成比例線段（解析版）-九年級(jí)數(shù)學(xué)（北師大版）

第18講成比例線段了解成比例線段；掌握比例的性質(zhì)；掌握黃金分割及其應(yīng)用。1．成比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．2．比例的性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：若a:b=c:d，則ad=bc；（2）合比性質(zhì)：如果如果（3）等比性質(zhì)：如果（4）比例中項(xiàng)：若a:b=b:c，則=ac，b稱為a、c的比例中項(xiàng)．要點(diǎn)：通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)該一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a,b的單位一致，c,d的單位一致也可以。3.黃金分割如果點(diǎn)P把線段AB分割成AP和PB,(AP>PB)兩段，其中AP是AB和PB的比例中項(xiàng)，那么就稱這種分割為黃金分割，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn).≈0.618AB(叫做黃金分割值).要點(diǎn)：線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).考點(diǎn)1：成比例線段例1．下列各組線段中，成比例線段的組是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)比例線段的定義可各選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A、，是成比例線段，故本選項(xiàng)符合題意；B、，不是成比例線段，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，不是成比例線段，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，不是成比例線段，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．例2．線段，，，的長(zhǎng)度如下：①，，，；②，，，；③，，，；以上組數(shù)據(jù)中，能使，，，構(gòu)成比例線段的有．（

）A．組 B．組 C．組 D．組【答案】B【分析】根據(jù)比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對(duì)選項(xiàng)一一分析，即可得出答案．【解析】解：①，即，故成比例線段；②，即，故不成比例線段；③，，，即，故成比例線段；∴成比例線段有2組，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時(shí)候，最小的和最大的相乘，另外兩個(gè)相乘，看它們的積是否相等．同時(shí)注意單位要統(tǒng)一．考點(diǎn)2：比例的性質(zhì)例3．已知、是不等于0的實(shí)數(shù)，，那么下列等式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解析】解；∵，∴，∴，，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有B選項(xiàng)正確，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，熟知比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例4．已知，那么的值是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，由得到，整理得，從而得到．【解析】解：，根據(jù)比例性質(zhì)可得，即，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例式的恒等變形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例5．如果四條線段、、、構(gòu)成，，則下列式子中，成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)變形，再進(jìn)行判斷．【解析】解：、∵，，∴；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、∵，，∴；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、∵，，∴；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、∵，，∴；故本選項(xiàng)正確．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例6．（1）若，則___________；（2）若，則___________；（3）若，則___________．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）對(duì)化簡(jiǎn)得，再把代入，即可；（2）根據(jù)，得，把的值代入，即可；（3）對(duì)化簡(jiǎn)，得，把的值代入，即可【解析】（1）∵，∴；故答案為：．（2）∵，∴，∴，故答案為：．（3）∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】考查比例性質(zhì)運(yùn)用中的基本計(jì)算，關(guān)鍵是掌握比例的基本性質(zhì)．考點(diǎn)3：比例中項(xiàng)例7．如果，且是和的比例中項(xiàng)，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念（如果a、b、c三個(gè)量成連比例即，b叫做a和c的比例中項(xiàng)）可得，則可求得的值．【解析】解：∵，b是a和c的比例中項(xiàng)，即，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了比例中項(xiàng)的概念，理解比例中項(xiàng)的定義是解題關(guān)鍵．例8．如果a=2，b=4，c=8，那么（

）A．a(chǎn)、b、c的第四比例項(xiàng)是7 B．3a、2b和3c的第四比例項(xiàng)為18C．c是ab的比例中項(xiàng) D．b是ac的比例中項(xiàng)【答案】D【分析】根據(jù)線段成比例進(jìn)行判斷即可．【解析】A選項(xiàng)a、b、c的第四比例項(xiàng)是16，因?yàn)?，B選項(xiàng)3a、2b和3c的第四比例項(xiàng)為32，因?yàn)?，C選項(xiàng)c不是ab的比例中項(xiàng)，因?yàn)?，D選項(xiàng)b是ac的比例中項(xiàng)，因?yàn)楣蔬x：D【點(diǎn)睛】本題考查線段成比例的問(wèn)題．關(guān)鍵是根據(jù)線段成比例的性質(zhì)解答．例9．已知線段a、b滿足，且．(1)求a、b的值；(2)若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)可得，再代入計(jì)算即可得；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義求解即可得．【解析】（1）解：，，，，解得，則．（2）解：線段是線段、的比例中項(xiàng)，，即，解得或（不符合題意，舍去），則的值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例線段和比例中項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題，熟記定義是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)4：比例尺的應(yīng)用例10．在比例尺為1：50的圖紙上，長(zhǎng)度為10cm的線段實(shí)際長(zhǎng)為（）A．50cm B．500cm C． D．【答案】B【分析】根據(jù)成比例線段的性質(zhì)求解即可．【解析】解：∵1：50=10:500，∴長(zhǎng)度為10cm的線段實(shí)際長(zhǎng)為500cm，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了成比例線段，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例11．、兩地的實(shí)際距離米，畫(huà)在地圖上的距離為5厘米，則地圖上的距離與實(shí)際距離的比是________．【答案】【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離:實(shí)際距離，直接求出即可．【解析】解：250米厘米，∴比例尺；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例尺，掌握比例尺的計(jì)算方法，注意在求比的過(guò)程中，單位要統(tǒng)一．例12．兩地的實(shí)際距離是，在地圖上量得這兩地的距離為，這幅地圖的比例尺是多少？【答案】【分析】根據(jù)比例尺的定義，求圖上距離與實(shí)際距離的比即可．【解析】?jī)傻氐膶?shí)際距離是，在地圖上量得這兩地的距離為，這幅地圖的比例尺為：2:200000=1:100000．【點(diǎn)睛】本題考查了成比例線段，解題關(guān)鍵是掌握比例尺的定義，注意單位要一致．考點(diǎn)4：比例的性質(zhì)綜合例13．下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，（），那么D．如果，那么【答案】D【分析】對(duì)于A、B選項(xiàng)，設(shè)，則，，分別代入驗(yàn)證左右兩端是否相等即可；對(duì)于C、D選項(xiàng)，設(shè)，則，，，分別代入計(jì)算，驗(yàn)證兩邊是否相等即可．【解析】解：A：設(shè)，則，，∴，，∴，故A不符合題意；B：利用A中的方法，同理可知也成立，故B不符合題意；C：設(shè)，則，，，∴，又∵，∴，故C不符合題意；D：設(shè)，則，，，∴，，，∴，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，熟練掌握等比、合比的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例14．已知：．(1)求代數(shù)式的值；(2)如果，求a的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)比例設(shè)，然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）先設(shè)，然后將其代入，即可求得的值．【解析】（1）解：設(shè)則（2）設(shè)則∵∴解得k=2∴【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”求解更簡(jiǎn)便．例15．已知，，求的值．【答案】【分析】利用可得出，，再代入求值即可．【解析】∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值和比例的性質(zhì)．用a表示出b和c是解題關(guān)鍵．例16．若，求的值．【答案】6或【分析】分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求出m的值即可．【解析】解：當(dāng)時(shí)，根據(jù)比例的等比性可得：；當(dāng)時(shí)，可得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查比例的等比性質(zhì)，但需要注意對(duì)式子用等比性時(shí)一定要注意根據(jù)分母是否為0進(jìn)行分類討論．考點(diǎn)5：分類討論題例17．若x與2、5、6這三個(gè)數(shù)可以組成比例式，則x可能是__________．【答案】或15或【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)：兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)項(xiàng)之積，列式解答即可．【解析】當(dāng)x與6組成外項(xiàng)時(shí)，，；當(dāng)x與2組成外項(xiàng)時(shí)，，；當(dāng)x與5組成外項(xiàng)時(shí)，，.故答案為：或15或【點(diǎn)睛】此題考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)項(xiàng)之積是解答此題的關(guān)鍵．例18．已知三條線段長(zhǎng)分別為1cm，cm，2cm，請(qǐng)你求出一條線段，使得它的長(zhǎng)與前面三條線段能夠組成比例線段．【答案】cm、cm、cm【分析】根據(jù)添加的線段長(zhǎng)度，進(jìn)行分情況討論．【解析】解：設(shè)這條線段長(zhǎng)xcm，①若四條線段的長(zhǎng)度大小為：x，1，，2時(shí)，，解得：；②若四條線段的長(zhǎng)度大小為：1，x，，2時(shí)，，解得：；③若四條線段的長(zhǎng)度大小為：1，，x，2時(shí)，，解得：；④若四條線段的長(zhǎng)度大小為：1，，2，x時(shí)，，解得：；綜上所述，線段長(zhǎng)度為cm、cm或cm．【點(diǎn)睛】本題考查成比例線段的求法，分類討論是關(guān)鍵．例19．若，則的值為_(kāi)____．【答案】-1或8【分析】設(shè)=k，根據(jù)比例的性質(zhì)可得a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，根據(jù)等式的性質(zhì)可得2（a+b+c）=k（a+b+c），分a+b+c=0和a+b+c≠0兩種情況，分別求出k值，根據(jù)=k3即可得答案．【解析】設(shè)=k，∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c），∴（a+b+c）(2-k)=0，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，即a+b=-c，∴k===-1，∴==k3=-1，當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，則2-k=0，解得：k=2，∴==k3=8，故答案為：-1或8【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，分情況討論，注意整體代入思想的運(yùn)用是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)6：黃金分割例20．已知P點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，，且，則___________【答案】/【分析】如圖，點(diǎn)P是線段上的黃金分割點(diǎn)，，則，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解析】解：如圖，點(diǎn)P是線段上的黃金分割點(diǎn)，且，，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的黃金分割點(diǎn)，掌握“線段的黃金分割點(diǎn)的定義”是解題的關(guān)鍵．例21．點(diǎn)P是長(zhǎng)度為10的線段上的黃金分割點(diǎn)，則較短線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)黃金分割的定義即把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比，分別進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：點(diǎn)P是長(zhǎng)度為10的線段上的黃金分割點(diǎn)，∴較長(zhǎng)的線段的長(zhǎng)度為，則較短的線段的長(zhǎng)度為：；故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了黃金分割，熟記黃金分割的公式：較短的線段原線段的，較長(zhǎng)的線段原線段的是本題的關(guān)鍵．例22．已知，點(diǎn)線段的黃金分割點(diǎn)，且，那么________．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可求出．【解析】解：∵點(diǎn)線段的黃金分割點(diǎn)，且，∴，即，設(shè)，，則有，解得，∵，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割知識(shí)點(diǎn)，記住黃金分割公式是解題關(guān)鍵．例23．已知：線段，點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，且，則_____，________．【答案】//【分析】黃金分割點(diǎn)是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比，其比值是一個(gè)無(wú)理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為，據(jù)此解題．【解析】∵點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且，，．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割點(diǎn)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)7：黃金分割比的形式拓展例24．已知線段，點(diǎn)在線段上，且，那么線段的長(zhǎng)_____．【答案】/【解析】根據(jù)黃金分割的定義得到點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，根據(jù)黃金比值計(jì)算得到答案．【解答】解：∵，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，掌握黃金比值為是解題的關(guān)鍵．例25．如圖，點(diǎn)P把線段分成兩部分，且為與的比例中項(xiàng)．如果，那么_____．【答案】/【分析】根據(jù)黃金分割的定義結(jié)合已知條件得，即可得出結(jié)論．【解析】解：∵點(diǎn)P把線段分成兩部分，且為與的比例中項(xiàng)，∴，∴根據(jù)黃金分割的定義可得出：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割．例26．已知線段，若，是的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，則長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的概念先計(jì)算出，然后再計(jì)算，最后根據(jù)即可求出答案．【解析】如圖，，是的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)題意得，．故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念：把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比，熟練掌握黃金比是解題的關(guān)鍵．例27．已知線段，點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】/【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，且，得出，代入數(shù)據(jù)即可得答案．【解析】解：由于P為線段的黃金分割點(diǎn)，且，∴，即.∵，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割，應(yīng)該識(shí)記黃金分割的公式：較長(zhǎng)的線段=原線段的．考點(diǎn)8：黃金分割的應(yīng)用例28．一本書(shū)的寬與長(zhǎng)之比為黃金比，書(shū)的長(zhǎng)為14cm，則它的寬為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)黃金比例求解即可．【解析】解：∵一本書(shū)的寬與長(zhǎng)之比為黃金比，書(shū)的長(zhǎng)為，∴它的寬，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割，掌握黃金比值是是解題的關(guān)鍵．例29．寬與長(zhǎng)的比值等于黃金分割比的矩形，叫做黃金矩形，從外形看，它最具美感．現(xiàn)在想要制作一張“黃金矩形”的賀年卡，如果賀年卡的長(zhǎng)的等于厘米，那么賀年卡的寬等于______厘米．（，精確到）【答案】【分析】設(shè)賀年卡的為，根據(jù)黃金比值為，即可列出一元一次方程，解方程即可求解．【解析】解：設(shè)賀年卡的為，由題意得：，解得．【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，掌握黃金比值為是解題的關(guān)鍵．例30．黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值．如圖，在某校初三中考百日倒計(jì)時(shí)啟動(dòng)儀式的中，舞臺(tái)的長(zhǎng)為18米，主持人站在點(diǎn)處自然得體．已知點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，則此時(shí)主持人與點(diǎn)的距離為_(kāi)________米．【答案】/【分析】由黃金分割點(diǎn)的定義得，再代入的長(zhǎng)計(jì)算即可．【解析】解：由題意可知，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，米，，（米），即此時(shí)主持人與點(diǎn)A的距離為米，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割點(diǎn)的定義和黃金比值是解題的關(guān)鍵．例31．“黃金分割”被視為最美麗的幾何學(xué)比率，在建筑、藝術(shù)和日常生活中處處可見(jiàn).主持人站在舞臺(tái)的黃點(diǎn)分割位置會(huì)更自然得體，如圖，舞臺(tái)長(zhǎng)米，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)(即)，則的長(zhǎng)是______．

【答案】米【分析】利用黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解析】點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)(即)，米，米，米，故答案為：米．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．例32．在學(xué)習(xí)“黃金分割”時(shí)，某同學(xué)采用下列方法作線段的一個(gè)黃金分割點(diǎn)C：如圖，過(guò)線段的端點(diǎn)B作，使；連接，在上截取，在上截取，則點(diǎn)C即為所求．你認(rèn)為他的作圖是否正確？_______（填“正確”或“不正確”）【答案】正確【分析】設(shè)，則，利用勾股定理求出，則，即可求出，據(jù)此即可得到答案．【解析】解：設(shè)，則，∵，即，∴，∴，∴，∴點(diǎn)C是的黃金分割點(diǎn)，故答案為：正確．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和黃金分割，熟知黃金分割比為是解題的關(guān)鍵．例33．在20世紀(jì)70年代，著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中點(diǎn)E為邊的黃金分割點(diǎn)（）．已知為2米，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____米（結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得，求解即可．【解析】解：∵點(diǎn)E為邊的黃金分割點(diǎn)（），∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．例34．如圖，線段，點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，是線段的黃金分割點(diǎn)，是線段的黃金分割點(diǎn)，以此類推，則__________．【答案】【分析】先按照黃金分割比例依次計(jì)算出、、，然后按照規(guī)律即可得到．【解析】解：設(shè)，，點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，，即，整理得，解得或（舍去），∴，，是線段的黃金分割點(diǎn)，，，是線段的黃金分割點(diǎn)，，，、、，以此類推，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割、規(guī)律探究表達(dá)，求出黃金分割比，并按照規(guī)律表示出是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)9：黃金分割難點(diǎn)例35．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：公元前300年前后，歐幾里得撰寫(xiě)的《幾何原本》系統(tǒng)地論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著．黃金分割（）是指把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大部分的比值．如圖①，在線段上找一個(gè)點(diǎn)C，C把分為和兩段，其中是較小的一段，如果，那么稱線段被C點(diǎn)黃金分割，點(diǎn)C叫做線段的黃金分割點(diǎn)，與的比值叫做黃金分割數(shù)．為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)，則．∵，∴……任務(wù)：(1)請(qǐng)根據(jù)上面的部分解題過(guò)程，求黃金分割數(shù)．(2)如圖②，采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：①設(shè)是已知線段，過(guò)點(diǎn)B作且使；②連接，在上截??；③在上截??；則點(diǎn)C即為線段黃金分割點(diǎn)．你能說(shuō)說(shuō)其中的道理嗎？(3)已知線段，點(diǎn)C，D是線段上的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)是．【答案】(1)黃金分割數(shù)為(2)能，道理見(jiàn)解析(3)【分析】（1）設(shè)，則．根據(jù)黃金分割的定義，構(gòu)建方程求出x即可．（2）設(shè)，根據(jù)勾股定理求出，再證明即可．（3）利用黃金分割的定義求出，再根據(jù)求解即可．【解析】（1）設(shè)，則．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即黃金分割數(shù)為．（2）能，道理如下：設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)．（3）如圖，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割的定義，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．例36．材料一：北師大版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第四章，對(duì)“黃金分割比”的定義如下：“如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果＝，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，＝叫做黃金比.”根據(jù)定義不難發(fā)現(xiàn)，在線段AB另有一點(diǎn)D把線段AB分成兩條線段AD和BD，滿足＝，所以點(diǎn)D也是線段AB的黃金分割點(diǎn)．材料二：對(duì)于實(shí)數(shù)：a1＜a2＜a3＜a4，如果滿足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）則稱a3為a1，a4的黃金數(shù)，a2為a1，a4的白銀數(shù)．請(qǐng)根據(jù)以上材料，回答下列問(wèn)題（1）如圖，若AB＝4，點(diǎn)C和點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則AC＝，CD＝．（2）實(shí)數(shù)0＜a＜b＜1，且b為0，1的黃金數(shù)，a為0，1的白銀數(shù)，求b﹣a的值．（3）實(shí)數(shù)k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分別為k，t的黃金數(shù)和白銀數(shù)，求的值．【答案】（1）2﹣2，4﹣8；（2）b﹣a＝﹣2；（3）的值是或【分析】（1）根據(jù)黃金分割的定義分別計(jì)算AC和BD的長(zhǎng)，可得CD的長(zhǎng)；（2）根據(jù)黃金數(shù)和白銀數(shù)的定義分別列式，得關(guān)于a和b的一元二次方程，解出代入b﹣a可得結(jié)論；（3）對(duì)于t＝2|2k|分兩種情況討論：對(duì)于m，n分別為k，t的黃金數(shù)和白銀數(shù)，根據(jù)定義列兩個(gè)等式，將t＝2k和t＝﹣2k代入分別解方程可得結(jié)論．【解析】解：（1）∵AB＝4，點(diǎn)C和點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)，∴AC＝BD＝AB＝×4＝2﹣2，∴DC＝AC+BD﹣AB＝2（2﹣2）﹣4＝4﹣8；故答案為：2﹣2，4﹣8；（2）∵b為0，1的黃金數(shù)，且實(shí)數(shù)0＜b＜1，∴（b﹣0）2＝（1﹣b）（1﹣0），b2+b﹣1＝0，b1＝＜0（舍），b2＝＞0，∵a為0，1的白銀數(shù)，且實(shí)數(shù)0＜a＜1，∴（1﹣a）2＝（a﹣0）（1﹣0），a2﹣3a+1＝0，a1＝＞1（舍），a2＝＜1，∴b﹣a＝﹣＝﹣2；（3）∵m，n分別為k，t的黃金數(shù)和白銀數(shù)，實(shí)數(shù)k＜n＜m＜t，∴分兩種情況：i）當(dāng)k≥0時(shí)，t＝2k，由①得：（m﹣k）2＝（2k﹣m）（2k﹣k），m2﹣km﹣k2＝0，m＝k；由②得：（2k﹣n）2＝（n﹣k）（2k﹣k），n2﹣5kn+5k2＝0，n＝k，∵k＜n＜m＜t，∴m＝k，n＝k∴＝＝＝；ii）當(dāng)k＜0時(shí)，t＝﹣2k，由①得：（m﹣k）2＝（﹣2k﹣m）（﹣2k﹣k），m2﹣5km﹣5k2＝0，m＝k；由②得：（﹣2k﹣n）2＝（n﹣k）（﹣2k﹣k），n2+7kn+k2＝0，n＝k＞0，∵k＜n＜m＜t，∴m＞0，∴m＝k，n＝k，∴

＝＝＝；綜上，的值是或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的理解和掌握：黃金分割、黃金數(shù)，白銀數(shù)，分類討論的思想；把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC＝AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，第三問(wèn)與方程相結(jié)合解決問(wèn)題．一、單選題1．（2018·甘肅隴南·中考真題）已知（a≠0，b≠0），下列變形錯(cuò)誤的是（）A． B．2a=3b C． D．3a=2b【答案】B【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【解析】解：由得，3a=2b，A、由比例的基本性質(zhì)得：3a=2b，正確，不符合題意；B、由比例的基本性質(zhì)得3a=2b，錯(cuò)誤，符合題意；C、由比例的基本性質(zhì)得：3a=2b，正確，不符合題意；D、由比例的基本性質(zhì)得：3a=2b，正確，不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，主要利用了兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積．二、填空題2．（2020·湖南婁底·中考真題）若，則________．【答案】【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，代入求職即可．【解析】由可得，，代入．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)，準(zhǔn)確觀察分析是解題的關(guān)鍵．3．（2017·湖南婁底·中考真題）湖南地圖出版社首發(fā)的豎版《中華人民共和國(guó)地圖》，將南海諸島與中國(guó)大陸按同比例尺1：6700000表示出來(lái)，使讀者能夠全面、直觀地認(rèn)識(shí)我國(guó)版圖，若在這種地圖上量得我國(guó)南北的圖上距離是82.09厘米，則我國(guó)南北的實(shí)際距離大約是______千米（結(jié)果精確到1千米）【答案】5500【分析】先根據(jù)比例尺求出實(shí)際距離，再進(jìn)行四舍五入，即可求解．【解析】解：我國(guó)南北的實(shí)際距離大約是82.09×67000000=550003000（cm）≈5500（km），故答案為5500．【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用“四舍五入”法求一個(gè)數(shù)的近以數(shù)，解題的關(guān)鍵是要看清精確到哪一位，就根據(jù)它的下一位上數(shù)是否滿5，再進(jìn)行四舍五入．4．（2018·四川成都·統(tǒng)考中考真題）已知，且，則的值為_(kāi)_________．【答案】12【分析】直接利用已知比例式假設(shè)出a，b，c的值，進(jìn)而利用a+b-2c=6，得出答案．【解析】解：∵，∴設(shè)a=6x，b=5x，c=4x，∵a+b-2c=6，∴6x+5x-8x=6，解得：x=2，故a=12．故答案為12．【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵．5．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級(jí)上冊(cè)“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐步特殊化的過(guò)程，請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫(xiě)適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過(guò)程．圖中橫線處應(yīng)填：__________

【答案】【分析】根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．【解析】解：∵∴∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）已知，則________【答案】【分析】設(shè)，再將分別用的代數(shù)式表示，再代入約去即可求解．【解析】解：設(shè)，則，故，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確用同一字母表示各數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵．7．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，樂(lè)器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂(lè)器板面上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，之間的距離為_(kāi)_____．【答案】【分析】黃金分割點(diǎn)是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比．其比值是一個(gè)無(wú)理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為，由此即可求解．【解析】解：弦，點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，設(shè)，則，∴，解方程得，，點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，設(shè)，則，∴，解方程得，，∴之間的距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段成比例，掌握線段成比例，黃金分割點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個(gè)砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時(shí)被稱物重量是砝碼重量的_________倍．【答案】1.2【分析】設(shè)被稱物的重量為，砝碼的重量為，根據(jù)圖中可圖列出方程即可求解．【解析】解：設(shè)被稱物的重量為，砝碼的重量為，依題意得，，解得，故答案為：1.2．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握杠桿的原理是解題的關(guān)鍵．9．（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）在20世紀(jì)70年代，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點(diǎn)，即．已知為2米，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____米．【答案】/【分析】根據(jù)點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)，可得，代入數(shù)值得出答案．【解析】∵點(diǎn)E是AB的黃金分割點(diǎn)，∴．∵AB=2米，∴米．故答案為：（）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割的應(yīng)用，掌握黃金比是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．下列各組線段的長(zhǎng)度成比例的是（

）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cmC．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm【答案】D【分析】根據(jù)成比例線段的定義，把線段按照由大到小或由小到大的順序排列，驗(yàn)證第一項(xiàng)×第四項(xiàng)是否與中間兩項(xiàng)乘積相等即可．【解析】A、1×4≠2×3，因此不成比例；B、3×6≠4×5，因此不成比例；C、5×20≠10×15，因此不成比例；D、6×2＝4×3，因此成比例；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查成比例線段的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．地圖上樂(lè)山到峨眉的圖上距離為3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么樂(lè)山到峨眉的實(shí)際距離是（）A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米【答案】B【分析】設(shè)樂(lè)山到峨眉的實(shí)際距離為xcm，利用比例尺的定義得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的性質(zhì)求出x，再化單位化為米即可．【解析】解：設(shè)樂(lè)山到峨眉的實(shí)際距離為x厘米，根據(jù)題意得3.8：x=1：1000000，解得x=3800000，所以樂(lè)山到峨眉的實(shí)際距離是3800000厘米，即38000米．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，正確理解比例尺的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．已知點(diǎn)C是線段AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AB：BC＝3：2，則AC：AB為（

）A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：5【答案】B【分析】設(shè)AB＝3k，BC＝2k，則AC＝5k，計(jì)算求解．【解析】設(shè)AB＝3k，BC＝2k，則AC＝5k，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，設(shè)出BC＝2k，用含k的代數(shù)式表示出AC與AB是解題的關(guān)鍵．4．如果，那么下列等式中不成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A、由合比性質(zhì)，可得，故本選項(xiàng)不符合要求；B、由等比性質(zhì)，可得，故本選項(xiàng)不符合要求；C、由得，ad=bc，由得，ad=bc，故本選項(xiàng)不符合要求；D、由得，ab=cd，所以，不能由得，故本選項(xiàng)符合要求．故選：D．5．已知線段是線段、的比例中項(xiàng)，且，，則等于（

）．A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】A【分析】線段b是線段a，c的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列出等式，利用兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積即可得出答案．【解析】解：∵a=3，c=4，∴=，∴b2=ac=3×4=12，∴b=，b=-(舍去).故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了比例中項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握利用比例中項(xiàng)的定義來(lái)列方程.6．下列說(shuō)法正確的是（）A．每一條線段有且只有一個(gè)黃金分割點(diǎn)B．黃金分割點(diǎn)分一條線段為兩段，其中較短的一段是這條線段的0.618倍C．若點(diǎn)C把線段AB黃金分割，則AC是AB和BC的比例中項(xiàng)D．黃金分割點(diǎn)分一條線段為兩段，其中較短的一段與較長(zhǎng)的一段的比值約為0.618【答案】D【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)和黃金分割的概念分析各個(gè)說(shuō)法.【解析】解：A、每一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，錯(cuò)誤；B、黃金分割點(diǎn)分一條線段為兩段，其中較長(zhǎng)的一段是這條線段的0.618倍，錯(cuò)誤；C、若點(diǎn)C把線段AB黃金分割，則AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，錯(cuò)誤；D、黃金分割點(diǎn)分一條線段為兩段，其中較長(zhǎng)的一段與這條線段的比值約為0.618，正確；故選D．【點(diǎn)睛】此題考查黃金分割問(wèn)題，理解比例中項(xiàng)、黃金分割的概念，是解題的關(guān)鍵．7．如圖，已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（其中AC＞BC），則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AC?BA【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割的定義得出，從而判斷各選項(xiàng)．【解析】解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，∴，∴選項(xiàng)A符合題意，，∴選項(xiàng)D不符合題意；∵，∴選項(xiàng)B不符合題意；∵，∴選項(xiàng)C不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題關(guān)鍵．8．已知，且，則下列結(jié)論中：①；②；③，正確的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)合分比定理：，可得，再根據(jù)合分比定理：．【解析】由合分比定理，得，故①錯(cuò)誤，故②正確；由，合分比定理，得，故③正確；故選；．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用了合分比定理，要熟練掌握．9．若線段，點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可解答．【解析】解：∵點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了黃金分割，應(yīng)該熟記黃金分割的公式：較長(zhǎng)線段=原線段長(zhǎng)的倍，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．10．大自然巧奪天工，一片樹(shù)葉也蘊(yùn)含著“黃金分割”．如圖，P為的黃金分割點(diǎn)，如果的長(zhǎng)度為，那么的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到，然后把的長(zhǎng)度代入可求出的長(zhǎng)，即可求出的長(zhǎng)度．【解析】解：∵P為的黃金分割點(diǎn)，∴，∵的長(zhǎng)度為，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割：把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項(xiàng)（即），叫做把線段黃金分割，點(diǎn)C叫做線段的黃金分割點(diǎn)，其中．11．如果點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)且，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（

）A． B．是和的比例中項(xiàng)C． D．【答案】C【分析】根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷即可．【解析】解：點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)且，是和的比例中項(xiàng)，，，故選項(xiàng)A、、不符合題意，選項(xiàng)C符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12．若，設(shè)，，，則、、的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，設(shè)x=2a，y=7a，z=5a，進(jìn)而代入A，B，C分別求出即可．【解析】解：∵，設(shè)x=2a，y=7a，z=5a，∴=，==1，==2．∴A＜B＜C．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例式用同一個(gè)未知數(shù)得出x，y，z的值進(jìn)而求出是解題的關(guān)鍵．13．如圖，以線段為邊作正方形，取的中點(diǎn)E，連接，延長(zhǎng)至F，使得，以為邊作正方形，則點(diǎn)H即是線段的黃金分割點(diǎn).若記正方形的面積為，矩形的面積為，則與的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)H是的黃金分割點(diǎn)求出，求出，最后對(duì)比即可解答．【解析】解：∵點(diǎn)H即是線段的黃金分割點(diǎn)，∴，∵，∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)、黃金分割點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，利用黃金分割點(diǎn)的定義得到是解答本題的關(guān)鍵．14．“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖（1），點(diǎn)把線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．如圖（2），點(diǎn)分別是線段的黃金分割點(diǎn)，（），若，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題中黃金分割點(diǎn)定義，在圖（1）中令，設(shè)，，即，解得，從而，得到黃金分割比由點(diǎn)分別是線段的黃金分割點(diǎn)，可知，，，則，，，根據(jù)，代入求解即可得到，，．【解析】解：如圖（1），點(diǎn)把線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，令，設(shè)，則，則由，代值得，解得，，，點(diǎn)分別是線段的黃金分割點(diǎn)，，，，，，，將，代入求解即可得到，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題查處黃金分割點(diǎn)定義，涉及黃金分割比求解及利用黃金分割比求線段長(zhǎng)，讀懂題意，理解黃金分割點(diǎn)定義得到比例是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．二、填空題15．如果，那么________．【答案】【解析】．設(shè)，則．16．已知線段長(zhǎng)是是線段上的一點(diǎn)，且滿足那么長(zhǎng)為_(kāi)___．【答案】【分析】先證出點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，再由黃金分割點(diǎn)的定義得到，把AB=2代入計(jì)算即可．【解析】解：∵點(diǎn)P在線段AB上，AP2=AB?BP，∴點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP＞BP，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念：如果一個(gè)點(diǎn)把一條線段分成兩條線段，并且較長(zhǎng)線段是較短線段和整個(gè)線段的比例中項(xiàng)，那么就說(shuō)這個(gè)點(diǎn)把這條線段黃金分割，這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn)，較長(zhǎng)線段是整個(gè)線段的倍．17．已知點(diǎn)是線段上的黃金分割點(diǎn)，且，，那么_____．【答案】/【分析】根據(jù)黃金分割的定義，把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．【解析】解：點(diǎn)是線段上的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的概念，熟記黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．18．已知點(diǎn)是線段上的黃金分割點(diǎn)，且，，那么的長(zhǎng)度是________．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)定義，知是較長(zhǎng)線段，則代入求出，再利用即可求出．【解析】由于為線段的黃金分割點(diǎn)，且是較長(zhǎng)線段，則，∴；故答案是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金分割的應(yīng)用，準(zhǔn)確求出較長(zhǎng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．19．已知線段AB=2cm，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則線段AC等于__________cm【答案】(-1)或(3-)【分析】分AC＞BC、AC＜BC兩種情況，根據(jù)黃金比值計(jì)算即可．【解析】當(dāng)AC＞BC時(shí)，AC==當(dāng)AC＜BC時(shí)，AC=AB-AB=，∴線段AC的值為：-1（cm）或3-（cm）．故答案為：-1（cm）或3-（cm）．【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割，掌握黃金比值是解題的關(guān)鍵．20．已知點(diǎn)P把線段分割成和（）兩段，如果是和的比例中項(xiàng)，那么的值等于___________．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的概念和黃金比是解答即可．【解析】解：∵點(diǎn)把線段分割成和兩段()，其中是與的比例中項(xiàng)，∴點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割比，是與的比例中項(xiàng)即點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，理解并熟記黃金分割比是解本題的關(guān)鍵．21．五角星是我們生活中常見(jiàn)的一種圖形，如圖五角星中，點(diǎn)C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點(diǎn)，已知黃金比為，且AB＝2，則圖中五邊形CDEFG的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點(diǎn)，可得AC=BD=AB，BC=AB，再根據(jù)CD=BD-BC求出CD的長(zhǎng)度，然后乘以5即可求解．【解析】∵點(diǎn)C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點(diǎn)，∴AC=BD=AB=，BC=AB，∴CD=BD﹣BC=()﹣()=2﹣4，∴五邊形CDEFG的周長(zhǎng)=5（2﹣4）=10﹣20．故答案為：10﹣20．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點(diǎn)把線段分為較長(zhǎng)線段和較短線段，若較長(zhǎng)線段是較短線段和整個(gè)線段的比例中項(xiàng)，則這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn)．22．若，給出下列各式：①；②；③；④，其中正確的是________.（填寫(xiě)所有正確的序號(hào)）【答案】①②④【分析】根據(jù)等比性質(zhì)判斷即可.【解析】解：由比例的性質(zhì)易知①正確；由已知得，再由等比性質(zhì)可知②④正確；，故③是錯(cuò)誤的.【點(diǎn)睛】本題考查了等比性質(zhì)的靈活應(yīng)用，其中由已知式變形得到是判斷的關(guān)鍵.23．，，，，，滿足關(guān)系：，則代數(shù)式的值是______．【答案】【分析】根據(jù)等比性質(zhì)求解求解即可．【解析】∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比性質(zhì)，掌握并應(yīng)用等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問(wèn)題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，使得其中較長(zhǎng)的一段是全長(zhǎng)與較短的段的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分制”數(shù)．把點(diǎn)G稱為線段的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在中，D是邊的“黃金分割”點(diǎn)，若，且，則的長(zhǎng)度是____________．【答案】/【分析】如圖，過(guò)作于再根據(jù)黃金分割點(diǎn)的含義求解結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：如圖，過(guò)作于∵為的黃金分割點(diǎn)，∴∴∵∴∴∴而∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割點(diǎn)的含義，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理分應(yīng)用，二次根式的混合運(yùn)算，熟練的利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．三、解答題25．如果，且，求的值．【答案】【分析】設(shè)比值為k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k的值，從而得到a、b、c的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解析】解：設(shè)＝k（k≠0），則a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入得，6k?6k＋4k＝8，解得k＝2，所以，a＝4，b＝6，c＝8，所以，＝4-6+8＝6．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，此類題目，利用“設(shè)k法”求解更簡(jiǎn)便．26．（1）已知線段a＝2，b＝9，求線段a，b的比例中項(xiàng)．（2）已知x：y＝4：3，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)線段x是線段a，b的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列出等式，利用兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積即可得出答案．（2）設(shè)x＝4k，y＝3k，代入計(jì)算，于是得到結(jié)論．【解析】解：（1）設(shè)線段x是線段a，b的比例中項(xiàng)，∵a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，x＝（負(fù)值舍去）．∴線段a，b的比例中項(xiàng)是3．（2）設(shè)x＝4k，y＝3k，∴＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．【答案】【分析】根據(jù)x：y：z＝3：5：7設(shè)x＝3k、y＝5k、z＝7k，然后代入化簡(jiǎn)求解即可．【解析】∵x：y：z＝3：5：7，∴設(shè)x＝3k、y＝5k、z＝7k，∴＝＝【點(diǎn)睛】此題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成含同一字母的式子．28．已知線段AB=10cm，點(diǎn)C是AB上的黃金分割點(diǎn)，求AC的長(zhǎng)是多少厘米？【答案】（）cm或（15?）cm【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AC可能是較長(zhǎng)線段，也可能是較短線段；則AC＝或AC＝10?（）＝15?．【解析】解：根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，應(yīng)有兩種情況，當(dāng)AC是較長(zhǎng)線段時(shí)，AC＝；當(dāng)AC是較短線段時(shí)，則AC＝10?（）＝15?．故答案為：（）cm或（15?）cm．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割點(diǎn)的概念．注意這里的AC可能是較長(zhǎng)線段，也可能是較短線段；熟記黃金比的值是解題的關(guān)鍵．29．如圖，在線段上有一點(diǎn)，若，則稱點(diǎn)為的黃金分割點(diǎn)，現(xiàn)已知，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知為較長(zhǎng)線段；則，代入數(shù)據(jù)即可得出的值．【解析】解：為線段的黃金分割點(diǎn)，且，為較長(zhǎng)線段，【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義：把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項(xiàng)（即），叫做把線段黃金分割，點(diǎn)C叫做線段的黃金分割點(diǎn)．其中是需要熟記的內(nèi)容．30．（1）已知，求的值．

（2）已知，求的值．【答案】（1）﹣；（2）【分析】（1）依據(jù)比例的性質(zhì)可得到2b=1.5a，然后代入計(jì)算即可；（2）設(shè)=k（k≠0