常見函數(shù)圖象的對稱性及其重要推論

第1頁共8頁常見函數(shù)圖象的對稱性及其重要推論一、幾種常見函數(shù)的圖象的對稱性：⑴一次函數(shù)與常數(shù)函數(shù)：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點都是它的對稱中心，與該直線相互垂直的直線都是它的對稱軸.⑵二次函數(shù)(a≠0)：是軸對稱，不是中心對稱，其對稱軸為直線x＝－.⑶三次函數(shù)：(a≠0)是中心對稱，對稱中心是.此結論可用圖象變換法證明如下：假設其對稱中心為(m,n)，按向量將其圖象平移，則所得函數(shù)是奇函數(shù)，有，化簡得＝0，此式對x∈R恒成立，所以，得，，即其對稱中心是.⑷反比例函數(shù)：既是軸對稱又是中心對稱，其對稱中心是原點，對稱軸是y＝±x.⑸冪函數(shù)：冪函數(shù)中的奇函數(shù)是中心對稱，對稱中心是原點；冪函數(shù)中的偶函數(shù)是軸對稱，對稱軸是y軸；其他冪函數(shù)不具對稱性.⑹正弦函數(shù)：既是軸對稱又是中心對稱，對稱中心為(kπ,0)(k∈Z)，對稱軸為(k∈Z).正弦型函數(shù)既是軸對稱又是中心對稱，對稱中心為(，0)(k∈Z)，對稱軸為(k∈Z).⑺余弦函數(shù)：既是軸對稱又是中心對稱，對稱中心為(,0)(k∈Z)，對稱軸為(k∈Z).⑻正切函數(shù)：是中心對稱，不是軸對稱，(,0)(k∈Z)是它的對稱中心.⑼對勾函數(shù)是奇函數(shù)，所以是中心對稱，原點是它的對稱中心.二、常見的兩個函數(shù)圖象之間的對稱性：⑴函數(shù)與的圖象關于x軸對稱⑵函數(shù)與的圖象關于y軸對稱⑶函數(shù)與的圖象關于原點成中心對稱⑷函數(shù)與且的圖象關于直線對稱三、同一函數(shù)圖象自身的對稱性性質1：如果函數(shù)對定義域內任意x恒有，則函數(shù)的圖象關于直線對稱.我們可用解析法證明：設是圖象上的任意一點，有，它關于直線的對稱點坐標為.在中，令，可得，所以有＝＝＝，即點也在圖象上，從而函數(shù)的圖象關于直線對稱.上述性質1中，若，則可得以下推論1.1：如果函數(shù)對定義域內任意x恒有，則函數(shù)的圖象關于直線對稱.進而當時，又可得以下推論1.2：如果函數(shù)對定義域內任意x恒有(等價于)，則函數(shù)的圖象關于直線對稱.特別的，當時，從推論1.2可得如下推論1.3：如果函數(shù)對定義域內任意x恒有，則函數(shù)的圖象關于y軸對稱.這就是偶函數(shù)的性質.性質2：如果函數(shù)對定義域內任意x恒有，，則函數(shù)的圖象關于點成中心對稱.我們可以用這樣一種思路來證明：既然函數(shù)對定義域內任意x恒有，那么函數(shù)的圖象上的兩點與的坐標之間就存在著這樣的關系：，＝＝，也就是說，點是點P和點的中點，由x的任意性和中心對稱的定義可知，函數(shù)的圖象關于點成中心對稱.相應的，我們可以得到：推論2.1：如果函數(shù)對定義域內任意x恒有＝，則函數(shù)的圖象關于點成中心對稱.推論2.2：如果函數(shù)對定義域內任意x恒有＝2b－(等價于)，則函數(shù)的圖象關于點成中心對稱.推論2.3：如果函數(shù)對定義域內任意x恒有，則函數(shù)的圖象關于原點對稱.這就是奇函數(shù)的性質.四、兩個函數(shù)圖象之間的對稱性性質3：函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱.我們不妨用圖象變換法來證明.因為＝，＝，所以，將函數(shù)的圖象按向量得到的圖象，將函數(shù)的圖象按向量得到的圖象.由軸對稱的定義易證函數(shù)與的圖象關于y軸對稱，與的圖象也關于y軸對稱，從而函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱.相應的，我們可以得到：推論3.1：函數(shù)與的圖象關于直線對稱.推論3.2：函數(shù)與的圖象關于y軸對稱.推論3.3：函數(shù)與的圖象關于y軸對稱.性質4：函數(shù)與函數(shù)的圖象關于點成中心對稱.我們可以用解析法來證明.在函數(shù)的圖象上任取一點，則.點P關于的對稱點坐標為.所以＝-＝＝＝，即點在函數(shù)的圖象上.所以，函數(shù)與的圖象關于點成中心對稱.相應的，我們可以得到：推論4.1：函數(shù)與函數(shù)的圖象關