數(shù)學(xué)整合提升學(xué)案：第一章坐標(biāo)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精整合提升知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)回顧一、極坐標(biāo)系1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式:2.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,常用方法有代入法、平方法等,還經(jīng)常用到同乘以(或除以)ρ等技巧。3。建立極坐標(biāo)系后,給定ρ(ρ≥0）和θ，就可以在平面內(nèi)唯一確定點(diǎn)M.確定的方法是:（1）由θ定射線.根據(jù)θ角確定點(diǎn)M所在的射線OM;(2)由ρ取點(diǎn).在射線OM上取|OM|=ρ,點(diǎn)M的位置即可確定.4.給定平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,也可以找到它的極坐標(biāo)(ρ,θ）(ρ≥0)。特別注意:(1）一般地,極坐標(biāo)（ρ，θ）與(ρ,θ+2kπ）(k∈Z）表示同一個(gè)點(diǎn).和直角坐標(biāo)不同,平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)數(shù)種表示。（2）如果規(guī)定ρ≥0，0≤θ<2π，那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)（ρ，θ）表示;同時(shí)，極坐標(biāo)（ρ,θ）表示的點(diǎn)也是唯一確定的。二、幾種特殊的極坐標(biāo)方程1.過(guò)點(diǎn)（a，0)(a>0)且垂直于極軸的直線方程是ρcosθ=a.2。過(guò)點(diǎn)(a，π）（a>0)且垂直于極軸的直線方程是ρcosθ=—a，如圖(1）。3.過(guò)點(diǎn)(a,）（a>0)且平行于極軸的直線方程是ρsinθ=a,如圖(2）.4。過(guò)點(diǎn)（a，）（a〉0)且平行于極軸的直線方程是ρsinθ=-a,如圖（3）.5.過(guò)極點(diǎn)傾角為α的直線方程是θ=α（ρ∈R）.三、幾種特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程1.以極點(diǎn)為圓心且半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程ρ=r.2。過(guò)極點(diǎn)且圓心坐標(biāo)為（a，0)(a>0）的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2acosθ.3。過(guò)極點(diǎn)且圓心坐標(biāo)為（a，π)(a>0）的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=—2acosθ。4。過(guò)極點(diǎn)且圓心坐標(biāo)為(a,）（a〉0）的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2asinθ.四、柱坐標(biāo)系如圖,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，它在Oxy平面上的射影為Q，用（ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π）來(lái)表示點(diǎn)Q在平面Oxy上的極坐標(biāo).這時(shí)點(diǎn)P的位置可用有序數(shù)組(ρ，θ,z）(z∈R）表示.這樣，我們建立了空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(ρ，θ，z）之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組(ρ，θ,z）叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo)，記作P（ρ，θ,z），其中ρ≥0,0≤θ〈2π，-∞〈z〈+∞。五、球坐標(biāo)系如圖,建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，連結(jié)OP，記｜OP｜=r,OP與Oz軸正向所夾的角為φ,設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q,Ox軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OQ時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角為θ.這樣點(diǎn)P的位置就可以用有序數(shù)組(r，θ,φ）表示.這樣，空間的點(diǎn)與有序數(shù)組（r，θ，φ)之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，把建立上述對(duì)應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)系（或空間極坐標(biāo)系），有序數(shù)組(r,φ，θ）叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo)，記作P（r，φ，θ），其中r≥0，0≤θ〈2π，0≤φ≤π.典例精講【例1】極坐標(biāo)方程4ρsin2=5表示的曲線是（)A。圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線解析:直接由所給方程判斷較難,可把它化為直角坐標(biāo)方程去判斷.4ρsin2=4ρ=2ρ—2ρcosθ=5?！?=5+2x?！鄖2=5x+，表示拋物線.答案：D【例2】極坐標(biāo)ρ=cos(—θ）表示的曲線是…（)A。雙曲線B。橢圓C.拋物線D。圓解析：ρ=cosθ+sinθ，由于ρ不恒等于0，方程兩邊同乘以ρ，得ρ2=ρcosθ+ρsinθ?！啵▁2+y2）=x+y,表示圓。答案：D溫馨提示注意對(duì)稱點(diǎn)的求法，掌握特殊的對(duì)稱情況。【例3】在極坐標(biāo)系中,與圓ρ=4sinθ相切的一條直線方程為（)A.ρsinθ=2B。ρcosθ=2C.ρcosθ=4D.ρcosθ=—4解析：如右圖，⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，CO⊥Ox，OA為直徑，｜OA|=4,l和圓相切，l交極軸于B（2,0)，點(diǎn)P（ρ,θ）為l上任意一點(diǎn),則有cosθ==,得ρcosθ=2。答案：B溫馨提示求切線、求距離、求面積等問(wèn)題要做到極坐標(biāo)方程與普通方程的結(jié)合及靈活運(yùn)用.【例4】如右圖,長(zhǎng)方體OABC-D′A′B′C′中，｜OA|=3,|OC｜=5，|OD′｜=3,A′C′與B′D′相交于點(diǎn)P，分別寫(xiě)出點(diǎn)C、B′、P的柱坐標(biāo).解:求點(diǎn)的柱坐標(biāo),需要找到空間任意一點(diǎn)P在Oxy平面上的射影及在平面Oxy上的極坐標(biāo)(ρ，θ）(ρ≥0，0≤θ＜2π)。C點(diǎn)的ρ、θ為｜OC|及∠COA,B′點(diǎn)的ρ、θ分別為|OB｜=，θ=∠BOA,tan∠BOA==,∴∠BOA=arctan。P點(diǎn)的ρ、θ為OE、∠AOE,｜OE|=|OB｜，∠AOE=∠AOB?！郈點(diǎn)的柱坐標(biāo)為(5，,0)，B′點(diǎn)的柱坐標(biāo)為（，arctan，3)，P點(diǎn)的柱坐標(biāo)為（,arctan,3）.類題演練1已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(-5，），下列所給出的四個(gè)坐標(biāo)中不能表示點(diǎn)M的坐標(biāo)的是()A。（5，—)B.(5，)C。(5,-）D。(—5,-）解析：注意ρ＜0時(shí)確定位置。答案：A變式提升1在極坐標(biāo)系中點(diǎn)（ρ，θ）與（—ρ，π—θ）的位置是…()A.關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱B.關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱C。重合D。關(guān)于直線θ=（ρ∈R）對(duì)稱解析:點(diǎn)（—ρ,π—θ）與(ρ,—θ)是同一個(gè)點(diǎn)，它與點(diǎn)（ρ，θ）關(guān)于極軸對(duì)稱.答案：A類題演練2點(diǎn)P0（ρ0,θ0）（ρ0≠0)關(guān)于θ=(ρ∈R)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為（）A。（-ρ0，θ0）B.(ρ0，-θ0）C。(-ρ0,-θ0)D.(ρ0,)解析:P0(ρ0,θ0）(ρ0、-θ0）（—ρ0、-θ0）.答案:C變式提升2點(diǎn)P(-2，π）關(guān)于直線θ=(P∈R)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____________.解析:點(diǎn)P（-2,π)即為P（2,）。點(diǎn)P、P′、O組成等腰三角形，且θ=為∠POP的平分線，故為(2,)。答案:(2，）類題演練3已知直線的極坐標(biāo)方程ρsin(θ+）=,則極點(diǎn)到該直線的距離是_______________.解析:由ρsin(θ+)=，可得ρsinθ+ρcosθ=2，即得x+y—2=0.∴點(diǎn)O(0,0）到直線x+y—2=0的距離為d=。答案：變式提升3已知點(diǎn)A（3,)，B（—4，),O(0,θ),則△ABO的面積為_(kāi)______________。解析:點(diǎn)B(—4，)B(4,