2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章概率單元質(zhì)量評(píng)估1課時(shí)作業(yè)含解析新人教B版選修2-3

其次章單元質(zhì)量評(píng)估(一)eq\o(\s\up7(時(shí)間：120分鐘總分：150分),\s\do5())第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(每小題5分，共60分)1．若隨機(jī)變量ξ的分布列如下表所示，則p1等于(B)ξ－124Peq\f(1,5)eq\f(2,3)p1A.0 B.eq\f(2,15)C.eq\f(1,15) D．12．已知離散型隨機(jī)變量ξ等可能取值1,2,3，…，n，若P(1≤ξ≤3)＝eq\f(1,5)，則n的值為(D)A．3 B．5C．10 D．15解析：由于ξ等可能取值1,2,3，…，n，∵P(1≤ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＝eq\f(3,n)＝eq\f(1,5)，∴n＝15.3．一袋中裝有大小相同，編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個(gè)球，從中有放回地每次取一個(gè)球，共取2次，則取得兩個(gè)球的編號(hào)和不小于15的概率為(D)A.eq\f(1,32) B.eq\f(1,64)C.eq\f(3,32) D.eq\f(3,64)解析：P＝eq\f(3,8×8)＝eq\f(3,64).4．兩人同時(shí)向一敵機(jī)射擊，甲的命中率為eq\f(1,5)，乙的命中率為eq\f(1,4)，則兩人中恰有一人擊中敵機(jī)的概率為(A)A.eq\f(7,20) B.eq\f(12,20)C.eq\f(1,21) D.eq\f(2,20)解析：所求事務(wù)的概率為eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))×eq\f(1,4)＝eq\f(3,20)＋eq\f(4,20)＝eq\f(7,20).5．在如圖所示的電路中，5只箱子表示保險(xiǎn)匣，箱中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率，當(dāng)開(kāi)關(guān)合上時(shí)，電路暢通的概率是(A)A.eq\f(29,36) B.eq\f(551,720)C.eq\f(29,72) D.eq\f(29,144)解析：當(dāng)開(kāi)關(guān)合上時(shí)，電路暢通，即A至B暢通，且B至C暢通，可求得A至B暢通的概率為P1＝1－eq\f(1,4)×[1－(1－eq\f(1,2))×(1－eq\f(1,3))]＝eq\f(5,6)，B至C暢通的概率為P2＝1－eq\f(1,5)×eq\f(1,6)＝eq\f(29,30)，所以電路暢通的概率為P＝P1P2＝eq\f(5,6)×eq\f(29,30)＝eq\f(29,36).6．若隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ01Pmn，其中m∈(0,1)，則下列結(jié)果中正確的是(C)A．E(ξ)＝m，D(ξ)＝n3B．E(ξ)＝n，D(ξ)＝n2C．E(ξ)＝1－m，D(ξ)＝m－m2D．E(ξ)＝1－m，D(ξ)＝m2解析：∵m＋n＝1，∴E(ξ)＝n＝1－m，D(ξ)＝m(0－n)2＋n(1－n)2＝m－m2.7．如圖所示是當(dāng)ξ取三個(gè)不同值ξ1，ξ2，ξ3的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖象，那么σ1，σ2，σ3的大小關(guān)系是(D)A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3解析：8．設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和eq\x\to(A)，P(A)＝p，令隨機(jī)變量ξ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A出現(xiàn)，,0，A不出現(xiàn)，))則ξ的方差為(D)A．p B．2p(1－p)C．－p(1－p) D．p(1－p)解析：ξ聽(tīng)從二點(diǎn)分布，即特別的二項(xiàng)分布N(1，p)，由二項(xiàng)分布的方差公式得D(ξ)＝p(1－p)．9．盒子中有10個(gè)大小相同的球，其中只有2個(gè)是紅球，甲、乙兩位同學(xué)各取一個(gè)不放回，已知甲先取出一個(gè)紅球，則乙再取到紅球的概率為(C)A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,9) D．0解析：甲、乙兩位同學(xué)各取一個(gè)不放回，甲先取一個(gè)是紅球，包含的基本領(lǐng)件數(shù)為2×9＝18，甲先取出一個(gè)紅球，乙再取到紅球包含的基本領(lǐng)件數(shù)為2×1＝2，故所求概率為eq\f(2,18)＝eq\f(1,9).10．隨機(jī)變量ξ的取值為0,1,2.若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)等于(B)A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,5)解析：設(shè)P(ξ＝1)＝x1，P(ξ＝2)＝x2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＋\f(1,5)＝1,x1＋2x2＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(3,5),x2＝\f(1,5))).D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).11．已知一次考試共有60名同學(xué)參與，考生成果X～N(110,52)，據(jù)此估計(jì)，大約有57人的分?jǐn)?shù)所在的區(qū)間為(C)A．(90,100] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]解析：∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5，∵eq\f(57,60)＝0.95≈P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝P(100<X≤120)，∴選C.12．有外形相同的球分裝三個(gè)盒子，每盒10個(gè)．其中，第一個(gè)盒子中7個(gè)球標(biāo)有字母A,3個(gè)球標(biāo)有字母B，其次個(gè)盒子中有紅球和白球各5個(gè)，第三個(gè)盒子中有紅球8個(gè)，白球2個(gè)．試驗(yàn)按如下規(guī)則進(jìn)行：先在第一號(hào)盒子中任取一球，若取得標(biāo)有字母A的球，則在其次號(hào)盒子中任取一個(gè)球；若第一次取得標(biāo)有字母B的球，則在第三號(hào)盒子中任取一個(gè)球．假如其次次取出的是紅球，則稱試驗(yàn)勝利，那么試驗(yàn)勝利的概率為(A)A．0.59 B．0.54C．0.8 D．0.15解析：試驗(yàn)勝利包括兩類：①?gòu)牡谝粋€(gè)盒子中取標(biāo)有字母A的球，從其次個(gè)盒子中取一個(gè)紅球；②從第一個(gè)盒子中取標(biāo)有字母B的球，從第三個(gè)盒子中取一個(gè)紅球．故試驗(yàn)勝利的概率為eq\f(7,10)×eq\f(5,10)＋eq\f(3,10)×eq\f(8,10)＝0.59.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(每小題5分，共20分)13．已知隨機(jī)變量ξ～B(5，eq\f(1,3))，隨機(jī)變量η＝2ξ－1，則E(η)＝eq\f(7,3).解析：E(ξ)＝eq\f(5,3)，E(η)＝2E(ξ)－1＝eq\f(7,3).14．已知A、B、C相互獨(dú)立，假如P(AB)＝eq\f(1,6)，P(eq\x\to(B)C)＝eq\f(1,8)，P(ABeq\x\to(C))＝eq\f(1,8)，則P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(1,3).解析：依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA·PB＝\f(1,6)，,1－PB·PC＝\f(1,8)，,PA·PB·1－PC＝\f(1,8)，))解得P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2).∴P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).15．設(shè)離散型隨機(jī)變量X～N(0,1)，則P(X≤0)＝eq\f(1,2)；P(－2<X<2)＝0.954.解析：正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為x＝0，∴P(X≤0)＝P(X>0)＝eq\f(1,2)；P(－2<X<2)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954.16．兩封信隨機(jī)投入A，B，C三個(gè)空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝eq\f(2,3).解析：ξ全部可能的取值為0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(2×2,3×3)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)×C\o\al(1,2),3×3)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,3×3)＝eq\f(1,9)，故E(ξ)＝0×eq\f(4,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(1,9)＝eq\f(2,3).三、解答題(寫出必要的計(jì)算步驟，只寫最終結(jié)果不得分，共70分)17．(10分)某班從6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任選3人參與學(xué)校的義務(wù)勞動(dòng)．(1)求男生甲或女生乙被選中的概率；(2)設(shè)A＝“男生甲被選中”，B＝“女生乙被選中”，求P(B)和P(B|A)．解：(1)設(shè)C＝“甲、乙都不被選中”，則P(C)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5)；所以所求概率為P(eq\x\to(C))＝1－P(C)＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).(2)P(B)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2).P(A∩B)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(1,5),\f(1,2))＝eq\f(2,5).18．(12分)某中學(xué)學(xué)生籃球隊(duì)假期集訓(xùn)，集訓(xùn)前共有6個(gè)籃球，其中3個(gè)是新球(即沒(méi)有用過(guò)的球)，3個(gè)是舊球(即至少用過(guò)一次的球)．每次訓(xùn)練，都從中隨意取出2個(gè)球，用完后放回．(1)設(shè)第一次訓(xùn)練時(shí)取到的新球個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列；(2)求其次次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球的概率．解：(1)ξ的全部可能取值為0,1,2，設(shè)“第一次訓(xùn)練時(shí)取到i個(gè)新球(即ξ＝i)”為事務(wù)Ai(i＝0,1,2)．因?yàn)榧?xùn)前共有6個(gè)籃球，其中3個(gè)是新球，3個(gè)是舊球，所以P(A0)＝P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)；P(A1)＝P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(3,5)；P(A2)＝P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)設(shè)“從6個(gè)球中隨意取出2個(gè)球，恰好取到一個(gè)新球”為事務(wù)B，則“其次次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球”就是事務(wù)A0B＋A1B＋A2B，而事務(wù)A0B、A1B、A2B互斥，所以P(A0B＋A1B＋A2B)＝P(A0B)＋P(A1B)＋P(A2B)＝eq\f(1,5)×eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))＋eq\f(3,5)×eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))＋eq\f(1,5)×eq\f(C\o\al(1,5),C\o\al(2,6))＝eq\f(38,75).即其次次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球的概率為eq\f(38,75).19．(12分)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是eq\f(2,3)，且各次射擊的結(jié)果互不影響．(1)假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率；(2)假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次沒(méi)有擊中目標(biāo)的概率．解：(1)設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(2,3)))，在5次射擊中，恰有2次擊中目標(biāo)的概率為P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(40,243).(2)設(shè)Ai＝“第i次射擊擊中目標(biāo)”，i＝1,2,3,4,5，A＝“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”，則P(A)＝P(A1A2A3eq\x\to(A)4eq\x\to(A)5)＋(eq\x\to(A)1A2A3A4eq\x\to(A)5)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3A4A5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,81).20．(12分)為了某項(xiàng)大型活動(dòng)能夠平安進(jìn)行，警方從武警訓(xùn)練基地選擇防爆警察，從體能、射擊、反應(yīng)三項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)，假如這三項(xiàng)中至少有兩項(xiàng)通過(guò)即可入選，假定某基地有4名武警戰(zhàn)士(分別記為A、B、C、D)擬參與選擇，且每人能通過(guò)體能、射擊、反應(yīng)的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2).這三項(xiàng)測(cè)試能否通過(guò)相互之間沒(méi)有影響．(1)求A能夠入選的概率；(2)規(guī)定：按入選人數(shù)得訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)(每入選1人，則相應(yīng)的訓(xùn)練基地得到3000元的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi))，求該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：(1)設(shè)A通過(guò)體能、射擊、反應(yīng)分別記為事務(wù)M、N、P，則A能夠入選包含以下幾個(gè)互斥事務(wù)：MNeq\x\to(P)，Meq\x\to(N)P，eq\x\to(M)NP，MNP.∴P(A)＝P(MNeq\x\to(P))＋P(Meq\x\to(N)P)＋P(eq\x\to(M)NP)＋P(MNP)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(12,18)＝eq\f(2,3).所以，A能夠入選的概率為eq\f(2,3).(2)記ξ表示該訓(xùn)練基地得到的訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)，則ξ的全部可能值為0,3000,6000,9000,12000.由(1)知，每個(gè)人入選的概率都為eq\f(2,3)，則P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))4＝eq\f(1,81)，P(ξ＝3000)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(8,81)，P(ξ＝6000)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(8,27)，P(ξ＝9000)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(32,81)，P(ξ＝12000)＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,81)，ξ的分布列為ξ030006000900012000Peq\f(1,81)eq\f(8,81)eq\f(8,27)eq\f(32,81)eq\f(16,81)E(ξ)＝3000×eq\f(8,81)＋6000×eq\f(8,27)＋9000×eq\f(32,81)＋12000×eq\f(16,81)＝8000，所以，該基地得到訓(xùn)練經(jīng)費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為8000元．21．(12分)2010年上海世博會(huì)大力提倡綠色出行，并提出在世博園區(qū)參觀時(shí)可以通過(guò)植樹的方式來(lái)抵消因出行產(chǎn)生的碳排放量．某游客安排在游園期間種植n棵樹，已知每棵樹是否成活互不影響，成活率都為p(0<p<1)，用X表示他所種植的樹中成活的棵數(shù)，X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，方差為D(X)．(1)若n＝1，求D(X)的最大值；(2)已知E(X)＝3，標(biāo)準(zhǔn)差eq\r(DX)＝eq\f(\r(3),2)，試求n與p的值，并寫出X的分布列．解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，隨機(jī)變量滿意二點(diǎn)分布，D(X)＝p(1－p)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，即當(dāng)p＝eq\f(1,2)時(shí)，D(X)有最大值eq\f(1,4).(2)∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，即np＝3，eq\r(np1－p)＝eq\f(\r(3),2)，解得，n＝4，p＝eq\f(3,4)，所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))4－k，k＝0,1,2,3,4，即X的分布列為X01234Peq