方法技巧專題09 直線與圓錐曲線 (解析版)

；方法技巧專題9直線與圓錐曲線解析版一、知識(shí)框架二、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：1.代數(shù)法：把圓錐曲線方程與直線方程聯(lián)立，消去(也可以消去)，整理得到關(guān)于（或者）的一元方程.（1）當(dāng)時(shí)：計(jì)算.若Δ＞0，則與相交；若Δ＝0，則與相切；若Δ＜0，則與相離；當(dāng)且時(shí)：即得到一個(gè)一次方程，則與相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)。若為雙曲線，則直線與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若為拋物線，則直線與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平行或重合．2.幾何法：在同一直角坐標(biāo)系中畫出圓錐曲線和直線的圖像，利用圖象和性質(zhì)可判斷與的位置關(guān)系．1.例題【例1】已知橢圓，直線：，直線與橢圓的位置關(guān)系是（）相離 B．相交 C．相切 D．不確定【解析】直線：化為，可得直線恒過點(diǎn)，由可知該點(diǎn)在橢圓內(nèi)部.所以直線與橢圓相交，故選：B.【例2】已知點(diǎn)為曲線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，的橫坐標(biāo)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則直線與橢圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．位置關(guān)系不確定【解析】由，得，因?yàn)榈臋M坐標(biāo)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以是方程的兩根，因此，又點(diǎn)為曲線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以因此直線的方程為：，即，即直線恒過定點(diǎn)，又點(diǎn)顯然在橢圓內(nèi)，因此直線與橢圓必相交.故選：C.【例3】已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，若的最小值是，則實(shí)數(shù)__________.【解析】依題意橢圓，則，，又因?yàn)?，是直線上一點(diǎn)，若的最小值是，則此直線與橢圓相切.由消去并化簡得，判別式，解得.故答案為：.【例4】直線與曲線（）A．沒有交點(diǎn) B．只有一個(gè)交點(diǎn) C．有兩個(gè)交點(diǎn) D．有三個(gè)交點(diǎn)【解析】當(dāng)時(shí)，曲線為，與直線方程聯(lián)立得：解得：，此時(shí)直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，曲線為，與直線方程聯(lián)立得：解得：（舍），此時(shí)直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)綜上所述：直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)故選：【例5】已知直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】雙曲線漸近線為，直線過定點(diǎn).畫出雙曲線的圖像以及雙曲線漸近線的圖像如下圖所示，由圖可知，要使直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)，則，結(jié)合選項(xiàng)可知只有D選項(xiàng)符合.由消去得，化簡得，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)，所以，解得.故選：D.【例6】已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與圓相切于點(diǎn)，且直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為______.【解析】如圖，由題可知，，則，又，，，又，作，可得，，則在，，即，又，化簡可得，同除以，得解得，雙曲線的離心率為【例7】若直線是拋物線的一條切線，則_________【解析】聯(lián)立直線和拋物線得到．故答案為：.【例8】已知拋物線的方程為，過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與拋物線沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【解析】據(jù)已知可得直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，得，消元整理，得，由于直線與拋物線無公共點(diǎn)，即方程無解，故有，解得或.【例9】過點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【解析】畫出圖像如下圖所示，由圖可知，這兩條直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，另外過點(diǎn)還可以作出一條與拋物線相切的直線，故符合題意的直線有條，故選C.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知曲線與曲線怡好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【解析】雙曲線的方程為，所以，曲線的圖象與曲線的圖象必相交于點(diǎn)，為了使曲線與曲線恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，將代入方程，整理可得.①當(dāng)時(shí)，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，由于曲線與曲線恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，，且是方程的根，則，解得.所以，當(dāng)時(shí)，.根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，可求得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【練習(xí)2】對(duì)不同的實(shí)數(shù)值,討論直線與橢圓的位置關(guān)系.【解析】由消去得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線與橢圓相交；當(dāng)，此時(shí)直線與橢圓相切；當(dāng)，此時(shí)直線與橢圓相離.【練習(xí)3】過點(diǎn)和雙曲線僅有一交點(diǎn)的直線有（）A．1條 B．2條 C．4條 D．不確定【解析】直線斜率不存在時(shí),不滿足條件；直線斜率存在時(shí),與漸近線平行的直線,滿足題意∴過點(diǎn)和雙曲線僅有一交點(diǎn)的直線有2條故選:B．【練習(xí)4】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線與雙曲線的右支一定有兩個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】雙曲線的漸近線方程為，由題意可知，雙曲線漸近線的傾斜角范圍是，漸近線斜率，而，由此得不等式，即，故，所以，故選：C．【練習(xí)5】已知拋物線，直線l過定點(diǎn)(-1,0)，直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率是__________.【解析】由題意可設(shè)直線方程為：y＝k（x+1），聯(lián)立方程可得，，整理可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0（*）直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)?（*）只有一個(gè)根①k＝0時(shí)，y＝0符合題意②k≠0時(shí)，△＝（2k2﹣4）2﹣4k4＝0整理，得k2＝1，解得或k＝﹣1．綜上可得，或k＝﹣1或k＝0．故答案為﹣1或0或1【練習(xí)6】已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過作直線與拋物線相切，切點(diǎn)為，則的面積為（）A．32 B．16 C．8 D．4【解析】拋物線的焦點(diǎn)為,橢圓的焦點(diǎn)為,所以,即,所以拋物線方程為:,則為,設(shè)直線為,則聯(lián)立,消去,可得,因?yàn)橹本€與拋物線相切,所以,則,當(dāng)時(shí),直線為,則點(diǎn)為,則,由拋物線的對(duì)稱性,當(dāng)時(shí),,故選:C三、直線與圓錐曲線中的弦長與面積問題【一】弦長公式弦長公式：弦長公式：（1）題設(shè)：若斜率為的直線與圓錐曲線方程有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則或；（2）通徑：=1\*GB3①過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在軸垂直的弦，長度為：eq\f(2b2,a)；=2\*GB3②過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦，長度為：eq\f(2b2,a)；（3）題設(shè)：若斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，其中，則=1\*GB3①；=2\*GB3②；（4）題設(shè)：若斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，其中，則=1\*GB3①；=2\*GB3②；1.例題【例1】斜率為1的直線l與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為()A．2B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(4\r(10),5)D.eq\f(8\r(10),5)【解析】選C設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，則x1＋x2＝－eq\f(8,5)t，x1x2＝eq\f(4t2－1,5).∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))＝eq\f(4\r(2),5)·eq\r(5－t2)，當(dāng)t＝0時(shí)，|AB|max＝eq\f(4\r(10),5).【例2】已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(6),3)，焦距為2eq\r(2).斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B.(1)求橢圓M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值．【解析】(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝b2＋c2，,\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,2c＝2\r(2)，))解得a＝eq\r(3)，b＝1.所以橢圓M的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(3m,2)，x1x2＝eq\f(3m2－3,4).所以|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(2x2－x12)＝eq\r(2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(\f(12－3m2,2)).當(dāng)m＝0，即直線l過原點(diǎn)時(shí)，|AB|最大，最大值為eq\r(6).【例3】橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e＝eq\f(1,2)，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為8.(1)求橢圓E的方程；(2)若直線AB的斜率為eq\r(3)，求△ABF2的面積．【解析】(1)由題意知，4a＝8，所以a＝2，又e＝eq\f(1,2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，c＝1，所以b2＝22－1＝3，所以橢圓E的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)設(shè)直線AB的方程為y＝eq\r(3)(x＋1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得5x2＋8x＝0，解得x1＝0，x2＝－eq\f(8,5)，所以y1＝eq\r(3)，y2＝－eq\f(3\r(3),5).所以S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋\f(3\r(3),5)))＝eq\f(8\r(3),5).【例4】已知是拋物線的焦點(diǎn)，則過作傾斜角為的直線分別交拋物線于（在軸上方）兩點(diǎn)，則的值為()A． B． C． D．【解析】，∴.【例5】設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．【解析】(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq\f(4k2＋4,k2).由題設(shè)知eq\f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝1或k＝－1(舍去)．因此l的方程為y＝x－1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝－x0＋5，,x0＋12＝\f(y0－x0＋12,2)＋16.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,y0＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝11，,y0＝－6.))因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.【例6】已知拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)為F，過F作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝6，則|BF|＝________.【解析】不妨設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(A在B上方)，根據(jù)焦半徑公式|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋4＝6，所以x1＝2，y1＝4eq\r(2)，所以直線AB的斜率為k＝eq\f(4\r(2),2－4)＝－2eq\r(2)，所以直線方程為y＝－2eq\r(2)(x－4)，與拋物線方程聯(lián)立得x2－10x＋16＝0，即(x－2)(x－8)＝0，所以x2＝8，故|BF|＝8＋4＝12.答案：12【例7】已知斜率為1的直線l與雙曲線y2＝1的右支交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則直線l的方程為（）y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x【解析】設(shè)斜率為1的直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，可得，設(shè)，，，，可得，，則，解得，由于直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，可得，則直線的方程為．故選：．【例8】過雙曲線的左焦點(diǎn)作弦，使，則這樣的直線的條數(shù)為______.【解析】當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，直線方程為，此時(shí)把代入雙曲線方程中可得：，此時(shí)，這樣有兩條直線過左焦點(diǎn)作弦只與雙曲線左支相交，使；直線與雙曲線左右兩支都相交時(shí)，弦的最小值為，所以過左焦點(diǎn)作弦與左右兩支都相交，使的直線是不存在的.故答案為：2【例9】已知雙曲線（1）求直線被雙曲線截得的弦長；（2）過點(diǎn)能否作一條直線與雙曲線交于兩點(diǎn),且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)？【解析】（1）設(shè)直線與的交點(diǎn)聯(lián)立方程組，化簡得：，解得，所以，所以弦長（2）假設(shè)存在直線與雙曲線交于兩點(diǎn),且點(diǎn)是線段的中點(diǎn).設(shè),,易知,由兩式相減得,又,，所以,所以,故直線的方程為,即.由,消去得,因?yàn)?方程無解,故不存在一條直線與雙曲線交于兩點(diǎn),且點(diǎn)是線段的中點(diǎn).2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且經(jīng)過點(diǎn)Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2))).(1)求橢圓C的方程；(2)過F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方)，若eq\o(AF1,\s\up7(→))＝2eq\o(F1B,\s\up7(→))，求直線l的斜率k的值．【解析】(1)設(shè)橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝|EF1|＋|EF2|＝4，,a2＝b2＋c2，,c＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝1，,b＝\r(3)，))所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由題意得直線l的方程為y＝k(x＋1)(k＞0)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,k2)＋4))y2－eq\f(6,k)y－9＝0，則Δ＝eq\f(144,k2)＋144＞0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝eq\f(6k,3＋4k2)，y1y2＝eq\f(－9k2,3＋4k2)，又eq\o(AF1,\s\up7(→))＝2eq\o(F1B,\s\up7(→))，所以y1＝－2y2，所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，則3＋4k2＝8，解得k＝±eq\f(\r(5),2)，又k＞0，所以k＝eq\f(\r(5),2).【練習(xí)2】已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）過點(diǎn)的直線方程為，則原點(diǎn)到直線的距離，由，得，解得離心率.（Ⅱ）由（1）知，橢圓的方程為.依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，且.易知，不與軸垂直.設(shè)其直線方程為，代入（1）得.設(shè)，則，.由，得，解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.【練習(xí)3】已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線與的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為．（1）若，求的方程；（2）若，求．【答案】（1）；（2）.【解析】設(shè)直線．（1）由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得．由，可得，則．從而，得．所以的方程為．（2）由可得．由，可得．所以．從而，故．代入的方程得．故．【練習(xí)4】如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，且，則為（）A． B． C． D．【解析】設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，作垂直于準(zhǔn)線，垂足為.由，得：，由拋物線定義可知：，設(shè)直線的傾斜角為，由拋物線焦半徑公式可得：，解得：，，解得：，本題正確選項(xiàng)為B.【練習(xí)5】已知復(fù)數(shù)滿足：（），且在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過點(diǎn).（1）求的軌跡；（2）若過點(diǎn)，傾斜角為的直線交軌跡于、兩點(diǎn)，求的面積.【解析】（1）由于復(fù)數(shù)滿足：（），所以在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之差為常數(shù)，且.所以的軌跡是雙曲線的右支.且.設(shè)軌跡的方程為，將點(diǎn)代入上式得，解得或（舍去），所以的軌跡方程為.（2）依題意，直線的方程為，由消去得.設(shè)，則.所以.到直線的距離為.所以.【練習(xí)6】已知雙曲線C：與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線C過點(diǎn)．(1)若雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線C上有一點(diǎn)P，使得，求△的面積；(2)過雙曲線C的右焦點(diǎn)作直線l與雙曲線右支交于A，B兩點(diǎn)，若△的周長是，求直線l的方程．【解析】(1)設(shè)雙曲線C：，點(diǎn)代入得：

∴雙曲線C：在△PF1F2中，設(shè)

，∴

，由②得：，，

，∴；(2)∵

∴

，1°當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，，不符合題意（舍）2°當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB：

，聯(lián)立：

，∴，解得：，此時(shí)

，∴直線l方程：或.【二】面積問題面積問題：面積問題：涉及面積的計(jì)算問題，常用到三角形面積公式、焦點(diǎn)三角形面積公式、點(diǎn)到直線的距離公式，或把待求面積分解成兩個(gè)易于求和的三角形面積之和.(1)橢圓焦點(diǎn)三角形面積：(2)雙曲線焦點(diǎn)三角形面積：(3)拋物線：=1\*GB3①題設(shè)：若斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于兩點(diǎn)，其中，則：.=2\*GB3②題設(shè)：若斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于兩點(diǎn)，其中，則：.1.例題【例1】過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)是原點(diǎn),若;則的面積為（）A． B． C． D．【解析】拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由得或所以，故答案為C．【例2】已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，直線與拋物線相切于點(diǎn)，連接交拋物線于另一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交拋物線于另一點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）求三角形面積的最小值【解析】（1）由得,設(shè)直線的方程為,由得,因?yàn)橹本€與拋物線相切,故,解得.故所求直線的方程,即.（2）設(shè)切線的方程為,,,又由,,三點(diǎn)共線,故,,,化簡可得,,,由得,因?yàn)橹本€與拋物線相切,故,即,故直線的方程為,,因此點(diǎn)到直線的距離為,由得,,,故,所以等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)三角形面積的最小值為16.【例3】已知點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且．若△的面積為9，則_______【解析】,的面積為9，設(shè)，．則可得：，即，解得．【例4】已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.【解析】（1）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時(shí).所以點(diǎn)到直線的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時(shí)取等號(hào)，滿足所以的面積最大時(shí)直線的方程為：或.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】拋物線的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A,,垂足為K,則的面積是()A．4 B． C． D．8【解析】由拋物線可得,因?yàn)樾甭蕿?則直線方程為,聯(lián)立,消得,解得,,因?yàn)榻稽c(diǎn)在軸上方,所以,則,則,則由拋物線定義可得,因?yàn)橹本€斜率為,即傾斜角為,因?yàn)?所以軸,即,所以,故選:C【練習(xí)2】已知為橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的焦點(diǎn)，，則的面積為________．【解析】由橢圓方程得：，，設(shè)，，則在中，由余弦定理得：解得：【練習(xí)3】如圖所示,直線與橢圈交于A?B兩點(diǎn),記面積為S;(1)求在,的條件下S的最大值;(2)當(dāng),,時(shí),求直線的方程;【解析】設(shè),,（1）當(dāng)時(shí),,聯(lián)立,即,所以,,所以,則,因?yàn)?所以設(shè),則,,則,因?yàn)?所以,則的最大值為1（2）因?yàn)?,所以,即,聯(lián)立,則,所以,,則,整理可得,解得,所以或（舍）,則,所以或,所以直線的方程為或【練習(xí)4】已知橢圓：的離心率為，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成四邊形的面積為4.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)在圓上，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最大值.【解析】（Ⅰ）由題意知，得，，所以，由橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為4，得，所以，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，令，得，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè):，，，，由，得，則，，所以，，將代入，得，又因?yàn)?，原點(diǎn)到直線的距離，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).綜上所述，面積的最大值為1.四、課后自我檢測(cè)1.已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則等于（）A． B．6 C．7 D．8【解析】方法一：設(shè)為,為,聯(lián)立得,因?yàn)?則,所以方法二：故選：D2.已知直線y＝－x＋1與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)相交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)，焦距為2，則線段AB的長是()A.eq\f(2\r(2),3)B.eq\f(4\r(2),3)C.eq\r(2)D．2【解析】選B由條件知c＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以a＝eq\r(2)，b＝1，橢圓方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，－\f(1,3)))，所以|AB|＝eq\f(4\r(2),3).3.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞0)，過右焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝1，則該橢圓的離心率為________．【解析】因?yàn)闄E圓eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a＞0)的焦點(diǎn)在x軸上，所以c＝eq\r(a2－1)，又過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線為x＝c，將其代入橢圓方程中，得eq\f(c2,a2)＋y2＝1，則y＝±eq\r(1－\f(c2,a2))，又|AB|＝1，所以2eq\r(1－\f(c2,a2))＝1，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(3,4)，所以該橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)4.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，則線段的長是（）A. B. C. D.【解析】方法一：當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，不符合題設(shè)；當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)方程為，即.點(diǎn)到直線距離.聯(lián)立得，設(shè),則由韋達(dá)定理得,,,所以由弦長公式得,,因?yàn)榈拿娣e為,所以，所以，所以.故選C.方法二：，所以，所以5.若直線l交雙曲線的左，右兩支于A，B兩點(diǎn)，