藝考生專(zhuān)題講義41 直線(xiàn)與方程

考點(diǎn)41直線(xiàn)與方程知識(shí)梳理一．直線(xiàn)的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線(xiàn)l向上方向之間所成的角叫做直線(xiàn)l的傾斜角.(2)規(guī)定：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0.(3)范圍：直線(xiàn)l傾斜角的取值范圍是[0，π)．二．斜率公式(1)定義式：直線(xiàn)l的傾斜角為αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))，則斜率k＝tanα.(2)坐標(biāo)式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線(xiàn)l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).三．直線(xiàn)方程的五種形式名稱(chēng)方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含垂直于x軸的直線(xiàn)斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線(xiàn)兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直線(xiàn)x＝x1(x1≠x2)和直線(xiàn)y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面內(nèi)所有直線(xiàn)都適用四．兩直線(xiàn)的位置關(guān)系(1)兩條直線(xiàn)平行①對(duì)于兩條不重合的直線(xiàn)l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.②當(dāng)直線(xiàn)l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.(2)兩條直線(xiàn)垂直①如果兩條直線(xiàn)l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.②當(dāng)其中一條直線(xiàn)的斜率不存在，而另一條直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.(3)兩直線(xiàn)相交(1)交點(diǎn)：直線(xiàn)l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對(duì)應(yīng)．(2)相交?方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解．(3)平行?方程組無(wú)解．(4)重合?方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解．五．三種距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式平面上任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式點(diǎn)P0(x0，y0)到直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩平行直線(xiàn)間的距離公式兩條平行直線(xiàn)Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).六．與對(duì)稱(chēng)問(wèn)題相關(guān)的四個(gè)結(jié)論：(1)點(diǎn)(x，y)關(guān)于點(diǎn)(a，b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2a－x,2b－y)．(2)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線(xiàn)x＝a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2a－x，y)，關(guān)于直線(xiàn)y＝b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x,2b－y)．(3)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線(xiàn)y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線(xiàn)y＝－x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(－y，－x)．(4)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線(xiàn)x＋y＝k的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(k－y，k－x)，關(guān)于直線(xiàn)x－y＝k的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(k＋y，x－k)．精講精練題型一斜率與傾斜角【例1】(1)(2024·全國(guó)高三(理))直線(xiàn)的傾斜角是(2)(舊教材必修2P86練習(xí)T3改編)若過(guò)點(diǎn)M(－2，m)，N(m,4)的直線(xiàn)的斜率等于1，則m的值為_(kāi)_______．(3)(2024·全國(guó)高三月考(理))已知直線(xiàn)的傾斜角為，則【答案】(1)(2)1(3)【解析】(1)因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為所以其傾斜角為故選：D(2)由題意得eq\f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.(3)因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為，所以.又，分子分母同時(shí)除以，得，將代入可得【舉一反三】1.(2024·浙江衢州市·高三學(xué)業(yè)考試)直線(xiàn)的傾斜角為()A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，故選：D.2．(2024·安徽高三月考(理))直線(xiàn)傾斜角為，則的值為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，所以，.故選：D.3．(2024·北京高三期末)已知、、三點(diǎn)共線(xiàn)，則的值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由于、、三點(diǎn)共線(xiàn)，則，即，解得.故選：C.4．(2024·安徽六安市·六安一中高三月考(理))直線(xiàn)的傾斜角是()A． B． C． D．【答案】B【解析】直線(xiàn)的斜率為，所以?xún)A斜角為.故選：B.5．(2024·江蘇蘇州市·高三月考)在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則直線(xiàn)的傾斜角為()A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以，即，又，所以.故選：D.題型二直線(xiàn)的方程【例2】(1)(2024·全國(guó)課時(shí)練習(xí))過(guò)兩點(diǎn)(－2,1)和(1,4)的直線(xiàn)方程為()A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1C．y＝x＋2 D．y＝－x－2(2)．(2024·全國(guó)課時(shí)練習(xí))在x軸，y軸上的截距分別是－3，4的直線(xiàn)方程是()A． B．C． D．(3)．(2024·云南省)已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1，2)，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍，則直線(xiàn)的方程為()A．B．C．或D．或【答案】(1)A(2)A(3)C【解析】(1)由兩點(diǎn)式得：直線(xiàn)方程，整理得y＝x＋3.故選：A.(2)A：時(shí)，，即；時(shí)，，即，故正確；B：時(shí)，，即；時(shí)，，即，故錯(cuò)誤；C：時(shí)，，即；時(shí)，，即，故錯(cuò)誤；D：時(shí)，，即；時(shí)，，即，故錯(cuò)誤；故選：A.(3)當(dāng)直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，把點(diǎn)代入方程，得，即，所以直線(xiàn)的方程為；當(dāng)直線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，把點(diǎn)代入方程，得，即，所以直線(xiàn)的方程為．故選：C．【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】1．求解直線(xiàn)方程的2種方法直接法根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€(xiàn)方程形式，直接寫(xiě)出直線(xiàn)方程待定系數(shù)法①設(shè)所求直線(xiàn)方程的某種形式；②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；③解這個(gè)方程(組)求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線(xiàn)方程2．謹(jǐn)防3種失誤(1)應(yīng)用“點(diǎn)斜式”和“斜截式”方程時(shí)，要注意討論斜率是否存在．(2)應(yīng)用“截距式”方程時(shí)要注意討論直線(xiàn)是否過(guò)原點(diǎn)，截距是否為0.(3)應(yīng)用一般式Ax＋By＋C＝0確定直線(xiàn)的斜率時(shí)注意討論B是否為0.【舉一反三】1．(2024·西安市)過(guò)點(diǎn)(5，2)，且在軸上的截距是在軸上截距2倍的直線(xiàn)方程是()A． B．或C． D．或【答案】B【解析】若截距為零，則直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，故此時(shí)直線(xiàn)方程為即，若截距不為零，設(shè)直線(xiàn)方程為：，代入點(diǎn)可得：，故，故直線(xiàn)方程為，故選：B.2．(2024·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))過(guò)點(diǎn)P(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為0的直線(xiàn)方程為_(kāi)________.【答案】2x－y＝0或x－y＋1＝0【解析】當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，得直線(xiàn)方程為2x－y＝0；當(dāng)在坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，設(shè)軸截距為，則軸截距為，可設(shè)直線(xiàn)方程為，將P(1,2)代入方程，可得，得直線(xiàn)方程為x－y＋1＝0.∴綜上，直線(xiàn)方程為2x－y＝0或x－y＋1＝0.故答案為：2x－y＝0或x－y＋1＝0.3．(2024·遼寧營(yíng)口市)已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)第一象限且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線(xiàn)的方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)第一象限且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等，所以該直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，所以，解得，所以直線(xiàn)的方程為即.故答案為：.題型三直線(xiàn)的位置關(guān)系【例3】(1)(2024·北京海淀區(qū)·高三期末)已知直線(xiàn)，點(diǎn)和點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為()A．1 B． C．2 D．(2)已知直線(xiàn)l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，則a＝()A．2或eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)或－1C.eq\f(1,3) D．－1【答案】(1)B(2)B【解析】(1)，由于，則直線(xiàn)的斜率為即，故選：B(2)因?yàn)橹本€(xiàn)l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，l1⊥l2，所以2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0解得a＝eq\f(1,3)或a＝－1.故選B.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】1．與兩直線(xiàn)的位置關(guān)系有關(guān)的常見(jiàn)題目類(lèi)型(1)判斷兩直線(xiàn)的位置關(guān)系．(2)由兩直線(xiàn)的位置關(guān)系求參數(shù)．(3)根據(jù)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系求直線(xiàn)方程．2．由一般式確定兩直線(xiàn)位置關(guān)系的方法直線(xiàn)方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0l1與l2平行的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1與l2相交的充分條件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1與l2重合的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)【舉一反三】1．(2024·黑龍江哈爾濱市)直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則m等于()A．2 B． C．6 D．【答案】C【解析】由題意，直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，可得，解得.故選：C.2．(2024·云南省)直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，則的值是()A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，解得．故選：B3．(2024·重慶)已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直，則直線(xiàn)l在y軸上的截距為()A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】易知的斜率為2，故直線(xiàn)l的斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線(xiàn)l的方程為，整理可得，故直線(xiàn)l在y軸上的截距為，故選：B.4(2024·浙江)已知直線(xiàn)，直線(xiàn)，若，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】∵，有，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，，，即、為同一條直線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，，，即；∴，故答案為：題型四距離【例4】(1)(2024·南昌模擬)已知點(diǎn)A(－3，－4)，B(6,3)到直線(xiàn)l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______．(2)(2024·安徽池州市)若直線(xiàn)與交于點(diǎn)A，且，則___________．(3)(2024·江蘇)兩條平行直線(xiàn)與之間的距離為【答案】(1)－eq\f(1,3)或－eq\f(7,9)(2)(3)2(2)聯(lián)立解得，故，則．故答案為：(3)因?yàn)榕c平行所以由兩條平行線(xiàn)間的距離公式可得：【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】1．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的求法可直接利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線(xiàn)方程必須為一般式．2．兩平行線(xiàn)間的距離的求法(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線(xiàn)間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離．(2)利用兩平行線(xiàn)間的距離公式．【舉一反三】1．(2024·浙江湖州市)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是()A． B． C．1 D．【答案】A【解析】點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故選：A2．(2024·北京房山區(qū))已知點(diǎn)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為()A． B． C． D．【答案】B【解析】由點(diǎn)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即.故選：B3．(2024·黑龍江哈爾濱市)直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的距離是___________.【答案】【解析】直線(xiàn)可化為：，由平行直線(xiàn)間距離公式可得所求距離.故答案為：.4．(2024·廣西桂林市)已知點(diǎn)，直線(xiàn)．(1)求A點(diǎn)到直線(xiàn)l距離；(2)求過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)的方程．【答案】(1)；(2).【解析】(1)設(shè)點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離為d，則(2)方法一：∵直線(xiàn)l的斜率，設(shè)過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)方程為，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可得，∴過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)方程為.方法二：設(shè)過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)方程為,把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可得：，解得,∴過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程為.題型五對(duì)稱(chēng)【例5】(1)(2024·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí))點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為()A． B．C． D．(2)若直線(xiàn)l1：y＝k(x－4)與直線(xiàn)l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)l2過(guò)定點(diǎn)()A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)(3)(2024·黑龍江哈爾濱市)直線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為()A． B．C． D．【答案】(1)D(2)B(3)A【解析】(1)設(shè)，則，，∴，，∴點(diǎn)，故選：D.(2)由題知直線(xiàn)l1過(guò)定點(diǎn)(4,0)，則由條件可知，直線(xiàn)l2所過(guò)定點(diǎn)關(guān)于(2,1)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(4,0)，故可知直線(xiàn)l2所過(guò)定點(diǎn)為(0,2)，故選B.(3)設(shè)直線(xiàn)上一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，整理可得：，，即直線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為：.故選：A.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的求解方法若點(diǎn)M(x1，y1)和點(diǎn)N(x，y)關(guān)于點(diǎn)P(a，b)對(duì)稱(chēng)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))進(jìn)而求解．2.點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的解題方法若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱(chēng)，則由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到點(diǎn)P1關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．3.線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的求解方法(1)在已知直線(xiàn)上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線(xiàn)方程；(2)求出一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線(xiàn)方程．4.線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的實(shí)質(zhì)“線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)”其實(shí)質(zhì)就是“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)”，只要在直線(xiàn)上取兩個(gè)點(diǎn)，求出其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可，可統(tǒng)稱(chēng)為“中心對(duì)稱(chēng)”．【舉一反三】1.過(guò)點(diǎn)P(0,1)作直線(xiàn)l使它被直線(xiàn)l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線(xiàn)段被點(diǎn)P平分，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)___________________．【答案】x＋4y－4＝0【解析】設(shè)直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l的交點(diǎn)為A(a,8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B(－a,2a－6)在l2上，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入直線(xiàn)l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線(xiàn)l上，所以由兩點(diǎn)式得直線(xiàn)l的方程為x＋4y－4＝0.2.已知直線(xiàn)l：2x－