【19題結(jié)構(gòu)】 第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明一、單選題1．三點(diǎn)，，在同一條直線上，則的值為（

）A．2 B．4 C． D．2．已知，則下列向量是平面ABC法向量的是（）A． B．C． D．3．若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．4．已知直三棱柱中，底面為等邊三角形，為的中點(diǎn)，平面截該三棱柱所得的截面是面積為9的正方形，則該三棱柱的側(cè)面積是（

）A． B．9 C．18 D．305．已知圓：（）截直線所得線段的長(zhǎng)度是，則圓與圓：的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)切 B．相離 C．外切 D．相交6．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，圓與的漸近線在第二象限的交點(diǎn)為，若，則的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．7．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．8．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn)射向點(diǎn)，遇長(zhǎng)方體的面反射（反射服從光的反射原理），將次到第次反射點(diǎn)之間的線段記為（），，將線段，，，豎直放置在同一水平線上，則（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知直線：，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線在軸上的截距為1 B．直線與直線：平行C．直線的一個(gè)方向向量為 D．直線與直線：垂直10．已知正方體的棱長(zhǎng)為，，，其中，，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．若平面，則 B．若平面，則C．存在，，使得 D．存在，使得對(duì)于任意的，都有11．已知橢圓C：，，分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．橢圓離心率為 B．C．若，則的面積為9 D．最小值為第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明三、填空題12．直線與圓相交，所得的弦的長(zhǎng)為.13．在三棱錐中，與中點(diǎn)分別為，點(diǎn)為中點(diǎn)．若在上滿足在上滿足，平面交于點(diǎn)，且，則．14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，直線、分別與拋物線交于、兩點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，則.四、解答題15．已知直線l過(guò)點(diǎn)，根據(jù)下列條件分別求直線l的方程：(1)直線l的傾斜角為45°；(2)直線l在x軸、y軸上的截距相等．16．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為4，平面平面，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，且，已知是的中點(diǎn)．以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．（1）求向量，的坐標(biāo)；（2）求異面直線與所成角的大小．17．已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程．18．如圖，在中，，，，沿BD將翻折到的位置，使平面平面.（1）求證：平面；（2）若在線段上有一點(diǎn)M滿足，且二面角的大小為，求的值.19．我們將離心率相等的所有橢圓稱為“一簇橢圓系”．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為．(1)若橢圓與橢圓在“一簇橢圓系”中，求常數(shù)的值；(2)設(shè)橢圓，過(guò)作斜率為的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值，并求其最小值；(3)若橢圓與橢圓在“一簇橢圓系”中，橢圓上的任意一點(diǎn)記為求證：的垂心必在橢圓上．關(guān)注公眾號(hào)《品數(shù)學(xué)》參考答案：題號(hào)12345678910答案DCBCDCDDBDAD題號(hào)11答案BCD1．D【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率表達(dá)式得到方程，解出即可.【解析】顯然，則，即，解得.故選：D.2．C【分析】根據(jù)題意得到的坐標(biāo)，然后根據(jù)法向量的求法，列出方程即可得到結(jié)果.【解析】設(shè)平面ABC法向量為，則所以，化簡(jiǎn)得，則故選:C.3．B【分析】先由橢圓方程可得蒙日?qǐng)A方程，再由兩個(gè)圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)可得圓心距等于半徑之和或者圓心距等于半徑差的絕對(duì)值，進(jìn)而可得的值.【解析】由題意可知的蒙日?qǐng)A方程為，因?yàn)閳A與圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以兩圓內(nèi)切或外切，故圓心距等于半徑之和或者圓心距等于半徑差的絕對(duì)值，所以或，由此解得.故選：B.4．C【分析】求出正三角形的邊長(zhǎng)和直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)，即得該三棱柱的側(cè)面積.【解析】由題得截面正方形的邊長(zhǎng)為3，所以直三棱柱的側(cè)棱為3，底面正三角形的高為3，所以底面正三角形的邊長(zhǎng)為，所以該三棱柱的側(cè)面積是.故選：C【小結(jié)】本題主要考查棱柱的側(cè)面積的計(jì)算和截面問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5．D【分析】變換得到，根據(jù)弦長(zhǎng)公式解得，再判斷兩圓的位置關(guān)系得到答案.【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（），圓心到直線的距離，得，與圓心距為，且，即兩個(gè)圓相交.故選：D.【小結(jié)】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)于圓相關(guān)知識(shí)的掌握.6．C【分析】由解得，根據(jù)三角函數(shù)的定義知，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求得，，由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式和正弦定理計(jì)算可得，結(jié)合離心率的概念即可求解.【解析】如圖，由題意知，雙曲線的漸近線方程為，則，解得，所以,由三角函數(shù)的定義知，又，且顯然為銳角，，又，解得，，則，在中，由正弦定理可得，即，化簡(jiǎn)得，所以的離心率為．故選：C．7．D【分析】設(shè)Px,y，根據(jù)題意求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心、4為半徑的圓的一部分，結(jié)合圖形分析可知圓心角，即可得結(jié)果.【解析】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)Px,y，因?yàn)?，即，整理得．所以?dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心、4為半徑的圓的一部分．設(shè)圓與線段交于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)，因?yàn)樵谥?，，，則，可知，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．故選：D．8．D【分析】依次求出各反射點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間兩點(diǎn)之間的距離公式求出線段，，，的長(zhǎng)度即可.【解析】直線的方程為：，交平面于點(diǎn)，所以；直線被平面反射，反射線方程為：，交平面于點(diǎn)，所以；直線被平面反射，反射線方程為：，交平面于點(diǎn)，所以；直線被平面反射，反射線方程為：交平面于點(diǎn)，所以.所以.故選：D【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：因?yàn)橹本€是與長(zhǎng)方體的各個(gè)面相交，所以時(shí)刻要注意條件.9．BD【分析】求出直線的橫截距及方向向量判斷AC；由方程判斷兩直線的位置關(guān)系判斷BD.【解析】對(duì)于A，直線在軸上的截距為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線與直線的斜率均為，它們的橫截距分別為，則，B正確；對(duì)于C，直線的一個(gè)方向向量為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，D正確.故選：BD10．AD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，根據(jù)共面向量定理可判斷選項(xiàng)A，利用直線方向向量和面法向量垂直可判斷線面平行，可判斷選項(xiàng)B，通過(guò)向量求得模長(zhǎng)，根據(jù)條件判斷方程是否有解，可判斷C，向量數(shù)量積為，可判斷D.【解析】以為原點(diǎn)，所在直線為建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，面為點(diǎn)，.設(shè)，又,又因?yàn)辄c(diǎn)面，所以若平面，則，故A正確.面的法向量，,,,平面,，，故B錯(cuò)誤.,若,,,,令，易得，，，在無(wú)解，故C錯(cuò)誤.,,,故D正確.故選：AD11．BCD【分析】由橢圓方程得到的值，根據(jù)離心率的公式可判斷A，根據(jù)橢圓的定義可判斷B，根據(jù)勾股定理和橢圓的定義可得到，從而由三角形面積公式可判斷C，由基本不等式可判斷D．【解析】由橢圓方程可知，，所以橢圓的離心率，故A錯(cuò)誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因?yàn)?，所以，∴，解得，所以的面積為，故C正確；∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴最小值為，故D正確．故選：BCD．12．【分析】寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算即得.【解析】因?yàn)閳A即：，則圓心到直線的距離：，由弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)為：.故答案為：.13．【分析】利用向量的線性運(yùn)算，結(jié)合四點(diǎn)共面，即可求解的值.【解析】由條件可知，,因?yàn)?，，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)四點(diǎn)共面，所以，解得：故答案為：14．【分析】設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，設(shè)、，結(jié)合韋達(dá)定理可得出，，利用斜率公式可求得的值.【解析】當(dāng)直線與軸重合時(shí)，直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，設(shè)點(diǎn)、，易知點(diǎn)，易知，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，同理可得，所以，.故答案為：.【小結(jié)】方法小結(jié)：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．15．(1)(2)或【分析】（1）由點(diǎn)斜式即可求解；（2）分截距是否為0進(jìn)行討論即可求解.【解析】（1）因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)，直線l的傾斜角為45°；所以所求為，即；（2）當(dāng)直線l在x軸、y軸上的截距都為0時(shí)，所求為，當(dāng)直線l在x軸、y軸上的截距都為時(shí)，設(shè)所求為，由題意，解得符合題意，故所求為；綜上所述，符合題意的直線方程為或.16．（1），；（2）．【分析】（1）標(biāo)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)和點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，即得解；（2）利用異面直線所成角的向量公式，即得解【解析】（1）由空間直角坐標(biāo)系可得，，，，則，．（2）所以異面直線與所成角的大小為．17．(1)(2)或【分析】（1）先求出線段的垂直平分線方程，再與直線聯(lián)立，求出交點(diǎn)，即為圓心坐標(biāo)，再求出半徑，可得圓的方程；（2）先根據(jù)弦，弦心距和半徑的關(guān)系求出弦心距，然后分直線斜率存在和不存在兩種情況求解即可.【解析】（1）由題知，所求圓的圓心為線段的垂直平分線和直線的交點(diǎn)．線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率，所以，的垂直平分線的方程為即．聯(lián)立得，解得圓心．半徑．所以，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意知圓心到直線的距離為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即．所以，，解得，所以直線的方程為．當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，符合題意．所以，直線的方程為或．18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）中由余弦定理可知，作于點(diǎn)，由面面垂直性質(zhì)定理得平面，所以，再利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理可以證得平面；（2）以為原點(diǎn)，以方向?yàn)閤軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由二面角的大小為列關(guān)于的方程解之即可.【解析】（1）中，由余弦定理，可得.，，.作于點(diǎn)F，平面平面，平面平面，平面.又平面，.又，，∴CB⊥平面.又平面，.又，，平面.（2）由（1）知DA，DB，兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，以方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)，則，由，設(shè)平面MDB的一個(gè)法向量為，則由，取.平面CBD的一個(gè)法向量可取，二面角的大小為.，.【小結(jié)】（1）考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用；（2）考查用空間向量求二面角，考查數(shù)形結(jié)合，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解，考查學(xué)生的運(yùn)算能力與空間想象能力，屬于中檔題.19．(1)或1(2)當(dāng)時(shí)，取得最小值(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）計(jì)算橢圓離心率的等量關(guān)系，求解即可.（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，可得出與的關(guān)系，結(jié)合不等式可求出最小值；（3）先由“一簇橢圓系”定義計(jì)算橢圓的方程，再根據(jù)垂心的性質(zhì)計(jì)算垂心與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，代入點(diǎn)滿足的橢圓方程，即可證明.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率，故由條件得，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得．綜上，或1．（2）易得，所以直線