5.1.3基本計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第五章

基本計(jì)數(shù)原理

5.1.3基本計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1.進(jìn)一步理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別.2.會(huì)正確應(yīng)用這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)解決問(wèn)題.組數(shù)問(wèn)題一例1用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字，(1)可以組成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼？(2)可以組成多少個(gè)三位數(shù)？(1)三位數(shù)字的電話號(hào)碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有5×5×5＝125(種)，即可以排成125個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼.(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(種)，即可以排成100個(gè)三位數(shù).(3)可以組成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類(lèi)，一類(lèi)是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類(lèi)是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法.因而共有12＋18＝30(種)排法，即可以排成30個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).常見(jiàn)組數(shù)問(wèn)題及解題原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字是我們采用分類(lèi)還是分步的關(guān)鍵.一般按特殊位置(通常是末位和首位)由誰(shuí)占領(lǐng)分類(lèi)，分類(lèi)中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的方法分步完成.如果正面分類(lèi)較多，可采用間接法從反面求解.(2)要特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的(如數(shù)字“0”不能排在首位)，要善于挖掘，排數(shù)時(shí)，要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則.思維升華(1)用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____，有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.訓(xùn)練1648252用0，1，…，9共能組成9×10×10＝900(個(gè))三位數(shù)，其中無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個(gè))，所以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個(gè)).(2)有6張卡片分別寫(xiě)有數(shù)字1，1，1，2，2，2，從中任取4張，可排出的四位數(shù)有________個(gè).14根據(jù)題意，分三類(lèi)：①取出3張1，1張2，可組成的四位數(shù)是1112，1121，1211，2111；②取出2張1，2張2，可組成的四位數(shù)是1122，1212，2211，2121，2112，1221;③取出1張1，3張2，可組成的四位數(shù)是2221，2212，2122，1222.所以可排出的四位數(shù)共有4＋6＋4＝14個(gè).抽取與分配問(wèn)題二例2(1)甲、乙、丙三人各寫(xiě)一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，則不同取法的種數(shù)有________.不妨由甲先來(lái)取，共2種取法，而甲取到誰(shuí)的將由誰(shuí)在甲取后第二個(gè)來(lái)取，剩余一人只有一種選擇，所以不同取法共有2×1×1＝2(種).2√(2)高三年級(jí)的四個(gè)班到甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有A.360種

B.420種

C.369種

D.396種法一

(直接法)以甲工廠分配班級(jí)情況進(jìn)行分類(lèi)，共分為四類(lèi)：第一類(lèi)，四個(gè)班級(jí)都去甲工廠，此時(shí)分配方案只有1種情況；第二類(lèi)，有三個(gè)班級(jí)去甲工廠，剩下的班級(jí)去另外四個(gè)工廠，其分配方案共有4×4＝16(種)；第三類(lèi)，有兩個(gè)班級(jí)去甲工廠，另外兩個(gè)班級(jí)去其他四個(gè)工廠，其分配方案共有6×4×4＝96(種)；第四類(lèi)，有一個(gè)班級(jí)去甲工廠，其他班級(jí)去另外四個(gè)工廠，其分配方案有4×4×4×4＝256(種).綜上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(種).法二

(間接法)先計(jì)算四個(gè)班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無(wú)人去的情況，即：5×5×5×5－4×4×4×4＝369(種)方案.思維升華選(抽)取與分配問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及其解法(1)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí)，一般選用列舉法、樹(shù)形圖法、框圖法或者圖表法.(2)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：①直接使用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若按對(duì)象特征抽取的，則按分類(lèi)進(jìn)行.②間接法：去掉限制條件計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.(1)從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有A.208種

B.240種

C.180種

D.96種訓(xùn)練2√由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法，后面三項(xiàng)工作的選法有5×4×3種，因此共有4×5×4×3＝240(種)選派方案.(2)一個(gè)盒子里有4個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1，2，3，4的小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有________種.37所有可能的情況有43＝64種，其中最大值不是4的情況有33＝27種，所以取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有64－27＝37種.涂色與種植問(wèn)題三例3如圖所示，要給“創(chuàng)”、“新”、“設(shè)”、“計(jì)”四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，有多少種不同的涂色方法？創(chuàng)、新、設(shè)、計(jì)四個(gè)區(qū)域依次涂色，分四步.第1步，涂“創(chuàng)”區(qū)域，有3種選擇.第2步，涂“新”區(qū)域，有2種選擇.第3步，涂“設(shè)”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”、“新”區(qū)域顏色不同，有1種選擇.第4步，涂“計(jì)”區(qū)域，由于它與“創(chuàng)”“設(shè)”區(qū)域顏色不同而可與“新”區(qū)域顏色相同，有1種選擇.所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(種).思維升華涂色與種植問(wèn)題的四個(gè)解答策略(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，并用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算.(2)以顏色(種植作物)為主分類(lèi)討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問(wèn)題，用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算.(3)將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問(wèn)題.(4)對(duì)于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類(lèi).訓(xùn)練3(1)(鏈接教材P181復(fù)習(xí)題五B組T4)如圖所示，一圓形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有四種不同的花供選種，要求在每塊里種一種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法種數(shù)為依次種A，B，C，D4塊，當(dāng)C與A種同一種花時(shí)，有4×3×1×3＝36(種)種法；當(dāng)C與A所種的花不同時(shí)，有4×3×2×2＝48(種)種法.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，不同的種法種數(shù)為36＋48＝84.A.96 B.84

C.60 D.48√(2)如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為_(kāi)_______.420按照S→A→B→C→D的順序進(jìn)行染色，按照A，C是否同色分類(lèi)：第一類(lèi)，A，C同色，則有5×4×3×1×3＝180(種)不同的染色方法.第二類(lèi)，A，C不同色，則有5×4×3×2×2＝240(種)不同的染色方法.根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有180＋240＝420(種)不同的染色方法.1、背誦記憶常見(jiàn)組數(shù)問(wèn)題及解題原則2、背誦記憶選（抽）取與分配問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及其解法3、背誦記憶涂色與種植問(wèn)題的四個(gè)解答戰(zhàn)略1.某班有3名學(xué)生準(zhǔn)備參加校運(yùn)會(huì)的100米、200米、跳高、跳遠(yuǎn)四項(xiàng)比賽，如果每班每項(xiàng)限報(bào)1人，則這3名學(xué)生參賽的不同方法有 A.24種

B.48種

C.64種

D.81種√由于每班每項(xiàng)限報(bào)1人，故當(dāng)前面的學(xué)生選了某項(xiàng)之后，后面的學(xué)生不能再報(bào)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×2＝24(種)不同的參賽方法.√先排十位，十位不能為0，有4種選法，個(gè)位有4種選法，故有4×4＝16(種)選法.2.由數(shù)字0，1，2，3，4可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是 A.25 B.20

C.16 D.123.某外語(yǔ)組有9人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén)，其中7人會(huì)英語(yǔ)，3人會(huì)日語(yǔ)，從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人分別參加相應(yīng)語(yǔ)種的活動(dòng)，則不同的選法種數(shù)為_(kāi)_______.20由題意9人中既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的“多面手”有1人，只會(huì)英語(yǔ)的有6人，只會(huì)日語(yǔ)的有2人.則可分三類(lèi)：第一類(lèi)：“多面手”去參加英語(yǔ)活動(dòng)時(shí)，選出只會(huì)日語(yǔ)的1人即可，有2種選法.第二類(lèi)：“多面手”去參加日語(yǔ)活動(dòng)時(shí)，選出只會(huì)英語(yǔ)的1人即可，有6種選法.第三類(lèi)：“多面手”既不參加英語(yǔ)活動(dòng)又不參加日語(yǔ)活動(dòng)，則需從只會(huì)日語(yǔ)和只會(huì)英語(yǔ)的人中各選1人參加活動(dòng)，有2×6＝12(種)選法.故共有2＋6＋12＝20(種)不同的選法.先涂三棱錐P－ABC的三個(gè)側(cè)面，有3×2×1種情況，然后涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面，有2×1×1種情況，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有3×2×1×2×1×1＝12(種)不同的涂法.4.如圖所示的幾何體由三棱錐P－ABC與三