2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.1合情推理與演繹推理2.1.2演繹推理教師用書教案新人教A版選修2-2

PAGE1-2.1.2演繹推理學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解演繹推理的含義．(重點)2．駕馭演繹推理的模式，會利用“三段論”進(jìn)行簡潔的推理．(重點、易混點)1.通過演繹推理的學(xué)習(xí)，培育學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．借助“三段論”的應(yīng)用，培育學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).1．演繹推理(1)含義：從一般性的原理動身，推出某個特別狀況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理．(2)特點：演繹推理是由一般到特別的推理．2．“三段論”一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所探討的特別狀況S是M結(jié)論依據(jù)一般原理，對特別狀況做出的推斷S是P思索：如何分清大前提、小前提和結(jié)論？[提示]在演繹推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特別狀況，結(jié)論是依據(jù)一般原理對特別狀況作出的推斷，這與平常我們解答問題中的思索是一樣的，即先指出一般狀況，從中取出一個特例，特例也具有一般意義．例如，平行四邊形對角線相互平分，這是一般狀況；矩形是平行四邊形，這是特例；矩形對角線相互平分，這是特例具有一般意義．1．“四邊形ABCD是矩形，所以四邊形ABCD的對角線相等”，補(bǔ)充該推理的大前提是()A．正方形的對角線相等 B．矩形的對角線相等C．等腰梯形的對角線相等 D．矩形的對邊平行且相等B[得出“四邊形ABCD的對角線相等”的大前提是“矩形的對角線相等”．]2．三段論：“①小宏在2024年的高考中考入了重點本科院校；②小宏在2024年的高考中只要正常發(fā)揮就能考入重點本科院校；③小宏在2024年的高考中正常發(fā)揮”中，“小前提”是________(填序號)．③[在這個推理中，②是大前提，③是小前提，①是結(jié)論．]3．下列幾種推理過程是演繹推理的是________．①兩條平行直線與第三條直線相交，內(nèi)錯角相等，假如∠A和∠B是兩條平行直線的內(nèi)錯角，則∠A＝∠B；②金導(dǎo)電，銀導(dǎo)電，銅導(dǎo)電，鐵導(dǎo)電，所以一切金屬都導(dǎo)電；③由圓的性質(zhì)推想球的性質(zhì)；④科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇．①[①是演繹推理；②是歸納推理；③④是類比推理．]4．用三段論證明命題：“任何實數(shù)的平方大于0，因為a是實數(shù)，所以a2>0”，你認(rèn)為這個推理的錯誤是________．大前提[這個三段論推理的大前提是“任何實數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實數(shù)”，結(jié)論是“a2>0”．明顯這是個錯誤的推理，究其緣由，是大前提錯誤，盡管推理形式是正確的，但是結(jié)論是錯誤的．]演繹推理與三段論【例1】(1)下面四個推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()A．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：π是無限不循環(huán)小數(shù)B．大前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；小前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù)C．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；結(jié)論：π是無理數(shù)D．大前提：π是無限不循環(huán)小數(shù)；小前提：π是無理數(shù)；結(jié)論：無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)(2)將下列推理寫成“三段論”的形式：①向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；②0.33eq\o(2,\s\up10(·))是有理數(shù)；③y＝sinx(x∈R)是周期函數(shù)．(1)B[對于A，小前提與大前提間邏輯錯誤，不符合演繹推理三段論形式；對于B，符合演繹推理三段論形式且推理正確；對于C，大、小前提顛倒，不符合演繹推理三段論形式；對于D，大、小前提及結(jié)論顛倒，不符合演繹推理三段論形式．](2)①大前提：向量是既有大小又有方向的量．小前提：零向量是向量．結(jié)論：零向量也有大小和方向．②大前提：全部的循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)．小前提：0.33eq\o(2,\s\up10(·))是循環(huán)小數(shù)．結(jié)論：0.33eq\o(2,\s\up10(·))是有理數(shù)．③大前提：三角函數(shù)是周期函數(shù)．小前提：y＝sinx(x∈R)是三角函數(shù)．結(jié)論：y＝sinx(x∈R)是周期函數(shù)．把演繹推理寫成“三段論”的一般方法(1)用“三段論”寫推理過程時，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中大前提供應(yīng)了一個一般性原理，小前提供應(yīng)了一種特別狀況，兩個命題結(jié)合起來，揭示一般性原理與特別狀況的內(nèi)在聯(lián)系．(2)在找尋大前提時，要保證推理的正確性，可以找尋一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理中“三段論”中的________是錯誤的．小前提[f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，故小前提錯誤．]2．將下列演繹推理寫成三段論的形式．(1)平行四邊形的對角線相互平分，菱形是平行四邊形，所以菱形的對角線相互平分；(2)等腰三角形的兩底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，則∠A＝∠B；(3)通項公式為an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列．[解](1)大前提：平行四邊形的對角線相互平分，小前提：菱形是平行四邊形，結(jié)論：菱形的對角線相互平分．(2)大前提：等腰三角形的兩底角相等， 小前提：∠A，∠B是等腰三角形的底角， 結(jié)論：∠A＝∠B.(3)大前提：數(shù)列{an}中，假如當(dāng)n≥2時，an－an－1為常數(shù)，則{an}為等差數(shù)列，小前提：通項公式為an＝2n＋3時，若n≥2，則an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常數(shù))， 結(jié)論：通項公式為an＝2n＋3的數(shù)列{an}為等差數(shù)列.用三段論證明幾何問題【例2】正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長均為a，D，E分別為C1C與AB的中點，A1B交AB1于點G.求證：(1)A1B⊥AD；(2)CE∥平面AB1D.證明：(1)連接A1D，DG，BD.∵三棱柱ABC-A1B1C1是棱長均為a的正三棱柱，∴四邊形A1ABB1為正方形，∴A1B⊥AB1.∵D是C1C的中點，∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD.∵G為A1B的中點，∴A1B⊥DG，又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D.又∵AD?平面AB1D，∴A1B⊥AD.(2)連接GE.∵EG∥A1A，∴GE⊥平面ABC.∵DC⊥平面ABC，∴GE∥DC，∵GE＝DC＝eq\f(1,2)a，∴四邊形GECD為平行四邊形，∴CE∥GD.又∵CE?平面AB1D，DG?平面AB1D，∴CE∥平面AB1D.1．用“三段論”證明命題的格式××××××(大前提)××××××(小前提)××××××(結(jié)論)2．用“三段論”證明命題的步驟：(1)理清晰證明命題的一般思路；(2)找出每一個結(jié)論得出的緣由；(3)把每個結(jié)論的推出過程用“三段論”表示出來[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點．求證：EF∥平面BCD.[證明]三角形的中位線平行于第三邊，(大前提)點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，(小前提)所以EF∥BD.(結(jié)論)若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線，則這條直線與此平面平行，(大前提)EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，(小前提)EF∥平面BCD.(結(jié)論)用三段論證明代數(shù)問題[探究問題]1．?dāng)?shù)的大小比較常見方法有哪些？[提示]作差法、作比法、函數(shù)性質(zhì)法(單調(diào)性、奇偶性等)、圖象法、中間量法(常取0或1作為媒介)等．2．證明函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性)的依據(jù)是什么？試以函數(shù)單調(diào)性賜予說明．[提示]證明函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性)的依據(jù)是函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)定義及有關(guān)的學(xué)問原理．如函數(shù)單調(diào)性的證明常依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義及單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系賜予證明．3．推斷數(shù)列是等差(等比)數(shù)列的依據(jù)是什么？[提示]推斷數(shù)列是等差(等比)數(shù)列的依據(jù)是等差(等比)數(shù)列的定義.【例3】(1)設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則()A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z(2)已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a＞1)，證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．思路探究：(1)借助于指對互化及不等式大小的比較方法求解；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)法求解．(1)D[令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z為正數(shù)，∴t＞1.則x＝log2t＝eq\f(lgt,lg2)，同理，y＝eq\f(lgt,lg3)，z＝eq\f(lgt,lg5).∴2x－3y＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(3lgt,lg3)＝eq\f(lgt2lg3－3lg2,lg2×lg3)＝eq\f(lgtlg9－lg8,lg2×lg3)＞0，∴2x＞3y.2x－5z＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(5lgt,lg5)＝eq\f(lgt2lg5－5lg2,lg2×lg5)＝eq\f(lgtlg25－lg32,lg2×lg5)＜0，∴2x＜5z，∴3y＜2x＜5z.故選D.](2)[解]法一：(定義法)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝aeq\s\up12(x2)＋eq\f(x2－2,x2＋1)－aeq\s\up12(x1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＝aeq\s\up12(x2)－aeq\s\up12(x1)＋eq\f(x2－2,x2＋1)－eq\f(x1－2,x1＋1)＝aeq\s\up12(x1)(aeq\s\up12(x2－x1)－1)＋eq\f(x1＋1x2－2－x1－2x2＋1,x2＋1x1＋1)＝aeq\s\up12(x1)(aeq\s\up12(x2－x1)－1)＋eq\f(3x2－x1,x2＋1x1＋1).因為x2－x1＞0，且a＞1，所以aeq\s\up12(x2)eq\s\up12(－x1)＞1.而－1＜x1＜x2，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以f(x2)－f(x1)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．法二：(導(dǎo)數(shù)法)f(x)＝ax＋eq\f(x＋1－3,x＋1)＝ax＋1－eq\f(3,x＋1).所以f′(x)＝axlna＋eq\f(3,x＋12).因為x＞－1，所以(x＋1)2＞0，所以eq\f(3,x＋12)＞0.又因為a＞1，所以lna＞0，ax＞0，所以axlna＞0.所以f′(x)＞0.于是得f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)．五類代數(shù)問題中的三段論(1)函數(shù)類問題：比如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性等．(2)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和最值，證明與函數(shù)有關(guān)的不等式等．(3)三角函數(shù)問題：利用三角函數(shù)公式進(jìn)行三角恒等變換，證明三角恒等式．(4)數(shù)列問題：數(shù)列的通項公式，前n項和公式的應(yīng)用，證明等差數(shù)列和等比數(shù)列．(5)不等式類問題：如不等式恒成立問題，線性規(guī)劃以及基本不等式的應(yīng)用問題.[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，則a，b，c的關(guān)系是()A．成等差數(shù)列但不成等比數(shù)列B．成等差數(shù)列且成等比數(shù)列C．成等比數(shù)列但不成等差數(shù)列D．不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列A[由條件可知a＝log23，b＝log26，c＝log212.因為a＋c＝log23＋log212＝log236＝2log26＝2b，所以a，b，c成等差數(shù)列．又因為ac＝log23log212≠(log26)2＝b2，所以a，b，c不成等比數(shù)列．故選A.]5．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，求證：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在定義域上是增函數(shù)．[證明]f(x)＝eq\f(2x＋1－2,2x＋1)＝1－eq\f(2,2x＋1)，所以f(x)的定義域為R.f(－x)＋f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2－x＋1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2x＋1)))＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2x＋1)＋\f(2,2－x＋1)))＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2x＋1)＋\f(2·2x,2x＋1)))＝2－eq\f(22x＋1,2x＋1)＝2－2＝0.即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．任取x1，x2∈R，且x1<x2.則f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2eq\s\up12(x1)＋1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2eq\s\up12(x2)＋1)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2eq\s\up12(x2)＋1)－\f(1,2eq\s\up12(x1)＋1)))＝2·eq\f(2eq\s\up12(x1)－2eq\s\up12(x2),2eq\s\up12(x2)＋12eq\s\up12(x1)＋1).由于x1<x2，從而2eq\s\up12(x1)<2eq\s\up12(x2)，2eq\s\up12(x1)－2eq\s\up12(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，故f(x)為增函數(shù)．1．應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，假如前提是明顯的，則可以省略．2．合情推理是由部分到整體，由個別到一般的推理或是由特別到特別的推理；演繹推理是由一般到特別的推理．3．合情推理與演繹推理是相輔相成的，數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)覺主要靠合情推理；數(shù)學(xué)結(jié)論、猜想的正確性必需通過演繹推理來證明．1．平行于同始終線的兩直線平行，因為a∥b，b∥c，所以a∥c，這個推理稱為()A．合情推理 B．歸納推理C．類比推理 D．演繹推理D[本題的推理模式是三段論，故該推理是演繹推理．]2．三段論①只有船準(zhǔn)時起航，才能準(zhǔn)時到達(dá)目的港；②這艘船是準(zhǔn)時到達(dá)目的港的；③這艘船是準(zhǔn)時起航的，其中大前提是()A．①B．②C．①②D．③A[依據(jù)三段論的定義，①為大前提，③為小前提，②為結(jié)論，故選A.]3．有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若f′(x0)＝0，則x＝x0是函數(shù)f(x)的極值點，因為f(x)＝x3