數(shù)學(xué)干貨- 圓錐曲線專題六章之第一二章 直線與圓

圓錐曲線專題之直線與圓TOC\o"1-3"\h\u第一章立竿見(jiàn)影，直線方程 4§1直線的傾斜角和斜率 4§2直線的方程 7§3兩條直線的位置關(guān)系 14§4平面直角坐標(biāo)系中的距離公式 194.1基礎(chǔ)知識(shí)篇 194.2構(gòu)造距離 254.3主元轉(zhuǎn)換構(gòu)造距離 304.4其他距離 31§5移形換影，對(duì)稱問(wèn)題 315.1中心對(duì)稱 315.2軸對(duì)稱 325.3光線的入射與反射 365.4角平分線問(wèn)題 41§6奇思妙想，話直線系 426.1直線系 426.2直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的處理 44§7到角當(dāng)頭，秒解交角 45§8乾坤移位，將軍飲馬 47§9數(shù)形結(jié)合，曲線距離 55第二章拋磚迎玉，“圓”來(lái)如此 64§1圓與圓的方程 64§2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 71§3直線與圓的位置關(guān)系 723.1直線與圓位置關(guān)系判斷 723.2圓的弦長(zhǎng)和垂徑定理 753.3點(diǎn)、直線、圓模型 803.4綜合題集 82§4筷子夾湯圓，切線問(wèn)題 954.1圓的切線方程的求法 954.2圓的極點(diǎn)極線方程 994.3切線長(zhǎng)公式 1014.4圓冪定理 1034.5圓的包絡(luò)線——圓的切線系方程 107§5五子登科，圓與圓的位置關(guān)系 1105.1圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法 1105.2圓的公切線 1155.3相交兩圓的公共弦 1245.4圓系方程 126§6大動(dòng)干戈，圓中最值 1286.1圓的最值問(wèn)題 1286.2向圓心轉(zhuǎn)化 1366.3弦的外分點(diǎn)模型 1416.3張角最大問(wèn)題——最大張角圓 1436.4視角最大問(wèn)題——米勒定理 148§7呼朋喚友，圓的有機(jī)結(jié)合 1527.1向量和圓 1527.2函數(shù)定義 1597.3均值不等式 160§8圓中鬼魅，阿波羅尼斯圓 1618.1定義 1618.2調(diào)和點(diǎn)列vs阿波羅尼斯圓 1628.3角平分線vs阿波羅尼斯圓 1668.4阿波羅尼斯球 1728.5阿波羅尼斯圓的拓展 174§9圓的反演——阿波羅尼斯圓 1769.1圓的反演初步 1769.2圓的反演的常見(jiàn)性質(zhì) 178§10百花齊放，圓的軌跡薈萃 18410.1定長(zhǎng)對(duì)定角，軌跡為圓弧 18410.2線段的分點(diǎn)——構(gòu)造分點(diǎn)位似圓 19610.3圓的弦中點(diǎn)軌跡 20010.4隱藏的圓 20110.5旋轉(zhuǎn)的圓 204§11綜合練習(xí) 210第一章立竿見(jiàn)影，直線方程§1直線的傾斜角和斜率1.直線的傾斜角=1\*GB2(1)

定義在直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角．注規(guī)定當(dāng)直線和軸平行或重合時(shí)，其傾斜角為，所以直線的傾斜角的范圍是．(2)

直線和傾斜角的關(guān)系①任何一條直線都有唯一的傾斜角；②傾斜角相同的直線不是唯一的，它們是一組平行線；③不同的直線其傾斜角可能是相同的．2.直線的斜率=1\*GB2(1)

定義傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，常用字母表示．(2)

斜率和傾斜角之間的關(guān)系①斜率和傾斜角之間的關(guān)系是“數(shù)與形”的關(guān)系，斜率是個(gè)實(shí)數(shù)，傾斜角則是一個(gè)角；②斜率的實(shí)質(zhì)是用來(lái)表示傾斜角不等于的直線對(duì)于軸的傾斜程度的；③每條直線都有唯一的傾斜角與之對(duì)應(yīng)，但并不是每條直線都有斜率，因?yàn)楫?dāng)直線垂直于軸時(shí)，其斜率不存在的！這就決定了我們?cè)谘芯恐本€的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)考慮到斜率的存在與不存在這兩種情況，否則會(huì)產(chǎn)生漏解！(3)

斜率的表示方法①定義法，；②坐標(biāo)法經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的直線的斜率；③向量法直線的方向向量為，則直線的斜率為；反之，若直線的斜率為，則直線的方向向量為．(4)

斜率的變化規(guī)律【斜率的值域：.】①利用正切函數(shù)在內(nèi)的圖象，借助正切函數(shù)的單調(diào)性分析．如圖所示：在和這兩個(gè)區(qū)間斜率都是隨著傾斜角的增大而增大，但是在整個(gè)區(qū)間是不單調(diào)的，做題時(shí)要特別注意這個(gè)特殊之處?、诨パa(bǔ)的兩個(gè)傾斜角的斜率互為相反數(shù)?、蹟?shù)形結(jié)合時(shí)，斜率的變化和判斷技巧：是斜率的正無(wú)窮和負(fù)無(wú)窮的分界點(diǎn)，因此，直線旋轉(zhuǎn)掃過(guò)的區(qū)域，也可理解為直線簇，如果直線簇包含垂直于軸的直線，即斜率為的直線，則所求的斜率的范圍要分段書(shū)寫，一段包含正無(wú)窮，一段包含負(fù)無(wú)窮；否則是一段；若是求解傾斜角的取值范圍，則借助的圖象（如上圖）進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換．【和分式函數(shù)值域的判斷類似！】3.三點(diǎn)共線問(wèn)題的證明(1)

斜率法用斜率法證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，具體如下：(2)

線段長(zhǎng)度法三點(diǎn)共線問(wèn)題也可利用線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系來(lái)證明，即若，則可判定A、B、C三點(diǎn)共線．(3)

直線法先從三點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，即可確定一條直線，再確定第三點(diǎn)在這條直線上即可.(4)

共線向量法利用平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可避免斜率法中斜率不存在的情況！注①上面的四種方法中，常用的是斜率法和共線向量法，相比較而言，共線向量法沒(méi)有死角，在解答題中，可以避免斜率的討論！②三點(diǎn)共線的應(yīng)用舉例：判斷給出的三點(diǎn)能否構(gòu)成三角形的三個(gè)頂點(diǎn)？問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：三點(diǎn)是否在同一條直線上！例對(duì)于下列命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)是()．①若是直線的傾斜角，則；②若是直線的斜率，則；③任一條直線都有傾斜角，但不一定都有斜率；④任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角．A．1 B．2 C．3 D．4答案選C．例(1)

已知直線的傾斜角是，直線，則直線的傾斜角為_(kāi)_______．(2)

直線過(guò)原點(diǎn)，且傾斜角為，若將直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到直線，那么的傾斜角為_(kāi)_______．(3)

設(shè)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為，如果將直線繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到直線，那么的傾斜角為()．A．

B． C．

D．當(dāng)時(shí)，傾斜角為；當(dāng)時(shí)，傾斜角為．答案(1)；角度旋轉(zhuǎn)或者；(2)；(3)

選D．例(1)

已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且斜率為12，求的值．(2)

當(dāng)為何值時(shí)，過(guò)點(diǎn)，的直線的傾斜角是銳角？鈍角？直角？答案(1)

；(2)

銳角；鈍角；直角．例已知直線的傾斜角的取值范圍為，則其斜率的取值范圍是．答案含有，斜率分段，易得．?例已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)．(1)

求直線的斜率的取值范圍；(2)

求直線的傾斜角的取值范圍．答案(1)；(2)．解如圖，作出圖象，易得；注對(duì)于斜率k，也可以利用線性規(guī)劃求解！直線l的方程為，即，由于P、Q在直線l的兩邊，故，即．練習(xí)經(jīng)過(guò)作直線，若直線與連接，的線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率和傾斜角的取值范圍分別為，．答案；；取不到！例(1)

求證：、、三點(diǎn)共線．(2)

已知三點(diǎn)，，在同一條直線上，求實(shí)數(shù)a的值．答案(1)

先證，又過(guò)同一點(diǎn)，故A、B、C三點(diǎn)共線．(2)

或．例下列三點(diǎn)能構(gòu)成三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的為()．A．

B．C．

D．答案選C；問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：三點(diǎn)是否在同一條直線上．§2直線的方程1.常用的直線方程一覽表【注意一些不常用的形式，也要熟悉其使用限制范圍！】名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式為斜率，是直線上一定點(diǎn)不垂直于軸斜截式為斜率，是直線在軸上的截距不垂直于軸兩點(diǎn)式和是直線上的兩個(gè)定點(diǎn)不垂直于軸和軸截距式為直線在軸上的非零截距，為直線在軸上的非零截距不垂直于軸和軸，且不過(guò)原點(diǎn)一般式A、B、C為系數(shù)任何位置的直線2.常用的直線方程的具體分析(1)

點(diǎn)斜式過(guò)已知點(diǎn)，且斜率為的直線方程：．注①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不能用點(diǎn)斜式表示，此時(shí)方程為；②表示：直線上除去點(diǎn)的圖形．(2)

斜截式若已知直線在軸上的截距為，斜率為，則直線方程：．【是縱截距！】①截距的概念直線在y軸、x軸上的截距指的是直線與y軸、x軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)，也分別叫做縱截距和橫截距；截距可以大于0，可以小于0，可以等于0，截距與距離是完全不同的兩個(gè)概念．②求直線截距的方法在直線方程中令，解出y的值即為直線在y軸上的截距；在直線方程中令，求得x的值，即為直線在x軸上的截距．(3)

兩點(diǎn)式若已知直線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，且，，則直線方程：．注①不能表示與軸和軸垂直的直線；②當(dāng)兩點(diǎn)式方程寫成如下形式時(shí)，此時(shí)，直線方程可以適應(yīng)于任何一條直線．③兩點(diǎn)式方程的拓展及應(yīng)用，參看“拋物線之直線的兩點(diǎn)式方程”．(4)

截距式若已知直線在軸、軸上的截距分別是、且，，則直線方程：．注①不能表示與軸垂直的直線，也不能表示與軸垂直的直線，也不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線；②用截距式解題要注意防止由于“零截距”造成丟解的情況，當(dāng)出現(xiàn)“截距相等”“截距的絕對(duì)值相等”“截距互為相反數(shù)”時(shí)容易丟解．(5)

一般式任何一條直線方程均可寫成一般式：(A、B不同時(shí)為0或)；反之，任何一個(gè)有解的二元一次方程都表示一條直線．注①直線方程的特殊形式，都可以化為直線方程的一般式，但一般式不一定都能化為特殊形式，這要看系數(shù)A、B、C是否為0才能確定．②熟練地指出此時(shí)直線的方向向量：，，或單位向量；直線的法向量：(與直線垂直的向量)．【注意區(qū)分法向量和方向向量】(6)

參數(shù)式=1\*GB3①之標(biāo)準(zhǔn)式(為參數(shù))；其中直線的方向向量為，的幾何意義為，斜率為，為傾斜角，且．參數(shù)式②之一般式(為參數(shù))；其中直線的方向向量為，(方向向量的單位向量)；；；點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則．(7)

其他直線方程要會(huì)根據(jù)條件靈活設(shè)直線方程，尤其在直線和圓錐曲線相交的題型中，常用到(1)點(diǎn)斜式和(2)斜截式的變形設(shè)法，直線方程分別為：，．注當(dāng)直線的傾斜角等于時(shí)，直線的斜率不存在，然而很多解析幾何大題的最值問(wèn)題，偏偏是在直線的斜率不存在的時(shí)候取得，用上述的直線方程可以很好的解決了這個(gè)問(wèn)題，既能避免分類討論又可以簡(jiǎn)化計(jì)算．3.直線方程的其他相關(guān)說(shuō)明(1)

點(diǎn)斜式體現(xiàn)的方程思想（點(diǎn)和斜率代表兩個(gè)未知量），一般式溝通點(diǎn)到直線的距離，截距式與均值不等式有聯(lián)系；因此，要結(jié)合題目，靈活選用直線的方程！(2)

用待定系數(shù)法求直線方程時(shí)，要注意所求直線應(yīng)該是一條還是兩條（可通過(guò)幾何分析確認(rèn)?。?，斜率不存在的直線最容易遺漏！直線與x軸垂直是特殊情形（因其斜率不存在），具體應(yīng)用解題時(shí)，切莫忘記單獨(dú)考察??！例(1)

給出下列四個(gè)命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)是()．①一條直線必是某個(gè)一次函數(shù)的圖象．②一次函數(shù)的圖象必是一條不過(guò)原點(diǎn)的直線．③若一條直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)方程的解，則此方程叫做這條直線的方程．④以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在某條直線上，則這條直線叫做此方程的直線．A．0

B．1

C．2

D．3

(2)

下列命題中的真命題是()．A．過(guò)定點(diǎn)的直線都可用方程表示B．過(guò)定點(diǎn)

的直線都可用方程表示C．過(guò)任意兩個(gè)點(diǎn)、的直線都可用方程表示D．不過(guò)原點(diǎn)的直線都可用方程表示答案(1)

選A；(2)選C．解(1)

對(duì)于①，一次函數(shù)的圖象是一條直線，但任意一條直線不一定是某個(gè)一次函數(shù)的圖象，如直線

不是一次函數(shù)的圖象，故不正確；對(duì)于②，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，故不正確；對(duì)于③④，方程是直線的方程和直線是方程的直線應(yīng)該滿足兩條：以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是這條直線上的點(diǎn)，反過(guò)來(lái)，這條直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，這兩個(gè)條件缺一不可，如第一、三象限角平分線上的點(diǎn)都是方程的解，但是此方程不是第一、三象限角平分線的方程，又如以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上，但方程不是直線的方程，故不正確．?(2)

點(diǎn)斜式方程、斜截式方程不能表示斜率不存在的直線，故A、B錯(cuò)，截距式方程除了不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線之外，還不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線，故D錯(cuò)．例根據(jù)下列條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，求出直線的方程，并化為一般式：(1)

斜率為，且過(guò)點(diǎn)；(2)

經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為45°；(3)

斜率為，與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；(4)過(guò)點(diǎn)，與x軸垂直；(5)

經(jīng)過(guò)點(diǎn)且平行于x軸；(6)

過(guò)點(diǎn)且與x軸有相同斜率；(7)

斜率為，在y軸上的截距為7；(8)

在y軸上的截距為2，且與x軸平行．(9)

經(jīng)過(guò)點(diǎn)和；(10)

過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)；(11)

在x軸上的截距為，在y軸上的截距為2；(12)

求過(guò)原點(diǎn)，且平行于向量的直線方程．答案(1)

，即為；(2)

，即為；(3)

；(4)

；(5)

；(6)

；(7)

，即為；(8)

；(9)

，即為；(10)

，即為；(11)

，即為；(12)

法一設(shè)直線方程的斜率為k，則直線的方向向量為，而，故，故直線為．法二設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，，由于，故，即．例若直線方程為，則它在y軸上的截距為_(kāi)____．答案令，可得縱截距為．例(2)

過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線方程．(1)

求過(guò)點(diǎn)，且在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線的方程．答案(1)

x－y＋1＝0或4x－3y＝0；(2)

；；．例設(shè)直線l的方程為，根據(jù)下列條件分別確定m的值：(1)

l在x軸上的截距是；(2)

l的斜率是．答案(1)

；(2)

．例已知三角形的頂點(diǎn)是、、，求AC邊所在直線的方程，以及該邊上的中線所在直線的方程．答案；．例(1)

直線l的斜率為，且和兩坐標(biāo)軸圍成面積為2的三角形，求直線的方程．(2)

斜率為的直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長(zhǎng)為9，求直線的方程．注解題時(shí)，要根據(jù)題目的條件，一定要選擇合適的直線方程！(1)(2)給出了斜率，顯然要用斜截式?。〈鸢?1)；設(shè)直線l為，則；(2)；設(shè)直線l為，則．例過(guò)點(diǎn)作直線分別交軸，軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，求的最小值．答案4．法一顯然，直線的斜率存在且小于0，設(shè)直線方程為，與軸、軸交點(diǎn)分別為，．故；．因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值4．法二設(shè)直線l與x軸的夾角為，，則，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)．注此法實(shí)質(zhì)是利用直線的參數(shù)方程：(t為參數(shù))．例(2004全國(guó)卷Ⅱ理)已知平面上直線l的方向向量，點(diǎn)和在l上的射影分別是和，則，其中()．A． B． C．2 D．答案選D；易知，又．例(2010上海理)直線l的參數(shù)方程是，則l的方向向量可以是()．A． B． C． D．答案選C．例已知過(guò)定點(diǎn)的直線在軸正半軸與軸正半軸上的截距分別為a、b，則的最小值為()．A．8 B．32 C．45 D．72答案選B；解設(shè)直線為，則，因此，．例(1)

直線的圖象可能是()．

A

B

C

D(2)

已知兩直線的方程分別為，，它們?cè)谧鴺?biāo)系中的位置如圖所示，則()．A．B．C．D．答案(1)

選B；(2)

選C；，，．例已知兩直線和直線，試確定m、n的值，使(1)

和相交于點(diǎn)；(2)

且在軸上的截距為．答案(1)；(2)；此時(shí)直線的方程為：，令，得．4.直線在坐標(biāo)系中的象限位置的判斷方法【利用直線的斜截式方程分析！】直線在坐標(biāo)系中的位置可由直線的斜率以及直線在軸上的縱截距確定，若直線斜率為，在y軸上的截距為，那么①當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；②當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限；③當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；④當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限．例(1)

直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則a、b、c應(yīng)滿足()．A．，

B．， C．， D．，(2)

如果，且，那么直線不經(jīng)過(guò)()．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案(1)

選A；(2)選C．解(1)直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則直線的斜率小于零，縱截距大于零，所以

，．?(2)

特殊值法秒之；因?yàn)锳C＜0，BC＜0，所以AB＞0，顯然B≠0．將一般式Ax＋By＋C＝0化為斜截式y(tǒng)＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)，所以k＝－eq\f(A,B)＜0，b＝－eq\f(C,B)＞0．所以直線不經(jīng)過(guò)第三象限．例已知直線．(1)

求證：不論為何值，直線總經(jīng)過(guò)第一象限；(2)

為使直線不經(jīng)過(guò)第二象限，求的取值范圍．答案(1)直線橫過(guò)定點(diǎn)，此點(diǎn)在第一象限；(2)要使不經(jīng)過(guò)第二象限，需它在軸上的截距不大于零，即令．例若直線不過(guò)第二象限，求的取值范圍．答案直線方程化為，由于該直線不過(guò)第二象限，故．例(2011安徽理壓軸)在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn)為整點(diǎn)，下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號(hào)）．①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)；②如果k與b都是無(wú)理數(shù)，則直線不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)；③直線l經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)；④直線經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)；⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線．答案①③⑤；§3兩條直線的位置關(guān)系1.兩條直線的四種位置關(guān)系及判斷方法根據(jù)直線方程形式的不同，分為如下兩種情況．(1)

斜截式設(shè)直線，，=1\*GB3①且；=2\*GB3②；=3\*GB3③與重合且；=4\*GB3④與相交.(2)

一般式設(shè)直線，，

=1\*GB3①；即，且(或)；

=2\*GB3②；即；

=3\*GB3③與重合；即且(或)；=4\*GB3④與相交；即；注對(duì)于一般式，要使用后面的整式形式，因?yàn)檎讲攀钦嬲某湟獥l件，上面給出的分式形式的作用只是便于記憶，實(shí)質(zhì)是不等價(jià)的?。?3)

其他相關(guān)注意事項(xiàng)①對(duì)于一般式，也可以利用直線的法向量進(jìn)行輔助記憶．【注意區(qū)分法向量和方向向量】．例如，對(duì)于平行和重合，即它們的法向量平行，即；對(duì)于垂直，即它們的法向量垂直，即．②若兩直線的斜率都不存在，則兩直線平行；若一條直線的斜率不存在，另一直線的斜率為0，則兩直線垂直．③對(duì)于來(lái)說(shuō)，無(wú)論直線的斜率存在與否，該式都成立．因此，此公式使用起來(lái)更方便，可以避免討論斜率的存在性！故解題之時(shí)，可以先將直線方程化為一般式，再利用此公式求解即可?、墚?dāng)兩條直線的斜率相等時(shí)，兩直線平行(重合)；但當(dāng)兩條直線平行(重合)時(shí)，斜率不一定相等?。∫?yàn)樾甭视锌赡懿淮嬖冢咀⒁饫斫夂蟀刖涞膬?nèi)涵！】例已知直線，，求適合下列條件的的取值范圍．(1)

與相交；(2)

與平行；(3)

與重合；⑷

與垂直．答案(1)；(2)；(3)

；(4)

．練習(xí)已知兩條直線，．當(dāng)且僅當(dāng)為何值時(shí)，與有以下關(guān)系？(1)相交；(2)平行；(3)

重合；(4)

垂直．答案直線，直線．(1)且；(2)；(3)

；(4)

．例(1)

直線和的位置關(guān)系是()．A．平行

B．重合

C．相交

D．不確定(2)

已知，，且，則的值為()．A．2 B．1 C．0 D．不存在答案(1)

選C；(2)選C；不可套用公式！解(1)

；兩直線的斜率分別為和，因?yàn)榉匠虩o(wú)解，所以兩直線相交．例(2005北京文理)“”是“直線與直線相互垂直”的()．A．充分必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件答案即，例求過(guò)兩直線和的交點(diǎn)且與直線平行的直線方程．答案．法一常規(guī)方法，就是求交點(diǎn)，具體過(guò)程略；法二利用相交直線系，設(shè)直線方程為，即為，則，解得，可得：．例(1)

設(shè)直線的方程為，將直線繞其與軸交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到直線，則的方程為．(2)

將直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移1個(gè)單位，所得到的直線方程為．(3)

若原點(diǎn)在直線上的射影為，則的方程為_(kāi)________________．答案(1)

；與軸的交點(diǎn)為且，所以直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為2，則直線的直線方程為：．(2)

旋轉(zhuǎn)：，再向右平移1個(gè)單位：，即為．(3)

．例(2008四川文理)直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移1個(gè)單位，所得到的直線為()．A． B． C． D．答案選A．解直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的直線為，將向右平移1個(gè)單位得，即．例已知的垂心，且，，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．答案．解結(jié)合圖形可知，只需要求出直線AC、BC的方程即可．由于、，易求得直線AC為，直線BC為，因此，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．例已知兩直線，，求分別滿足下列條件的a、b的值．=1\*GB2(1)直線過(guò)點(diǎn)，并且直線與直線垂直；=2\*GB2(2)直線與直線平行，并且坐標(biāo)原點(diǎn)到、的距離相等．答案(1)

；(2)

或．解=1\*GB2(1)

，又點(diǎn)在上，所以，解得，．=2\*GB2(2)

坐標(biāo)原點(diǎn)到、的距離相等”等價(jià)于“、關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱”．法一取特殊點(diǎn)；上一點(diǎn)必定對(duì)應(yīng)上的一點(diǎn)，代入有，再利用平行關(guān)系之斜率相等，解即可！法二同一法；先求出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的方程，則這兩條直線重合，系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例即可！法三直譯法；化簡(jiǎn)后可得，解得或．例(2011安徽文)設(shè)直線，，其中實(shí)數(shù)滿足．(1)

證明：與相交；(2)

證明：與的交點(diǎn)在橢圓上．證明(1)

利用反證法，假設(shè)與不相交，則與平行，故，進(jìn)而，顯然，這與為實(shí)數(shù)相矛盾，故必有，即與相交．(2)

由，代入，整理可得：，故與的交點(diǎn)在橢圓上．例(1)

已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)為，，，，求證：四邊形ABCD為矩形．(2)

判斷以，，，為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．答案(1)略

；(2)正方形．解(1)

由已知得邊所在的直線的斜率，邊所在的直線的斜率，邊所在的直線的斜率，邊所在的直線的斜率．∵，∴；同理，，，因此四邊形為矩形．(2)

，，，．又直線的斜率，直線的斜率．因?yàn)?，所以．因此，四邊形是正方形．例設(shè)平面內(nèi)直線上的點(diǎn)的集合為，直線上的點(diǎn)的集合為，試用集合的運(yùn)算表示、的位置關(guān)系．答案由平面內(nèi)直線上點(diǎn)的集合為，直線上點(diǎn)的集合為，有如下三種情況：①若直線，相交于一點(diǎn)，則；②若兩條直線平行，則這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，；③若兩條直線重合，則這兩條直線有無(wú)數(shù)公共點(diǎn)，．2.兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)兩直線的方程分別為：或；當(dāng)或時(shí)，它們相交，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組或的解．反之，①當(dāng)方程組只有一組解時(shí)，兩直線相交；②當(dāng)方程組無(wú)解時(shí)，兩直線平行；③當(dāng)方程組有無(wú)數(shù)組解時(shí)，兩直線重合．例已知直線與直線的交點(diǎn)為，則過(guò)點(diǎn)，的直線方程是．答案．注此為同一法求直線的方程；后面的切點(diǎn)弦證明也會(huì)用到，一定要熟練?。±?2016上海文理)設(shè)，．若關(guān)于x、y的方程組無(wú)解，則的取值范圍是.答案．解方程無(wú)解等價(jià)于直線和直線平行且不能重合，故且，故，即的取值范圍是．例(2014上海文壓軸、理)已知與是直線（k為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于x和y的方程組的解的情況是()．A．無(wú)論、、如何，總是無(wú)解 B．無(wú)論、、如何，總有唯一解C．存在、、，使之恰有兩解 D．存在、、，使之有無(wú)窮多解答案選；3.三條直線共點(diǎn)的處理任取其中兩條直線，所得的交點(diǎn)必在第三條直線上！4.三條直線能否圍成一個(gè)三角形？正難則反，利用其反面！如果三條直線不能圍成三角形，則有：①三條直線共點(diǎn)；②在三條直線中，其中有兩條直線平行，總共有種情況！例若三條直線，和不能構(gòu)成三角形，則的值為．分析三條不同的直線不能構(gòu)成三角形時(shí)，三條直線中必有兩條直線平行，再利用兩直線平行的性質(zhì)求出即可！答案或2或．例給出三條直線，，，(1)

為何值時(shí)，三線共點(diǎn)；(2)

時(shí)，三條直線能圍成一個(gè)三角形嗎？(3)

求當(dāng)三條直線圍成三角形時(shí)，的取值范圍．答案(1)

或；(2)

能；(3)

．解(1)

與的交點(diǎn)為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的方程，可求出或；(2)

時(shí)，可得與交點(diǎn)為，易判斷點(diǎn)不在直線上，且三條直線兩兩均不平行，故時(shí)，三條直線能圍成一個(gè)三角形；(3)

若，有；若，有；而不成立，三條直線不能圍成一個(gè)三角形時(shí)，三線共點(diǎn)或出現(xiàn)其中兩條互相平行．綜上可知，三條直線圍成三角形的條件是．§4平面直角坐標(biāo)系中的距離公式4.1基礎(chǔ)知識(shí)篇1.兩點(diǎn)間的距離=1\*GB2(1)

已知、，則；特別地，原點(diǎn)與任意一點(diǎn)的距離為：．=2\*GB2(2)

若在直線上，則．2.點(diǎn)到直線的距離【證明方法：最簡(jiǎn)單是借助法向量，類似立體幾何的距離求法！】=1\*GB2(1)

點(diǎn)到直線的距離：．=2\*GB2(2)

點(diǎn)到直線的距離為；點(diǎn)到直線的距離為．證明如圖所示，作PH⊥l于點(diǎn)H，則，設(shè)為直線l上任一點(diǎn)，則．由于直線PH的方向向量，亦為直線l的法向量，故 ．注如果把距離公式中絕對(duì)值去掉，即，此時(shí)的d有正有負(fù)，一般稱之為“有向距離”，顯然，在直線兩側(cè)的點(diǎn)到直線的有向距離的正負(fù)是相反的！3.兩條平行直線之間的距離【利用公式之前，須保證的系數(shù)相等?。　恐本€和直線的距離是：．例(1)

已知點(diǎn)，，在x軸上求一點(diǎn)P，使，并求的值．(2)

已知點(diǎn)，和直線，求一點(diǎn)使，且點(diǎn)到的距離等于2．解(1)

；直譯即可！或者利用直線的垂直平分線．(2)

或；點(diǎn)必在線段的垂直平分線上！設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，解出即可！或者利用點(diǎn)必在與平行且距離為2的直線上，求出兩條平行線，然后分別和垂直平分線聯(lián)立，求出交點(diǎn)即可！例求兩平行線和間的距離．解；法一：從其中一條直線上任取一點(diǎn)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可；法二：利用兩條平行線之間的距離公式；須先把系數(shù)統(tǒng)一同等！！例(1)

若直線被兩條平行直線與所截得的線段長(zhǎng)為，則直線的傾斜角等于．(2)

若直線被兩條平行直線與所截得的線段長(zhǎng)為，則直線的傾斜角等于．解(1)

；直線與兩條平行線垂直！(2)

或；直線與兩平行直線的夾角為．例若動(dòng)點(diǎn)A、B分別在直線和上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為()．A． B． C． D．解選A；依題意知的中點(diǎn)的集合為與直線和距離都相等的直線；設(shè)點(diǎn)所在直線的方程為，根據(jù)平行線間的距離公式得，即；顯然，根據(jù)數(shù)據(jù)的特殊性，也可直接口算得到！例(1)

已知是分別經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)間的距離最大時(shí)，直線的方程是________．(2)

直線分別過(guò)點(diǎn)，，它們分別繞P、Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則之間的距離d的取值范圍為()．A． B． C． D．解(1)

；當(dāng)與垂直時(shí)成立！(2)

選B．例設(shè)兩條直線的方程分別為和，已知a、b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則這兩條直線之間距離的最大值和最小值分別為()．A．， B．， C．， D．，解選D；兩平行線間距離為，易知，，故，結(jié)合，可得，即．例如果點(diǎn)(1，b)在兩條平行直線和之間，則b應(yīng)取的整數(shù)值為_(kāi)____．解令x＝1，代入6x－8y＋1＝0，解得y＝；代入3x－4y＋5＝0，解得y＝2.由題意得＜b＜2，又b為整數(shù)，∴b＝1．例(1)

求過(guò)直線與直線的交點(diǎn)，且到點(diǎn)的距離為2的直線方程．(2)

已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且點(diǎn)和到該直線的距離相等，求直線的方程．(3)

已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，兩點(diǎn)到直線的距離之比為，求直線的方程．解(1)

易得交點(diǎn)為，易知所求直線斜率存在，設(shè)直線方程為，則，解得或，直線方程或．當(dāng)然，此題也可以利用相交直線的交點(diǎn)曲線系：，但是，要注意討論單獨(dú)驗(yàn)證，避免漏解．(2)

和；法一直譯法，利用點(diǎn)到直線的距離公式！但是要注意直線的設(shè)法，以及對(duì)應(yīng)的解題步驟；如果是點(diǎn)斜式，需要討論斜率的存在與否！計(jì)算量適中、是常規(guī)解法?。∪绻且话闶?，則可避免分類討論?。〉?，一般式的計(jì)算量會(huì)稍大，鮮用！??！法二分析轉(zhuǎn)化！經(jīng)過(guò)分析可得到：滿足題目條件的直線或者與直線平行，或者經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)．(3)

或．例用解析法證明如下兩個(gè)結(jié)論：(1)

平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和．【(1)(2)的本質(zhì)是一樣一樣的！！】(2)

若是中邊的中線，則有：．【三角形的中線長(zhǎng)定理！】 答案如圖所示，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系即可，具體的求解過(guò)程略．例(1)

已知點(diǎn)，，點(diǎn)P在直線上，求取得最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)

已知，，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．解(1)

設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故所求P點(diǎn)的坐標(biāo)為．(2)

當(dāng)時(shí)，取得最小值．注這兩小題也可以利用上題中的中線定理進(jìn)行求解．比如以第(2)小題為例，，的最小值就是原點(diǎn)O到直線的距離．例已知為拋物線上任一點(diǎn)，則到直線距離的最小值為_(kāi)_______．解設(shè)，則到已知直線的距離為，易知時(shí)，取得最小值．例已知?jiǎng)又本€恒過(guò)點(diǎn)，且到動(dòng)直線的最短距離為3，則的最小值為()．A． B． C．1 D．0解選B；由于直線恒過(guò)定點(diǎn)P，故Q到動(dòng)直線的最短距離為，解得，因此，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)．例(1)

在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)和點(diǎn)的距離均為5的直線共有()．A．1條 B．2條 C．3條 D．4條(2)

在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)的距離為1，且與點(diǎn)的距離為的直線共有4條，則的取值范圍是()．A． B． C． D．以上結(jié)果都不對(duì)解(1)

選C；，其中有2條在線段的兩側(cè)，且都和線段平行，另一條是線段的中垂線．(2)

選A；，有2條；有3條！注此類題實(shí)質(zhì)是考察圓和圓的位置關(guān)系，具體可參看后面相應(yīng)章節(jié)的專題總結(jié)．例在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)、為不同的兩點(diǎn)，直線l的方程為，對(duì)于，有下列四個(gè)說(shuō)法：①存在實(shí)數(shù)，使點(diǎn)N在直線l上；②若，則過(guò)M、N兩點(diǎn)的直線與直線l平行；③若，則直線l經(jīng)過(guò)線段MN的中點(diǎn)；④若，則點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)，且直線l與線段MN的延長(zhǎng)線相交．上述說(shuō)法中，所有正確說(shuō)法的序號(hào)是．解若點(diǎn)N在直線l上，即滿足，故不存在這樣的實(shí)數(shù)，所以①不正確；若，即，即，即，即，故過(guò)M、N兩點(diǎn)的直線與直線l平行成立所以②正確；若，即把線段MN的中點(diǎn)代入直線l即可得，所以③正確；若，，所以與的值同正或同負(fù)，即點(diǎn)M、N在直線l的同側(cè)，又因?yàn)椋c(diǎn)N離直線l更近，所以直線l與線段MN的延長(zhǎng)線相交，所以④正確．因此，正確說(shuō)法的序號(hào)是②③④．例(2017上海壓軸)如圖，用35個(gè)單位正方形拼成一個(gè)矩形，點(diǎn)、、、以及四個(gè)標(biāo)記為“▲”的點(diǎn)在正方形的頂點(diǎn)處．設(shè)集合，點(diǎn)．過(guò)P作直線，使得不在上的“▲”的點(diǎn)分布在的兩側(cè)．用和分別表示一側(cè)和另一側(cè)的“▲”的點(diǎn)到的距離之和．若過(guò)P的直線中有且僅有一條滿足，則中所有這樣的P為．解、、；如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，四個(gè)“▲”的坐標(biāo)分別為、、、．設(shè)直線為：，先不考慮唯一性，欲使得，則必有四個(gè)“▲”對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到直線的“有向距離”的和為0，即，其中表示四個(gè)“▲”的坐標(biāo)，代入坐標(biāo)，可解得．因此，直線過(guò)定點(diǎn)，再結(jié)合唯一性，易知、、是符合題意的點(diǎn)．例(2003北京文理)有三個(gè)新興城鎮(zhèn)分別位于A、B、C三點(diǎn)處，且，，今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點(diǎn)處（建立坐標(biāo)系如圖）．(1)

若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，則P應(yīng)位于何處？(2)

若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，則P應(yīng)位于何處？解(1)

依題設(shè)有，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)P到三鎮(zhèn)距離的平方和為： ，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為．(2)

記，P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為，由解得，記，于是，當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，而在上是減函數(shù)，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.點(diǎn)P的坐標(biāo)是．當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值b，而在上是減函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．綜上所述，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為，其中．4.2構(gòu)造距離例(1)

已知直線，且在直線上，求的最小值．(2)

若，求函數(shù)的最小值．(3)

求的最小值．解(1)

a?12+b+12表示直線l上的動(dòng)點(diǎn)Pa,b與1,?1的距離d，當(dāng)d為1,?1到l的距離時(shí)，有最小值．∴d(2)

由題u=x2+y2?2x+4y=x?12(3)

，前者表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，后者表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，代數(shù)式的幾何意義為軸上的點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和，結(jié)合圖象可知代數(shù)式的最小值為兩點(diǎn)之間距離，即．例已知，則的最小值為．法一注意到點(diǎn)、分別在函數(shù)、上，因此，可以轉(zhuǎn)化為求直線與曲線之間的距離d的最小值．利用平行切線，令，則，進(jìn)而所求的最小值為4．或者利用曲線的對(duì)稱軸為，求出交點(diǎn)即可．法二利用重要不等式：，實(shí)際上也就是柯西或權(quán)方和不等式．，當(dāng)且僅當(dāng)，取得等號(hào)．注對(duì)于此類題目，熟練了，優(yōu)先使用法二進(jìn)行求解！例求函數(shù)的最小值．法一將u看成動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)之間距離的平方．點(diǎn)A的參數(shù)方程為：，即點(diǎn)A的軌跡方程為：，即點(diǎn)A在一段圓弧上．類似可得點(diǎn)B的軌跡方程為：，即點(diǎn)B在反比例函數(shù)的一支上．畫出圖形，易知對(duì)稱軸與兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)之間的距離即為最小值，此時(shí)，，故，即u的最小值為8．法二，當(dāng)且僅當(dāng)、，即取得等號(hào)．例已知且，，則的最小值是()．A． B．8 C． D．解選D；，當(dāng)且僅當(dāng)，，或，時(shí)取得等號(hào)．例若對(duì)于任意，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解設(shè)直線l:y=x，則可知該直線上的任意一點(diǎn)x,x到點(diǎn)A?3?2sinθcosθ,?asinθ?acosθ∣?3?2也就是asinθ+cosθ?2sinθcosθ?3≥12．設(shè)m=若am?n?3≥12，則a≥n+3+12m=m考慮到m∈1,2，故a≤232=例求證：．解等價(jià)于點(diǎn)到線段之間的距離．例對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算“”：．已知實(shí)數(shù)滿足： ，則y的最小值為．解，等價(jià)于上的點(diǎn)與上的點(diǎn)之間距離的最小值，也就等價(jià)于圓心與上的點(diǎn)連線長(zhǎng)度的最小值減1．故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，即．例(2017陜西高中預(yù)賽)設(shè)，若存在實(shí)數(shù)a、b滿足，，且 ，則的最大值為()．A． B． C． D．1解依題意，構(gòu)造如圖的矩形，△CPQ為正三角形．設(shè)，則，因此，，即選A．例(2007四川文壓軸、理)如圖，l1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，正三角形ABC的三頂點(diǎn)分別在l1、l2、l3上，則△ABC的邊長(zhǎng)是()．A． B． C． D．法一利用定比分點(diǎn)取模公式＋算兩次面積設(shè)AC與直線的交點(diǎn)為D，則，故，平方取模得：（設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為a），又，即，即．法二設(shè)角參數(shù)轉(zhuǎn)化如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作EF垂直于于l1、l2、l3，交l1于點(diǎn)E，交l3于點(diǎn)F，則，，設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，設(shè)，則．在中，在中，，故，解得，進(jìn)而，，即選D．法二借助平幾知識(shí)如圖所示，過(guò)A、C分別作AE、CF垂直于l2于點(diǎn)E、F，將繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至處，延長(zhǎng)DA交l2于點(diǎn)G，因此，，．在中，，因此，在中，，進(jìn)而，，故．練習(xí)如圖，在△AOB中，，，，等邊△EFG三個(gè)頂點(diǎn)分別在△AOB的三邊上運(yùn)動(dòng)，則△EFG面積的最小值為()．A． B． C． D．答案選D；作GH⊥AO于點(diǎn)H，設(shè)，等邊△EFG的邊長(zhǎng)為a，則 ，即．例若存在實(shí)數(shù)x，使得關(guān)于x的不等式，則實(shí)數(shù)a的取值集合為()．A． B． C． D．解選C；由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取得等號(hào)．4.3主元轉(zhuǎn)換構(gòu)造距離例已知，關(guān)于x的方程有實(shí)根，則的最小值為．法一主元轉(zhuǎn)換構(gòu)造距離＋均值不等式等價(jià)于“已知關(guān)于t的方程有實(shí)根，求的最小值”，即求原點(diǎn)O到直線距離的最小值的平方，故 ，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)．注上述也可以利用換元處理：，其中．法二利用配方法，這是此方程的一個(gè)變形套路易知，故方程兩邊同時(shí)除以：，配方變形可得： ，故，即．法三巧妙變形＋權(quán)方和不等式設(shè)方程的實(shí)根為r，則有，故．提醒提醒粗心的同學(xué)，“距離”和“距離的平方”，兩者不要馬虎大意．．練習(xí)(1)

已知函數(shù)在區(qū)間上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為．(2)

已知函數(shù)，若存在非零常數(shù)t，使得成立，則的最小值為．答案(1)

；(2)

．4.4其他距離例若實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值是．解①若，則，即，不可能成立，故舍去．②若，則，即，又，因此，，即，即，即．同時(shí)，注意到等號(hào)成立條件為：，結(jié)合，畫出圖象，是一列孤立的點(diǎn)，易得的最小值即為點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，即為2．當(dāng)然，也可以利用消元法，，結(jié)合對(duì)稱軸，易知當(dāng)時(shí)，取得最小值為2．例已知函數(shù)，若存在使得成立，則實(shí)數(shù)a的值是．解，其中當(dāng)且僅當(dāng)“和”時(shí)取等號(hào)，解得．§5移形換影，對(duì)稱問(wèn)題5.1中心對(duì)稱1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱解題時(shí)，注意分清哪個(gè)點(diǎn)是對(duì)稱中心，然后再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可；譬如，點(diǎn)關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)為．2.直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱仍為直線，且這兩條直線平行！【重點(diǎn)掌握法一，其他發(fā)散了解！】法一利用相關(guān)點(diǎn)代入法，也即是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱，再回代即可！例如，直線關(guān)于中心的對(duì)稱直線為：．法二在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程．法三求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用由點(diǎn)斜式得出直線方程．法四利用點(diǎn)到直線的距離相等，求出直線方程．例(1)

求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)

求與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程．解(1)

；(2)

；例已知矩形ABCD相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)，若矩形對(duì)角線的交點(diǎn)在x軸上，求另兩個(gè)頂點(diǎn)C和D的坐標(biāo)．解設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為Mx，0．因?yàn)镸A=MB，則x+12+33=x+22+42，解得x=?5，所以M?5，0．設(shè)Cx1，例平行四邊形ABCD的兩邊AB、AD所在的直線方程分別為、，其對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為求另兩邊BC、CD所在的直線方程．解CD：x+y?11=0；BC：3x?y?16=0．5.2軸對(duì)稱1.點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱法一點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上，點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)連線斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù)．例如，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為：①當(dāng)時(shí)，則有 ；【書(shū)寫套路】②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．法二求出過(guò)該點(diǎn)與已知直線垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點(diǎn)，在利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解．法三在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)公式為：（亦適用）．注(1)

記憶口訣中間，中減！中間的是減號(hào)，不是加號(hào)！！(2)

特殊地，①點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為、．②點(diǎn)關(guān)于直線、的對(duì)稱點(diǎn)分別為、．【求誰(shuí)就把誰(shuí)單獨(dú)寫到一邊，然后取另一邊即可．】(3)

其他的應(yīng)用參考后續(xù)的專題總結(jié)．2.直線關(guān)于直線對(duì)稱求直線關(guān)于直線對(duì)稱直線．法一利用直線的兩點(diǎn)式方程=1\*romani）如果兩條直線相交，可以先求出交點(diǎn)，再求出上的任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，最后由兩點(diǎn)式求出直線的方程．顯然，如果兩條直線平行，只須求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)即可！=2\*romanii）或者直接求出上兩個(gè)點(diǎn)A、B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，再由兩點(diǎn)式求出直線的方程.法二利用相關(guān)點(diǎn)代入法【思路清晰，但是計(jì)算量大了很多?。　吭O(shè)為所求直線上的任意一點(diǎn)，則關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)適合的方程．法三若相交，則到的角等于到的角；若，則，且與的距離相等．例(1)

求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)

求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程．解(1)

；(2)

法一易得交點(diǎn)坐標(biāo)為，在直線上任取一點(diǎn)，求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，利用兩點(diǎn)式可得直線的方程為．法二代入法；設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，列出中點(diǎn)和斜率兩個(gè)方程，可得，又在直線上，代入化簡(jiǎn)即可！例(1)

求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)

已知直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，求直線的方程．解這兩小題利用上面的總結(jié)的規(guī)律即可輕松解決．(1)

；(2)

．例將一張坐標(biāo)紙折疊，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，且點(diǎn)與點(diǎn)重合，則的值為．解；點(diǎn)與點(diǎn)重合，可知折痕所在的直線為，因此，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，故．例過(guò)點(diǎn)作直線l，且?jiàn)A在兩條已知直線和之間的線段AB恰好被點(diǎn)M平分，求直線l的方程．解；法一：直譯法，硬算！設(shè)出直線l，不過(guò)，需對(duì)l的斜率k是否存在分類討論！法二：分析法，巧算！利用點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，設(shè)得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)A在直線上，解得a的值，進(jìn)而確定點(diǎn)B、A的坐標(biāo)，求得直線的方程．練過(guò)點(diǎn)作一直線，使它被兩直線和所截的線段以為中點(diǎn)，求此直線的方程．【】例(1)

已知的兩條高所在直線的方程為和，且它的一個(gè)頂點(diǎn)是，求邊BC所在直線的方程．(2)

已知的兩條中線所在直線的方程為和，且它的一個(gè)頂點(diǎn)是，求邊BC所在直線的方程．(3)

已知的兩條角平分線所在直線的方程為和，且它的一個(gè)頂點(diǎn)是，求邊BC所在直線的方程．解(1)

由于點(diǎn)A不在給出的兩條高上，故AB、AC所在直線的方程分別為y?2=?32x?1和y?2=x?1，即3x+2y?7=0由3x+2y?7=0，x+y=0，得B7，?7．由因此，邊BC所在直線的方程為2x+3y+7=0．(2)

點(diǎn)A不在給出的兩條中線上，不妨設(shè)在中線上，則AB的中點(diǎn)在另一條中線上，故，解得，同理可得，因此，邊BC所在的直線方程為．(3)

點(diǎn)A不在給出的兩條角平分線上，同時(shí)，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可知，點(diǎn)A關(guān)于∠B、∠C的平分線的對(duì)稱點(diǎn)都在直線BC上，因此，只需要求出點(diǎn)即可．易知頂點(diǎn)關(guān)于角平分線、的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，因此，邊BC所在的直線方程為．例(1)

已知的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，邊上的中線所在直線方程為，的角平分線所在直線方程為，求直線的方程．(2)

已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，求直線的方程．(3)

已知△ABC中頂點(diǎn)，AB邊上的高線所在直線方程為，∠B的角平分線所在直線方程為，求BC邊所在直線的方程．解(1)

設(shè)，則，解得，接下來(lái)有兩種方法：法一求出點(diǎn)關(guān)于的平分線的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，易得直線的方程為．法二利用到角公式！易得斜率．根據(jù)，所以直線的方程為．(2)

易知直線的方程為，解方程組，可得．設(shè)，則，解得，于是直線BC的方程為．(3)

易得直線AB的方程為，故聯(lián)立，解得；又點(diǎn)A關(guān)于角平分線對(duì)稱點(diǎn)為，在直線BC上，故BC邊所在直線的方程為．例(2005廣東壓軸)在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DC上．(1)

若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；(2)

求折痕的長(zhǎng)的最大值．解(1)①

當(dāng)時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程；②當(dāng)時(shí)，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段CD上的點(diǎn)為，所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，有，即，即，故，從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)（線段OG的中點(diǎn)）為．因此，折痕所在的直線方程，即．綜上所述，可得折痕所在的直線方程為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(2)

當(dāng)時(shí)，折痕的長(zhǎng)為2；當(dāng)時(shí)，折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，因此，，則，令，解得，故．綜上所述，折痕的長(zhǎng)度的最大值2．5.3光線的入射與反射根據(jù)平面幾何知識(shí)和光學(xué)知識(shí)，入射光線和反射光線所在的直線關(guān)于法線對(duì)稱軸對(duì)稱，一般利用點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系求解．例從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)直線反射，若反射線恰經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求光線所在直線的方程和反射光線的方程．解求關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，故光線所在直線的方程為；同理，要求反射光線的方程，可以先求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再求直線的方程：，即為反射光線的方程．練習(xí)光線通過(guò)點(diǎn)，經(jīng)直線反射，若反射光線通過(guò)點(diǎn)．求入射光線和反射光線所在直線的方程．解入射光線為，反射光線為．例(2013湖南理壓軸)在等腰直角三角形ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A、B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC、CA發(fā)射后又回到點(diǎn)P（如圖）．若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心，則AP等()．A．2 B．1 C． D．解以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，，，△ABC的重心為．直線BC的方程為，設(shè)，則點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為，即為，點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為．因此，直線的方程為：，代入點(diǎn)G，解得，即，故選D．練習(xí)如圖，已知，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射后再射到直線上，最后經(jīng)直線反射又回到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的最短路程是()．A． B．6 C． D．答案選A．例已知，，，，，一束光線從F點(diǎn)出發(fā)射到BC上的D點(diǎn)經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上（不含端點(diǎn)），則FD斜率的取值范圍是．解設(shè)落到線段AE上的反射點(diǎn)為，則M關(guān)于直線AC：的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線AB：的對(duì)稱點(diǎn)為，故FD斜率為： ．例已知直線，一光線從點(diǎn)處射向軸上一點(diǎn)，又從點(diǎn)反射到上一點(diǎn)，最后又從點(diǎn)反射回點(diǎn)．(1)

試判斷由此得到的是有限個(gè)還是無(wú)限個(gè)？(2)

依你的判斷，認(rèn)為是無(wú)限個(gè)時(shí)，求出所有這樣的面積中的最小值；認(rèn)為是有限個(gè)時(shí)，求出這樣的線段的方程．解設(shè)Bm，0，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'1，?2，點(diǎn)B關(guān)于直線x?y+3=0根據(jù)光學(xué)性質(zhì)，點(diǎn)C在直線A'B上，點(diǎn)C又在直線B'A上．可得A'B的直線方程為B?A的直線方程為y?2=?m?14x?1．由y?2=?m而當(dāng)m=?3時(shí)，點(diǎn)B在直線x?y+3=0上，不能構(gòu)成三角形，故這樣的△ABC只有一個(gè)．例(1)(2003全國(guó)卷文)已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)、、、，一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)沿與AB的夾角的方向射到BC上的點(diǎn)后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)、和（入射角等于反射角），若與重合，則()．A． B． C． D．1(2)(2003全國(guó)卷理)已知長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)、、、，一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)沿與AB的夾角的方向射到BC上的點(diǎn)后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)、和（入射角等于反射角），設(shè)的坐標(biāo)為，若，則的取值范圍是()．A． B． C． D．解(1)C；(2)C；這兩小題，處理方法一樣，下面以第(2)小題為例進(jìn)行說(shuō)明．利用對(duì)稱，最終將、、、和這五個(gè)點(diǎn)對(duì)稱到一條直線上，如圖所示，由于，易知對(duì)稱后的到的水平距離，故．例(1)(2012大綱卷文壓軸)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，，動(dòng)點(diǎn)P從E發(fā)沿直線向F動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為()．A．8 B．6 C．4 D．3解(1)法一在正方形內(nèi)，利用平行關(guān)系，依次作出各條邊上的反射點(diǎn)將正方形的邊長(zhǎng)取為3，結(jié)合點(diǎn)E、F的位置，可知入射角的正切值為2，利用，作出點(diǎn)G，再利用平行關(guān)系，作GH∥EF，HI∥GF，…，依次作出其他的反射點(diǎn)，如圖所示，易得當(dāng)點(diǎn)P一次碰到E，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為6．法二方格網(wǎng)法由于反射點(diǎn)可以對(duì)稱到一條直線上，因此，不妨畫出精確的方格網(wǎng)，延長(zhǎng)EF，觀察直線EF和水平網(wǎng)格線的交點(diǎn)，判斷該交點(diǎn)是否和點(diǎn)E的位置是一致的！如圖，根據(jù)題目的選項(xiàng)，最多是8次，畫出8個(gè)交點(diǎn)，顯然，第8次為，是不成立的！對(duì)于，將這段路徑還原到正方形中，易知也不成立，因此，只能在處成立，由于直線和方格網(wǎng)有6個(gè)交點(diǎn)，因此，當(dāng)點(diǎn)P一次碰到E，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為6．(2)(2012大綱卷理壓軸)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，，動(dòng)點(diǎn)P從E發(fā)沿直線向F動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為()．A．16 B．14 C．12 D．10(2)法三正面推導(dǎo)如圖所示，假設(shè)點(diǎn)為臨界點(diǎn)，延長(zhǎng)交方格網(wǎng)于點(diǎn)，則，且E、之間間隔了x個(gè)方格，F(xiàn)、間隔了y個(gè)方格，同時(shí)，注意AB的位置，易知x、y必定都是偶數(shù)．因此，由于，則，即，即，易知滿足條件的最小x、y分別為，，因此，當(dāng)點(diǎn)P一次碰到E，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為．法四將點(diǎn)E平移到原點(diǎn)，則直線第一次遇到格點(diǎn)，且x、y都是偶數(shù)，即為所求．一般化當(dāng)（且兩者互質(zhì)）時(shí)，則當(dāng)點(diǎn)P一次碰到E，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為．練習(xí)已知單位正方形的四個(gè)頂點(diǎn)、、和，從A點(diǎn)向邊CD上的點(diǎn)發(fā)出一束光線，這束光線被正方形各邊反射（入射角等于反射角），光線經(jīng)過(guò)正方形某個(gè)頂點(diǎn)后射出，則這束光線在正方形內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)度為 ．解直線AP的方程為：，取整數(shù)解，即為（如果是回到A，則是兩倍），因此，如圖所示，這束光線經(jīng)過(guò)5次反射后從某個(gè)頂點(diǎn)射出，光線在正方形內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程為圖中AQ的長(zhǎng)，因此，．5.4角平分線問(wèn)題例若的頂點(diǎn)，，，求的角平分線所在的直線的方程．法一利用角平分線的方向向量，直接求出斜率！由于，，，，因此，的角平分線的方向向量為，又直線的方向向量為，故直線AT的斜率為．法二利用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等易求得直線、的方程分別為：、．設(shè)的角平分線上任一點(diǎn)為，則，即，即或（外角平分線，舍去，可畫出草圖判斷）．法三利用到角公式，求出斜率，或者夾角公式（須舍去一個(gè)），具體過(guò)程略．法四利用角平分線定理，結(jié)合定比分點(diǎn)，求出角平分線和對(duì)邊的交點(diǎn)！易得，，設(shè)為直線與直線的交點(diǎn)，所以，設(shè)，則，解得，進(jìn)而可得的方程為．法一：利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，求出角平分線上的一個(gè)點(diǎn)！例在中，點(diǎn)，邊上的高所在的直線方程為，的平分線所在的直線方程為，求．解解x?2y+1=0，y=0，得A?1，0，所以AB：設(shè)Cx0，y0，因?yàn)锽C與BC邊上的高線垂直，并且C關(guān)于直線y=0（∠A的平分線）的對(duì)稱點(diǎn)C?在直線AB上，所以，k所以，y0?2x0?1=?2，x例(2006重慶理)與向量、的夾角相等，且模為1的向量是()．A． B．或C． D．或法一設(shè)所求向量的平行向量為，則，故選B．法二設(shè)所求向量的平行向量為，，，利用夾角相等：，即．例(2005天津理)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)和點(diǎn)，若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上且，則．解；．§6奇思妙想，話直線系6.1直線系1.平行直線系與直線平行的直線系方程為．2.垂直直線系與直線垂直的直線系方程為3.過(guò)兩交點(diǎn)的直線系過(guò)兩相交直線和交點(diǎn)的直線系方程為，此直線系不包括．注推廣到過(guò)曲線與的交點(diǎn)的方程為：.例已知點(diǎn)，和直線．(1)

求過(guò)點(diǎn)與直線平行的直線的方程；(2)

求過(guò)的中點(diǎn)與垂直的直線的方程．解(1)

設(shè)的方程為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，所以的方程為．(2)

設(shè)的方程為，將的中點(diǎn)代入得，所以的方程為．例已知直線，試求與直線的距離為的直線的方程；解設(shè)所求直線方程為，根據(jù)題意，解得或，所以，所求直線方程為或．例求經(jīng)過(guò)直線和的交點(diǎn)，且平行于直線的直線方程．解設(shè)所在直線的為，整理得．因?yàn)樗笾本€平行于直線，所以，解得，故所求直線方程為．例求經(jīng)過(guò)直線與直線的交點(diǎn)，且滿足下列條件的直線的方程：(1)

與直線平行；(1)

與直線垂直．【適時(shí)的選用直線系！】解(1)

和的交點(diǎn)為．依題意，所求直線斜率，故所求直線方程為．(2)

依題意，所求直線斜率，故所求直線方程為，即．例(2008江蘇)如圖，設(shè)的頂點(diǎn)分別為，，，點(diǎn)在線段AO上的一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），這里a、b、c、p均為非零實(shí)數(shù)，設(shè)直線BP、CP分別與邊AC、AB交于點(diǎn)E、F，某同學(xué)已正確求得直線OE的方程為．請(qǐng)你完成直線OF的方程：()．解；由截距式可得直線AB：，直線CP：，點(diǎn)F是直線AB、CP的交點(diǎn)，利用過(guò)交點(diǎn)的直線系方程，可得，代入原點(diǎn)O，解得，可得直線OF的方程是．6.2直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的處理例已知a、b滿足，則直線必過(guò)定點(diǎn)()．A． B． C． D．法一消元利用恒等式；將代入直線方程整理得，令，解得，故選D．法二利用比例式，即，故選D．例已知直線方程為．(1)

求證：不論取何實(shí)數(shù)值，此直線必過(guò)定點(diǎn)；(2)

過(guò)這定點(diǎn)引一直線，使它夾在兩坐標(biāo)軸間的線段被這點(diǎn)平分，求這條直線的方程．解(1)

把直線整理為，令，解得，即點(diǎn)，因此，此直線必過(guò)定點(diǎn)．(2)

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與兩坐標(biāo)軸分別交于，．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，解得，故所求直線的方程為，即．§7到角當(dāng)頭，秒解交角1.到的角把直線依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角；它是有向角，范圍是．注①到的角與到的角是不一樣的；②旋轉(zhuǎn)的方向是逆時(shí)針?lè)较颍虎劾@“定點(diǎn)”是指兩直線的交點(diǎn)．2.直線與的夾角是指由與相交所成的四個(gè)角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范圍是．3.到角公式和夾角公式設(shè)兩直線方程分別為或；(1)

若為到的角，或；【逆時(shí)針＋后減去前！】(2)

若為和的夾角，則或；(3)

當(dāng)或時(shí)，．注①上述與有關(guān)的公式中，其前提是兩直線斜率都存在，而且兩直線互不垂直；當(dāng)有一條直線斜率不存在時(shí)，用數(shù)形結(jié)合法處理！②直線到的角與和的夾角的關(guān)系：或．③到角公式在證明四點(diǎn)共圓時(shí)，是一個(gè)很常用的方法，具體參考后面圓錐曲線的四點(diǎn)共圓專題．例(2009全國(guó)卷Ⅰ文壓軸)若直線m被兩平行線與所截得的線段的長(zhǎng)為，則m的傾斜角可以是：①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正確答案的序號(hào)是___________.(寫出所有正確答案的序號(hào))解①⑤；由于兩條平行線之間的距離為，結(jié)合圖形，易知直線m和平行線的夾角為30°，進(jìn)而可知①⑤正確．例已知直線，直線，，兩平行直線間距離為，而過(guò)點(diǎn)的直線l被、截得的線段長(zhǎng)為，求直線l的方程．解由于，故，結(jié)合，可得．又與間距離為，則，解得或(舍)．故點(diǎn)A坐標(biāo)為．設(shè)l與的夾角為，l的斜率為k，的斜率為，根據(jù)題意，易得，即，故 ，解得或．因此，直線l的方程為或．例已知，角A為直角頂點(diǎn)，若AC、AB邊上的中線分別落在直線和上，斜邊長(zhǎng)為10，則三角形的面積為．解此題若是按照題目的條件常規(guī)做，會(huì)比較繁瑣一些，下面給出一種“模型剝離法”．由于角A為直角頂點(diǎn)，因此，不妨把A移到原點(diǎn)，同時(shí)讓點(diǎn)B在x軸，C在y軸，如圖，注意到平移過(guò)程的中線的夾角是不變的，因此，兩條中線的夾角仍為．結(jié)合圖形可知：，，易得．【不能利用平移前的斜率倍數(shù)關(guān)系?。　恳虼?，，解得，即，即，即三角形的面積為25．例(2008全國(guó)卷Ⅱ理)等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為()．A．3 B．2 C． D．解選A；令，，，，設(shè)底邊為，由題意，到所成的角等于到所成的角，于是有，即．§8乾坤移位，將軍飲馬將軍飲馬，也就是“距離最短”問(wèn)題，一般是利用三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，即“三角形的兩邊之和(差)大于(小于)第三邊”，以及“兩點(diǎn)之間，線段最短”進(jìn)行解決．例(2013四川文壓軸)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)，，，的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______．解；畫出圖形，分析易知，四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)即為所求．類型一A、B兩點(diǎn)在直線l的異側(cè)(1)

如左圖，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最小？方法連結(jié)AB與直線l的交點(diǎn)，即為所求的點(diǎn)P．(2)

如右圖，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最??？方法作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)與直線l的交點(diǎn)，即為所求的點(diǎn)P． 類型二A、B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)(1)

如左圖，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最?。糠椒ㄗ鼽c(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)與直線l的交點(diǎn)，即為所求的點(diǎn)P．(2)

如右圖，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最?。糠椒ㄟB結(jié)AB與直線l的交點(diǎn)，即為所求的點(diǎn)P．例(1)

已知兩點(diǎn)，，直線，在直線l上求一點(diǎn)P，使得最小；(2)

已知兩點(diǎn)，，直線，在直線l上求一點(diǎn)P，使得最小；(3)

已知兩點(diǎn)，，直線，在直線l上求一點(diǎn)P，使得最大；(4)

已知兩點(diǎn)，，直線，在直線l上求一點(diǎn)P，使得最大．答案(1)

；(2)

；(3)

；(4)

．例已知x、y滿足，求函數(shù)的最小值．解此函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化為“求直線動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離之和的最小值”．易求得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交直線l于點(diǎn)P，則的最小值即為．例(1)

求函數(shù)的最小值；(2)

求函數(shù)的最大值和最小值，并寫出取得最大值和最小值時(shí)的x值．解(1)

由于，因此，此函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化為“求x軸上的動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離之和的最小值”．畫出圖形，具體過(guò)程略，易求得最小值為．(2)

由于，因此，的最值可以轉(zhuǎn)化為“求x軸上的動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值的最值”．畫出圖形，具體過(guò)程略，易求得在處取得最大值為，在處取得最小值為0．注對(duì)于形如或的無(wú)理函數(shù)的最值，一般可以嘗試通過(guò)上述的方法進(jìn)行求解，轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)距離和（差）的最值．例已知兩定點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)，橢圓C以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則橢圓的離心率的最大值為．法一；由于，故求出a的最小值即可．又，只須求出的最小值即可，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在直線上找一點(diǎn)P使得最小．易知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，因此，點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為，則，即橢圓的離心率的最大值為．法二設(shè)橢圓方程為：，當(dāng)橢圓和直線l相切時(shí)，a最小，離心率最大，利用等效判別式：，即．練習(xí)點(diǎn)，，點(diǎn)M是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是()．A． B．2 C．3 D．答案選B；點(diǎn)P在直線上，先將最值轉(zhuǎn)化到圓心上，設(shè)圓心、圓心，則的最大值為，只須求出的最大值，此時(shí)即為將軍飲馬問(wèn)題了．例(2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)預(yù)賽)已知向量，且．若，則的最小值為()．A． B．26 C． D．24解選B；如圖，設(shè)，，則，此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問(wèn)題：即在線段AB上求一點(diǎn)P，使得的值最小，設(shè)點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為C，則最小值為．例在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)、，以原點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，與射線交于點(diǎn)M，與x軸正半軸交于點(diǎn)N，則當(dāng)r變化時(shí)，的最小值為．解設(shè)，，則 ，問(wèn)題等價(jià)于點(diǎn)、與x軸上的點(diǎn)連線段長(zhǎng)的和最短，即為將軍飲馬問(wèn)題！因此，作，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．例在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在直線上，從點(diǎn)P向圓、分別引切線，切線長(zhǎng)分別記為，則的最小值為．略解；設(shè)，結(jié)合切線長(zhǎng)公式，整理易得： ．類型三造橋選址問(wèn)題 (1)

如左圖，A、B分別在兩條平行線m、n的兩側(cè)，MN是與平行線垂直且?jiàn)A在平行線間的定長(zhǎng)線段，當(dāng)MN在運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，的值最?。糠椒▽Ⅻc(diǎn)A向下平移MN的長(zhǎng)度得到點(diǎn)，連結(jié)交直線n于點(diǎn)N，再作NM⊥m于點(diǎn)M即可．注這個(gè)就是所謂的“單橋問(wèn)題”，類似的，也可以推廣到“雙橋問(wèn)題”，如中間圖所示．(2)

如右圖，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，MN是在直線l滑動(dòng)的定長(zhǎng)線段，當(dāng)MN在運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，最小？方法將點(diǎn)A向右平移MN的長(zhǎng)度得到點(diǎn)，作關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)交直線l于點(diǎn)N，再將N向左平移MN的長(zhǎng)度即可得到點(diǎn)M．例如圖，已知，，，，問(wèn)a為何值時(shí)，四邊形APQB的周長(zhǎng)最?。看鸢府?dāng)時(shí)，四邊形APQB的周長(zhǎng)取得最小值為．類型四雙對(duì)稱問(wèn)題(1)

如左圖，點(diǎn)A在∠MON內(nèi)，在射線OM、ON上分別找一點(diǎn)B、C，使得△ABC的周長(zhǎng)最小？方法作點(diǎn)A分別作關(guān)于射線OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)、，連結(jié)與射線OM、ON的交點(diǎn)，即為所求的點(diǎn)B、C．(2)

如中間圖，點(diǎn)A、B在∠MON內(nèi)，在射線OM、ON上分別找一點(diǎn)D、C，使得四邊形ABCD的周長(zhǎng)最??？方法作點(diǎn)A、B分別作關(guān)于射線OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)、，連結(jié)與射線OM、ON的交點(diǎn)，即為所求的點(diǎn)D、C．(3)

如右圖，點(diǎn)A、B分別為邊OM、ON上的的定點(diǎn)，在邊OM、ON上分別求點(diǎn)D、C，使得最?。糠椒ㄗ鼽c(diǎn)A、B分別作關(guān)于射線OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)、，連結(jié)與射線OM、ON的交點(diǎn)，即為所求的點(diǎn)D、C．例在四邊形ABCD中，，，則△ACD周長(zhǎng)的最小值為．解；如是所示，分別作D關(guān)于直線BA、BC的對(duì)稱點(diǎn)，則，，故△ACD周長(zhǎng)的最小值為．例如圖，，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且．以C為圓心，1為半徑作圓，點(diǎn)X、Y分別是射線OB、OA上異于O的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)，若圓C和∠AOB兩邊都沒(méi)有交點(diǎn)，則的最小值為．解做P關(guān)于射線OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)，則，且，顯然，只有當(dāng)共線時(shí)，有最小，同時(shí)，欲使得最小，只須最小即可，顯然，的最小值為2，故的最小值為．練習(xí)已知點(diǎn)A是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B、C分別是y軸于直線上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為．解設(shè)點(diǎn)A關(guān)于y軸于直線上的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，則，，顯然，只有當(dāng)共線時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)取得最小值為．例已知是大小為的二面角，C為二面角內(nèi)一定點(diǎn)，且到半平面、的距離分別為、6，A、B分別是半平面、內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為()．A． B． C．15 D．解選D；如圖，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于半平面、的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，則 ．情形五垂線段最短(1)

如左圖，點(diǎn)A在∠MON外部，在射線OM上找一點(diǎn)P，使得PA與點(diǎn)P到射線ON的距離之和最??？方法過(guò)點(diǎn)A作AB⊥ON于點(diǎn)B，則AB與射線OM的交點(diǎn)P即為所求．(2)

如右圖，點(diǎn)A在∠MON內(nèi)部，在射線OM上找一點(diǎn)P，使得PA與點(diǎn)P到射線ON的距離之和最小？法一作點(diǎn)A關(guān)于射線OM的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊥ON于點(diǎn)B，則與射線OM的交點(diǎn)P即為所求．法二作射線OB關(guān)于射線OM的對(duì)稱射線，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥于點(diǎn)B，則AB與射線OM的交點(diǎn)P即為所求．例已知正實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值為()．A． B． C．2 D．法一通法先行，利用判別式！令，并將代入，整理可得：，令，解得，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)取得等號(hào)，故選A．法二利用幾何意義，數(shù)形結(jié)合！設(shè)是線段上一點(diǎn)，則x為點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離，且．易求得原點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則 ．法三利用柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)．注柯西不等式配的系數(shù)，一般都是特殊的數(shù)，熟練了，可以直接目測(cè)嘗試；當(dāng)然，試不出來(lái)，可以利用待定系數(shù)法得到：，令，解得．法四對(duì)于含有“”的結(jié)構(gòu)，可以嘗試?yán)脴O坐標(biāo)代換；設(shè)，則即為，又，即等價(jià)于求的最小值．令，即為，令，解得．例已知有向線段PQ的起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別是、，若直線與線段PQ的延長(zhǎng)線相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．解；§9數(shù)形結(jié)合，曲線距離距離最小模型已知定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足關(guān)系式：．注(1)

這個(gè)模型的證明，可以利用，借助導(dǎo)數(shù)證得，不過(guò)并不嚴(yán)密，是有bug的，因此，此模型在大題中是不能直接使用的，切記切記?。?2)

如果從圖像上理解這個(gè)模型，相當(dāng)于是以定點(diǎn)P為圓心的圓，即為，此圓的半徑r不斷增大，直至和的圖象相切時(shí)，r剛剛好取得最小值，亦即的最小值．例函數(shù)，因其圖象像“囧”字，被稱為“囧函數(shù)”．我們把函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)稱為函數(shù)的“囧點(diǎn)”；以函數(shù)的“囧點(diǎn)”為圓心，與函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)的圓，皆稱為函數(shù)的“囧圓”．當(dāng)時(shí)，有下列命題：①對(duì)任意，都有成立；②存在，使得成立；③函數(shù)的“囧點(diǎn)”與函數(shù)圖象上的點(diǎn)的最短距離是；④函數(shù)的所有“囧圓”中，其周長(zhǎng)的最小值為．其中的正確命題有．（寫出所有正確命題的序號(hào)）【②③④】解是偶函數(shù)，故只需要作出的圖象，再對(duì)稱到y(tǒng)軸左邊就可以了；分式函數(shù)的作圖方法，只要漸近線畫出來(lái)，圖象基本也就定了，易知的漸近線為x軸和，如圖所示，為囧點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，顯然，故①錯(cuò)誤．②易知，而當(dāng)時(shí)，，故②正確．③法一構(gòu)造圓，利用切線垂直法【通法】利用以囧點(diǎn)J為圓心的圓和相切時(shí)臨界，設(shè)此時(shí)的切點(diǎn)為，由于，即，，由于單調(diào)遞增，觀察可知，只能?。ǘ懗鼍嚯x的表達(dá)式，然后求導(dǎo)或者利用不等式放縮，令，利用導(dǎo)數(shù)求解即可，求解也比較簡(jiǎn)單，故具體過(guò)程略．法三聯(lián)想到的反函數(shù)求點(diǎn)到距離的最小值，由于也過(guò)點(diǎn)，且和互為反函數(shù)，顯然，最小距離即為點(diǎn)到