藝考生專題講義41 直線與方程

考點41直線與方程知識梳理一．直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0.(3)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)．二．斜率公式(1)定義式：直線l的傾斜角為αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))，則斜率k＝tanα.(2)坐標(biāo)式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).三．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面內(nèi)所有直線都適用四．兩直線的位置關(guān)系(1)兩條直線平行①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.(2)兩條直線垂直①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2.(3)兩直線相交(1)交點：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點的坐標(biāo)與方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對應(yīng)．(2)相交?方程組有唯一解，交點坐標(biāo)就是方程組的解．(3)平行?方程組無解．(4)重合?方程組有無數(shù)個解．五．三種距離公式(1)兩點間的距離公式平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)點到直線的距離公式點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩平行直線間的距離公式兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).六．與對稱問題相關(guān)的四個結(jié)論：(1)點(x，y)關(guān)于點(a，b)的對稱點為(2a－x,2b－y)．(2)點(x，y)關(guān)于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關(guān)于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y)．(3)點(x，y)關(guān)于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關(guān)于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．(4)點(x，y)關(guān)于直線x＋y＝k的對稱點為(k－y，k－x)，關(guān)于直線x－y＝k的對稱點為(k＋y，x－k)．精講精練題型一斜率與傾斜角【例1】(1)(2024·全國高三(理))直線的傾斜角是(2)(舊教材必修2P86練習(xí)T3改編)若過點M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為________．(3)(2024·全國高三月考(理))已知直線的傾斜角為，則【答案】(1)(2)1(3)【解析】(1)因為直線的斜率為所以其傾斜角為故選：D(2)由題意得eq\f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.(3)因為直線的傾斜角為，所以.又，分子分母同時除以，得，將代入可得【舉一反三】1.(2024·浙江衢州市·高三學(xué)業(yè)考試)直線的傾斜角為()A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，故選：D.2．(2024·安徽高三月考(理))直線傾斜角為，則的值為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，所以，.故選：D.3．(2024·北京高三期末)已知、、三點共線，則的值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由于、、三點共線，則，即，解得.故選：C.4．(2024·安徽六安市·六安一中高三月考(理))直線的傾斜角是()A． B． C． D．【答案】B【解析】直線的斜率為，所以傾斜角為.故選：B.5．(2024·江蘇蘇州市·高三月考)在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線垂直，則直線的傾斜角為()A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，因為直線與直線垂直，所以，即，又，所以.故選：D.題型二直線的方程【例2】(1)(2024·全國課時練習(xí))過兩點(－2,1)和(1,4)的直線方程為()A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1C．y＝x＋2 D．y＝－x－2(2)．(2024·全國課時練習(xí))在x軸，y軸上的截距分別是－3，4的直線方程是()A． B．C． D．(3)．(2024·云南省)已知直線過點(1，2)，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍，則直線的方程為()A．B．C．或D．或【答案】(1)A(2)A(3)C【解析】(1)由兩點式得：直線方程，整理得y＝x＋3.故選：A.(2)A：時，，即；時，，即，故正確；B：時，，即；時，，即，故錯誤；C：時，，即；時，，即，故錯誤；D：時，，即；時，，即，故錯誤；故選：A.(3)當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時，設(shè)直線的方程為，把點代入方程，得，即，所以直線的方程為；當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0時，設(shè)直線的方程為，把點代入方程，得，即，所以直線的方程為．故選：C．【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】1．求解直線方程的2種方法直接法根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程待定系數(shù)法①設(shè)所求直線方程的某種形式；②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；③解這個方程(組)求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程2．謹(jǐn)防3種失誤(1)應(yīng)用“點斜式”和“斜截式”方程時，要注意討論斜率是否存在．(2)應(yīng)用“截距式”方程時要注意討論直線是否過原點，截距是否為0.(3)應(yīng)用一般式Ax＋By＋C＝0確定直線的斜率時注意討論B是否為0.【舉一反三】1．(2024·西安市)過點(5，2)，且在軸上的截距是在軸上截距2倍的直線方程是()A． B．或C． D．或【答案】B【解析】若截距為零，則直線過原點，故此時直線方程為即，若截距不為零，設(shè)直線方程為：，代入點可得：，故，故直線方程為，故選：B.2．(2024·全國高二課時練習(xí))過點P(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為0的直線方程為_________.【答案】2x－y＝0或x－y＋1＝0【解析】當(dāng)直線過原點時，得直線方程為2x－y＝0；當(dāng)在坐標(biāo)軸上的截距不為零時，設(shè)軸截距為，則軸截距為，可設(shè)直線方程為，將P(1,2)代入方程，可得，得直線方程為x－y＋1＝0.∴綜上，直線方程為2x－y＝0或x－y＋1＝0.故答案為：2x－y＝0或x－y＋1＝0.3．(2024·遼寧營口市)已知直線過點，經(jīng)過第一象限且在兩個坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的方程為___________.【答案】【解析】因為直線過點，經(jīng)過第一象限且在兩個坐標(biāo)軸上的截距相等，所以該直線不過原點，設(shè)直線的方程為，所以，解得，所以直線的方程為即.故答案為：.題型三直線的位置關(guān)系【例3】(1)(2024·北京海淀區(qū)·高三期末)已知直線，點和點，若，則實數(shù)的值為()A．1 B． C．2 D．(2)已知直線l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，則a＝()A．2或eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)或－1C.eq\f(1,3) D．－1【答案】(1)B(2)B【解析】(1)，由于，則直線的斜率為即，故選：B(2)因為直線l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，l1⊥l2，所以2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0解得a＝eq\f(1,3)或a＝－1.故選B.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】1．與兩直線的位置關(guān)系有關(guān)的常見題目類型(1)判斷兩直線的位置關(guān)系．(2)由兩直線的位置關(guān)系求參數(shù)．(3)根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求直線方程．2．由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0l1與l2平行的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1與l2相交的充分條件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1與l2重合的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)【舉一反三】1．(2024·黑龍江哈爾濱市)直線與直線平行，則m等于()A．2 B． C．6 D．【答案】C【解析】由題意，直線與直線平行，可得，解得.故選：C.2．(2024·云南省)直線與直線互相垂直，則的值是()A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，解得．故選：B3．(2024·重慶)已知直線l經(jīng)過點，且與直線垂直，則直線l在y軸上的截距為()A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】易知的斜率為2，故直線l的斜率為，根據(jù)點斜式可得直線l的方程為，整理可得，故直線l在y軸上的截距為，故選：B.4(2024·浙江)已知直線，直線，若，則實數(shù)______．【答案】【解析】∵，有，∴，解得或，當(dāng)時，，，即、為同一條直線；當(dāng)時，，，即；∴，故答案為：題型四距離【例4】(1)(2024·南昌模擬)已知點A(－3，－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數(shù)a的值為________．(2)(2024·安徽池州市)若直線與交于點A，且，則___________．(3)(2024·江蘇)兩條平行直線與之間的距離為【答案】(1)－eq\f(1,3)或－eq\f(7,9)(2)(3)2(2)聯(lián)立解得，故，則．故答案為：(3)因為與平行所以由兩條平行線間的距離公式可得：【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】1．點到直線的距離的求法可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式．2．兩平行線間的距離的求法(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離．(2)利用兩平行線間的距離公式．【舉一反三】1．(2024·浙江湖州市)點到直線的距離是()A． B． C．1 D．【答案】A【解析】點到直線的距離為，故選：A2．(2024·北京房山區(qū))已知點，則線段的中點坐標(biāo)為()A． B． C． D．【答案】B【解析】由點，則線段的中點坐標(biāo)為，即.故選：B3．(2024·黑龍江哈爾濱市)直線與直線之間的距離是___________.【答案】【解析】直線可化為：，由平行直線間距離公式可得所求距離.故答案為：.4．(2024·廣西桂林市)已知點，直線．(1)求A點到直線l距離；(2)求過點A且與直線l平行的直線的方程．【答案】(1)；(2).【解析】(1)設(shè)點A到直線l的距離為d，則(2)方法一：∵直線l的斜率，設(shè)過點A且與直線l平行的直線方程為，把點A的坐標(biāo)代入可得，∴過點A且與直線l平行的直線方程為.方法二：設(shè)過點A且與直線l平行的直線方程為,把點A的坐標(biāo)代入可得：，解得,∴過點A且與直線平行的直線方程為.題型五對稱【例5】(1)(2024·全國高三專題練習(xí))點關(guān)于點的對稱點為()A． B．C． D．(2)若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，則直線l2過定點()A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)(3)(2024·黑龍江哈爾濱市)直線關(guān)于對稱的直線方程為()A． B．C． D．【答案】(1)D(2)B(3)A【解析】(1)設(shè)，則，，∴，，∴點，故選：D.(2)由題知直線l1過定點(4,0)，則由條件可知，直線l2所過定點關(guān)于(2,1)對稱的點為(4,0)，故可知直線l2所過定點為(0,2)，故選B.(3)設(shè)直線上一點關(guān)于直線對稱點的坐標(biāo)為，則，整理可得：，，即直線關(guān)于對稱的直線方程為：.故選：A.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】1.點關(guān)于點對稱的求解方法若點M(x1，y1)和點N(x，y)關(guān)于點P(a，b)對稱，則由中點坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))進而求解．2.點關(guān)于直線對稱的解題方法若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，則由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到點P1關(guān)于直線l對稱的點P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．3.線關(guān)于點對稱的求解方法(1)在已知直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo)，再由兩點式求出直線方程；(2)求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．4.線關(guān)于點對稱的實質(zhì)“線關(guān)于點的對稱”其實質(zhì)就是“點關(guān)于點的對稱”，只要在直線上取兩個點，求出其對稱點的坐標(biāo)即可，可統(tǒng)稱為“中心對稱”．【舉一反三】1.過點P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為____________________．【答案】x＋4y－4＝0【解析】設(shè)直線l1與直線l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，把B點坐標(biāo)代入直線l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，所以由兩點式得直線l的方程為x＋4y－4＝0.2.已知直線l：2x－