上海市浦東新區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷（含答案）

上海市浦東新區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三總分評(píng)分一、填空題1．過(guò)平面外一點(diǎn)與該平面平行的平面有個(gè)．2．小王做投針實(shí)驗(yàn)，觀察針壓住平行線的次數(shù)，所得的數(shù)據(jù)是．（用“觀測(cè)數(shù)據(jù)”或“實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)”填空）3．某藥物公司實(shí)驗(yàn)一種降低膽固醇的新藥，在500個(gè)病人中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如下表所示.膽固醇降低的人數(shù)沒(méi)有起作用的人數(shù)膽固醇升高的人數(shù)30712073則使用藥物后膽固醇降低的經(jīng)驗(yàn)概率等于.4．已知球的表面積為36π，則該球的體積為.5．“二十四節(jié)氣歌”是以“春、夏、秋、冬”開(kāi)始的四句詩(shī).某校高二共有學(xué)生400名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問(wèn)二十四節(jié)氣歌，只能說(shuō)出一句的有45人，能說(shuō)出兩句及以上的有38人，據(jù)此估計(jì)該校高二年級(jí)的400名學(xué)生中，對(duì)“二十四節(jié)氣歌”一句也說(shuō)不出的有人.6．某校高二（1）班為了調(diào)查學(xué)生線上授課期間的體育鍛煉時(shí)間的差異情況，抽取了班級(jí)5名同學(xué)每周的體育鍛煉時(shí)間，分別為6，6.5，7，7，8.5（單位：小時(shí)），則可以估計(jì)該班級(jí)同學(xué)每周的體育鍛煉時(shí)間的方差為．7．已知一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則它的直觀圖的面積為．8．已知大小為π6的二面角的一個(gè)面內(nèi)有一點(diǎn)，它到二面角的棱的距離為6，則這個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)面的距離為9．“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.二十四等邊體就是一種半多正多面體．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體截去八個(gè)一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則該幾何體的體積為．10．已知事件A、B互斥，P(A∪B)=35，且P(A)=2P(B)，則P(11．小明和小王在課余玩象棋比賽，可以采用“五局三勝制”或“三局兩勝制”.相對(duì)而言，小明棋藝稍弱，每一局贏的概率都僅為0.4.小明為了讓自己在比賽中贏的幾率更大些，應(yīng)該提議采用12．如圖，有一邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCO，D，E分別為AO、AB的中點(diǎn).按圖中的虛線翻折，使得①三棱錐的表面積為4；②三棱錐的體積為13③三棱錐的外接球表面積為6π；④三棱錐的內(nèi)切球半徑為1.則以上結(jié)論中，正確結(jié)論是.（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）二、單選題13．小明同學(xué)每天閱讀數(shù)學(xué)文化相關(guān)的書籍，他每天閱讀的頁(yè)數(shù)分別為：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（單位：頁(yè)）.下列圖形中不利于描述這些數(shù)據(jù)的是（）A．條形圖 B．莖葉圖 C．散點(diǎn)圖 D．扇形圖14．下列說(shuō)法正確的是（）A．過(guò)球面上任意兩點(diǎn)與球心，有且只有一個(gè)大圓B．底面是正多邊形，側(cè)棱與底面所成的角均相等的棱錐是正棱錐C．用一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)D．以直角三角形任意一邊為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體都是圓錐15．某校組織了一次航空知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩個(gè)班級(jí)各派8名同學(xué)代表參賽．兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)課代表合作，將甲、乙兩班所有參賽同學(xué)的得分繪制成如圖所示的莖葉圖，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．甲班參賽同學(xué)得分的極差比乙班參賽同學(xué)得分的極差小B．甲班參賽同學(xué)得分的中位數(shù)比乙班參賽同學(xué)得分的中位數(shù)低C．甲班參賽同學(xué)得分的平均數(shù)為84D．乙班參賽同學(xué)得分的第75百分位數(shù)為8916．先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣4次，得到以下結(jié)論：①可以從不同的觀察角度寫出不同的樣本空間②事件“至少2次正面朝上”與事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”與事件”4次反面朝上”是對(duì)立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”發(fā)生的概率是1以上結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)17．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線l：(a?2)x+(A．[0，22] B．(0，218．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B為平面上兩點(diǎn)，且OA?OB=0，M為線段AB中點(diǎn)，其坐標(biāo)為(a，b)A．55 B．255 C．3三、解答題19．如圖，在正方體ABCD?A1B1C（1）求異面直線BD1與（2）判斷BD1與平面20．不透明的盒子中有標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的4個(gè)大小與質(zhì)地相同的球.（1）甲隨機(jī)摸出一個(gè)球，放回后乙再隨機(jī)摸出一個(gè)球，求兩球編號(hào)均為奇數(shù)的概率；（2）甲、乙兩人進(jìn)行摸球游戲，游戲規(guī)則是：甲先隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為m，放回后乙再隨機(jī)摸出一個(gè)球，也記下編號(hào)，設(shè)編號(hào)為n.如果m+n>5，算甲贏；否則算乙贏.這種游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.21．如圖，在直角△AOB中，∠OAB=π6，斜邊AB=8，D是AB中點(diǎn)，現(xiàn)將直角△AOB以直角邊AO為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐.點(diǎn)C為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，且（1）求圓錐的體積與側(cè)面積；（2）求直線CD與平面BOC所成的角的正切值.22．法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“閱讀優(yōu)秀的書籍，就是和過(guò)去時(shí)代中最杰出的人們——書籍的作者一一進(jìn)行交談，也就是和他們傳播的優(yōu)秀思想進(jìn)行交流”.閱讀會(huì)讓精神世界閃光．某大學(xué)為了解大一新生的閱讀情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位大一新生，對(duì)這些學(xué)生每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示：（1）求a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校大一新生每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)（精確到0.1）（單位：分鐘）；（3）為了進(jìn)一步了解大一新生的閱讀方式，該大學(xué)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于分組[50，60)，[6023．如圖，已知四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD.（1）求證：AC⊥CD；（2）《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，若此“鱉臑”中，AB=BC=CD=1，有一根彩帶經(jīng)過(guò)面ABC與面ACD，且彩帶的兩個(gè)端點(diǎn)分別固定在點(diǎn)B和點(diǎn)D處，求彩帶的最小長(zhǎng)度；（3）若在此四面體中任取兩條棱，記它們互相垂直的概率為P1；任取兩個(gè)面，記它們互相垂直的概率為P2；任取一個(gè)面和不在此面上的一條棱，記它們互相垂直的概率為P3.試比較概率P1、

答案解析部分1．【答案】1【解析】【解答】由面面平行的傳遞性知，若平面α∥平面β，平面α∥平面γ，則平面β∥平面γ，假設(shè)過(guò)平面外一點(diǎn)與該平面平行的平面不止一個(gè)，則這些平面均相交，與上述結(jié)論相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以過(guò)平面外一點(diǎn)與該平面平行的平面有1個(gè)．故答案為：1．

【分析】假設(shè)過(guò)平面外一點(diǎn)與該平面平行的平面不止一個(gè)，由面面平行的性質(zhì)推出矛盾，得出結(jié)果為1.2．【答案】實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)【解析】【解答】由題意，小王做具體投針實(shí)驗(yàn)，觀察針壓住平行線的次數(shù)，所得的數(shù)據(jù)是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).故答案為：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

【分析】根據(jù)具體的實(shí)驗(yàn)，得到具體的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).3．【答案】307【解析】【解答】依題意使用藥物后膽固醇降低的人數(shù)為307，又試驗(yàn)總次數(shù)為500，所以使用藥物后膽固醇降低的經(jīng)驗(yàn)概率等于307500故答案為：307

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式可求出答案.4．【答案】【解析】【解答】設(shè)球半徑為R，∵球的表面積為36π，∴4πR∴R=3，∴該球的體積為V=4故答案為：36π．【分析】根據(jù)球的表面積求出球的半徑，代入即可求出球的體積.5．【答案】68【解析】【解答】由題意可知，隨機(jī)抽查100名學(xué)生中有100?45?38=17人一句也說(shuō)不出，又抽查比例為4：所以，該校高二年級(jí)的400名學(xué)生中共有17×400故答案為：68

【分析】根據(jù)題意可知，隨機(jī)抽查比例是4：6．【答案】0.7【解析】【解答】解：數(shù)據(jù)為6，6.5，7，7，8.5，所以平均數(shù)為：15則方差為S2故答案為：0.7

【分析】先求出數(shù)據(jù)的平均數(shù)位7，利用方差的公式求解即可.7．【答案】2【解析】【解答】由題意可知，原圖形面積為S=2又直觀圖面積是原圖形面積的24倍，所以直觀圖的面積為4×故答案為：2

【分析】根據(jù)直觀圖面積是原圖形面積的248．【答案】3【解析】【解答】如圖，設(shè)二面角α?l?β為π6，點(diǎn)A∈α，且AB⊥l，AB=6過(guò)點(diǎn)A作AC⊥平面β，垂足為C，連接BC，∵AC⊥平面β，l，∴AC⊥l，又∵AB⊥l，AB∩AC=A，∴l(xiāng)⊥平面ABC，BC?平面ABC，則l⊥BC，故二面角α?l?β的平面角為∠ABC=π在Rt△ABC中，AC=ABsin故點(diǎn)A到平面β的距離為3.故答案為：3.【分析】作出圖形，根據(jù)題意結(jié)合直角三角形運(yùn)算求解.9．【答案】5【解析】【解答】棱長(zhǎng)為1的正方體截去八個(gè)一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則該幾何體的體積為V=V故答案為：5

【分析】利用割補(bǔ)法可得二十四等邊體的體積，計(jì)算即可得解.10．【答案】4【解析】【解答】解：∵事件A、B互斥，且P(A)=2P(B)，∵P(A∪B)=P(A)+P(B)=3P(B)=∴解得P(B)=1∴P(B故答案為：45

【分析】由已知事件A、B互斥，且P(A)=2P(B)，可求P(B)=111．【答案】三局兩勝制【解析】【解答】因?yàn)樾∶髅恳痪众A的概率都為0.4，所以采用“三局兩勝制”時(shí)小明獲勝的概率為C2所以小明選擇“三局兩勝制”時(shí)在比賽中贏的幾率更大些，故答案為：三局兩勝制.

【分析】分別計(jì)算出“三局兩勝制”和“五局三勝制”下小明贏的概率，比較概率大小，確定選法.12．【答案】①②③【解析】【解答】根據(jù)題意可知，三棱錐的表面積與正方形ABCO的面積相等為4，即①正確；設(shè)A，B，O三點(diǎn)重合于點(diǎn)易知CP=2，根據(jù)幾何關(guān)系可知CP⊥PD，CP⊥PE，PD∩PE=P所以三棱錐的體積V=13S由CP⊥PD，CP⊥PE，設(shè)三棱錐的外接球半徑為R，則滿足C所以，其表面積為4πR2=6π設(shè)三棱錐的內(nèi)切球半徑為r，由①知三棱錐的表面積為S=4利用等體積法可知V=13r所以三棱錐的內(nèi)切球半徑為14，即④故答案為：①②③

【分析】根據(jù)折疊規(guī)則可確定三棱錐的表面積與原正方形面積相等，即可判斷①；再利用垂直關(guān)系找出三棱錐的底面積和高可求得其體積，能判斷②；利用三條棱兩兩垂直可構(gòu)造長(zhǎng)方體求外接球的半徑，即可判斷③；利用等體積法可求得三棱錐的內(nèi)切球半徑判斷④，得出結(jié)論.13．【答案】C【解析】【解答】條形圖：是用寬度相同的條形的高度（或長(zhǎng)度）表示數(shù)據(jù)的頻數(shù)，故符合題意；莖葉圖：即可以保留原始數(shù)據(jù)又可以方便記錄數(shù)據(jù)，故符合題意；散點(diǎn)圖：用兩組數(shù)據(jù)構(gòu)成多個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，通常用于比較跨類別的成對(duì)數(shù)據(jù)，不符合題意；扇形圖：是用整個(gè)圓表示總體，用圓內(nèi)各個(gè)扇形的大小表示各個(gè)部分占總體的百分?jǐn)?shù)，扇形圖可以容易看出各個(gè)部分所占總體的比例，故符合題意；故答案為：C.

【分析】根據(jù)相關(guān)圖的特征理解判斷.14．【答案】B【解析】【解答】球面上兩點(diǎn)與球心共線時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)大圓，A不符合題意.底面是正多邊形，側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，所以是正棱錐，B符合題意.用一個(gè)平行于底面的平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái)，C不符合題意.以直角三角形任意一直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體都是圓錐，D不符合題意.故答案為：B

【分析】根據(jù)空間幾何體的概念和性質(zhì)可判斷.15．【答案】D【解析】【解答】對(duì)A，甲班參賽同學(xué)得分的極差為93?76=17，乙班參賽同學(xué)得分的極差為94?71=23，故正確；對(duì)B，甲班參賽同學(xué)得分的中位數(shù)是82+842=83，乙班參賽同學(xué)得分的中位數(shù)是對(duì)C，甲班參賽同學(xué)得分的平均數(shù)為76+79+80+82+84+88+90+938對(duì)D，乙班參賽同學(xué)得分為71，80，81，82，85，89，90，94，8×34=6故答案為：D

【分析】A.利用極差的定義求解判斷；B.利用中位數(shù)的定義求解判斷；C.利用平均數(shù)的定義求解判斷；D.利用百分位數(shù)的定義求解判斷.16．【答案】C【解析】【解答】①本實(shí)驗(yàn)是一個(gè)古典概型，可只考慮正反面出現(xiàn)的次數(shù)或既考慮次數(shù)也考慮順序，所以可以從不同的觀察角度寫出不同的樣本空間，故正確；②事件“至少2次正面朝上”為2正2反，3正1反，4正，事件“至少2次反面朝上”為2反2正，3反1正，4反，不互斥，故錯(cuò)誤；③事件“至少1次正面朝上”為1正3反，2正2反，3正1反，4正，與事件“4次反面朝上”互為對(duì)立事件，故正確；④樣本空間為“4反，1正3反，2正2反，3正1反，4正”，共4種，事件“1次正面朝上3次反面朝上”有1種，所以事件“1次正面朝上3次反面朝上”發(fā)生的概率是14故答案為：C.

【分析】①本實(shí)驗(yàn)是一個(gè)古典概型，考慮正反面出現(xiàn)的次數(shù)及順序有關(guān)或無(wú)關(guān)判斷；②分別列舉事件“至少2次正面朝上”和事件“至少2次反面朝上”判斷；③列舉事件“至少1次正面朝上”判斷；④利用古典概型的概率求解判斷.17．【答案】D【解析】【解答】直線l：(a?2)x+(a+1)y+6=0，即令x+y=0?2x+y+6=0，解得x=2即直線l：(a?2)x+(a+1)y+6=0過(guò)定點(diǎn)由過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線l：(a?2)x+(a+1)y+6=0的垂線，垂足為可知：H(而以O(shè)A為直徑的圓為(x+1故m2+n而圓過(guò)原點(diǎn)，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為|OA但將原點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l：(a?2)即直線l不過(guò)原點(diǎn)，所以H(故m2故答案為：D

【分析】直線l：(a?2)x+(a+1)y+6=0過(guò)定點(diǎn)A(2，?2)，由題意可知H18．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)镺A?OB=0，所以O(shè)A因?yàn)镸為線段AB中點(diǎn)，坐標(biāo)為(a，b)，則|OM|=|2a+b?4|幾何意義為圓M的半徑與點(diǎn)M到直線2x+y?4=0的距離相等，即圓M與直線2x+y?4=0相切，則圓M的半徑最小值為點(diǎn)O到直線2x+y?4=0的距離的一半，即|?4|1+4故答案為：B

【分析】由題意得以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O，由5|OM|=|2a+b?4|得|OM|=|2a+b?4|519．【答案】（1）解：因?yàn)锽B1//CC1，所以∠設(shè)BB1=a，則B1D所以異面直線BD1與CC1所成的角為arctan2（2）解：BD1連接BD，交AC于O，連接OE，在△BDD1中，O，E分別為BD、DD1中點(diǎn)，因?yàn)镺E?平面AEC上，而BD1?由直線與平面平行的判定定理得，BD1//【解析】【分析】（1）因?yàn)锽B1//CC1，所以∠B1BD1就是異面直線BD1與CC1所成的角，在三角形△BB1D20．【答案】（1）解：設(shè)事件兩球編號(hào)均為奇數(shù)為事件A，由已知隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為(1，1)，(1，2)，所以事件兩球編號(hào)均為奇數(shù)的概率為14（2）解：由(1)事件m+n>5包含基本事件(2，4)，所以事件甲贏的概率為38，故事件乙贏的概率為5因?yàn)槭录宗A的概率與事件乙贏的概率不相等，所以這種游戲規(guī)則不公平.【解析】【分析】(1)列出樣本空間，根據(jù)古典概型概率公式求事件兩球編號(hào)均為奇數(shù)的概率；

(2)由(1)分別求出事件甲贏和乙贏的概率，比較概率大小判斷游戲是否公平.21．【答案】（1）解：由題意可得OB=4，所以底面圓面積S=π?OB2=16π所以圓錐的體積為V=1圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的半徑為R=AB=8，弧長(zhǎng)為底面圓周長(zhǎng)l=2π?OB=8π圓錐的側(cè)面積為S側(cè)（2）解：取BO中點(diǎn)H，連接DH，在△AOB中，中位線DH//AO，易知AO⊥可得DH⊥平面BOC，所以∠DCH即為直線CD與平面BOC所成的角，易知DH=12AO=23，又所以tan∠DCH=所以直線CD與平面BOC所成的角的正切值為155【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的幾何特征可求得圓錐底面積和高，利用圓錐體積公式可求得體積，再利用側(cè)面展開(kāi)圖和扇形面積公式可得側(cè)面積；

（2）取BO中點(diǎn)H，連接DH，CH，根據(jù)線面角的定義得∠DCH即為直線CD與平面BOC所成的角，在直角三角形22．【答案】（1）解：因?yàn)轭l率分布直方圖的所有矩形面積之和為1，所以(0得a=0.（2）解：各區(qū)間的中點(diǎn)值為55、65、75、85、95對(duì)應(yīng)的頻數(shù)分別為10、20、45、20、5這100名大一新生每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)為55×10+65×20+75×45+85×20+95×5所以估計(jì)該校大一新生每天閱讀時(shí)間的平均數(shù)為74分鐘.（3）解：由題意，閱讀時(shí)間位于分組[50，60)，10人、20人、20人，因此[50[60[80再?gòu)闹腥芜x2人