方法技巧專題19 三角恒等變換（解析版）

方法技巧專題19三角恒等變換解析版一、三角恒等變換問題知識框架二、三角恒等變換方法技巧【一】公式順用、逆用及其變形用1.兩角和差公式：1.兩角和差公式：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ).tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)（α，β，α－β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)）.2.二倍角公司2.二倍角公司sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).變形1：降冪公式:cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)，變形2：半角公式：（1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α）sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα)特別注意：兩角和與差的正切公式有兩種變形形式①tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)或②1?tanα·tanβ＝eq\f(tanα±tanβ,tanα±β).當α±β為特殊角時，常考慮使用變形形式①，遇到1與正切的乘積的和(或差)時常用變形形式②.1.例題【例1】計算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.【解析】(1)方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).方法二原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.【例2】(1)計算：cos2eq\f(π,12)－sin2eq\f(π,12)；【解析】原式＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2).(2)計算：eq\f(1－tan275°,tan75°)；【解析】eq\f(1－tan275°,tan75°)＝2·eq\f(1－tan275°,2tan75°)＝2·eq\f(1,tan150°)＝－2eq\r(3).(3)計算：cos20°cos40°cos80°.【解析】原式＝eq\f(1,2sin20°)·2sin20°cos20°cos40°cos80°＝eq\f(1,2sin20°)·sin40°·cos40°cos80°＝eq\f(1,22sin20°)sin80°cos80°＝eq\f(1,23sin20°)·sin160°＝eq\f(sin20°,23sin20°)＝eq\f(1,8).【例3】(1)eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝________.【解析】eq\r(3)原式＝eq\f(tan45°＋tan15°,1－tan45°tan15°)＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝eq\r(3).(2)化簡：tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°.【解析】方法一tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°＝tan(23°＋37°)(1－tan23°tan37°)＋eq\r(3)tan23°tan37°＝tan60°(1－tan23°tan37°)＋eq\r(3)tan23°tan37°＝eq\r(3).方法二∵tan(23°＋37°)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴eq\r(3)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴eq\r(3)－eq\r(3)tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°，∴tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°＝eq\r(3).（3）已知sinθ＝eq\f(4,5)，eq\f(5π,2)＜θ＜3π，求coseq\f(θ,2)和taneq\f(θ,2).【解析】∵sinθ＝eq\f(4,5)，且eq\f(5π,2)＜θ＜3π，∴cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\f(3,5).由cosθ＝2cos2eq\f(θ,2)－1，得cos2eq\f(θ,2)＝eq\f(1＋cosθ,2)＝eq\f(1,5).∵eq\f(5π,4)＜eq\f(θ,2)＜eq\f(3π,2)，∴coseq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝－eq\f(\r(5),5).taneq\f(θ,2)＝eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝2.2.鞏固提升綜合練習【練習1】化簡cos15°cos45°＋cos75°sin45°的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(\r(3),2)【解析】Bcos15°cos45°＋cos75°sin45°＝cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝eq\f(\r(3),2).【練習2】eq\f(1－\r(3)tan75°,\r(3)＋tan75°)＝________.【解析】－1原式＝eq\f(\f(\r(3),3)－tan75°,1＋\f(\r(3),3)tan75°)＝eq\f(tan30°－tan75°,1＋tan30°tan75°)＝tan(30°－75°)＝－tan45°＝－1.【練習3】在△ABC中，A＋B≠eq\f(π,2)，且tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB，則角C的值為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,4)【解析】A∵tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB?tan(A＋B)·(1－tanAtanB)＝eq\r(3)(tanAtanB－1)．(*)若1－tanAtanB＝0，則cosAcosB－sinAsinB＝0，即cos(A＋B)＝0.∵0<A＋B<π，∴A＋B＝eq\f(π,2)與題設矛盾．∴由(*)得tan(A＋B)＝－eq\r(3)，即tanC＝eq\r(3).又∵0<C<π，∴C＝eq\f(π,3).【練習4】若sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，則sin2α=.【解析】由題意，得(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,9)，∴1＋2sinαcosα＝eq\f(1,9)，即1＋sin2α＝eq\f(1,9)，∴sin2α＝－eq\f(8,9).【二】拆湊角問題三角公式求值中變角的解題思路三角公式求值中變角的解題思路(1)當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；(2)當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，再應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”．1.例題【例1】已知，則的值為()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(2),3)D．－eq\f(2\r(2),3)【答案】A【解析】∵sin＝eq\f(1,3)，∴cos＝cos＝－sin＝－eq\f(1,3).【例2】已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點.若角β滿足sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，則cosβ的值為________．【答案】－eq\f(56,65)或eq\f(16,65)【解析】由角α的終邊過點，得sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5).由sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，得cos(α＋β)＝±eq\f(12,13).由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－eq\f(56,65)或cosβ＝eq\f(16,65).【例3】若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知，則________.【答案】－eq\f(\r(3),3)【解析】tan＝tan＝tan＝－tan＝－eq\f(\r(3),3).【練習2】若，A∈，則sinA的值為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5)或eq\f(4,5) D.eq\f(3,4)【答案】B【解析】∵A∈，∴A＋eq\f(π,4)∈，∴cos（A＋eq\f(π,4)）＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4))))＝－eq\f(\r(2),10)，∴sinA＝sin[（A＋eq\f(π,4)）-eq\f(π,4)]＝sin（A＋eq\f(π,4)）coseq\f(π,4)－cos（A＋eq\f(π,4)）sineq\f(π,4)＝eq\f(4,5).【練習3】已知sin(α?3π10)=A.?45 B.45 C.?【答案】C【解析】因為sin(α?3π【練習4】若sin（）=，則cos（）=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，所以，故選C．【練習5】已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得：本題正確選項：【三】常值代換常數常數“1”的代換:1=sin2α+cos2α,1=2cos2α-cos2α,1=cos2α+2sin2α,1=tanQUOTEπ4.1.例題【例1】已知，．（1）求的值；（2）求的值．【解析】（1）∵，，∴，∴．（2）∵，∴，∴，，．【例2】已知△ABC中,,則tanA=.【解析】解法一：列出方程組由第一個方程得,,代入第二個方程得，即，解得或，因為△ABC中0<A<π,所以sinA>0,，，所以.答案:.解法二：由已知得sinA>0,cosA<0,|sinA|<|cosA|,tanA>-1,由兩邊平方,整理得，即，分子分母同除以得，解得.2.鞏固提升綜合練習【練習1】已知a∈R，sina+2cosa=A．?34或?35 B．?34【答案】B【解析】因為sina+2cosa=所以sin2所以sin2即tan2a+4+4tanatan2a+1當tana=3時，tan2a=當tana=?13時，綜上所述，tan2a=?【練習2】已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】則故選A.【四】輔助角公式y(tǒng)y＝asinωx＋bcosωx＝eq\r(a2＋b2)sin(ωx＋θ)．其中，延申探索：(1)提常數，提出eq\r(a2＋b2)得到y(tǒng)＝asinωx＋bcosωx＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))cosx))(2)定角度，確定一個角θ滿足：cosθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinθ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))一般θ為特殊角，，等，則得到eq\r(a2＋b2)(cosθsinx＋sinθcosx)．(3)化簡、逆用公式得asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ)溫馨提醒1：θ所在的象限由a和b的符號確定:溫馨提醒2：另法asinx＋bcosx=eq\r(a2＋b2)(sinθsinx＋cosθcosx)=eq\r(a2＋b2)cos(x－θ)這里，，（）1.例題【例1】函數f(x)＝sinx－cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值為________．【解析】－1f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).∵－eq\f(π,4)≤x－eq\f(π,4)≤eq\f(π,4)，∴f(x)min＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－1.【例2】已知函數f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))(x∈R)．(1)求函數f(x)的最小正周期；(2)求使函數f(x)取得最大值的x的集合．【解析】(1)∵f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＝eq\r(3)sin[2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))]＋1－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))＝2eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))－\f(1,2)cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))))＋1＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))－\f(π,6)))＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋1，∴f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)當f(x)取得最大值時，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＝1，有2x－eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即x＝kπ＋eq\f(5π,12)(k∈Z)，∴所求x的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).2.鞏固提升綜合練習【練習1】當函數取得最大值時，的值是______【解析】，，這時，即，所以【練習2】如果是奇函數，則= .【解析】，其中，∵為奇函數，所以，即，所以【練習3】已知函數f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))，g(x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,4).(1)求函數f(x)的最小正周期；(2)求函數h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值時x的集合．【解析】(1)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx－\f(\r(3),2)sinx))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx＋\f(\r(3),2)sinx))＝eq\f(1,4)cos2x－eq\f(3,4)sin2x＝eq\f(1＋cos2x,8)－eq\f(31－cos2x,8)＝eq\f(1,2)cos2x－eq\f(1,4)，∴f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝eq\f(1,2)cos2x－eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，當2x＋eq\f(π,4)＝2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－eq\f(π,8)(k∈Z)時，h(x)有最大值eq\f(\r(2),2).此時x的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ－\f(π,8)，k∈Z)))).三、課后自我檢測1．已知sinα＝eq\f(4,5)，且α∈，則sin的值為________．【答案】－eq\f(24＋7\r(3),50)【解析】因為sinα＝eq\f(4,5)，且α∈，所以α∈，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5).因為sin2α＝2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,25).所以sin＝sin2αcoseq\f(π,3)＋cos2αsineq\f(π,3)＝－eq\f(24＋7\r(3),50).2．若，則。【答案】【解析】因為，又，所以，故選B.3．已知，則?！敬鸢浮俊窘馕觥?又,解又，,故故所以故選：A4．已知，，則?！敬鸢浮俊窘馕觥恳驗?，誘導公式可得，，又因為所以5．已知sin（），則sin2x的值為（）【答案】【解析】設,則，6．已知，則?！敬鸢浮俊?，∴，．7．若，，，，則等于?！敬鸢浮俊窘馕觥?，，則，，則，所以，，因此，，8．已知，為銳角，且，，則。A. B. C. D.【答案】C【解析】,選C.9．已知角的始邊是軸非負半軸．其終邊經過點，則的值為__________．【答案】【解析】由題意得:,且,故填.10．在平面直角坐標系中，角的頂點與原點重合，始邊與x的非負半軸重合，終邊過點，則______________?！敬鸢浮?；【解析】由題意，角的終邊過點，求得，利用三角函數的定義，求得，又由.平面直角坐標系中，點是單位圓在第一象限內的點，，若，則為_____．【答案】【解析】由題意知：，，由，得，，故答案為：.12．若，則（）【答案】【解析】由題意得，，則.，故選.13．已知，則的值為?！敬鸢浮俊窘馕觥恳驗?，所以，14．已知均為銳角，滿足，則?！敬鸢浮俊窘馕觥坑梢阎痢ⅵ戮鶠殇J角，，，又cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝，∵0＜α+β＜π，∴α+β＝．15．若，則?！敬鸢浮俊窘馕觥苛?，則由，可得16．已知，，則________.【答案】.【解析】∵，，平方相加可得即由降冪公式可得求得.17．若，則________．【答案】【解析】由題意，，通分可得，，，，所以本題答案為.已知，則__________．【答案】【解析】因為，所以，應填答案。19．若，則________．【答案】【解析】，則，故答案為.20．若，則________.【答案】【解析】由題意可得：，即：，解方程可得：.21．已知α∈，β∈，且cos＝eq\f(3,5)，sin＝－eq\f(12,13)，則cos(α＋β)＝________.【答案】－eq\f(33,65)【解析】∵α∈，∴eq\f(π,4)－α∈，又cos＝eq\f(3,5)，∴sin＝－eq\f(4,5)，∵sin＝－eq\f(12,13)，∴sin＝eq\f(12,13)，又∵β∈，eq\f(π,4)＋β∈，∴cos（eq\f(π,4)＋β）＝eq\f(5,13)，∴cos(α＋β)＝cos[-]＝coscos＋sinsin＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)－eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝－eq\f(33,65).22．（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【解析】（1）由題得.（2）,所以.23．已知是方程的根，是第三象限角.（1）求的值；（2）已知，若是第三象限角，且，求的值.【解析】(1)∵方程5x2－7x－6＝0的根為或2，又是第三象限角，∴sin＝，∴cos＝－＝，，∴原式.(2).，又α是第三象限角，.故.24．已知關于x的方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的兩根分別是sinθ和cosθ，