2020年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學一模試卷

第1頁（共1頁）2020年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學一模試卷一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1．（4分）若集合A＝{x|0＜x＜3}，集合B＝{x|x＜2}，則A∩B＝．2．（4分）＝．3．（4分）復數(shù)z滿足z?i＝1+i（i為虛數(shù)單位），則|z|＝．4．（4分）若關于x、y的方程組為，則該方程組的增廣矩陣為．5．（4分）設{an}是等差數(shù)列，且a1＝3，a3+a5＝18，則an＝．6．（4分）在（x+）6的二項展開式中，常數(shù)項為．7．（5分）如果圓錐的底面圓半徑為1，母線長為2，則該圓錐的側面積為．8．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，﹣，，，1，2，3}，任取k∈A，則冪函數(shù)f（x）＝xk為偶函數(shù)的概率為（結果用數(shù)值表示）．9．（5分）在△ABC中，邊a、b、c滿足a+b＝6，∠C＝120°，則邊c的最小值為．10．（5分）若函數(shù)y＝ax+2a﹣存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是．11．（5分）已知數(shù)列{an}，a1＝1，nan+1＝（n+1）an+1，若對于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為．12．（5分）如果方程組有實數(shù)解，則正整數(shù)n的最小值是．二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13．（5分）若命題甲：x﹣1＝0，命題乙：lg2x﹣lgx＝0，則命題甲是命題乙的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分也非必要條件14．（5分）已知函數(shù)f﹣1（x）為函數(shù)f（x）的反函數(shù)，且函數(shù)f（x﹣1）的圖象經過點（1，1），則函數(shù)f﹣1（x）的圖象一定經過點（）A．（0，1） B．（1，0） C．（1，2） D．（2，1）15．（5分）以拋物線y2＝4x的焦點為右焦點，且長軸為4的橢圓的標準方程為（）A． B． C． D．16．（5分）動點A（x，y）在圓x2+y2＝1上繞坐標原點作逆時針勻速圓周運動，旋轉一周的時間恰好是12秒，已知時間t＝0時，點A的坐標是，則動點A的縱坐標y關于t（單位：秒）的函數(shù)在下列哪個區(qū)間上單調遞增（）A．[0，3] B．[3，6] C．[6，9] D．[9，12]三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，點E是線段SD上任意一點．（1）求證：AC⊥BE；（2）試確定點E的位置，使BE與平面ABCD所成角的大小為30°．18．（14分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，，若函數(shù)f（x）的圖象經過點（B，2），求△ABC的面積．19．（14分）某貧困村共有農戶100戶，均從事水果種植，平均每戶年收入為1.8萬元，在當?shù)卣罅Ψ龀趾鸵龑?，村委會決定2020年初抽出5x戶（x∈N*，x≤9）從事水果銷售工作，經測算，剩下從事水果種植的農戶平均每戶年收入比上一年提高了4x%，而從事水果銷售的農戶平均每戶年收入為萬元．（1）為了使從事水果種植的農戶三年后平均每戶年收入不低于2.4萬元，那么2020年初至少應抽出多少農戶從事水果銷售工作？（2）若一年后，該村平均每戶的年收入為f（x）（萬元），問f（x）的最大值是否可以達到2.1萬元？20．（16分）已知曲線C：x2﹣y2＝1，過點T（t，0）作直線l和曲線C交于A、B兩點．（1）求曲線C的焦點到它的漸近線之間的距離；（2）若t＝0，點A在第一象限，AH⊥x軸，垂足為H，連結BH，求直線BH傾斜角的取值范圍；（3）過點T作另一條直線m，m和曲線C交于E、F兩點，問是否存在實數(shù)t，使得＝0和||＝||同時成立？如果存在，求出滿足條件的實數(shù)t的取值集合，如果不存在，請說明理由．21．（18分）定義f（a1，a2，…，an）＝|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+…+|an﹣1﹣an|（n∈N，n≥3）為有限實數(shù)列{an}的波動強度．（1）求數(shù)列1，4，2，3的波動強度；（2）若數(shù)列a，b，c，d滿足（a﹣b）（b﹣c）＞0，判斷f（a，b，c，d）≤f（a，c，b，d）是否正確，如果正確請證明，如果錯誤請舉出反例；（3）設數(shù)列a1，a2，…，an是數(shù)列1+21，2+22，3+23，…，n+2n的一個排列，求f（a1，a2，…，an）的最大值，并說明理由．

2020年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一.填空題（本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1．（4分）若集合A＝{x|0＜x＜3}，集合B＝{x|x＜2}，則A∩B＝（0，2）．【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝（0，2）．故答案為：（0，2）．【點評】本題考查了描述法、區(qū)間的定義，交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎題．2．（4分）＝．【解答】解：＝＝．故答案為：．【點評】本題考查數(shù)列極限的運算法則的應用，是基本知識的考查，基礎題．3．（4分）復數(shù)z滿足z?i＝1+i（i為虛數(shù)單位），則|z|＝．【解答】解：由iz＝1+i得，＝1﹣i，故|z|＝，故答案為：．【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的運算、復數(shù)求模，屬基礎題．4．（4分）若關于x、y的方程組為，則該方程組的增廣矩陣為．【解答】解：關于x、y的方程組為，所以該方程組的增廣矩陣為．故答案為【點評】本題考查的知識要點：二元方程的應用，矩陣的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型．5．（4分）設{an}是等差數(shù)列，且a1＝3，a3+a5＝18，則an＝2n+1．【解答】解：∵{an}是等差數(shù)列，且a1＝3，a3+a5＝18，∴2a1+6d＝18，∴d＝2，則an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．故答案為：2n+1【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的簡單應用，屬于基礎試題．6．（4分）在（x+）6的二項展開式中，常數(shù)項為15．【解答】解：（x+）6的二項展開式中，通項公式為Tr+1＝?，令6﹣＝0，可得r＝4，故展開式中的常數(shù)項為＝15，故答案為：15．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．7．（5分）如果圓錐的底面圓半徑為1，母線長為2，則該圓錐的側面積為2π．【解答】解：由圓錐的側面積公式S＝LR＝×（2πr）×R＝×2π×1×2＝2π．故答案為：2π【點評】考查圓錐的側面積公式，屬于基礎題．8．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，﹣，，，1，2，3}，任取k∈A，則冪函數(shù)f（x）＝xk為偶函數(shù)的概率為（結果用數(shù)值表示）．【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，﹣，，，1，2，3}，任取k∈A，基本事件總數(shù)n＝8，冪函數(shù)f（x）＝xk為偶函數(shù)包含的基本事件個數(shù)m＝2，∴冪函數(shù)f（x）＝xk為偶函數(shù)的概率為P＝＝．故答案為：．【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．9．（5分）在△ABC中，邊a、b、c滿足a+b＝6，∠C＝120°，則邊c的最小值為．【解答】解：a+b＝6，∠C＝120°，∴＝9，當且僅當a＝b時取等號，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab×cos120°，＝（a+b）2﹣ab，＝36﹣ab≥36﹣9＝27，∴則邊c的最小值3．故答案為：3．【點評】本題主要考查了基本不等式求解最值，還考查了余弦定理在求解最值中的應用，屬于中檔試題．10．（5分）若函數(shù)y＝ax+2a﹣存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是．【解答】解：根據(jù)題意，若函數(shù)y＝ax+2a﹣存在零點，即方程ax+2a﹣＝0有解，則函數(shù)y＝a（x+2）與y＝有交點，函數(shù)y＝a（x+2），其幾何意義為直線y＝a（x+2），過點（0，﹣2），斜率為a的直線，函數(shù)y＝，變形可得x2+y2＝1，（y≥0），為圓x2+y2＝1的上半部分，如圖：必有，解可得：0≤a≤，即a的取值范圍為[0，]；故答案為：[0，]．【點評】本題考查函數(shù)與方程的關系以及函數(shù)的零點，涉及直線與圓的位置關系，屬于綜合題．11．（5分）已知數(shù)列{an}，a1＝1，nan+1＝（n+1）an+1，若對于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（﹣∞，﹣1]．【解答】解：數(shù)列{an}，a1＝1，nan+1＝（n+1）an+1，，，∴，，，…，，累加可得，∴3﹣a?2t≥2，即a?2t≤1，∵a∈[﹣2，2]，∴2?2t≤1?t≤﹣1．故答案為：（﹣∞，﹣1]．【點評】本題考查數(shù)列遞推關系式的應用，數(shù)列與函數(shù)相結合的應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．12．（5分）如果方程組有實數(shù)解，則正整數(shù)n的最小值是90．【解答】解：∵442＝1936，452＝2025，∴從n＝89開始分析，當n＝89，（sinx1+2sinx2+…+nsinxn）max＝﹣1﹣2﹣3﹣…﹣44+45×0+46+47+…+89＝1980當n＝90，（sinx1+2sinx2+…+nsinxn）max＝﹣1﹣2﹣3﹣…﹣45+46+47+…+90＝2025當sinx1+2sinx2+…+nsinxn＝﹣1﹣2﹣3﹣…﹣42﹣43×0﹣44×0﹣45+46×0+47×0+48+49+…+90＝2019時，nmin＝90，故答案為：90【點評】考查方程組的求解，最值，屬于基礎題．二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13．（5分）若命題甲：x﹣1＝0，命題乙：lg2x﹣lgx＝0，則命題甲是命題乙的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分也非必要條件【解答】解：若命題甲：x﹣1＝0，命題乙：lg2x﹣lgx＝0，①若命題甲：x﹣1＝0，則x＝1，lg2x﹣lgx＝lg21﹣lg1＝0，則命題甲：x﹣1＝0，能推出命題乙：lg2x﹣lgx＝0，成立；②若命題乙：lg2x﹣lgx＝0，則lgx（lgx﹣1）＝0，所以lgx＝0或lgx＝1，即x＝1或x＝10；命題乙：lg2x﹣lgx＝0，不能推出命題甲：x﹣1＝0成立，根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進行判斷．命題甲是命題乙的充分非必要條件；故選：A．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關鍵．14．（5分）已知函數(shù)f﹣1（x）為函數(shù)f（x）的反函數(shù)，且函數(shù)f（x﹣1）的圖象經過點（1，1），則函數(shù)f﹣1（x）的圖象一定經過點（）A．（0，1） B．（1，0） C．（1，2） D．（2，1）【解答】解：因為函數(shù)f（x﹣1）的圖象經過點（1，1），所以f（x）的圖象經過點（0，1），所以函數(shù)f﹣1（x）的圖象一定經過點（1，0）點，故選：B．【點評】本題考查反函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎題目，要會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)，掌握互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關系．15．（5分）以拋物線y2＝4x的焦點為右焦點，且長軸為4的橢圓的標準方程為（）A． B． C． D．【解答】解：由拋物線y2＝4x，得2p＝4，p＝2，∴焦點坐標為F（1，0），∴所求橢圓的右焦點為（1，0），即c＝1，又2a＝4，∴a＝2，則b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3．∴橢圓的標準方程為．故選：C．【點評】本題考查拋物線與橢圓的簡單性質，考查橢圓方程的求法，是基礎題．16．（5分）動點A（x，y）在圓x2+y2＝1上繞坐標原點作逆時針勻速圓周運動，旋轉一周的時間恰好是12秒，已知時間t＝0時，點A的坐標是，則動點A的縱坐標y關于t（單位：秒）的函數(shù)在下列哪個區(qū)間上單調遞增（）A．[0，3] B．[3，6] C．[6，9] D．[9，12]【解答】解：∵動點A（x，y）在圓x2+y2＝1上繞坐標原點沿逆時針方向勻速旋轉，故A＝1，12秒旋轉一周，故T＝12，ω＝，時間t＝0時，點A的坐標是（，），故φ＝；故動點A的縱坐標y關于t（單位：秒）的函數(shù)為：y＝sin（x+），由﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z得：x∈[﹣2+12k，2+12k]，k∈Z，即函數(shù)y＝sin（x+）的單調增區(qū)間為[﹣4+12k，2+12k]，k∈Z，∴k＝0，[﹣4.2]，k＝1，[8，14]．故選：D．【點評】本題考查的知識點是正弦型函數(shù)的解析式，復合函數(shù)的單調性，難度中檔．三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，點E是線段SD上任意一點．（1）求證：AC⊥BE；（2）試確定點E的位置，使BE與平面ABCD所成角的大小為30°．【解答】解：（1）證明：連結BD，∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，又∵SD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥SD．∵BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SBD．又∵BE?平面SED，∴AC⊥BE．（2）解：設DE＝t，∵SD⊥平面ABCD，∴BE與平面ABCD所成角為∠EBD．在Rt△EDB中，由tan∠EBD＝tan30°＝，解得t＝a．∴當ED＝a時，BE與平面ABCD所成角的大小為30°．【點評】本題考查線線垂直的證明，考查滿足角線面角的點的位置的確定與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．18．（14分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，，若函數(shù)f（x）的圖象經過點（B，2），求△ABC的面積．【解答】解：（1）＝，∴f（x）的最小正周期為，解得，，k∈Z，∴f（x）的單調遞增區(qū)間為，k∈Z；（2）∵f（x）的圖象經過點（B，2），∴，，且0＜B＜π，∴，∴，解得，∴，∴，∴△ABC的面積為．【點評】本題考查了二倍角的余弦公式，兩角和的正弦公式，函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的最小正周期的計算公式，正弦函數(shù)的單調遞增區(qū)間，向量數(shù)量積的計算公式，三角形的面積公式，考查了計算能力，屬于基礎題．19．（14分）某貧困村共有農戶100戶，均從事水果種植，平均每戶年收入為1.8萬元，在當?shù)卣罅Ψ龀趾鸵龑?，村委會決定2020年初抽出5x戶（x∈N*，x≤9）從事水果銷售工作，經測算，剩下從事水果種植的農戶平均每戶年收入比上一年提高了4x%，而從事水果銷售的農戶平均每戶年收入為萬元．（1）為了使從事水果種植的農戶三年后平均每戶年收入不低于2.4萬元，那么2020年初至少應抽出多少農戶從事水果銷售工作？（2）若一年后，該村平均每戶的年收入為f（x）（萬元），問f（x）的最大值是否可以達到2.1萬元？【解答】解：（1）根據(jù)題意，經過三年，種植戶的平均收入為1.8（1+4x%）3，即，解得，又因為x∈Z，所以x≥3，即至少抽出15戶貧困農戶從事水果銷售工作；（2），對稱軸，因而當x＝5時，f（x）max＝2.12＞2.1，可以達到2.1萬元．【點評】本題考查函數(shù)的實際應用，涉及到二次函數(shù)性質，屬于中檔題．20．（16分）已知曲線C：x2﹣y2＝1，過點T（t，0）作直線l和曲線C交于A、B兩點．（1）求曲線C的焦點到它的漸近線之間的距離；（2）若t＝0，點A在第一象限，AH⊥x軸，垂足為H，連結BH，求直線BH傾斜角的取值范圍；（3）過點T作另一條直線m，m和曲線C交于E、F兩點，問是否存在實數(shù)t，使得＝0和||＝||同時成立？如果存在，求出滿足條件的實數(shù)t的取值集合，如果不存在，請說明理由．【解答】解：（1）曲線C的焦點為，漸近線方程y＝±x，由對稱性，不妨計算到直線y＝x的距離，．（2）設l：y＝kx（0＜k＜1），A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），H（x1，0），從而．又因為點A在第一象限，所以0＜k＜1，從而，所以直線BH傾斜角的取值范圍是，（3）當直線l：y＝0，直線m：x＝t，．當直線l：x＝t，直線m：y＝0時，（根據(jù)對稱性，這種不討論不扣分）不妨設l：y＝k（x﹣t）（k≠0），與雙曲線聯(lián)立可得（1﹣k2）x2+2k2tx﹣（1+k2t2）＝0，由弦長公式，，將k替換成，可得，由|AB|＝|EF|，可得（t2﹣1）k2+1＝t2﹣1+k2，解得t2＝2，此時△＝4（k2t2﹣k2+1）＞0成立．因此滿足條件的集合為．【點評】本題考查直線與雙曲線的位置關系的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力，是難題．21．（18分）定義f（a1，a2，…，an）＝|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+…+|an﹣1﹣an|（n∈N，n≥3）為有限實數(shù)列{an}的波動強度．（1）求數(shù)列1，4，2，3的波動強度；（2）若數(shù)列a，b，c，d滿足（a﹣b）（b﹣c）＞0，判斷f（a，b，c，d）≤f（a，c，b，d）是否正確，如果正確請證明，如果錯誤請舉出反例；（3）設數(shù)列a1，a2，…，an是數(shù)列1+21，2+22，3+23，…，n+2n的一個排列，求f（a1，a2，…，an）的最大值，并說明理由．【解答】解：（1）f（1，4，2，3）＝|1﹣4|+|4﹣2|+|2﹣3|＝6（2）f（a，b，c，d）≤f（a，c，b，d）是正確的；解法1：f（a，b，c，d）﹣f（a，c，b，d）＝|a﹣b|+|c﹣d|﹣|a﹣c|﹣|b﹣d|，∵a＞b＞c或a＜b＜c，∴|a﹣b|﹣|a﹣c|＝﹣|b﹣c|，|c﹣d|﹣|b﹣d|≤|b﹣c|所以f（a，b，c，d）﹣f（a，c，b，d）≤0，即f（a，b，c，d）≤f（a，c，b，d）并且當b＞c時，d≥b可以取等號，當c＞b時，若d≤b可以取等號，所以等號可以取到；解法2：不妨設a＞b＞c，分4種情況討論[1]若d≥a，則f（a，b，c，d）﹣f（a，c，b，d）＝（a﹣b）+（d﹣c）﹣（a﹣c）﹣（d﹣b）＝0，∴f（a，b，c，d）＝f（a，c，b，d）；[2]若a＞d≥b，則f（a，b，c，d）﹣f（a，c，b，d）＝（a﹣b）+（d﹣c）﹣（a﹣c）﹣（d﹣b）＝0，∴f（a，b，c，d）＝f（a，c，b，d）；[3]若b＞d≥c，則f（a，b，c，d）﹣f（a，c，b，d）＝（a﹣b）+（d﹣c）﹣（a﹣c）﹣（b﹣d）＝2（d﹣b）＜0，∴f（a，b，c，d）＜f（a，c，b，d）；[4]若c＞d，則f（a，b，c，d）﹣f（a，c，b，d）＝（a﹣b）+（c﹣d）﹣（a﹣c）﹣（b﹣d）＝2（c﹣b）＜0，∴f（a，b，c，d）＜f（a，c，b，d）；（3）設，1