為（）

A.7B.6C.9D.10

A變式訓(xùn)練

【變式1TI如圖，RtZXABC中，AC=8C=4,點(diǎn)。，E分別是AB,AC的中點(diǎn)，在CD上

找一點(diǎn)尸，使E4+PE最小，則這個(gè)最小值是（）

C.2V5D.4

【變式1-2].如圖，在矩形A8CD中，AB=5,AD=3,動(dòng)點(diǎn)P滿足S^PAB=—S矩形ABCD,

則點(diǎn)P到A、2兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為

【變式1-3].如圖，NA02的邊與x軸正半軸重合，點(diǎn)尸是。4上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N(5,

0)是上的一定點(diǎn)，點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，ZAOB=30°,要使PM+PN最小，則點(diǎn)P

的坐標(biāo)為.

考點(diǎn)二、一定兩動(dòng)模型

【例2].如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,AD平分NCAB

交BC于。點(diǎn)，E、尸分別是A。，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為.

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].如圖，在RtZ\ABC中，NA=90°,ZB=60°,BC=4,若E是BC上的動(dòng)

點(diǎn)，歹是AC上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF的最小值為

BC

【變式2-2].如圖，正方形ABC。的邊長為4,ND4c的平分線交。C于點(diǎn)E,若點(diǎn)尸、Q

分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值是

【變式2-3].如圖，四邊形A8CD中，ZBAD=130°,ZB=ZD=90°,在BC、CD±

分別找一點(diǎn)M、N,使△AMN周長最小時(shí)，則/AMN+/AM0的度數(shù)為.

考點(diǎn)三、線段差最大值模型

【例3].如圖，在△ABC中，AB^AC,AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)N,交A8于點(diǎn)M,AB

=12cm,ABMC的周長是20。〃，若點(diǎn)尸在直線上，則B4-尸2的最大值為.

A變式訓(xùn)練

【變式3-1].如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1）,點(diǎn)2的坐標(biāo)為（旦，-2）,點(diǎn)P在直線y

2

=-x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)|E4-尸2|最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【變式3-2].如圖，兩點(diǎn)42在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=16,B到MN的

距離BD=10,C￡>=8,點(diǎn)尸在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則|E4-尸5|的最大值等于.

【變式3-3].如圖，在菱形ABC。中，對(duì)角線AC=6,8。=8,點(diǎn)E為A2邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸

為對(duì)角線3。上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC,PE,求|PC-尸劇的最大值.

模型四、造橋選址模型（即動(dòng)線段類型）

【例4].如圖，在矩形ABC。中，AB=5,BC=4,E、尸分別是A。、8c的中點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)、Q

在跖上.且滿足尸。=2,則四邊形APQ8周長的最小值為.

A變式訓(xùn)練

【變式4-1].如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABC。的頂點(diǎn)B在原點(diǎn)，點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸

上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（6,4）,E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P、0為BC邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2,

要使四邊形APQE的周長最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)為.

【變式4-2].如圖，正方形ABC。的邊長為3,E、尸是對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且取=

加,連接CE、CF,則廠周長的最小值為.

【變式4-3].在直角坐標(biāo)系中，矩形O4C2的頂點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A,8分別在無軸、

y軸的正半軸上，。4=3,08=4,。為邊02的中點(diǎn)，線段跖在邊。4上移動(dòng)，保持

EF=2,當(dāng)四邊形CD跖的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E,尸的坐標(biāo).

1.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AD是NBAC的平分線.若P,

。分別是AQ和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）

A.衛(wèi)B.4C.5D.區(qū)

55

2.如圖，正方形A8EF的面積為4,/xBCE是等邊三角形，點(diǎn)C在正方形ABE尸外，在對(duì)

角線BE上有一點(diǎn)P,使PC+PE最小，則這個(gè)最小值的平方為（）

A.473B.8+473C.12D.8+273

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtZ\OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上.頂點(diǎn)2的坐標(biāo)為（3,

百），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（工,0）,點(diǎn)P為斜邊。8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為（）

2

4.如圖，在正方形A8CD中，AB=8,AC與BD交于點(diǎn)O,N是A。的中點(diǎn)，點(diǎn)M在2C

5.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E,尸將對(duì)角線AC三等分，且AC=12,點(diǎn)P在正方形的

邊上，則滿足PE+PF=9的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)是（）

6.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、3的坐標(biāo)分別為（1,4）和（3,0）,點(diǎn)C是y軸上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)IBC-AC|最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是.

7.如圖，在四邊形ABCQ中，ZBAD=13Q°,NB=/D=90°,在BC,CD上分別找一

點(diǎn)M,N,使三角形AMN周長最小時(shí)，則/MAN的度數(shù)為

8.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC+BC=14,tanB=0.75,點(diǎn)。，E分別是邊AB,

BC上的動(dòng)點(diǎn)，則DC+DE的最小值為.

9.如圖，在E1ABC。中，點(diǎn)〃、N分別是AC和BC上的動(dòng)點(diǎn)，AB=3,BC=6,ZZ）=60°,

在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的過程中，8M+MN的最小值為.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長為2的線段CD（點(diǎn)。在點(diǎn)C右側(cè)）在x軸上移動(dòng)，A

(0,2),B(0,4),連接AC,BD,貝UAC+8D的最小值為

11.如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)，尸是△ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，且A8

=6,則BP-PE的最大值是

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸(4,5),點(diǎn)Q(0,2),當(dāng)腰長為2的等腰直角三角

形ABC在x軸上滑動(dòng)時(shí)，AQ+PC的最小值為.

13.如圖，菱形ABC。的邊長為4,ZA=60°,E是邊A3的中點(diǎn)，尸是邊A8上的一個(gè)動(dòng)

則GB+GC的最小值為.

14.如圖，正方形ABC￡＞內(nèi)接于OO,線段在對(duì)角線BO上運(yùn)動(dòng)，若。。的面積為2m

MN=1,則△AMN周長的最小值為

15.如圖拋物線y=7+2x-3與x軸交于A、2兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是拋物線對(duì)稱

軸上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)D、E、尸分別是BC、BP、PC的中點(diǎn)，連接。E,DF,KODE+DF

的最小值為

16.如圖，正方形A3C。邊長為4,DE=1,M,N在BC上且MN=2.求四邊形AMVE

周長的最小值.

17.(1)如圖1,0c平分NA03,點(diǎn)。是射線。4邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸、。分別在射線0C、

上運(yùn)動(dòng)，已知。D=10,NAOC=30°,則。尸+PQ的最小值是；

(2)如圖2,在菱形A8CZ)中，AB=8,/ZMB=60°,點(diǎn)E是A8邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、F

是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，求EF+Bb的最小值；

(3)如圖3,在矩形ABC。中，AB=8,AO=4,點(diǎn)/是A3上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是對(duì)角線

AC上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出MN+BN的最小值.

18.(1)如圖①，點(diǎn)尸為直線/上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A,2是直線/外同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，連接B4,

PB,AB.若AB=2,則B4-PB的最大值為.

(2)如圖②，在四邊形ABC。中，AB=AD,ZBAD^90°,對(duì)角線AC_LB。，垂足為

點(diǎn)。，0A=20C,點(diǎn)E為。C中點(diǎn)，點(diǎn)廠在A2上，且點(diǎn)、P為BD上