2021-2022學年人教版八年級數(shù)學復習：運算能力之乘法公式綜合難點專練（解析版）

專題01運算能力之乘法公式綜合難點專練（解析版）

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.如圖，為了美化校園，某校要在面積為120平方米的長方形空地N5CD中劃出長方

形EBKR和長方形QFSD,若兩者的重合部分GFHR恰好是一個邊長為3米的正方形,

現(xiàn)將圖中陰影部分區(qū)域作為花圃，若長方形空地N2CD的長和寬分別為根和小m>n,

花圃區(qū)域NEG0和"KCS總周長為32米，貝的值為（）

C.4D.5

【答案】A

【分析】

根據(jù)花圃區(qū)域/EG。和HKCS總周長為32米，重合部分GFHR恰好是一個邊長為3米

的正方形，可得心+/22,再根據(jù)長方形面積公式可得加"=120,再根據(jù)完全平方公式即

可求解.

【詳解】

解：?.?花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為32米，重合部分GFHR恰好是一個邊長為3

米的正方形，

???2(m-3)+2(?-3)=32,

???加+〃=22,

丁冽〃=120,

(加+〃)2=m2+H2+2mw=m2+H2+240=484,

??m2+n2=244,

二2=冽2+〃2?2加幾=244-240=4,

故選：A.

【點睛】

本題考查了完全平方公式的應用，解題的關鍵是靈活運用完全平方公式.

2.如圖有兩張正方形紙片/和3,圖1將2放置在/內部，測得陰影部分面積為2,

圖2將正方形AB并列放置后構造新正方形，測得陰影部分面積為20,若將3個正方形

/和2個正方形3并列放置后構造新正方形如圖3,（圖2,圖3中正方形紙片均無

重疊部分）則圖3陰影部分面積（）

圖1圖2圖3

A.22B.24C.42D.44

【答案】C

【分析】

由圖1可知，陰影部分面積〃-〃=2,圖2可知，陰影部分面積（a+6）2-02一〃=

20,進而得到。6=10,由圖3可知，陰影部分面積（20+6）2-3層-262=°2-〃+4仍=

2+40=42.

【詳解】

解：設正方形/、8的邊長分別為a、b,由圖1可知，陰影部分面積〃=2,

圖2可知，陰影部分面積（a+6）2”2-〃=20,

所以ab=\Q,

由圖3可知，陰影部分面積為（2a+b）2-3a2-2b2=a2-b2+4ab=2+4Q=42.

故選：C.

【點睛】

此題考查完全平方公式在幾何圖形中的應用，正確理解圖形的構成，正確掌握完全平方

公式是解題的關鍵.

3.如圖，有10個形狀大小一樣的小長方形①，將其中的3個小長方形①放入正方形②

中，剩余的7個小長方形①放入長方形③中，其中正方形②中的陰影部分面積為22,

長方形③中的陰影部分面積為96,那么一個小長方形①的面積為（）

③

A.5B.6C.9D.10

【答案】A

【分析】

設①小長方形的長為。，寬為6,根據(jù)正方形陰影面積=正方形面積-3個小長方形面積

=22根根據(jù)大長方形陰影面積為長為（3。+6）,寬為（。+36）的長方形面積一7個小長方形

面積=96列方程求出ab=5即可.

【詳解】

解：設①小長方形的長為“，寬為6,

根據(jù)②正方形邊長為,陰影面積為（0+6）2-3"=22,

根據(jù)③大長方形的長為3a+6,寬為a+36,陰影面積為（3a+b）g+3b）-7"=96,

聯(lián)立得〔【黑渭涓-6

a2+b2-ab=22①

整理得

。2+/+46=32②

a2+b2=21

解得

ab=5

一個小長方形①的面積為5.

故選擇

【點睛】

本題考查圖形陰影面積應用問題，多項式乘法與圖形面積，完全平方公式，仔細分析圖

形，從中找出等量關系，正方形陰影面積=正方形面積-3個小長方形面積=22,大長方

形陰影面積為長為（3。+6）,寬為（。+36）的長方形面積一7個小長方形面積=96,列方程

組是解題關鍵.

4.利用乘法公式判斷，下列等式何者成立？（）

A.2482+248X52+522=3002B.2482-248x48-482=2002

C.2482+2X248X52+522=3002D.2482-2X248X48-482=2002

【答案】C

【分析】

根據(jù)完全平方公式的特征進行判斷，然后根據(jù)公式特點進行計算.

【詳解】

解：4、248^+248x52+522不符合完全平方公式的特征且計算錯誤，完全平方公式的

中間一項為2x248x52,所以不符合題意；

B、2482-248x48-48?不符合完全平方公式特征且計算錯誤，最后一項應為+482,所

以不符合題意；

C、2482+2x248x52+522=(248+52)2=3002,所以符合題意；

D、248?-2x248x48-482=20()2不符合完全平方公式特征且計算錯誤，最后一項應為

+482,所以不符合題意.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了完全平方公式的特征，識記且熟練運用完全平方公式：

a2+2ab-\-b~=(a±6)?是解答問題的關鍵.

二、填空題

5.如圖，長方形/BCD的邊BC=13,E是邊2c上的一點，且8E=A4=10,F,G分

別是線段48,。上的動點，且8F=DG,現(xiàn)以BE,BF為邊作長方形BEHF,以DG

為邊作正方形OG/J,點X,/均在長方形內部.記圖中的陰影部分面積分別為

W，S,長方形和正方形DGH的重疊部分是四邊形當四邊形口的鄰邊

比為3：4,5+￡的值為

【答案】7或考

【分析】

利用長方形及正方形的性質可求解燈=2DG-10,KH=DG-3,根據(jù)當長方形K〃〃的鄰邊

的比為3：4可求解DG的長，再利用。G的長分別求解/RCG,NJ的長，進而可求

解，注意分類討論.

【詳解】

解：在長方形/BCD中，AB=CD=IO,AD=BC=13.

???四邊形。GZ7為正方形，四邊形5尸〃￡為長方形，BF=DG,

.?.四邊形KILH為長方形,KI=HL=2DG-AB=2DG-10.

???BE=BA=10,

??.LG=EC=3,

：.KH=IL=DG-LG=DG-3.

當長方形KZLX的鄰邊的比為3：4時，(DG-3)：(2DG-10)=3：4,或(2DG-10)：

(QG-3)=3：4,

31

解得。G=9或不，

當。G=9時，AF=CG=\,AJ=4f

^SX+ST=AF-AJ+CE-CG=\X4+1X3=7；

311934

當。G=不時，AF=CG=—,

??$+S2=4F?AJ+CE?CG

1934.19

=——x——+3x—

555

931

~^5

故答案為7或察.

【點睛】

本題考查整式的混合運算，解答本題的關鍵是明確整式混合運算的計算方法.

6.計算：(1)若x滿足(30-x)(x-20)=-10則(30-4+(》一20)2的值為；

(2)如上圖，/E=2,CG=4,長方形EFGO的面積是50,四邊形N8CD和NGOH以及

胸。都是正方形四邊形尸是長方形，則圖中正方形沏？的面積為.

【分析】

(1)設(30-x)=m,(x-20)=n,求出加〃和加+〃，利用完全平方公式計算即可；

(2)根據(jù)正方形48CD的邊長為x,AE=2,CG=4,所以。E=x?2,DG=x-4,得到

(x-2)(x-4)=50,設x-2=a,x-4=b,從而得到ab=50,a-b=(x-2)-(x-4)=2,根據(jù)

題意求出(a+b)2,即可求出正方形MW的面積.

【詳解】

解：(1)設(30-x)=m,(x-20)=n,

:.(30-x)(x-20)=mn=-10,

：-m+n=(30-x)+(x-20)=10,

???(30-x)2+(x-20)2,

=m2+n2,

=(加+〃)2-2mn,

=102-2x(-10)

=120；

(2)???正方形/BCD的邊長為x,AE=2,CG=4,

:.DE=x-2,DG=x-4,

:.(x-2)(x-4)=50,

設x-2=a,x-4=b,

-,-ab=50,a-b=(x-2)-(x-4)=2,

貝!J(a+b)2=(q?b)2+4?/>=22+4x50=204,

???正方形WMF的面積為：204,

故答案為:(1)120；(2)204.

【點睛】

本題考查了完全平方公式，解決本題的關鍵是熟記完全平方公式，進行轉化應用.

7.找規(guī)律填數(shù)：的逛+也=(直接填寫結果).

V99-9X99-999-9

【答案】10"

【分析】

將?^9+M^9變形為J99...92+2x99...9+1，故

y99-9X99-999-9

/嗆2吸？2=J99...92+2x99...9+1=7(99...9+1)2=10"

V99-9X99-999-9

【詳解】

解：回巫匹

V99-9X99-999-9

=A/99...92+2X99...9+1

=J(99...9+1)2

=99...9+1

二10〃.

故答案為：10".

【點睛】

本題主要考查算術平方根以及完全平方公式的逆運用，熟練掌握算術平方根以及完全平

方公式的逆運用是解決本題的關鍵.

三、解答題

8.已知關于x的二次三項式A滿足A-(x-l)(x+1)=(x+1)2.

Cl)求整式A；

(2)^-B=3X2+4X+2,當'=時，求的值.

【答案】(1)/=2x?+2x;(2)B-A=^-.

4

【分析】

(1)直接利用整式的加減運算法則計算得出答案即可；

(2)直接利用整式的加減運算法則結合x的值代入得出答案即可.

【詳解】

解：⑴???—(x+l)=(x+l)2

二/=(X+1)2+(X+l)(x-1)

—x~+2x+1+x~-1

=2x2+2x;

(2)■.B=3X2+4X+2,A^2X2+2X

:.B-A—3x-+4x+2-(2x~+2x)

—3x~+4x+2—2x~-2x

=x?+2x+2

=(x+l)2+l.

當X=時，fi-yl=(x+l)2+l=^-1+l^+1=|.

【點睛】

此題主要考查了整式的加減，正確掌握相關運算法則是解答此題的關鍵.

9.計算：

(1)X3-X5-(2x4，+X10,X2；

(2)4a(a-3b)-(3b-2a)(2a+36)；

(3)(3乂2>)《15砂3),(-9x4/)；

(4)請用簡便方法計算：704'696-7002

【答案】(1)-2f;(2)8a2-I2ab-9b2；(3)45xV；(4)-16.

【分析】

(1)先算乘方，再算乘除，最后合并同類項即可；

(2)先根據(jù)單項式乘以多項式和平方差公式進行計算，再合并同類項即可；

(3)先根據(jù)積的乘方化簡，再從左往右計算即可；

(4)先變形，再根據(jù)平方差公式進行計算，最后求出答案即可.

【詳解】

解：(1)x3?x5-(2x4y+x10,x2

=x8-4x8+x8

=-2x8;

(2)4a(a-3b)-(3b-2a)(2a+3b)

=4a(a-36)+(2a-3b)(2a+3b)

=4a2-12ab+4a2-9b2

=Sa2-Uab-9b2；

(3)(3%2y)《15盯3),(.9x4y2)

=27%6y3《_15x)3),(_9x4y2)

=-405//,(一9x4y2)

=45x3y4；

(4)704'696-7002

=(700+4〉(700-4)-7002

=7002-16-7002

=-16.

【點睛】

本題考查了整式的混合運算，能靈活運用知識點進行計算和化簡是解此題的關鍵.

10.計算：

(1)10/妙3孫4)

(2)|—cib2-2ab\--ab：

(3)2

(3)(2x+2)(3x+5)-2x(3x+6)-4(x-2)；

(4)(x-2y+l)(x-2j;-l).

232222

【答案】(1)-5x3/z3.(2)^ab-ab；(3)18；(4)x-4xy+4y-l.

【分析】

(1)根據(jù)單項式乘以單項式的運算法則進行計算即可；

(2)根據(jù)單項式乘以多項式的運算法則進行計算即可；

(3)分別根據(jù)多項式乘以多項式和單項式乘以單項式運算法則去括號，然后外掛;

(4)運用平方差公式進行計算即可得到答案.

【詳解】

解：⑴

=-5x3y5z3.

(2)1ga/-2ab^-^ab

——ab2—ub+(―2qb)—ab

32'72

=-a2b3-a2b2.

3

(3)(2x+2)(3x+5)-2x(3x+6)-4(x-2)

=6x°+1Ox+6x+10—6x?—12x-4x+8

=18

(4)(x-2y+l)(x-2y-1)

=[(x-2y)+l][(x-2y)-l]

=(x-2y)2-l

=x2-4xy+4y2-1.

【點睛】

此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解答此題的關鍵.

11.對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，可以得到一個數(shù)學等式.

b

圖1圖2

(1)對于等式(。+26)(。+6)=/+3碗+2%可以由圖1進行解釋：這個大長方形的

長為，寬為，用長乘以寬可求得其面積，同時，大長方形的面積也等于3個

長方形和3個正方形的面積之和.

(2)如圖2,試用兩種不同的方法求它的面積，你能得到什么數(shù)學等式？

方法1(從整體角度)：;

方法2(從局部角度：6個長方形和3個正方形)：；

數(shù)學等式：.

(3)利用(2)中得到的數(shù)學等式，解決下列問題：己知a+b+c=7,

/+/+(?=19,求ab+6c+ac的值.

【答案】(1)(a+26),(a+b)；(2)(a+b+c)2,a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,(a+6+c)

2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；(3)15

【分析】

(1)根據(jù)圖形直接得出長為Q+26),寬為(a+6)；

(2)整體上是一個邊長為G+6+c)的正方形,各個部分的面積和為02+62+,2+2必+2兒+2℃,

可得等式；

(3)將(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,變形為(a+b+c)2-a2-b2-c2=2ab+2bc+2ac,

再整體代入求值即可.

【詳解】

解：(1)由圖形直觀得出，長為：(a+26),寬為(a+b),

故答案為：(a+2b),(a+b)；

(2)方法1(從整體角度)：(a+b+c)2,

方法2(從局部角度：6個長方形和3個正方形)：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,

因此有數(shù)學等式：(a+6+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

(3)由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2acW,

2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2-(a2+Z>2+c2),

'-'a+b+c=1,a2+b2+c2=19,

.,-2ab+2bc+2ac=49-19=30,

-'-ab+bc+ac=15.

【點睛】

本題考查完全平方公式的幾何背景，因式分解以及多項式乘以多項式的計算法則，掌握

公式特征和適當變形是正確應用的前提.

12.某公園對一個邊長為a（a>l）的正方形花壇進行改造，由于占地需要，正方形花

壇南北方向需要縮短1米，使其形狀成為長方形.為了使花壇中的綠植面積不變，公園

決定將花壇向東側擴展，使得到的長方形面積和原來正方形的面積相等.

（1）小明說：這太簡單了，把正方形南北方向減少1米，在花壇東側增加1米就行

了.這樣得到的長方形的周長和面積與原來正方形的周長和面積都相等.你認為小明說

的對嗎？請你說明理由.

（2）如果原來正方形的花壇邊長是5米，在只保證面積不變的情況下，請你計算出改

造后，向東擴展了多少米？

（3）如果正方形的花壇邊長是。米，在只保證面積不變的情況下，請你用代數(shù)式表示

出改造后長方形的長.

【答案】（1）小明的說法不對，理由見解析；（2）向東擴展［米；（3）J

【分析】

（1）理由平方差公式求出小明所得的圖形面積，與原圖形面積相比較即可得到答案;

（2）設向東擴展x米，根據(jù)題意得方程（5-1）（5+幻=5匕解方程即可;

（3）利用長方形的面積公式計算即可

【詳解】

解：（1）小明的說法不對，理由如下：

由題意得：（Q-1）（。+1）=〃—1<〃，

，小明的說法不對；

（2）設向東擴展x米，

由題意得(5-1)(5+尤)=52,

解得尸J,

答：向東擴展。米；

(3)改造后長方形的長為三

【點睛】

此題考查了平方差計算公式與圖形面積，一元一次方程的實際應用，正確理解題意是解

題的關鍵

13.對于實數(shù)a,6,c定義一種新運算，規(guī)定尸(a,6,c)=/+〃+2c

例如：F(1,2,3)=12+22+2X3=11

(1)求尸(2,3,1)；

(2)如圖，在矩形4BFG和矩形2cDE中，AB=2x,AG=4x,BC=2y,CD=y,

若2x+y=5,F(3x+y,x-3y,-x2-4y2)=40.連接和4D,求圖中陰影部分的面積

(3)若廠(5,2--收x-2中)=-2,求x+了的值.

【答案】(1)15；(2)—；(3)-V2

42

【分析】

(1)根據(jù)新定義運算法則計算即可；

(2)根據(jù)新定義運算法則列出方程，得到4/+/=20,運用完全平方公式可得

xj=j,再把這兩個條件代入陰影面積的代數(shù)式可得；

(3)根據(jù)新定義運算法則列出方程，配方得(x-2y)2+(x-0)2=O,根據(jù)非負數(shù)性質

可得.

【詳解】

(1)F(2,3,l)=32+22+2xl=15

故答案為：15

(2)F(3x+y,x-3y,-x2-4y2)=40

(3x+y)2+(x-3y)2+2(-x2-4/)=0

/.4x2+y2=20

又???2x+y=5

(2x+y)2=25

4x2+4xy+y2=25

5

11

S陰=8x9+2y9—-,2x,4x--y(2,x+

S陰=4x2+y2-xy

(3)F(V2x,2y,-2xy)=-2

2x?+4)2--4xy=-2

-4xy+4y2+-2A/2X+>/2—0

(X-2J)2+(X-V2)2=0

V2

x=Vr2,y=----

2

3

xy=-V2

【點睛】

考核知識點：新定義運算、乘法公式.熟練掌握完全平方公式是關鍵.

14.現(xiàn)定義運算，對于任意有理數(shù)a,b,都有…)二:、如:

[a0b=b(a+b)-a(a>b).

203=2x(2+3)-3=7,5區(qū)2=2x(5+2)-5=9.

(1)若x(8)(x+2)>x(8)(x-3),求x的取值范圍；

(2)有理數(shù)a,6在數(shù)軸上的位置如圖所示，計算：

(a-b)③(26)-[(6-a)0(2a-2b)].

01b

【答案】(1)X的取值范圍是X>1;(2)-a2-3b2-b+4ab-a.

【分析】

(1)根據(jù)新定義的運算方法進行計算即可，

\a?b=a(a+b)~b(a<b),

(2)在理解新定義運算。入JJ二的意義和轉換方法，然后類推計算即

可.

【詳解】

解：(1)vx<%+2,x>x-3,

???x?(x+2)=x(2x+2)-(x+2)=2x2+2x-x-2=2x2+x-2,

x0(x-3)=(x-3)(2%-3)-x=2x2-1Ox+9.

vx0(x+2)>x0(x—3),

,,,2x?+x-2>2%2—1Ox+9-

1lx>11.

AX>1.

X的取值范圍是X>1.

(2)'-'a-b<0,2b>0fb-a>0,2a-26V0,

-?a-b<2b,b-a>2a-2b.

(a-b)0(2b)-[(b-Q)③(2Q-2b)]

=(Q-6)(Q-6+26)-26-[(2Q-26)(6-Q+2Q-26)-(6-〃)]

=(a-b)(a+b)-2b-[(2a-26)(Q-b)-b+a\

=a2-b2-2b-^2a2-4ab+2b2-b+a^

=a2-b2-2b-2a2+4ab-2b2+b-a

=—Q2—3b2—b+4ab—a-

【點睛】

此題主要考查了整式的四則運算以及新定義運算的意義，理解新定義的運算方法是正確

解答的前提.

15.如圖1,用4個相同邊長是工、丁的長方形和中間一個小正方形組成的大正方形.

D

(1)若大正方形的面積為36,小正方形的面積為4,則x-N值為；貝口+了

的值為;

(2)若小長方形兩邊長為9_"和機-4,則大正方形的邊長為；

若滿足(9-機)(加-4)=4,則(9一團了+(加一4)2的值為；

(3)如圖2,正方形/3C。的邊長是。，它由四個直角邊長分別是。，6的直角三角形

和中間一個小正方形組成的，猜想。，b,c三邊的數(shù)量關系，并說明理由.

【答案】(1)2,6；(2)5,17；(3)a2+b2^c2,理由見解析

【分析】

(1)大正方形的邊長為x+y,小正方的邊長為x-y,由面積可求出正方形的邊長；

(2)小長方形兩邊之和為正方形的邊長，再由完全平方公式求解即可；

(3)根據(jù)大、小正方形和4個直角三角形的面積之間的關系得出結論.

【詳解】

解：(1)???大正方形的面積為36,小正方形的面積為4,

二(x+y)~=36,(x-7)2=4,

又?:x>y>0,

：.x+y=6fx-y=2,

故答案為：2,6；

(2)大正方形的邊長為x+V=9-加+加一4=5,

(9-m)(m-4)=4,

???(9-tn)2+(機-4)2=[(9-加)+(機-4)2(9-m)(m-4)=52-8=17,

故答案為：5,17；

(3)。，b,c三邊的數(shù)量關系為力+62=02.

理由如下：由拼圖可得，小正方形的邊長為a-6,

由大正方形的面積等于小正方形的面積與4個直角三角形的面積和可得,

(a-b)~+506x4=/,

^a2+b2=c2.

【點睛】

本題考查完全平方公式的幾何背景，理清各個圖形面積之間的關系是解決問題的關鍵,

用代數(shù)式表示各個部分的面積是得出結論的前提.

16.某同學用如圖所示不同顏色的正方形與長方形紙片拼成了一個如圖所示的正方

(1)①請用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積.方法1：—;方法

2：.

②以上結果可以驗證的乘法公式是—.

(2)根據(jù)上面的結論計算：

①已知〃z+"=5,m2+n2-11,求的值.

②已知(2019-m)(2020-m)=1010,求(2020-，療十(吵2019『的值.

【答案】(1)①/+從，(a+Z?)2-lab；@a2+b2=(a+b)2-lab；(2)①7；②2021

【分析】

(1)①方法一：陰影部分面積為兩個小正方形面積之和，分別求出兩個小正方形面積然

后相加即可；方法二：陰影部分面積等于大正方形面積減去兩個空白長方形面積，分別

求出面積然后進行計算即可；②根據(jù)完全平方公式可以很容易得出答案；

(2)①根據(jù)完全平方公式進行相應的計算即可得到答案；②根據(jù)完全平方公式進行相應

的計算即可得到答案.

【詳解】

解：(1)①方法一：由題意可知陰影部分面積為兩個小正方形面積之和

$陰影=“一+

方法二：由陰影部分面積等于大正方形面積減去兩個空白長方形面積

???S陰影=(a+一ab一=(Q+bj-2ab

②;(Q+1)1-2ab=a2+b2+2ab-2ab=a2+b2

??.(a+b)2，2ab=a2+b2

即驗證的乘法公式為(〃+bp-lab=a2+b2

(2)①:冽+〃=5

(加+=25

22

???m+n=11

(加+幾J_(加2+〃2)=2mn=25-11=14

-'?mn=7

②???(2019-m)(2020-m)=1010,

.??(2020-加『+(m-1019)2=(2020-m+m-2019)2-2(2020-加)(加-2019)

=F+2(2020-加)(2019-機)

=1+2x1010=2021

【點睛】

本題主要考查了完全平方公式的運用，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關公式.

17.數(shù)學課外活動小組的同學在學習了完全平方公式之后，針對兩個正數(shù)之和與這兩個

正數(shù)之積的算術平方根的兩倍之間的關系進行了探究,請閱讀以下探究過程并解決問題.

猜想發(fā)現(xiàn)：由5+5=2V^?=10；|+1=2^|X1=|；0.4+0.4=2j0.4x0.4=0.8；

—F5>2A/-x5=2；0.2+3.2>2Jo.2x3.2=1.6;—l—>21-x—=—

5V528V282

猜想：如果4>0,b>0,那么存在Q+(當且僅當。二b時等號成立).

猜想證明：6丁20

二①當且僅當五一6=0,即〃=6時，a-2y[ab+/?=0,???。+b=2\l'ab;

②當五一6。0,即/6時，a-2yl~ab+/?>0,^a+b>2sl'ab.

綜合上述可得：若。>0,6>0,貝!+成立(當日僅當〃二b時等號成立).

猜想運用：(1)對于函數(shù)y=x+g(x>0),當x取何值時，函數(shù)7的值最小？最小值是

多少？

變式探究：（2）對于函數(shù)y=—1+x（x>3）,當x取何值時，函數(shù)》的值最小？最小值

是多少？

拓展應用：（3）疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題.高速公路榆測站入口處,

檢測人員利用檢測站的一面墻（墻的長度不限），用63米長的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的

長方形隔離房，如圖.設每間離房的面積為S（米2）.問：每間隔離房的長、寬各為多

少時，可使每間隔離房的面積S最大？最大面積是多少？

/////////////////////I//（埔

【答案】（1）x=1,函數(shù)》的最小值為2；（2）x=4,函數(shù)》的最小值為5；（3）每間

791147

隔離房長為一米，寬為9■米時，S的最大值為2米2

2o1o

【分析】

猜想運用：根據(jù)材料以及所學完全平方公式證明求解即可；

變式探究：將原式轉換為V=—1+X-3+3,再根據(jù)材料中方法計算即可；

x-3

拓展應用：設每間隔離房與墻平行的邊為x米，與墻垂直的邊為V米，依題意列出方程,

然后根據(jù)兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術平方根的兩倍之間的關系探究最大值

即可.

【詳解】

猜想運用：

x>0,

...當X.時，%n=2,

X

此時f=1,

只取X=1,

即x=l時,函數(shù)丁的最小值為2.

變式探究：

x>3,

x—3>0,------>0,

x-3

.?.y=」^+x-3+3Z2py(x—3)+3=5,

當~=X_3時，J/min—5,

x-3

此時(％—3『=1,

???再=4,%=2(舍去)，

即x=4時，函數(shù)y的最小值為5.

拓展應用：

設每間隔離房與墻平行的邊為x米，與墻垂直的邊為丁米，依題意得:

9x+12j/=63,

即3x+4y=21,

3x>0,4y〉0,

即21N2j3x?4y,

147

整理得：—,

16

即SW14%7

16

,，當3x=4y時加=子147,

16

此時x=97歹=21不，

2o

791147

即每間隔離房長為一米，寬為2米時，S的最大值為千米，

【點睛】

本題主要考查根據(jù)完全平方公式探究兩個正數(shù)之和與這兩個正數(shù)之積的算術平方根的

兩倍之間的關系，熟練運用完全平方公式并參照材料中步驟進行計算是解題關鍵，屬于

創(chuàng)新探究題.

18.有些同學會想當然地認為(x-y)3=x3-j?.

(1)舉出反例說明該式不一定成立；

(2)計算(x-y)3；

(3)直接寫出當X、了滿足什么條件，該式成立.

【答案】(1)見解析；(2)(x-7)3=x3-3x2y+3xy2-y2；(3)x=y

【分析】

(1)選一組使等式不成立的x、y值即可；

(2)利用多項式乘以多項式的運算法則進行推導計算即可；

(3)將x=y代入等式中即可解答.

【詳解】

解：(1)令x=2,y=l,(反例不唯一)

(x-y)3=1,x3-y3=7,1力7,

??.該等式不一定成立；

⑵(x-y)3=(x-y)2-(x-y)

=(x2-2xy+-{x-y)

=x3-3x2y+3xy2-y1,

即(x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y2

(3)將x=＞代入(x-y)3=x3一/中，

得：(x—y)3=0,—y3=x3—x3=0,0=0,

.,.當X、V滿足x=y時，該式成立.

【點睛】

本題考查整式的混合運算、完全平方公式，熟練掌握整式的混合運算是解答的關鍵.

19.計算：

(1)8X2y+2儼；

(2)(-2。2)3+4a5?a；

(3)(x+2y)2-2y(2x+y)；

(4a-914-9

(4)

a-2)a-2；

a?+aQ'+Q22

(5):?

2/+。__1—/Q—/

(6)

If^x^+N-2x+X)[fx+-y-4)

-31

【答案】(1)4x2；(2)-4a6；(3)x2+2產；(4)——a；(5)-；(6)y-x.

a+3a

【分析】

(1)根據(jù)單項式除以單項式可以解答本題；

(2)根據(jù)積的乘方、單項式乘單項式和合并同類項可以解答本題;

(3)根據(jù)完全平方公式、單項式乘多項式可以解答本題；

(4)根據(jù)分式的減法和除法可以解答本題；

(5)根據(jù)分式的除法和減法可以解答本題；

(6)根據(jù)分式的減法和除法可以解答本題.

【詳解】

解:(1)8x2y2-^2y2=4x2；

(2)(-2a2)3+4a5,a

=(-8a*6)+4a6

=-4a6；

(3)(x+2yY-2y(2x+y)

=x2+4xy+4y2-4xy-2y2

4fl—9、fl"-9

(4)(a-

—2)—(4a—9)a—2

a—2(Q+3)(Q—3)

a2-2a-4a+9

(a+3)(a—3)

(a―3)2

(a+3)(a—3)

a-3

q+3'

_、Q?+。/+Q?2

3)-3-----2------J-------2---------2

a—2。+ci\—cia-a

Q(a+1)(l+a)(l-a)2

a(a-l)2/(Q+1)a(l-a)

1+a2

a2(l-a)a(l-a)

1+(7—2〃

(1—a)

1-6Z

6/2(l—a)

1

一+1+J

(6)

x+y

3x2-xy—(2x-y)(x+y)2y-(x+y)

x+yx+y

_3x2-xy-2x2-2xy+xy+y2x+y

x+y2y-x-y

_x2-2xy+y

y-x

=(Ur。

y-x

=y-x.

【點睛】

本題考查分式的混合運算、整式的混合運算，解答本題的關鍵是明確它們各自的計算方

法.

20.長方形/BCD和正方形CEF，，按如圖所示的方式疊放在一起，且長方形488G與

長方形。斯G的周長相等(其中點。在EC上，點8在CHr的延長線上，40和相

交于點G),正方形CEFZ/的邊長為加，長方形48c的寬為x,長為y(x<m<y).

(1)寫出x,y,加之間的等量關系；

(2)若長方形4BHG的周長記作G，長方形DEFG的周長記作

①求G+C2的值(用含八加的代數(shù)式表示)；

②若關于y的不等式。1+。2<10-2根的正整數(shù)解只有2個，求加的取值范圍；

(3)若長方形ABHG的面積記作Si,長方形DEFG的面積記作S2,試比較2S,與目的

大小，并說明理由.

B

3

【答案】(1)2x+y=3m；(2)①2"?+2y；；(3)2s2＞多

【分析】

(1)根據(jù)長方形ABHG與長方形DEFG的周長相等列式求解即可;

(2)①把長方形N8"G與長方形。EFG的周長相加整理即可；②根據(jù)G+C2<10+

2m列式求解;

(3)分別表示出Si，S2,然后用作差法比較;

【詳解】

解：(1)長方形ABHG的周長=2x+2(y-加尸2x+2y-2加,長方形DEFG的周長

=2m+2(m-x)=4m-2x,

???長方形ABHG與長方形DEFG的周長相等,

2x+2y-2m=^m-2x,

?'-2x+y=3m；

(2)①01+02=2%+2)?2m+4加?2x=2加+2y；

②由G+C2<10-2加，得

2m+2j<10-2m,

??少<5-2加，

vCi+C2<10-2m的正整數(shù)解只有2個，

???2<5-2m<3,

3

一2

(3)Si=x(y-m)=xy-xm,S2=m(m-x)=m2-mx>

???2S2-5I=2m2-2mx-xy+xm,

''2x+y=3m

??y=3m-2x

???2S2-Si=2m2-2mx-x(3m-2x)+xm

=2m2-4mx+2x2

=2(m-x)2,

vx<m<y,

???2(m-x)2>0,

???2S2>SI.

【點睛】

本題考查了整式混合運算的應用，解一元一次不等式，根據(jù)題意正確列出算式是解答本

題的關鍵.

21.若一個正整數(shù)加能表示為兩個正整數(shù)Q,b的平方和，則稱加為“方和數(shù)”.

(1)100“方和數(shù)”，1106方和數(shù)”；(填寫“是”或“不是”)

(2)以下兩個判斷，正確選項的序號是.

①兩個“方和數(shù)”的和是“方和數(shù)”；②兩個“方和數(shù)”的積是“方和數(shù)”.

【答案】(1)是，不是；(2)②

【分析】

(1)根據(jù)“方和數(shù)”的概念計算求解；

(2)①舉反例進行分析說明；

②根據(jù)方和數(shù)的概念，結合完全平方公式進行計算求解.

【詳解】

解：(1)100=36+64=62+82,

.■.100是“方和數(shù)”，

110不能寫成兩個正整數(shù)的平方和的形式，

??.110不是“方和數(shù)”，

故答案為：是，不是；

(2)①兩個“方和數(shù)”的和不一定是“方和數(shù)”，

比如:2=P+12,13=22+32,

.?-2和13都是“方和數(shù)”，但2+13=15,

而15不能寫成兩個正整數(shù)的平方和的性質，

.-.15不是“方和數(shù)"，故①錯誤；

②設兩個方和數(shù)分別為加，n,

設機=。2+方2,"=c2+，(a,b,c,d均為正整數(shù))，

■■mn=(序+抉)(c2+cP)

=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2

=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+2.abcd-2abcd

=(ac+bd)2+(ad+bc)2,

??M”是“方和數(shù)”，故②正確，

故答案為：②.

【點睛】

本題屬于新定義題目，考查有理數(shù)的乘方運算，理解題意，掌握完全平方公式的結構特

點是解題關鍵.

22.通過課堂的學習知道，我們把多項式/+2成+/及/一2成+/叫做完全平方式,

如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：例如

x2+2x-3=(x2+2x+l)-4=(x+l)2-4,2x?+4x-6=2(/+2x-3)=2(x+1尸-8,像這樣

先添加一適當項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法

稱之為配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分

解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關的問題或求代數(shù)式最大值、最小值等

等，如：因為2/+4X-6=2(X+1)2_8,可知當x=-l時，2x?+4x-6的最小值是-8.

請閱讀以上材料，并用配方法解決下列問題：

(1)因式分解：x2+6x+8；

(2)已知a是任何實數(shù)，若"=(2〃-3)(3a-l),N=2aL-^-2,通過計算判斷M、N

的大小關系；

(3)如圖，用一段長為20米的籬笆圍成一個長方形菜園，菜園的一面靠墻，墻長為8

米.設與墻壁垂直的一邊長為x米，

①試用x的代數(shù)式表示菜園的面積；

②求出當x取何值時菜園面積最大，最大面積是多少平方米？

【答案】⑴(x+4)(x+2)；(2)M>N；(3)①-2/+20x；②當x=6時，菜園面積最

大，最大面積為48平方米

【分析】

(1)根據(jù)完全平方公式把原式變形，根據(jù)平方差公式進行因式分解；

(2)計算M-N并配方，根據(jù)結果判斷即可；

(3)①根據(jù)長方形的面積公式計算即可；

②將①中結果進行配方，根據(jù)結果利用非負數(shù)的性質.

【詳解】

解：(1)x2+6x+8=x2+6x+9-1

=(x+3+l)(x+3-l)

=(x+4)(x+2)；

(2)(2Q—3)(3Q—1)—yci———2

=(2a-3)(3a-l)-2a^a-|j+2

=6/-2a—9Q+3-2Q2+3a+2

=4a2-Sa+5

=4(/—2Q+1)-4+5

-4(6Z-1)2+1>0,

(3)①由題意可得：

菜園的面積=x(20-2%)=_2%2+2(k；

②由題意可得：

OV20-2爛8,

解得：6<x<10,

-2X2+20X=-2（X2-10X）=-2（X2-10X+25）+50=-2（X-5）2+50,

???當x=6時，菜園面積最大，最大面積為48平方米.

【點睛】

本題考查的是完全平方公式的應用，非負數(shù)的性質，將多項式配方，再利用非負數(shù)的性

質解答是解題的關鍵.

23.數(shù)學家波利亞說過：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法

表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關系，”這就是“算兩次”原理，也稱為富

比尼（G.Fubini'）原理，例如：對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以

得到一個數(shù)學等式.

（教材片段）：計算如圖1的面積，把圖1看做一個大正方形，它的面積是（。+6）2,如

果把圖1看做是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為/+2加+62,由此

得至I：（a+fe）2-a2+2ab+b2.

（1）如圖2,用不同的代數(shù)式表示大正方形的而積，由此得到的等式為

（用a、6表示）

⑵利用上面結論解決問題：若x+y=6,xy=2,則（》_才=；

（3）如圖3,用不同的代數(shù)式表示大正方形的面積，由此得到的等式為

(用4、b、C表示)

(4)利用上面結論解決問題：已知。+6+。=7,。6+6。+。。=14,貝1」/+/+°2=

(5)如圖4,用不同的代數(shù)式表示大正方形的面積(里面是邊長為。的小正方形)，由

此得到的等式為；(用。、b、c表示)

(6)若"〃2_I/=2*c=/+1,請通過計算說明〃、b、c滿足上面結論.

【答案】(1).+4=僅-°)2+4m；(2)28；(3)

(a+Z>+c)2=a2+b2+c2+2ac+2ab+2bc；(4)21；(5)a2+b2=c2;(6)見解析

【分析】

(1)分別利用整體和部分和兩種方法表示出面積即可得到結論；

(2)由(1)得到(x+y)2=(x-y)2+4孫，再將已知等式代入計算即可；

(3)分別利用整體和部分和兩種方法表示出面積即可得到結論；

(4)根據(jù)(3)中結論，將已知等式代入計算即可；

(5)分別利用整體和部分和兩種方法表示出面積即可得到結論；

(6)分別計算出b2,c2,根據(jù)整式的混合運算法則可得結論.

【詳解】

解：(1)大正方形整體表示面積為：(a+b)2,

大正方形部分和表示面積為：(b-a)2+4ab,

由此可得等式為：(6+a『=(6-°)一+4ab；

(2)由(1)可得：

(x+y)~=+4xy,

?'-x+y=6,xy=2,

62=(x-yJ+4x2,

=36_8=28；

(3)大正方形面積整體表示為：(a+b+c)2,

大正方形面積部分和表示為：a2+b2+c2+2ac+2ab+2bc,

故由此可得公式為：

(a+b+=[2+/+。2+2ac+2ab+2bc；

(4)■■,a+b+c=l,ab+bc+ac=14,

???由(3)可得：

72=a2+/>2+c2+2xl4,

???a2+62+c2-49-28=21；

(5)由題可得：

大正方形面積整體表示為：(a

大正方形面積部分和表示為：<?+4、匕6=<?+2a6,

2

二(°+6)--c2+2ab,

???a2+b2=c2;

(6)'：a=rr—1,b=2n,c=〃~+1,

242

a=-1)?=n-2n+1,

62=(2〃)2=4〃2,

<?=("2+1)~=/+2/+1,

?1?a2+b2=n4-2n2+1+4??2=z?4+2w2+1=c2,

a2+b2=c2■

【點睛】

本題考查了完全平方公式的幾何背景，整式的混合運算，解題的關鍵是讀懂題意，用不

同的方式表示出同一個圖形的面積，解題時注意數(shù)形結合思想的運用.

24.同學們，在數(shù)學課本第9章《整式乘法與因式分解》里學習了整式乘法的完全平方

公式，還記得它是如何被發(fā)現(xiàn)的嗎？

（蘇科版教材P75頁）計算如圖1的面積，把圖1看做一個大正方形，它的面積是

（。+6）2,如果把圖1看做是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為

a2+2ab+b2,由此得到：(a+b)?=/+2仍+62.

（類比探究（D）：

如圖2,正方形48CD是由四個邊長分別是a,6的長方形和中間一個小正方形組成的,

用不同的方法對圖2的面積進行計算，你發(fā)現(xiàn)的等式是（用a,6表示）

（應用探索結果解決問題）：

已知：兩數(shù)x,夕滿足x+y=7,xy=6,求x—y的值.

（類比探究（2））：

如圖3,正方形/BCD的邊長是c,它由四個直角邊長分別是a,6的直角三角形和中間

一個小正方形組成的，對圖3的面積進行計算，你發(fā)現(xiàn)的式子是.（用a,b,

c表示，結果盡可能化簡）

（應用探索結果解