《壓軸題》初中數學同步八年級上冊北師版第一章勾股定理含答案及解析

試卷第=page44頁，共=sectionpages134134頁第一章勾股定理內容導航知識點類型一、兩點間距離公式的應用類型二、以直角三角形的邊為邊的圖形面積問題類型三、勾股定理在網格圖中的應用類型四、折疊背景下的勾股定理應用類型五、應用勾股定理證明線段的平方關系類型六、勾股定理的證明類型七、勾股定理與弦圖類型八、應用勾股定理構造圖形解決問題類型九、勾股定理的實際應用類型十、綜合問題中的勾股定理應用知識點1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．知識點2．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．知識點3．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．知識點4．勾股數勾股數：滿足a2+b2＝c2的三個正整數，稱為勾股數．說明：①三個數必須是正整數，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數，所以它們不是夠勾股數．②一組勾股數擴大相同的整數倍得到三個數仍是一組勾股數．③記住常用的勾股數再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…知識點5．勾股定理的應用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊．知識點6．平面展開-最短路徑問題（1）平面展開﹣最短路徑問題，先根據題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構造直角三角形解決問題．（2）關于數形結合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數和形的結合，所以我們在解決有關結合問題時的關鍵就是能從實際問題中抽象出數學模型．類型一、兩點間距離公式的應用1．如圖，動點從（0，3）出發(fā)，沿軸以每秒1個單位長度的速度向下移動，同時動點從出發(fā)，沿軸以每秒2個單位長度的速度向右移動，當點移動到點時，點、同時停止移動．點在第一象限內，在、移動過程中，始終有，且．則在整個移動過程中，點移動的路徑長為（

）A． B． C． D．2．已知為實數，則代數式的最小值為．3．在紙片中，，，.如圖，直角頂點在原點，點在軸負半軸上，當點在軸上向上移動時，點也隨之在軸上向右移動，當點到達原點時，點停止移動.在移動過程中，點到原點的最大距離是．4．閱讀理解：在平面直角坐標系中，任意兩點A（x1，y1），B（x2，y2）之間的位置關系有以下三種情形；①如果AB∥x軸，則y1＝y(tǒng)2，AB＝|x1﹣x2|②如果AB∥y軸，則x1＝x2，AB＝|y1﹣y2|③如果AB與x軸、y軸均不平行，如圖，過點A作與x軸的平行線與過點B作與y軸的平行線相交于點C，則點C坐標為（x2，y1），由①得AC＝|x1﹣x2|；由②得BC＝|y1﹣y2|；根據勾股定理可得平面直角坐標系中任意兩點的距離公式AB＝．小試牛刀：（1）若點A坐標為（﹣2，3），B點坐標為（3，3）則AB＝；（2）若點A坐標為（3，2），B點坐標為（3，﹣4）則AB＝；（3）若點A坐標為（3，2），B點坐標為（7，﹣1）則AB＝；學以致用：若點A坐標為（2，2），點B坐標為（4，4），點P是x軸上的動點，當AP+PB取得最小值時點P的坐標為并求出AP+PB最小值＝；挑戰(zhàn)自我：已知M＝，N＝根據數形結合，直接寫出M的最小值＝；N的最大值＝；5．閱讀材料，在平面直角坐標系中，已知x軸上兩點、的距離記作，如果、是平面上任意兩點，我們可以通過構造直角三角形來求間的距離．如圖，過A、B分別向x軸、y軸作垂線、和、，垂足分別是、、、，直線交于點Q，在中，，，∴．(1)由此得到平面直角坐標系內任意兩點、間的距離公式為：______．(2)直接應用平面內兩點間距離公式計算點，之間的距離為______．(3)在平面直角坐標系中的兩點，，P為x軸上任一點，求的最小值：(4)應用平面內兩點間的距離公式，求代數式的最小值（直接寫出答案）．(5)應用拓展：如圖，若點D在上運動，，，連接，，求的周長的最小值．6．數和形是數學的兩個主要研究對象，我們經常運用數形結合、數形轉化的方法解決一些數學問題．下面我們來探究“由數思形，以形助數”的方法在解決代數問題中的應用．探究一：求方程|x﹣1|＝5的解（1）探究|x﹣1|的幾何意義如圖①，在以O為原點的數軸上，設點A′對應點的數為x﹣1，由絕對值的定義可知，點A′與O的距離為|x﹣1|，可記為：A′O＝|x﹣1|．將線段A′O向右平移一個單位，得到線段AB，此時點A對應的數為x，點B的對應數是1，因為AB＝A′O，所以AB＝|x﹣1|．因此，|x﹣1|的幾何意義可以理解為數軸上x所對應的點A與1所對應的點B之間的距離AB．（2）求方程|x﹣1|＝5的解因為數軸上所對應的點與1所對應的點之間的距離都為5，所以方程的解為．探究二：探究的幾何意義（1）探究的幾何意義如圖②，在直角坐標系中，設點M的坐標為（x，y），過M作MP⊥x軸于P，作MQ⊥y軸于Q，則點P點坐標（x，0），Q點坐標（0，y），|OP|＝x，|OQ|＝y(tǒng)，在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y(tǒng)，則MO＝＝＝因此的幾何意義可以理解為點M（x，y）與原點O（0，0）之間的距離MO．（2）探究的幾何意義如圖③，在直角坐標系中，設點A′的坐標為（x﹣1，y﹣5），由探究（二）（1）可知，A′O＝，將線段A′O先向右平移1個單位，再向上平移5個單位，得到線段AB，此時A的坐標為（x，y），點B的坐標為（1，5）．因為AB＝A′O，所以AB＝，因此的幾何意義可以理解為點A（x，y）與點B（1，5）之間的距離AB．（3）探究的幾何意義請仿照探究二（2）的方法，在圖④中畫出圖形，并寫出探究過程．（4）的幾何意義可以理解為：．拓展應用：（5）的幾何意義可以理解為：點A（x，y）與點E（2，﹣1）的距離與點A（x，y）與點F（填寫坐標）的距離之和．（6）的最小值為．（直接寫出結果）類型二、以直角三角形的邊為邊的圖形面積問題7．勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數學定理之一，是數形結合的重要細帶．數學家歐幾里得利用如圖驗證了勾股定理．以直角三角形的三條邊為邊長向外作正方形，正方形，正方形，連接，，具中正方形面積為1，正方形面積為5，則以為邊長的正方形面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．8．如圖，中，，，．分別以、、為邊在的同側作正方形、、，四塊陰影部分的面積分別為、、、．則等于（

）

A．18 B．20 C．22 D．24

9．如圖，在中，，分別以為邊向上作正方形、正方形、正方形，點在上，若，則圖中陰影的面積為．10．如圖，在直角三角形中，直角邊，，以它的三邊分別作出了正方形、、，把、、的面積分別記為、、，則．11．在中，，如圖1，分別以，，為邊向外作等邊三角形，，（1）若，，則______．（2）如圖2，將沿翻折，點的對應點記為，①連接，請求出的度數．②若保持不變，隨著的長度變化，點也隨之運動，試探究的值是否變化，若不變，求出的值；若改變，求出的最小值．12．[方法儲備]如圖1，在中，為的中線，若，，求的取值范圍．中線倍長法：如圖2，延長至點，使得，連結，可證明，由全等得到，從而在中，根據三角形三邊關系可以確定的范圍，進一步即可求得的范圍．在上述過程中，證明的依據是______，的范圍為______；[思考探究]如圖3，在中，，為中點，、分別為、上的點，連結、、，，若，，求的長；[拓展延伸]如圖4，為線段上一點，，分別以、為斜邊向上作等腰和等腰，為中點，連結，，．①求證：為等腰直角三角形；②若將圖4中的等腰繞點轉至圖5的位置（，，不在同一條直線上），連結，為中點，且，在同側，連結，．若，，求和的面積之差．13．問題再現(xiàn)：數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數學知識變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數學里的一些代數公式，很多都可以通過表示幾何圖形積的方法進行直觀推導和解釋．如圖1，是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式：如圖2，在中，，以的三邊長向外作正方形的面積分別為，試猜想之間存在的等量關系，直接寫出結論．如圖3，如果以的三邊長為直徑向外作半圓，那么第問的結論是否成立？請說明理由．如圖4，在中，，三邊分別為，分別以它的三邊為直徑向上作半圓，求圖4中陰影部分的面積．14．勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有______個；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請判斷、、的關系______．類型三、勾股定理在網格圖中的應用15．在正方形網格圖形中，每個小正方形的邊長為，將其頂點稱為格點．從一個格點運動到與之相距的另一個格點之間的一次移動，因類似中國象棋中馬的“日”字型跳躍，故稱為一次“跳馬”變換．（1）如圖1，在4×4的正方形網格圖形中，從格點A經過一次“跳馬”變換可以到達的格點為（填“B”“C”或“D”）；（2）如圖2，現(xiàn)有6×6的正方形網格圖形，若從該正方形的格點M經過三次“跳馬變換到達格點N，則共有中不同的跳法．16．如圖，是由邊長為1的小正方形構成的10×10網格，每個小正方形的頂點叫做格點．五邊形ABCDE的頂點在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示，按步驟完成下列問題：（1）五邊形ABCDE的周長為．（2）在AB上找點F，使E，C兩點關于直線DF對稱；（3）設DF交CE于點G，連接AG，直接寫出四邊形AEDG的面積；（4）在直線DF上找點H，使∠AHB＝135°．17．【問題探究】

(1)構造多邊形比較無理數大小：在圖1的正方形方格紙中（每個小正方形的邊長都為1），線段的長度為，線段的長度為．①請結合圖1，試說明；②在圖2中，請嘗試構造三角形，比較與的大??；③在圖3中，請嘗試構造四邊形，比較與的大小；【遷移運用】(2)如圖4，線段，為線段上的任意一點，設線段．則是否有最小值？如果有，請求出最小值，并僅用無刻度的直尺在圖中標出取最小值時點的位置；如果沒有，請說明理由．18．如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，每個小正方形的頂點叫做格點，的頂點在格點上.請用無刻度尺按要求作圖：(1)在圖1中，作的高；(2)在圖2中作圖：①找一格點使，且；②連接，在上畫出一點，連，使將四邊形的面積平分．19．提出問題：在4×4的正方形方格紙上，各個小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的等腰直角三角形共有幾個？問題探究：為了解決上面的問題，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法．探究一：在1×1的正方形方格紙上，以格點為頂點的線段長度可取2個數值：1，，以這些線段組成的等腰直角三角形按三邊長來考慮可以分為以下一種情況：1、1、．當斜邊長為時，斜邊一定是1×1正方形的對角線，這樣的線段有2條，每條這樣的線段對應著兩個等腰直角三角形，共有2×2=4個．故在1×1的正方形方格紙上，以格點為頂點的等腰直角三角形的個數為4個．探究二：在2×2的正方形方格紙上，以格點為頂點的線段長度可取5個數值：1，2，，，．以這些線段組成的等腰直角三角形按三邊長來考慮可以分為以下三種情況：1、1、；、、2；2、2、．（1）當斜邊長為時，斜邊一定是1×1正方形的對角線，這樣的線段有8條，每條這樣的線段對應著兩個等腰直角三角形，共有8×2=16個．（2）當斜邊長為2時，圖形中長為2的線段有6條，其中有4條在2×2正方形的四周上，每條這樣的線段對應著一個等腰直角三角形；另有2條在2×2正方形的內部，每條這樣的線段對應著兩個等腰直角三角形，共有4×1+2×2=8個．（3）當斜邊長為時，斜邊一定是2×2正方形的對角線，這樣的線段有2條，每條這樣的線段對應著兩個等腰直角三角形，共有2×2=4個．故在2×2的正方形方格紙上，以格點為頂點的等腰直角三角形的個數為16+8+4=28個．探究三：在3×3的正方形方格紙上，以格點為頂點的線段長度可取個數值．以這些線段組成的等腰直角三角形按三邊長來考慮可以分為以下五種情況：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、．（1）當斜邊長為時，斜邊一定是1×1正方形的對角線，這樣的線段有18條，每條這樣的線段對應著兩個等腰直角三角形，共有18×2=36個．（2）當斜邊長為2時，圖形中長為2的線段有16條，其中有條在3×3正方形的四周上，每條這樣的線段對應著一個等腰直角三角形；另有條在3×3正方形的內部，每條這樣的線段對應著兩個等腰直角三角形，共有個．（3）當斜邊長為時，斜邊一定是2×2正方形的對角線，這樣的線段有8條，每條這樣的線段對應著兩個等腰直角三角形，共有8×2=16個．（4）當斜邊長為時，圖形中長為的線段有12條，其中有8條對應著一個等腰直角三角形；有4條對應著兩個等腰直角三角形，共有8×1+4×2=16個．（5）當斜邊長為時，斜邊一定是3×3正方形的對角線，這樣的線段有2條，每條這樣的線段對應著兩個等腰直角三角形，共有2×2=4個．故在3×3的正方形方格紙上，以格點為頂點的等腰直角三角形的個數為個．問題解決：在4×4的正方形方格紙上，以格點為頂點的等腰直角三角形的個數為個．拓展延伸：在2×2×1的長方體中，以格點為頂點（每個1×1×1小正方體的頂點均為格點），并且以等腰直角三角形為底面的直三棱柱的個數為個．20．現(xiàn)場學習題：問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積．小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為1），再在網格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網格就能計算出它的面積．

（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上．思維拓展：（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構圖法．若△ABC三邊的長分別為、、（a＞0），請利用圖2的正方形網格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應的△ABC，并求出它的面積是：．類型四、折疊背景下的勾股定理應用21．如圖，在等腰中，，，點和分別是和上兩點，連接，將沿折疊，得到，點恰好落在的中點處，與交于點，則折痕的長度為（）A． B． C． D．22．如圖，在中，，以各邊為斜邊分別向外作等腰、等腰、等腰，將等腰和等腰按如圖方式疊放到等腰中，已知，，則長為（

）A．2 B． C．6 D．823．如圖，在中，，D在上，將沿直線翻折后，點A落在點E處，如果，那么的面積是．24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處，再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點B'處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點E，F(xiàn)，則的面積為．25．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°．點E是BC上的一點，D為AC中點，連接ED，將△CED沿ED翻折，得到△EDC′，連接AC′，BC′．若DC′⊥AB，AC′＝2，則△ABC的面積為．26．如圖，長方形中，，，點P在邊上（不含端點B，C），直線與的延長線交于點E．(1)當點P是的中點時，的長為，的長為；(2)將沿直線折疊得到，點落在長方形的內部，延長交直線于點．①在（1）的條件下，求出的長；（小陳不完整的求解過程如下，請你幫他補充完整．）（只需在答題卡對應區(qū)域寫出剩余求解過程）②連接，求周長的最小值．連接，，27．如圖①，在長方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，動點P從點D出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段DC向終點C運動，運動時間為t秒，連接AP，把△ADP沿著AP翻折得到△AEP．（注：長方形的對邊平行且相等，四個角都是直角）(1)如圖②，射線PE恰好經過點B，求出此時t的值；(2)當射線PE與邊AB交于點F時，是否存在這樣的t的值，使得FE=FB？若存在，請求出所有符合題意的t的值；若不存在，請說明理由；(3)在動點P從點D到點C的整個運動過程中，若點E到直線AB的距離等于3，則此時t=___________．28．折疊問題是幾何變換常見的數學問題，其本質是軸對稱圖形，而長方形的折疊又往往會與勾股定理相關聯(lián)．數學活動課上，同學們以“折疊”為主題開展了數學活動：在長方形紙片中，，，點M在邊上，．【活動探究1】（1）如圖1，將長方形紙片沿折疊，點B落在點處，與交于點E，求線段的長．【活動探究2】（2）如圖2，在圖1的基礎上將紙片左邊部分沿折疊，使恰好落在直線上，點C，D的對稱點為，．①求折痕的長；②連接，求的長．類型五、應用勾股定理證明線段的平方關系29．定義：若一個三角形存在兩邊平方和等于第三邊平方的3倍，則稱此三角形為“平方倍三角形”．（1）若一個三角形的三邊長分別是，和2，次三角形是否為平方倍三角形？請你作出判斷并說明理由；（2）若一個直角三角形是平方倍三角形，求該直角三角形的三邊之比（結果按從小到大的順序排列）；（3）如圖，中，，，為的中線，若是平方倍三角形，求的面積．30．如圖，△ABC中AC=BC，點D，E在AB邊上，連接CD，CE．(1)如圖1，如果∠ACB=90°，把線段CD逆時針旋轉90°，得到線段CF，連接BF，①求證：△ACD≌△BCF；②若∠DCE=45°，求證：DE2=AD2+BE2；(2)如圖2，如果∠ACB=60°，∠DCE=30°，用等式表示AD，DE，BE三條線段的數量關系，說明理由．

31．如圖1，中，，D，E是直線上兩動點，且．探究線段、、三條線段之間的數量關系：小明的思路是：如圖2，將沿折疊，得，連接，看能否將三條線段轉化到一個三角形中，…請你參照小明的思路，探究并解決下列問題：(1)猜想、、三條線段之間的數量關系，并證明；(2)如圖3，當動點在線段上，動點運動在線段延長線上時，其它條件不變，（1）中探究的結論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明．32．我們定義：兩邊平方和等于第三邊平方的兩倍的三角形叫做“奇異三角形”．（1）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”

是命題．(填寫“真命題、假命題”)（2）在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtΔABC是“奇異三角形”，則a：b：c＝．（3）如圖，在四邊形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若在四邊形ACBD內存在點E使得AE＝AD，CB＝CE．①求證：ΔACE是“奇異三角形”；②當ΔACE是直角三角形時，且AC＝，求線段AB的長．33．如圖，在等腰直角中，，D是線段上一點（），連接，過點C作的垂線，交的延長線于點E，交的延長線于點F.（1）依題意補全圖形；（2）若，求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；（3）若點G在線段上，，連接.①判斷與的位置關系并證明；②用等式表示之間的數量關系.

34．如圖，在中，，，．(1)如圖1，求的長；(2)如圖2，，與交于點，點為邊上一點，連接，是右側一點，且，，連接、，是的中點．探究、和之間的數量關系并證明；(3)如圖3，動點由點出發(fā)以每秒個單位的速度在射線上勻速運動，同時動點也從出發(fā)，在射線上以每秒個單位的速度勻速運動，設運動時間為秒（），當點到直線的距離等于時，求的值．類型六、勾股定理的證明35．本學期我們接觸到了幾何學上的明珠——勾股定理．千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家，也有業(yè)余數學愛好者，有普通的老百姓，也有國家總統(tǒng)，下面試舉三例，一起領略其魅力．(1)【驗證】圖1是由兩個邊長分別為、、的直角三角形和一個兩條直角邊都是的直角三角形拼成，試用兩種不同的方法表示這個圖形的面積，通過計算證明勾股定理；(2)【應用】如圖2，和都是等邊三角形，點在內部，連接、、．若，，，求的長；(3)【提升】如圖，在一般三角形中，，，，是邊的中線．在一般三角形中，如何用、、表示．36．【材料閱讀】我國古人對勾股定理的研究非常深邃．如圖1，已知直角三角形三邊長為a，b，c（c為斜邊），由勾股定理：，得，則，得到：．從而得到了勾股定理的推論：己知直角三角形三邊長為a，b，c（c為斜邊），則【問題解決】如圖2，已知的三邊長分別為，如何計算的面積？據記載，古人是這樣計算的：作邊上的高．以的長為斜邊和直角邊作（如圖3），其中．

(1)用古人的方法計算的值，完成下面的填空：=[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）]=__________(2)試直接利用閱讀材料中勾股定理的推論繼續(xù)完成面積的計算過程；(3)你還有其他計算的面積的方法嗎？寫出解答過程．37．經典證明：歐幾里得在《原本》中證明勾股定理的思路如下：如圖1，首先分別以三邊為邊長作正方形，正方形，正方形．過點C作的垂線，交于點D，交于點G，然后證明正方形的面積與長方形的面積相等，正方形的面積與長方形的面積相等，最后得出正方形的面積等于正方形與正方形的面積之和，從而完成勾股定理的證明．方法點撥：如圖2，連接、，可證明，從而得到，利用平行線的相關性質可以得到，，于是得到……．

問題解決：(1)請你結合“經典證明”的思路與“方法點撥”證明勾股定理．(2)如圖3，將放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A、B、C均落在格點上．請在網格中，只用無刻度的直尺，畫出一個以為一邊的長方形，使該長方形的面積等于，井簡要說明畫圖方法（保留畫圖痕跡，無需證明）38．如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在弦圖中（如圖2），連接，并延長交于點K，連接．若，則的長為（

）A． B．2 C． D．類型七、勾股定理與弦圖39．如圖，四個全等的直角三角形圍成一個正方形ABCD和正方形EFGH，即趙爽弦圖，連接AC，F(xiàn)N交EF，GH分別于點M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，則圖中陰影部分的面積之和為（

）A． B． C． D．40．如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為，，．若，則的值是（

）A． B． C． D．41．公元三世紀，我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》題時給出了“趙爽弦圖”．將兩個“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個正方形和八個直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形，記空隙處正方形，正方形的面積分別為，，則下列四個判斷：①②；③若，則；④若點A是線段的中點，則，其中正確的序號是

42．如圖，這是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為，，，若，則的值是．43．拼圖是一種研究代數恒等式的重要方法，所謂的拼圖指的是把所給的圖形以不同的方式拼成不同形狀的圖形，把圖形面積用不同的代數式表示，由于拼圖前后的面積相等，從而相應的代數式的值也相等，進而得到代數恒等式(1)智慧學習小組探索了用4個如圖1所示的全等的長方形（長、寬分別為a、b）拼成不同的圖形．在研究過程中，他們用這4個長方形拼成了一個如圖2所示的“回形”正方形．拼圖前后，請寫出該小組所用圖形（4個長方形）的面積的計算方法：拼圖前：___________；拼圖后：__________；因為拼圖前后的面積不變，所以可得代數恒等式：_____________.(2)利用（1）中得到的恒等式，解決下面的問題：已知求的值．(3)超人學習小組受智慧學習小組的啟發(fā)，用4個如圖3所示的全等的直角三角形（三邊長分別為a、b、c）拼成了兩種“中空”的正方形.請你畫出這兩種圖形：由上面的圖形可得代數恒等式：________________.(4)利用（3）中得到的代數恒等式，解決下面的問題：在中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8，求AC的長.44．閱讀材料：面積是幾何圖形中的重要度量之一，在幾何證明中具有廣泛應用．出入相補原理是中國古代數學中一條用于推證幾何圖形面積的基本原理，它包含以下基本內容：一個幾何圖形，可以切割成任意多塊任何形狀的小圖形，總面積保持不變，總面積等于所有分割成的小圖形的面積之和．基于以上原理，回答問題：(1)把邊長為8的正方形按圖1方式分割，分割之后_______（填“能”或“不能”）把圖形重新拼成圖2中長為13，寬為5的長方形；(2)如圖3，a，b，c分別表示直角三角形的三邊，比較大小：a2＋b2________c2；（a＋b）2________2ab；(3)觀察圖4，寫出（ac＋bd）2與（a2＋b2）（c2＋d2）的大小關系：______．45．閱讀理解：【問題情境】教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1，利用此圖，可以驗證勾股定理嗎？【探索新知】從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積＝小正方形的面積+4個直角三角形的面積．從而得數學等式：，化簡證得勾股定理：．(1)【初步運用】如圖1，若b＝2a，則小正方形面積：大正方形面積＝；(2)【初步運用】現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內折疊，如圖2，若a＝4，b＝6，此時空白部分的面積為；(3)【初步運用】如圖3，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成風車狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，OC＝3，求該風車狀圖案的面積．(4)【初步運用】如圖4，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，則S2＝．(5)【遷移運用】如果用三張含60°的全等三角形紙片，能否拼成一個特殊圖形呢？帶著這個疑問，小麗拼出圖5的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗證，發(fā)現(xiàn)含60°的三角形三邊a、b、c之間的關系，寫出此等量關系式及其推導過程（知識補充：如圖6，含60°的直角三角形，對邊y：斜邊x＝定值k）．46．如圖1，紙上有五個邊長為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個正方形如圖2．（1）你能在方格圖（圖3）中，連接四個格點（網格線的交點）組成面積為5的正方形嗎？若能，請用虛線畫出．（2）你能把十個小正方形組成的圖形紙（圖4），剪開并拼成正方形嗎？若能，請仿照圖2的形式把它重新拼成一個正方形．（3）如圖，是由兩個邊長不等的正方形紙片組成的一個圖形，要將其剪拼成一個既不重疊也無空隙的大正方形，則剪出的塊數最少為________塊．請你在圖中畫出裁剪線，并說明拼接方法．類型八、應用勾股定理構造圖形解決問題47．[探究]（1）已知，均為正實數，且，求的最小值，通過分析，小文想到了構造圖形解決此問題：如圖，，，，，，且，兩點在直線的異側．點是線段上的動點，且不與端點重合，連接，，設，．①用含的代數式表示_______，用含的代數式表示________；②據此求出的最小值；[類比]（2）根據上述方法，直接寫出代數式的最小值________．48．十九世紀英國赫赫有名的謎題創(chuàng)作者在1903年的英國報紙上發(fā)表的“螞蟻爬行”的問題．問題是：如圖1，在一個長、寬、高分別為的長方體房間內，一只螞蟻在右面墻的高度一半位置（即M點處），并且距離前面墻，蒼蠅正好在左面墻高度一半的位置（即N點處），并且距離后面墻，螞蟻爬到蒼蠅處應該怎樣爬行所走路程最短，最短路程是多少m？這只螞蟻在長方體表面爬行的問題，引起了當時很多數學愛好者的研究與討論，今天我們也一起來研究一下這個當時非常熱門的數學問題！【基礎研究】如圖2，在長、寬、高分別為a，b，c的長方體一個頂點A處有一只螞蟻，欲從長方體表面爬行去另一個頂點處吃食物，探究哪種爬行路徑是最短的？(1)觀察發(fā)現(xiàn)：螞蟻從A點出發(fā)，為了走出最短路線，根據兩點之間線段最短的知識，并結合展開與折疊原理，一共有3種不同的爬行路線，即圖3、圖4、圖5所示.填空：圖5是由______面與______面展開得到的平面圖形；（填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”）(2)推理驗證：如圖3，由勾股定理得，，如圖4，由勾股定理得，，如圖5，．要使得的值最小，∵……（請補全推理過程）∴∴選擇如圖______情況，此時的值最小，則的值最小，即這種爬行路徑是最短的．(3)【簡單應用】如圖6，長方體的長，寬，高分別為，點P是的中點，一只螞蟻要沿著長方體的表面從點A爬到點P，則爬行的最短路程長為______cm．(4)【問題回歸】最后讓我們再回到那道十九世紀英國報紙上發(fā)表的“螞蟻爬行”的問題（如圖1），那只螞蟻所走的最短路程是______m．49．【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數學家，也有業(yè)余數學愛好者，向常春在1994年構造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法．如圖．【小試牛刀】把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為，，．顯然，，．請用，，分別表示出梯形，四邊形，的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，則它們滿足的關系式為__________，經化簡，可得到勾股定理．【知識運用】如圖2，河道上，兩點（看作直線上的兩點）相距160米，，為兩個菜園（看作兩個點），，，垂足分別為，，米，米，現(xiàn)在菜農要在上確定一個抽水點，使得抽水點到兩個菜園，的距離和最短，則該最短距離為__________米．【知識遷移】借助上面的思考過程，畫圖說明并求代數式的最小值．50．在直線上擺放著三個正方形(1)如圖1，已知水平放置的兩個正方形的邊長依次是，斜著放置的正方形的面積_；兩個直角三角形的面積之和為____(均用表示)(2)如圖2，小正方形面積，斜著放置的正方形的面積，求圖中兩個鈍角三角形的面積_；_(3)圖3是由五個正方形所搭成的平面圖，與分別表示所在地三角形與正方形的面積，試寫出_；_.(均用表示)類型九、勾股定理的實際應用51．如圖，小巷左右兩側是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米．若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面米，則小巷的寬度為（

）A． B． C． D．52．2019年10月1日，中華人民共和國70年華誕之際，王梓涵和學校國旗護衛(wèi)隊的其他同學們趕到學校舉行了簡樸而降重的升旗儀式．傾聽著雄壯的國歌聲，目送著五星紅旗緩緩升起，不禁心潮澎湃，愛國之情油然而生．愛動腦筋的王梓涵設計了一個方案來測量學校旗桿的高度．將升旗的繩子拉直到末端剛好接觸地面，測得此時繩子末端距旗桿底端2米，然后將繩子末端拉直到距離旗桿5m處，測得此時繩子末端距離地面高度為1m，最后根據剛剛學習的勾股定理就能算出旗桿的高度為（）A．10m B．11m C．12m D．13m53．臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心，在周圍數十千米范圍內形氣旋風暴，有極強的破壞力，此時某臺風中心在海域B處，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心風力為12級，每遠離臺風中心25千米，臺風就會減弱一級，如圖所示，該臺風中心正以20千米/時的速度沿BC方向移動．已知AD⊥BC且AD=AB，且臺風中心的風力不變，若城市所受風力達到或超過4級，則稱受臺風影響．試問：（1）A城市是否會受到臺風影響？請說明理由．（2）若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市的持續(xù)時間有多長？（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級？54．【問題探究】(1)如圖①，點E是正△ABC高AD上的一定點,請在AB上找一點F，使EF=AE，并說明理由；(2)如圖②，點M是邊長為2的正△ABC高AD上的一動點，求AM+MC的最小值；【問題解決】(3)如圖③，A、B兩地相距600km,AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路，點B到AC的最短距離為360km．今計劃在鐵路線AC上修一個中轉站M，再在BM間修一條筆直的公路。如果同樣的物資在每千米公路上的運費是鐵路上的兩倍。那么，為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運費達到最小值，請確定中轉站M的位置,并求出AM的長．(結果保留根號)

55．受全球氣候變暖影響，今年深圳的雨水特別多．據悉，不止深圳，整個華南地區(qū)暴雨形成“列車效應”．雨水增多導致雨傘的需求量大大增加．下圖是某型號雨傘的結構圖．

根據以下素材，探索完成任務，探究雨傘中的數學問題素材1圖1是這個雨傘的示意圖．不管是張開還是收攏，是傘柄，傘骨且，，D點為傘圈．傘完全張開時，如圖1所示．

素材2傘圈D能沿著傘柄滑動，如圖2是完全收攏時傘骨的示意圖，此時傘圈D滑動到的位置，且三點共線．測得（參考值：）．

素材3同學們經過研究發(fā)現(xiàn)：雨往往是斜打的，且都是平行的．如圖3，某一天，雨線與地面夾角為，小田站在傘圈D點的正下方點G處，記為，此時發(fā)現(xiàn)身上被雨淋濕，測得．

問題解決任務1判斷AP位置求證：是的角平分線．任務2探究傘圈移動距離當傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D移動的距離（精確到）．任務3擬定撐傘方案求傘至少向下移動距離_____，使得人站在G處身上不被雨淋濕，（直接寫出答案）在圖2中，56．【問題提出】（1）如圖，在中，，，，為邊的中點，連接，則的長為____________．【問題探究】（2）如圖，在四邊形中，，，，，且為的中點，連接，求線段的最大值．【問題解決】（3）為了落實國家關于勞動實踐教育的政策，使同學們掌握勞動技能和科學知識，體驗勞動的快樂，某學校計劃利用學校內一塊四邊形空地規(guī)劃建立勞動教育綜合實踐基地．如圖，是的中點，把四邊形分成了兩部分，其中四邊形內種植油葵，內種植豌豆，是步行通道．為方便種植，要讓步行通道最長．若米，，，且，修建步行通道每米花費元，則學校修建步行通道最多需要花費多少錢？（參考數據：）

類型十、綜合問題中的勾股定理應用57．【問題呈現(xiàn)】“一直線三等角”，是幾何證明的常見模型．（1）如圖1，和均為等邊三角形，點D為邊上一個動點，，點O為邊中點，連接，寫出圖中全等的三角形______．線段的最小值______．【問題探索】（2）是等腰直角三角形，，點E是上一點，，交于D．①如圖①試探究數量關系，并給予證明；②如圖②，若，點F是的中點，求的長．【靈活運用】（3）如圖3，四邊形中，對角線相交于點E，，，求四邊形的面積．58．【問題背景】（1）如圖1，點是線段，的中點，求證：；【變式遷移】（2）如圖2，在等腰中，是底邊上的高線，點為內一點，連接，延長到點，使，連接，若，請判斷、、三邊數量關系并說明理由；【拓展應用】（3）如圖3，在等腰中，，點為中點，點在線段上（點E不與點，點重合），連接，過點作，連接，若，求的長．

59．如圖，中，，，點是中點，的兩邊，分別與直線，交于點，，且，連接(1)如圖1，當點，分別在，上時，猜想形狀是三角形；線段、、的數量關系是______(2)如圖2，當點，分別在，延長線上時，上述兩個結論成立嗎?若成立，請完成證明；若不成立，請說明理由．(3)在(2)的條件下，①連接，直接寫出______②當時，求的長60．如圖，用一副三角板擺放三種不同圖形．在中，，；中，，．(1)如圖，當頂點擺放在線段上時，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點，請在圖中找出一對全等三角形，并說明理由；(2)如圖，當頂點在線段上且頂點在線段上時，過點作，垂足為點，猜想線段、、的數量關系，并說明理由；(3)如圖，當頂點在線段上且頂點在線段上時，若，，連接，則的面積為．61．數學活動課上，老師出示兩個大小不一樣的等腰直角和擺在一起，其中直角頂點A重合，，，．(1)用數學的眼光觀察．如圖1，連接，，判斷與的數量關系，并說明理由；(2)用數學的思維思考．如圖2，連接，，若F是中點，判斷與的數量關系，并說明理由；(3)用數學的語言表達．如圖3，延長至點F，滿足，然后連接，，當，，繞A點旋轉得到三點共線時，求線段的長．62．綜合與實踐：綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數學活動．【操作發(fā)現(xiàn)】（1）操作一：如圖1，第一小組將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形內部的點M處，折痕為，再將紙片沿過點A的直線折疊，使與重合，折痕為．根據以上操作，求；【拓展探究】（2）操作二：如圖2，第二小組繼續(xù)將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點C的對應點恰好落在折痕上的點N處，連接交于點P．若，求線段的長；【遷移應用】（3）如圖3，在矩形中，點E，F(xiàn)分別在邊，上，將矩形沿，折疊，點B落在點M處，點D落在點G處，點A，M，G恰好在同一直線上，若，，，請求出線段的長．63．已知中，．點D由點A出發(fā)沿向點C勻速運動，同時點E由點B出發(fā)沿向點A勻速運動，它們的速度相同，點F在上且，且點F在點E的下方，當點D到達點C時，點E，F(xiàn)也停止運動，連接．設AD=x．解答下列問題：

(1)________．________（用含x的代數式表示）．(2)如圖1，當x為何值時，為直角三角形．(3)如圖2，把沿翻折，點D落在點處．①當x為何值時，四邊形為菱形？并求出菱形的面積；②如圖3，分別取的中點M，N，在整個運動過程中，線段掃過的區(qū)域的形狀為________，其面積為________．

第一章勾股定理內容導航知識點類型一、兩點間距離公式的應用類型二、以直角三角形的邊為邊的圖形面積問題類型三、勾股定理在網格圖中的應用類型四、折疊背景下的勾股定理應用類型五、應用勾股定理證明線段的平方關系類型六、勾股定理的證明類型七、勾股定理與弦圖類型八、應用勾股定理構造圖形解決問題類型九、勾股定理的實際應用類型十、綜合問題中的勾股定理應用知識點1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．知識點2．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．知識點3．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．知識點4．勾股數勾股數：滿足a2+b2＝c2的三個正整數，稱為勾股數．說明：①三個數必須是正整數，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數，所以它們不是夠勾股數．②一組勾股數擴大相同的整數倍得到三個數仍是一組勾股數．③記住常用的勾股數再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…知識點5．勾股定理的應用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數軸上表示無理數的應用：利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊．知識點6．平面展開-最短路徑問題（1）平面展開﹣最短路徑問題，先根據題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構造直角三角形解決問題．（2）關于數形結合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數和形的結合，所以我們在解決有關結合問題時的關鍵就是能從實際問題中抽象出數學模型．類型一、兩點間距離公式的應用1．如圖，動點從（0，3）出發(fā)，沿軸以每秒1個單位長度的速度向下移動，同時動點從出發(fā)，沿軸以每秒2個單位長度的速度向右移動，當點移動到點時，點、同時停止移動．點在第一象限內，在、移動過程中，始終有，且．則在整個移動過程中，點移動的路徑長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意過P點作交于D點，作交于E點，并利用全等三角形判定,得出，從而分當時，有（0，3），，設P點坐標為以及當時，有、O（0，0），、H，設P點坐標為，求出P點坐標，繼而由點移動的路徑為一條線段利用兩點間距離公式求得點移動的路徑長.【詳解】解：由題意過P點作交于D點，作交于E點，如圖，∵，∴,∴,∵,∴,即有,由題意可知，當時，有（0，3），，設P點坐標為，由，即有，解得，即此時P點坐標為；當時，有、O（0，0），、H，設P點坐標為，由即圖上，即有，解得，即此時P點坐標為；由圖可知點移動的路徑為一條線段，則點移動的路徑長為：.故選：A.【點睛】本題考查平面直角坐標系點的運動問題，熟練掌握全等三角形的性質和判定以及兩點間距離公式是解題的關鍵.2．已知為實數，則代數式的最小值為．【答案】13【分析】根據的幾何意義結合圖象求出最小值即可．【詳解】∵，如圖所示，由代數式的結構構造點P（m，0），A（8，3），B（3，9），則，作點B關于x軸的對稱點A'（3，-9），則，∴代數式的最小值為13.【點睛】本題考查了圖形與坐標求最值問題，解題的關鍵是根據代數式的幾何意義，利用數形結合思想轉化為求最值問題．3．在紙片中，，，.如圖，直角頂點在原點，點在軸負半軸上，當點在軸上向上移動時，點也隨之在軸上向右移動，當點到達原點時，點停止移動.在移動過程中，點到原點的最大距離是．【答案】【分析】取B1C1的中點E，連接OE、A1E，利用直角三角形的性質得到OE=2，再根據勾股定理求出A1E的長度，即可得到O、E、A1三點在一條直線上時，點A到原點的距離最大.【詳解】如圖，取B1C1的中點E，連接OE、A1E，當O、E、A1三點在一條直線上時，點A到原點的距離最大，∵△B1C1O是直角三角形，點E是B1C1的中點，∴OE=B1C1=2，C1E=2，∵A1C1=2，∠A1C1B1=90，∴A1E=,∴點A到原點的最大距離是，故答案為：.【點睛】此題考查坐標與圖形的性質，勾股定理，題中OE的長度是定值，正確理解O、E、A1三點在一條直線上時，點A到原點的距離最大是解題的關鍵.4．閱讀理解：在平面直角坐標系中，任意兩點A（x1，y1），B（x2，y2）之間的位置關系有以下三種情形；①如果AB∥x軸，則y1＝y(tǒng)2，AB＝|x1﹣x2|②如果AB∥y軸，則x1＝x2，AB＝|y1﹣y2|③如果AB與x軸、y軸均不平行，如圖，過點A作與x軸的平行線與過點B作與y軸的平行線相交于點C，則點C坐標為（x2，y1），由①得AC＝|x1﹣x2|；由②得BC＝|y1﹣y2|；根據勾股定理可得平面直角坐標系中任意兩點的距離公式AB＝．小試牛刀：（1）若點A坐標為（﹣2，3），B點坐標為（3，3）則AB＝；（2）若點A坐標為（3，2），B點坐標為（3，﹣4）則AB＝；（3）若點A坐標為（3，2），B點坐標為（7，﹣1）則AB＝；學以致用：若點A坐標為（2，2），點B坐標為（4，4），點P是x軸上的動點，當AP+PB取得最小值時點P的坐標為并求出AP+PB最小值＝；挑戰(zhàn)自我：已知M＝，N＝根據數形結合，直接寫出M的最小值＝；N的最大值＝；【答案】小試牛刀：（1）5；（2）6；（3）5；學以致用：（，0），2；挑戰(zhàn)自我：3；2．【分析】小試牛刀：（1）利用兩點間的距離公式AB=|x1-x2|進行解答；（2）利用兩點間的距離公式AB=|y1-y2|進行解答；（3）利用兩點間的距離公式AB=進行解答；學以致用：利用軸對稱的性質求得點P的坐標以及AP+PB的最小值；挑戰(zhàn)自我：利用M、N所表示的幾何意義解答．【詳解】小試牛刀：（1）AB＝|x1﹣x2|＝|3﹣（﹣2）|＝5．（2）AB＝|y1﹣y2|＝|﹣4﹣2|＝6．（3）AB＝＝＝5．學以致用：如圖，∵點A坐標為（2，2），∴點A關于x軸對稱的點A′的坐標是（2，﹣2），連接A′B，直線A′B與x軸的交點即為點P．設直線A′B為y＝kx+b（k≠0），則，解得．∴直線A′B為y＝3x﹣8．令y＝0，則x＝，即P（，0），此時AP+PB＝A′B＝．挑戰(zhàn)自我：M＝，當M取最小值時，M表示點（x，0）與點（6，4）的距離與點（x，0）與點（3，2）的距離之和（或M表示點（x，0）與點（6，﹣4）的距離與點（x，0）與點（3，﹣2）的距離之和），此時M最小值＝．N＝，當N取最大值時，N表示點（x，0）與點（6，﹣4）的距離與點（x，0）與點（3，2）的距離之差（或M表示點（x，0）與點（6，﹣4）的距離與點（x，0）與點（3，2）的距離之差），此時M最小值＝．【點睛】考查學生的閱讀理解能力，解題的關鍵是正確理解題意，仿照題意求出答案.5．閱讀材料，在平面直角坐標系中，已知x軸上兩點、的距離記作，如果、是平面上任意兩點，我們可以通過構造直角三角形來求間的距離．如圖，過A、B分別向x軸、y軸作垂線、和、，垂足分別是、、、，直線交于點Q，在中，，，∴．(1)由此得到平面直角坐標系內任意兩點、間的距離公式為：______．(2)直接應用平面內兩點間距離公式計算點，之間的距離為______．(3)在平面直角坐標系中的兩點，，P為x軸上任一點，求的最小值：(4)應用平面內兩點間的距離公式，求代數式的最小值（直接寫出答案）．(5)應用拓展：如圖，若點D在上運動，，，連接，，求的周長的最小值．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】此題主要考查了利用軸對稱求最值問題以及兩點之間距離公式，正確轉化代數式為兩點之間距離問題是解題關鍵．（1）由即可求解；（2）直接利用兩點之間距離公式，把兩點代入求解即可；（3）作點B關于x軸對稱的點，連接，直線與x軸的交點即為所求的點P，的最小值就是線段，求出的坐標，再利用兩點之間距離公式求解即可；（4）代數式表示點到點和的距離之和，由兩點之間線段最短可知點在以點和為端點的線段上時，其距離之和最小，再利用兩點之間距離公式求解即可；（5）過A作，作B關于直線的對稱點，連接，，由對稱性可證的周長的最小值為，利用勾股定理求解即可；【詳解】（1）由題意知：、，，，故答案為：；（2），，，故答案為：5；（3）作點B關于x軸對稱的點，連接，直線與x軸的交點即為所求的點P，的最小值就是線段，如圖，B關于x軸對稱的點，點的坐標為，，，的最小值為；（4）代數式表示點到點和的距離之和，由兩點之間線段最短可知，點在以點和為端點的線段上時，其距離之和最小，的最小值為：；（5）過A作，作B關于直線的對稱點，連接，，B，關于直線對稱，，，，的最小值為，的周長的最小值為，，，，，，在中，，的周長的最小值為．6．數和形是數學的兩個主要研究對象，我們經常運用數形結合、數形轉化的方法解決一些數學問題．下面我們來探究“由數思形，以形助數”的方法在解決代數問題中的應用．探究一：求方程|x﹣1|＝5的解（1）探究|x﹣1|的幾何意義如圖①，在以O為原點的數軸上，設點A′對應點的數為x﹣1，由絕對值的定義可知，點A′與O的距離為|x﹣1|，可記為：A′O＝|x﹣1|．將線段A′O向右平移一個單位，得到線段AB，此時點A對應的數為x，點B的對應數是1，因為AB＝A′O，所以AB＝|x﹣1|．因此，|x﹣1|的幾何意義可以理解為數軸上x所對應的點A與1所對應的點B之間的距離AB．（2）求方程|x﹣1|＝5的解因為數軸上所對應的點與1所對應的點之間的距離都為5，所以方程的解為．探究二：探究的幾何意義（1）探究的幾何意義如圖②，在直角坐標系中，設點M的坐標為（x，y），過M作MP⊥x軸于P，作MQ⊥y軸于Q，則點P點坐標（x，0），Q點坐標（0，y），|OP|＝x，|OQ|＝y(tǒng)，在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y(tǒng)，則MO＝＝＝因此的幾何意義可以理解為點M（x，y）與原點O（0，0）之間的距離MO．（2）探究的幾何意義如圖③，在直角坐標系中，設點A′的坐標為（x﹣1，y﹣5），由探究（二）（1）可知，A′O＝，將線段A′O先向右平移1個單位，再向上平移5個單位，得到線段AB，此時A的坐標為（x，y），點B的坐標為（1，5）．因為AB＝A′O，所以AB＝，因此的幾何意義可以理解為點A（x，y）與點B（1，5）之間的距離AB．（3）探究的幾何意義請仿照探究二（2）的方法，在圖④中畫出圖形，并寫出探究過程．（4）的幾何意義可以理解為：．拓展應用：（5）的幾何意義可以理解為：點A（x，y）與點E（2，﹣1）的距離與點A（x，y）與點F（填寫坐標）的距離之和．（6）的最小值為．（直接寫出結果）【答案】探究一：（2）﹣4或6，x＝﹣4或6；探究二：（3）見解析；（4）點（x，y）與點（a，b）之間的距離；（5）（﹣1，5）；（6）3【分析】探究一：（2）因為數軸上的-4或6所對應的點與1所對應的點之間的距離都為5，即可求解；探究二：（3）參考（1）的過程畫出函數圖象即可求解；（4）根據前面的探究可知幾何意義是表示點（x，y）與點（a，b）之間的距離，即可求解；拓展應用：（5）由探究二（4）可知：+表示點A（x，y）與點F（-1，5）的距離之和；（6）當點A位置線段EF之間時，此時EF=AF+AE，進而求解．【詳解】解：探究一：（2）因為數軸上的﹣4或6所對應的點與1所對應的點之間的距離都為5，所以方程的解為x＝﹣4或6，故答案為：﹣4或6，x＝﹣4或6；探究二：（3）如圖④，在直角坐標系中，設點A′的坐標為（x+3，y+4），由探究二（1）可知，A′O＝，將線段A′O先向左平移3個單位，再向下平移4個單位，得到線段AB，此時點A的坐標為（x，y），點B的坐標為（﹣3，﹣4），因為AB＝A′O，所以AB＝，因此的幾何意義可以理解為點A（x，y）與點B（﹣3，﹣4）之間的距離AB；（4）根據前面的探究可知的幾何意義是表示點（x，y）與點（a，b）之間的距離，故答案為點（x，y）與點（a，b）之間的距離；拓展應用：（5）由探究二（4）可知：+表示點A（x，y）與點E（2，﹣1）的距離和點A（x，y）與點F（﹣1，5）的距離之和，故答案為（﹣1，5）；（6）當A（x，y）位于直線EF外時，此時點A、E、F三點組成△AEF，∴由三角形三邊關系可知：EF＜AF+AE，當點A位置線段EF之間時，此時EF＝AF+AE，∴+的最小值為EF的距離，∴EF＝，故答案為．【點睛】本題考查學生的閱讀理解能力，解題的關鍵是正確理解題意，仿照題意求出答案，本題也考查了學生的綜合能力，屬于中等題型．類型二、以直角三角形的邊為邊的圖形面積問題7．勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數學定理之一，是數形結合的重要細帶．數學家歐幾里得利用如圖驗證了勾股定理．以直角三角形的三條邊為邊長向外作正方形，正方形，正方形，連接，，具中正方形面積為1，正方形面積為5，則以為邊長的正方形面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】D【分析】此題考查的是勾股定理的證明；過點作于點，交于點，由正方形的性質可知、的長，利用直角三角形面積公式可得的長，再勾股定理可得、的長，最后利用勾股定理可得答案．正確作出輔助線是解決此題的關鍵．【詳解】解：過點作于點，交于點，正方形面積為5，正方形面積為1，，，，，是直角三角形，，，，即，，，，，以為邊長的正方形面積為10．故選：．8．如圖，中，，，．分別以、、為邊在的同側作正方形、、，四塊陰影部分的面積分別為、、、．則等于（

）

A．18 B．20 C．22 D．24【答案】A【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，矩形的判定，勾股定理．過F作于D，先證明得到，再證明，得到，進一步證明，，則可證明，由此求解即可．【詳解】解：過F作于D，連接，

∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，同理可證，∴．

由可得：，∴，∵，即，且，，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，又，∴平行四邊形是矩形，∴，又∵，∴，∴，同理可得，∴，∵，∴，∴；故選：A．9．如圖，在中，，分別以為邊向上作正方形、正方形、正方形，點在上，若，則圖中陰影的面積為．【答案】6【分析】如圖，連接，過點作，證明，從而得到、、在一條直線上，在類比趙爽弦圖可得，，，現(xiàn)只需求出邊的長度即可計算面積．【詳解】如圖，連接，過點作，∴，∵四邊形是正方形，∴，，又∵，∴∴在與中：∴（AAS）∴又∵是正方形，∴，，∴，∴是平行四邊形，∴∴、、在一條直線上，故：也是直角三角形且，由四邊形是正方形，是正方形，是正方形，、是全等的三角形，類比趙爽弦圖已知，即可證明（此處證明略）則：∵，∴∴．故答案為：6．【點睛】本題是考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．10．如圖，在直角三角形中，直角邊，，以它的三邊分別作出了正方形、、，把、、的面積分別記為、、，則．【答案】18【分析】過點A作AM⊥EH交EH延長線于點M，連接MG，F(xiàn)M，根據題意可證得△AEM≌ADEF，從而得到AM=DF，進而S△AHE=S△DEF，同理S△BDC=S△GFM=S△DEF，可得到S△AHE+S△BDC+S△GFL=3×S△DEF，即可求解．【詳解】解：如圖，過點A作AM⊥EH交EH延長線于點M，連接MG，F(xiàn)M，∵正方形、、，∴DF=DC，DE=DB，AE=DE，EF=FG，F(xiàn)L=DF，∠GFL=90°，∠EDF+∠BDC=180°，∴∠AME=∠DFE=90°，∵∠AEM+∠DEM=90°，∠DEM+∠DEF=90°，∴∠AEM=∠DEF，∵AE=DE，∴△AEM≌ADEF（AAS），∴AM=DF，∵EH=EF，∴，∴S△AHE=S△DEF，同理：S△BDC=S△GFM=S△DEF，∵S△GFL=FG×FL，∴S△GFL=DF×EF=S△DEF，∵直角邊，，∴S△AHE+S△BDC+S△GFL=3×S△DEF=3××3×4=18，∴．故答案為：18．【點睛】本題主要考查了正方形性的性質，求三角形的面積，全等三角形的判定和性質，得到S△AHE+S△BDC+S△GFL=3×S△DEF是解題的關鍵．11．在中，，如圖1，分別以，，為邊向外作等邊三角形，，（1）若，，則______．（2）如圖2，將沿翻折，點的對應點記為，①連接，請求出的度數．②若保持不變，隨著的長度變化，點也隨之運動，試探究的值是否變化，若不變，求出的值；若改變，求出的最小值．【答案】（1）；（2）①30°；②變化，的最小值為【分析】（1）過F作AB的垂線，垂足為H，得出等邊的面積,同理得出另兩個等邊三角形的面積,由勾股定理易得的面積等于另兩個等邊三角形的面積的和,從而可求得結果;(2)①由翻折易得：，從而可證得≌，即得PE⊥CE，從而可求得;②連接PF，與①同，可證得，且求得，表明點P在定直線FP上，根據垂線段最短即可求得AP的最小值．【詳解】（1）過作于，∵是等邊三角形，，∴，∴，∴，同理可得，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴.（2）①∵、都是等邊三角形，∴，，，∵沿翻折得到，∴，，∴.∴.在和中，，∴≌（SAS），∴.∵，∴，②連接，∵是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，翻折得到，∴，.∴，∴.在和中，，∴≌（SAS），∴.∴，∴點在過點且垂直的直線上移動，故的值會發(fā)生改變，由點到直線的距離垂線段最短可知，當且僅當時,取得最小值.在中,的最小值為.∴的最小值為.【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質、勾股定理、圖形面積的計算、求最值，涉及了圖形的變換，輔助線的作法，是一個綜合性的問題，對學生的知識進行了全面而綜合的考查．把翻折，實質是把分別繞點C、B順時針和逆時針旋轉60°而得到和．另外，②小題也可以這樣解：易得，則由①的結論可知：∥，且可得，所以四邊形為平行四邊形，則,表明點在定直線上，余下同原題解法．12．[方法儲備]如圖1，在中，為的中線，若，，求的取值范圍．中線倍長法：如圖2，延長至點，使得，連結，可證明，由全等得到，從而在中，根據三角形三邊關系可以確定的范圍，進一步即可求得的范圍．在上述過程中，證明的依據是______，的范圍為______；[思考探究]如圖3，在中，，為中點，、分別為、上的點，連結、、，，若，，求的長；[拓展延伸]如圖4，為線段上一點，，分別以、為斜邊向上作等腰和等腰，為中點，連結，，．①求證：為等腰直角三角形；②若將圖4中的等腰繞點轉至圖5的位置（，，不在同一條直線上），連結，為中點，且，在同側，連結，．若，，求和的面積之差．【答案】[方法儲備]，；[思考探究]；[拓展延伸]①見解析；②【分析】[方法儲備]由得出，在中，根據三邊關系得到，即可求解，[思考探究]延長至點，使得，由得出，，從而得，應用勾股定理求出，結合垂直平分，即可求解，[拓展延伸]①延長至點，使得，由，可得，，由，，，即可求證，②延長至點，使得，由，可得，，導角得，由，可得，，作，，，通過勾股定理得到邊長間的關系，代入，即可求解，本題考查了全等三角形的性質與判定，三角形的三邊關系，勾股定理，解題的關鍵是：熟練應用“倍長中線法”．【詳解】[方法儲備]解：在和中，，，，在中，，即：，，，，故答案為：，，[思考探究]解：延長至點，使得，連結，，在和中，，，，，，，，在中，，而，，垂直平分，，故答案為：，[拓展延伸]解：①延長至點，使得，連結，，在和中，，，，，，又，，，，又，，為等腰直角三角形，②如圖，延長至點，使得，連結，，，為中點，同上“倍長中線”方法可得，，，設，，，，，，，分別過，作，，，為垂足，，設，，，，，，，解得，，，故答案為：．13．問題再現(xiàn)：數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數學知識變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數學里的一些代數公式，很多都可以通過表示幾何圖形積的方法進行直觀推導和解釋．如圖1，是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式：如圖2，在中，，以的三邊長向外作正方形的面積分別為，試猜想之間存在的等量關系，直接寫出結論．如圖3，如果以的三邊長為直徑向外作半圓，那么第問的結論是否成立？請說明理由．如圖4，在中，，三邊分別為，分別以它的三邊為直徑向上作半圓，求圖4中陰影部分的面積．【答案】（1）；（2）；（3）結論仍成立，理由見詳解；（4）30【分析】（1）根據大正方形的面積等于兩個小正方形的面積加兩個長方形的面積即可得出答案；（2）分別求出三個正方形的面積，再用勾股定理求解即可；（3）分別求出三個半圓的面積，計算即可；（4）陰影部分的面積為兩個小半圓的面積減去大的半圓的面積再加上三角形的面積．【詳解】解：（1）由正方形的面積可得出：；故答案為：；（2）由圖可得：,在直角三角形中有：∴；故答案為：；（3）結論仍成立，理由如下：由圖可得出：∴在直角三角形中有：∴．因此，結論仍成立．（4）由圖可知：陰影部分的面積為兩個小半圓的面積減去大的半圓的面積再加上三角形的面積，由（3）可知為兩個小半圓的面積等于大的半圓的面積，因此，陰影部分的面積等于三角形的面積，∵．【點睛】本題考查的知識點是勾股定理的拓展，巧妙利用數形結合思想方法，借助這種方法將抽象的數學知識變得直觀是解此題的關鍵．14．勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有______個；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請判斷、、的關系______．【答案】(1)①見解析；②(2)(3)【分析】（1）①將圖中各個幾何圖形的面積用兩種方法表示出來，再利用面積相等列等式證明即可；②圖1中：，，即可得，圖2中大正方形的面積為：，據此即可作答；（2）根據題意得：，再分別計算正方形、半圓形和等邊三角形的面積，即可完成求解；（3）結合題意，首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、以c為直徑的半圓面積、三角形的面積，根據圖形特點表示出（+），結合勾股定理，即可得到答案．【詳解】（1）①證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的