數(shù)學(xué)熱點(diǎn)-立體幾何平行的證明與應(yīng)用（等積變形截面探究性問題等12類題型）（解析版）

專題8-2立體幾何中平行的證明與應(yīng)用模塊一模塊一總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】平行關(guān)系的判斷【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系【題型3】由中位線得出平行關(guān)系【題型4】由線面平行得出線線平行（反推找線）【題型5】由面面平行得出線面平行【題型6】兩個(gè)平面交線相關(guān)的平行證明【題型7】證明線線平行【題型8】通過平行證明四點(diǎn)共面【題型9】平行關(guān)系的應(yīng)用：等積變形求體積【題型10】平行的存在性問題（確定點(diǎn)的位置）【題型11】平行的存在性問題（確定動(dòng)點(diǎn)軌跡）【題型12】截面問題（通過作平行線或延長線補(bǔ)全截面）模塊二模塊二核心題型·舉一反三平行關(guān)系思維導(dǎo)圖序號(hào)圖形展示符號(hào)語言文字語言1垂直于同一平面的兩個(gè)直線平行如果兩條直線分別與第三條直線平行則這兩條直線平行線段成比例兩直線平行（中位線）平行四邊形對(duì)面平行2平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行3一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行4一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，那么這兩個(gè)平面平行5如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行6一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行7兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行【題型1】平行關(guān)系的判斷常用結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥B．(4)若α∥β，m?α，則m∥β.【例1】（2024·山東淄博·二模）已知α，β，γ為三個(gè)不同的平面，a，b，l為三條不同的直線．若則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)與l相交 B．b與l相交 C．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)與β相交【答案】C【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于AB，平面，，則，同理可得，則AB錯(cuò)誤；對(duì)于C，由AB知道，則C正確；對(duì)于D，由A知道平面，平面，則，故D錯(cuò)誤.【例2】已知、是兩條不同的直線，、、是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則；B．若，，則；C．若、是異面直線，，，，，則；D．平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則．【答案】C【分析】利用直觀想象判斷直線與平面的位置關(guān)系可判斷ABD；利用線面平行的性質(zhì)定理與面面平行的判定定理可判斷C，從而得解.【詳解】因?yàn)?、是兩條不同的直線，、、是三個(gè)不同的平面，，對(duì)于A，若，，則與可能相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則可能在內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，又，所以由線面平行的性質(zhì)定理可知在內(nèi)存在，則，進(jìn)而可得，因?yàn)槭钱惷嬷本€，，所以與相交，又，所以由面面平行的判定定理得，故C正確；對(duì)于D，平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則與可能相交，故D錯(cuò)誤．【例3】（多選）已知平面，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．與可能是異面直線 B．若，則C．若，則 D．若兩兩垂直，則l，m，n也兩兩垂直【答案】BCD【分析】利用異面直線的意義判斷A；利用線面平行的判定性質(zhì)推理判斷B；利用平面的基本事實(shí)推理判斷C；利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定性質(zhì)推理判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，因此與不可能是異面直線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，則，于是，又，，因此，B正確；對(duì)于C，由，得，由，得，則，又，因此，C正確；對(duì)于D，令，，在平面內(nèi)取點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），并在內(nèi)作，而，則，又，于是，而，則，又，因此，則是二面角的平面角，由，得，即，因此l，m，n兩兩垂直，D正確.故選：BCD

【鞏固練習(xí)1】下列關(guān)于平面平行的命題，正確的是（

）A．若一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行B．若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行C．若兩個(gè)平面與同一個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面平行D．若兩個(gè)平面與同一條直線平行，則這兩個(gè)平面平行【答案】B【分析】對(duì)A，兩面相交，另一平面有無數(shù)條直線和交線平行也和該平面平行，故可判斷；對(duì)B，根據(jù)平面平行的判定定理即可判斷；對(duì)C，根據(jù)墻面三個(gè)角可判斷；對(duì)D，兩面相交一條直線，和直線平行的直線都平行兩平面，故可判斷.【詳解】對(duì)A，假設(shè)兩個(gè)面相交于一條直線，則其中一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與交線平行也與另一個(gè)平面平行，故A不正確；對(duì)B，根據(jù)平面平行的判定定理，可知一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行，故B正確；對(duì)C，若兩個(gè)平面與同一個(gè)平面垂直，不一定得出兩平面平行，例如墻角的三個(gè)面，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，兩個(gè)平面與同一條直線平行，不一定能得出兩面平行，例如兩面相交與一條直線，存在與交線平行的直線平行于兩個(gè)面，故D錯(cuò)誤.【鞏固練習(xí)2】設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】對(duì)于A，根據(jù)已知條件推出或，對(duì)于B，可以推出或異面，對(duì)于C，可以推出或，對(duì)于D，根據(jù)判定定理可以得到結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，由，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則或與是異面直線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，故D正確.【鞏固練習(xí)3】已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，對(duì)于下列命題正確的是（

）A．B．；C．D．.【答案】B【分析】根據(jù)面面平行的判定定理可判定A，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可判定B，根據(jù)線面平行的判定定理可判定C，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可判定D.【詳解】選項(xiàng)A：由面面平行的判定定理可知，由于m，n不一定相交，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由面面平行的性質(zhì)定理可知B正確；選項(xiàng)C：由線面平行的判定定理可知，m可能在內(nèi)，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由線面平行的性質(zhì)定理可知，m，n可能異面，故D錯(cuò)誤【題型2】構(gòu)造平行四邊形得到平行關(guān)系【方法技巧】構(gòu)造平行四邊形找線線平行【例1】如圖，在棱長為1的正方體中，E、F及G分別為棱、和的中點(diǎn).求證：平面DEG；

【解析】在正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱和的中點(diǎn)，，且，四邊形是平行四邊形，，平面平面DEG，平面DEG.【例2】（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，底面，，分別為線段上一點(diǎn)，.若為的中點(diǎn)，證明：平面；【解析】證明：由已知得，取的中點(diǎn)T，連接，由N為的中點(diǎn)知，．又，故，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面．【鞏固練習(xí)1】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，．證明：平面PAD；【解析】在PD上取中點(diǎn)G，連接AG，EG，如圖：∵G和E分別為PD和PC的中點(diǎn)，∴，且，又∵底面ABCD是直角梯形，，，∴且．即四邊形ABEG為平行四邊形，∴，∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD【鞏固練習(xí)2】（24-25高三上·青海西寧·期中）如圖，平面，，，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．求證：平面【分析】（1）連接，可證明四邊形為平行四邊形，再由線面平行的判定定理即可證得；【詳解】（1）連接，因?yàn)?，，所以．又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以且，因?yàn)?，，所以且，又因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．【鞏固練?xí)3】如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點(diǎn)，，的邊長為2．求證：：平面；【解析】證明：取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)題意可得，且，，由三棱柱得性質(zhì)知，所以，則四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槊妫?，所以面．【題型3】由中位線得出平行關(guān)系涉及中點(diǎn)條件時(shí)考慮利用三角形中位線找線線平行.【例1】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是棱PB，PC的中點(diǎn)，是棱PA上一點(diǎn)，且，求證:平面MCD【解析】取PA的中點(diǎn)S，連接SM，SD，SC，因?yàn)闉镻B的中點(diǎn)，所以，又，所以，故S，M，C，D四點(diǎn)共面，由題意知Q，N分別為PS，PC的中點(diǎn)，故，又平面平面MCD，因此平面MCD【鞏固練習(xí)1】（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖所示，四棱錐中，四邊形是矩形，平面平面，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.求證：平面【分析】（1）連接交于，則是的中點(diǎn)，連接，由中位線性質(zhì)知，根據(jù)線面平行的判定可證平面；【詳解】（1）連接交于，則是的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以是的中位線，則，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?【鞏固練習(xí)2】（2024·浙江金華·一模）如圖，三棱錐中，平面，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).

求證：平面；【分析】連，利用三角形中位線性質(zhì)，線面平行的判定推理即得.【詳解】連，由為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，得，又平面，平面，所以平面.【鞏固練習(xí)3】已知在正四棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，由線面平行的判定定理即可證明；【詳解】連接，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，連接，則，平面，平面，平面【題型4】由線面平行得出線線平行（反推找線）解析：模型鋪墊：AB∥平面βAB∥DE【例1】如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，側(cè)面為正方形．點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為AB的中點(diǎn)．

證明：平面【簡析】找一點(diǎn)和MN構(gòu)成平面，該平面與平面有2個(gè)位置確定的交點(diǎn)，圖中去掉MN和平面中的點(diǎn)后滿足條件的點(diǎn)只有A點(diǎn)了，AM與平面交于點(diǎn)C1，AN與平面交于點(diǎn)B，故MN∥BC1，找出了平面中和MN平行的那條線【詳解】連接，如圖所示：

因?yàn)闉榱庑?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，而平面，平面，所以平面.【例2】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點(diǎn)在棱上（不與端點(diǎn)重合），E，F(xiàn)分別是PD，AC的中點(diǎn).證明：平面.【解析】連接,因?yàn)榈酌媸钦叫危允堑闹悬c(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是的中位線，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面【?】（2024·浙江·一模）如圖，在三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且，為三角形的重心.求證：平面【分析】（1）根據(jù)重心性質(zhì)以及線段比可知是的重心，再利用線段比例關(guān)系以及線面平行判定定理可得結(jié)論；【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，由重心性質(zhì)可得是的中點(diǎn)，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且，可知是的重心；連接，可知點(diǎn)在上，如下圖所示：由重心性質(zhì)可得，，所以；又平面，平面，所以平面法二：連接CG交AB于H，易證FG∥EH【鞏固練習(xí)1】（2024·山東濟(jì)南·三模）如圖所示，為矩形，為梯形，平面平面，.若點(diǎn)為的中點(diǎn)，證明:平面；【解析】連接PC，交DE于，連接MN為矩形為的中點(diǎn)在中，M，N分別為PA，PC的中點(diǎn),因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面.【鞏固練習(xí)2】在直三棱柱中，已知D為的中點(diǎn).求證：平面.

【分析】連接交于點(diǎn)，連接，利用中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.【詳解】證明：連接交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：

在三棱柱中，且，則四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，因此，平?【鞏固練習(xí)3】（24-25高三上·福建泉州·期中）如圖，在直三棱柱中，，，是棱的中點(diǎn)，是的延長線與CB的延長線的交點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)在線段AP上，且點(diǎn)E為靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成的角的正弦值．【分析】利用全等思想來證明中點(diǎn)，從而得證線線平行，即可證明線面平行；【詳解】連接交于點(diǎn)，連接MD，如下所示：因?yàn)槭侵比庵?，故可得是矩形，故為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以，又，，，，即是的中點(diǎn)，故在中，M，D分別為，的中點(diǎn)，故可得，又平面，平面，故面．【鞏固練習(xí)4】如圖，三棱柱中，E，P分別是和CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱上，且，證明：平面EFC．【答案】證明：連結(jié)PB1，交CE于點(diǎn)D，連結(jié)DF，EP，CB1，因?yàn)镋，P分別為B1C1，CC1的中點(diǎn)，故EP∥CB1且EP＝CB1，

故，又B1F＝2，A1B1＝3，故，

所以FD∥A1P，又FD?平面EFC，A1P?平面EFC，

故A1P∥平面EFC；【題型5】由面面平行得出線面平行本法原理：已知平面平面，則平面里的任意直線均與平面平行思路比較簡單不過書寫步驟會(huì)繁瑣一些，一般不做第一選擇【例1】如圖，已知三棱柱為直三棱柱，為AC的中點(diǎn).證明：平面【簡證】取中點(diǎn)【例2】（2024·貴州貴陽·二模）由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn)，，側(cè)面與底面所成角為.

求證：平面；【解析】連接、，由分別為的中點(diǎn)，則，又平面，平面，故平面，正四棱臺(tái)中，且，則四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，故平面，又，且平面，平面，故平面平面，又平面，故平面；【鞏固練習(xí)1】（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，．（1）求證：平面；【解析】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?/p>

因?yàn)?，平面，平面，所以平面?/p>

因?yàn)?，、平面，則平面平面，因?yàn)槠矫?，所以，平面．【鞏固練?xí)2】（2024·四川達(dá)州·二模）如圖，在直角梯形中，，，，把梯形繞旋轉(zhuǎn)至，，分別為，中點(diǎn)．證明：平面；【解析】證明：設(shè)中點(diǎn)為，連接，為中位線，，又平面，平面，平面，為梯形中位線，，又平面，平面，平面，，平面，平面，平面平面，平面，平面．【鞏固練習(xí)3】（2024·江蘇南京·二模）如圖，，，點(diǎn)、在平面的同側(cè)，，，，平面平面，.求證：平面；

【解析】因?yàn)?，平面，所以平面，同理平面，又，平面，，所以平面平面，平面，所以平面【題型6】兩個(gè)平面交線相關(guān)的平行證明兩個(gè)平面交線相關(guān)的平行證明可以考慮補(bǔ)全圖形得到交線，也可以先找一個(gè)線面平行，得出線線平行來代換交線，原理是由線面平行得出線線平行【例1】如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，且PD⊥面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．證明：l∥CB【證明】證明：因?yàn)锳BCD為正方形，∴BC∥AD，又∵BC平面PAD，AD平面PAD．∴BC∥平面PAD又∵BC平面PCB，平面PAD∩平面PCB＝l，∴l(xiāng)∥CD．【例2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，且，，且，且，平面，,設(shè)平面與平面的交線為，求證：；【分析】由線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；【詳解】因?yàn)?，，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所?【鞏固練習(xí)1】在圓柱中，是圓的一條直徑，是圓柱的母線，其中點(diǎn)與不重合，是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且．若平面和平面的交線為，證明：平面.【答案】證明見解析【分析】利用三等分點(diǎn)得中位線可得線線平行，再應(yīng)用線面平行判定與性質(zhì)定理證明即可；【詳解】由知為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，又平面，由平面平面，且，故由線面平行的性質(zhì)定理可得，由點(diǎn)與不重合，可知平面，故平面，又平面，所以平面.【鞏固練習(xí)2】（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，側(cè)面為矩形.記平面與平面交線為，證明：；【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平面，進(jìn)而根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)樵谌庵校?，由于平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以【鞏固練?xí)3】如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，設(shè)平面與平面的交線為m，分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)先證明四邊形為平行四邊形，由線線平行證線面平行即可；（2）利用線線平行先證線面平行，再由線面平行的性質(zhì)證線線平行即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，底面為平行四邊形，則，且，所以四邊形為平行四邊形，即，顯然平面，平面，則平面；（2）易知，平面，平面，所以平面，又平面，平面與平面的交線為m，所以.【題型7】證明線線平行利用線面平行和面面平行證明線線平行【例1】如圖，平面ABCD,平面ADE，．求證：．【解析】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．∵平面ADE，，平面BCF，∴平面平面．又平面平面，平面平面，∴．【例2】如圖，直四棱柱被平面所截，截面為CDEF，且，，，平面與平面所成角的正切值為．證明：.【解析】在直四棱柱中，平面平面，平面，平面，則，而且，又，因此且，則四邊形是平行四邊形，所以，又，，所以．【鞏固練習(xí)1】如圖所示，圓臺(tái)的上?下底面圓半徑分別為和為圓臺(tái)的兩條不同的母線.分別為圓臺(tái)的上?下底面圓的圓心，且為等邊三角形.求證：.

【解析】證明：圓臺(tái)可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，所以圓臺(tái)的母線也就是生成這個(gè)圓臺(tái)的圓錐相應(yīng)母線的一部分.母線與母線的延長線必交于一點(diǎn)，四點(diǎn)共面.圓面圓面，且平面圓面，平面圓面..【鞏固練習(xí)2】（2024·甘肅·一模）如圖，空間六面體中,,，平面平面為正方形，平面平面.求證：；【解析】平面平面，平面.為正方形，，同理可得平面.平面平面，平面平面.平面平面平面平面，.【題型8】通過平行證明四點(diǎn)共面通過線線平行得出四點(diǎn)共面【例1】如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，，的中點(diǎn)(1)求證：平面；(2)求證：、、、四點(diǎn)共面；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先證四點(diǎn)共面，再證明，由線線平行得到線面平行.（2）連接，結(jié)合條件可證，從而證明.【詳解】（1）如圖：連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以在三棱柱中，.所以四點(diǎn)共面.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，.所以四邊形為平行四邊形.所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）如圖：連接，因?yàn)闉橹比庵曳謩e為的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以、、、四點(diǎn)共面.【鞏固練習(xí)1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）如圖，在四棱錐中，平面，，點(diǎn)在棱上，，點(diǎn)，是棱上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．，．證明：∥平面，且，，，四點(diǎn)共面；【分析】由中位線得，結(jié)合線面平行的判定定理即可證得∥平面，要證，，，四點(diǎn)共面，只需，只需，連接，結(jié)合條件證明四邊形是平行四邊形即可；【詳解】（1）因?yàn)镕，G分別為的中點(diǎn)，所以，又平面CFG，平面，所以平面．連接HE，在中，，所以，且，因?yàn)椋?，所以，且，所以四邊形為平行四邊形．所以，又，所以，故C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面．【鞏固練習(xí)2】如圖，多面體ABCGDEF中，AB，AC，AD兩兩垂直，平面ABC//平面平面BEF//平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，判斷點(diǎn)B，C，F(xiàn)，G是否共面，并說明理由．【詳解】取DG中點(diǎn)P，連接PA，PF，如圖示：

在梯形EFGD中，F(xiàn)P∥DE且FP＝DE．

又AB∥DE且AB＝DE，∴AB∥PF且AB＝PF

∴四邊形ABFP為平行四邊形，∴AP∥BF

在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG，

∴B，C，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面．【鞏固練習(xí)3】如圖，在長方體中，點(diǎn)分別在棱上，2DE＝ED1，BF＝2FB1，證明：點(diǎn)在平面內(nèi)．【解答】證明：在EQAA\S\DO(1)上取點(diǎn)M，使得EQA\S\DO(1)M＝2AM，連接EQEM,B\S\DO(1)M,EC\S\DO(1),FC\S\DO(1),在長方體EQABCD－A\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)中，有EQDD\S\DO(1)∥AA\S\DO(1)∥BB\S\DO(1),且EQDD\S\DO(1)＝EQAA\S\DO(1)＝EQBB\S\DO(1)．又2DE＝EQED\S\DO(1),A\S\DO(1)M＝2AM，BF＝EQ2FB\S\DO(1),∴DE＝AM＝EQFB\S\DO(1)．∴四邊形EQB\S\DO(1)FAM和四邊形EDAM都是平行四邊形．∴EQAF∥MB\S\DO(1),且AF＝EQMB\S\DO(1),AD∥ME,且AD＝ME．又在長方體EQABCD－A\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)中，有EQAD∥B\S\DO(1)C\S\DO(1),且AD＝EQB\S\DO(1)C\S\DO(1),∴EQB\S\DO(1)C\S\DO(1)∥ME且EQB\S\DO(1)C\S\DO(1)＝ME，則四邊形EQB\S\DO(1)C\S\DO(1)EM為平行四邊形，∴EQEC\S\DO(1)∥MB\S\DO(1),且EQEC\S\DO(1)＝EQMB\S\DO(1),又EQAF∥MB\S\DO(1),且AF＝EQMB\S\DO(1),∴EQAF∥EC\S\DO(1),且AF＝EQEC\S\DO(1),則四邊形EQAFC\S\DO(1)E為平行四邊形，∴點(diǎn)EQC\S\DO(1)在平面AEF內(nèi)【題型9】平行關(guān)系的應(yīng)用：等積變形求體積等積變形求體積，即形狀改變但體積不變。通過計(jì)算變形前后的體積相等【例1】已知正方體的棱長為是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積是否為定值？請(qǐng)說明理由【答案】是定值【詳解】

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，且，所以，四邊形為平行四邊形，則.因?yàn)槠矫?，平面，所以，平?又，所以點(diǎn)到平面的距離為定值.又的面積確定，，所以，三棱錐的體積為定值.【例2】如圖，在棱長為2的正方體中，M，N，P分別是，，的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為________【答案】【詳解】易得，因?yàn)槠矫鍹NB，平面MNB，所以平面MNB，所以【例3】（多選）如圖,在正方體中,,為線段上的動(dòng)點(diǎn),則下列說法正確的是（

）A．B．平面C．三棱錐的體積為定值D．的最小值為【答案】ABD【分析】對(duì)于A,由線面垂直的判定定理證明平面即可;對(duì)于B,根據(jù)面面平行的判定定理證明平面平面即可;對(duì)于C,根據(jù)線面平行將點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,再利用等體積法求解即可;對(duì)于D,將平面和平面沿直線展開為一個(gè)平面,利用余弦定理求解即可判斷.【詳解】對(duì)于A,連接,如圖:

平面,平面,,又平面,平面,平面,平面,,連接,同理可得,平面,平面,平面,平面,,故A正確;對(duì)于B,連接,如圖:

,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面,同理四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面,,平面,平面,平面平面,平面,平面,故B正確;對(duì)于C,如圖:

由B知,平面,平面,平面,點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離, 【鞏固練習(xí)1】在正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則三棱錐的體積與的值是否有關(guān)？請(qǐng)說明理由.【答案】無關(guān)【詳解】因?yàn)樵谡襟w中，且，所以四邊形為平行四邊形，因此，又平面，平面，所以平面，因此棱上的所有點(diǎn)到平面的距離都相等，又是棱上的動(dòng)點(diǎn)，所以三棱錐的體積始終為定值【鞏固練習(xí)2】如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，三棱錐的體積為________【答案】【詳解】正方體中有，平面，平面，平面，，即三棱錐的體積為【鞏固練習(xí)3】如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)在平面內(nèi)，則三棱錐的體積為________.

【答案】【分析】可證得面面，則點(diǎn)到面的距離相等，三棱錐的體積為【詳解】∵，面，面，∴面，∵，面，面，∴面，又∵，面，∴面面，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到面的距離相等，三棱錐的體積為

【題型10】平行的存在性問題（確定點(diǎn)的位置）平行存在性問題：過定點(diǎn)構(gòu)造出平行平面（過相關(guān)點(diǎn)作2次平行）通過面面平行的性質(zhì)來得到線面平行【例1】如圖1，是邊長為3的等邊三角形，點(diǎn)分別在線段上，且，沿將翻折到的位置，使得，如圖2.在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】在平面中，過點(diǎn)E作，交于，在平面中，過點(diǎn)作，交于，連接，如圖所示，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，同理可得平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，平面，所以平面，即為所求的點(diǎn)，在中，，即，如圖所示，所以，在中，，所以，即此時(shí).【例2】（2024·四川樂山·三模）在三棱柱中，點(diǎn)在棱上，滿足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在直線上，若平面，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】如圖所示：因?yàn)?，所以，所以所以，所以，則，設(shè)三棱柱的側(cè)棱長為6，則，，又為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則。過作，且，連接，又，所以平面平面，又平面，所以平面，所以，所以，所以，則【例3】在棱長為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別取的中點(diǎn)，由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性質(zhì)定理可得平面，所以點(diǎn)在線段上，當(dāng)點(diǎn)為的交點(diǎn)時(shí)，可得答案.【詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，則，所以，易知四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，故平面，又點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，平面平面，所以點(diǎn)在線段上，又,當(dāng)即點(diǎn)即為的中點(diǎn)，也即點(diǎn)為的交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)最短，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)分別是，所以，，所以.【例4】如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，，分別為棱，的中點(diǎn)，若平面，則．【解答】解：如圖所示，取A1D1，D1C1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則有平面DEF∥平面，則平面DEF與D1B的交線即為點(diǎn)P，取EF中點(diǎn)M，則DM交于P，易知△D1MP∽△BDP，故,故【鞏固練習(xí)1】在三棱柱中，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，且平面平面，試求的值.【解析】連接交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：由棱柱的性質(zhì)可知，四邊形為平行四邊形，所以，為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，，則為的中點(diǎn)，則，平面平面，平面平面，平面平面，所以，，又因?yàn)?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，因此?【鞏固練習(xí)2】在四棱錐中，底面為平行四邊形，E為線段AD上靠近A的三等分點(diǎn)，F(xiàn)為線段上一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得出線線平行，再根據(jù)平行得出比例關(guān)系即可.【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，連接因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面所以，所以，因?yàn)闉锳D的三等分點(diǎn)，則即.【鞏固練習(xí)3】在三棱柱中，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，若平面，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)已知條件及線面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得結(jié)論.【詳解】依題意，作出圖形如圖所示設(shè)為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，連接，又因?yàn)槠矫?，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，又，所以，所以，所?【鞏固練習(xí)4】如圖，已知等腰梯形中，是的中點(diǎn)，，將沿著翻折成，使平面平面.(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，.【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形是菱形，，得到，證明出平面，再證明出四邊形是平行四邊形，故，所以平面；（2）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，作出輔助線，得到四點(diǎn)共面，四邊形為平行四邊形，所以，所以是的中點(diǎn)，求出.【詳解】（1）如圖，在梯形ABCD中，連接DE，因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以，又，所以，又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，因?yàn)?，所以四邊形是菱形，從而，沿著AE翻折成后，有又平面，所以平面，由題意，易知，所以四邊形是平行四邊形，故，所以平面.（2）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，過點(diǎn)作交于，連接，如圖所示：所以，所以四點(diǎn)共面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以是的中點(diǎn)，故在線段上存在點(diǎn)，使得平面，且.【題型11】平行的存在性問題（確定動(dòng)點(diǎn)軌跡）動(dòng)點(diǎn)軌跡即為兩個(gè)平面的交線【例1】如圖，在邊長為的正方體中，點(diǎn)在底面正方形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為________【答案】2【詳解】過點(diǎn)A1作平面的平行平面，即點(diǎn)在底面的軌跡為線段，故點(diǎn)的軌跡長度為【例2】如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在矩形內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），若平面AEF，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】利用面面平行得到軌跡的長度求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，易得，，因?yàn)槠矫?，平面，故平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，又平面，且面，所以平面，即點(diǎn)在平面與平面的交線上，由題知，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為.故選：B.【例3】（23-24高三上·北京朝陽·期末）如圖，在正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，則的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，先考慮平面平面，從而得在直線上，取最大值時(shí)取最小值，此時(shí)，求解即可.【詳解】正方體中，連接，交于點(diǎn)，再連接和由于，且，∴四邊形是平行四邊形，所以，又平面，且平面，，所以平面，同理證明平面，因?yàn)槠矫妫矫?，平面，平面，且，所以平面平面，且平面平面，從而得，若平面，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，且平面，則，即在直線上時(shí)，都滿足平面，因?yàn)槠矫?，所以，顯然，當(dāng)最大時(shí)，即取最小值時(shí)，此時(shí)點(diǎn)滿足，連接，可設(shè)正方體的棱長為，所以．【鞏固練習(xí)1】如圖，在三棱錐中，點(diǎn)D，E分別為棱PB，BC的中點(diǎn).若點(diǎn)F在線段AC上，且滿足平面PEF，則的值為（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】連接CD，交PE于點(diǎn)G，連接FG，由線面平行性質(zhì)證明，再利用重心性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖，連接CD，交PE于點(diǎn)G，連接FG，

因?yàn)槠矫鍼EF，平面ADC，平面平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別為棱PB，BC的中點(diǎn)，所以G是的重心，所以.【鞏固練習(xí)2】（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，正三棱柱的底面邊長是2，側(cè)棱長是，為的中點(diǎn)，是側(cè)面上一點(diǎn)，且平面，則線段的最大值為（）A． B． C． D．4【答案】A【分析】先根據(jù)題中幾何體特征，找到平面平面，然后可確定點(diǎn)位置在線段，即可求線段的最大值即.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以在線段上，則線段的最大值即，在正三棱柱中，為邊長為2的正三角形，其中線，又在正三棱柱中，平面，平面，所以，所以為直角三角形，又，所以，所以線段MN的最大值為．【鞏固練習(xí)3】如圖，在棱長為1的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且∥截面，則線段長度的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及三角形的中位線，利用線面平行的判定定理及面面平行的判定定理，結(jié)合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)為,取的中點(diǎn)為,取的中點(diǎn)為，如圖所示因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以,因?yàn)槠矫?平面,所以平面,同理可得，平面,又,平面,所以平面平面.又平面,線段掃過的圖形是,由,得,,,,所以,即為直角，所以線段長度的取值范圍是：,即.【題型12】截面問題（通過作平行線或延長線補(bǔ)全截面）一、如何做截面？作出過EFG三點(diǎn)的截面法一：作平行線并標(biāo)出棱上的交點(diǎn)法二：作延長線并標(biāo)出棱上的交點(diǎn) 二、如何確定截面是否已經(jīng)“搞定”？題目所要求的點(diǎn)是否都用上？你所畫的線是否圍成了一個(gè)封閉圖形？這個(gè)封閉圖形的邊是否都在幾何體的表面(不能在幾何體內(nèi)部)？【例1】（23-24高三下·甘肅·開學(xué)考試）如圖，正方體的棱長為分別為棱的中點(diǎn).請(qǐng)?jiān)谡襟w的表面完整作出過點(diǎn)的截面，并寫出作圖過程；（不用證明）【答案】(1)截面，作圖過程見解析【詳解】（1）連接并延長交延長線于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則截面即為所求.

【例2】如圖，在棱長為2的正方體中，M，N分別是，的中點(diǎn)，平面BMN截正方體所得截面為________【答案】等腰梯形【詳解】連接，，易得，所以平面BMN截正方體所得截面為梯形【例3】（2024·江西贛州·一模）在棱長為1的正方體中，為棱的中點(diǎn)，過且平行于平面的平面截正方體所得截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，作出并證明過點(diǎn)，且與平面平行的正方體的截面，再求出面積.【詳解】在棱長為1的正方體中，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，而為棱中點(diǎn)，顯然，，得四邊形，四邊形都是平行四邊形，則，，平面，平面，于是平面，平面，又，平面，因此平面平面，又，，即四邊形是平行四邊形，則，顯然平面平面，從而過且平行于平面的平面截正方體所得截